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2023-2024学年上海市虹口区八年级（下）期末数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年上海市虹口区八年级（下）期末数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列四个函数中，一次函数是( )
A. y=x2−2xB. y=2x−1C. y=1x+3D. y= x+1
2.已知一次函数y=(3−m)x+3，如果函数值y随x增大而减小，那么m的取值范围是( )
A. m>3B. m<3C. m≥3D. m≤3
3.下列事件中，必然事件是( )
A. 上海明天太阳从西边升起
B. 任意选取两个非零实数，它们的积为正
C. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上
D. 在平面内画一个平行四边形，它的内角和等于360度
4.下列方程中，有实数解的是( )
A. xx−1=1x−1B. x2+1=0C. x2−1=0D. 1x2+1=0
5.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，点E是边BC的中点，联结DE，DE//AB，下列向量中，不是AD的相反向量的是( )
A. DA
B. EB
C. CE
D. BC
6.小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具(如图1)，测得对角线AC=10 2cm，将正方形学具变形为菱形(如图2)，∠DAB=60°，则图2中对角线AC的长为( )
A. 20cmB. 10 6cmC. 10 3cmD. 10 2cm
二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。
7.直线y=−2x+6的截距是______．
8.方程 x−2=3的解是______．
9.如果一次函数y=(3m−2)x+1的图象经过A(1,8)，那么m的值是______．
10.已知一次函数y=2x+m−1的图象与y轴的交点在负半轴上，那么m的取值范围是______．
11.用换元法解方程3xx2−1−x2−1x=2，如果设y=xx2−1，那么原方程可以化为关于y的整式方程为______．
12.如果多边形的每一个内角都等于144°，那么它的内角和为______．
13.如图，在矩形ABCD中，AB=2，对角线AC与BD交于点O，∠AOD=120°，且DE//OC，CE//OD，则四边形OCED的周长为______．
14.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和AD边上，BE=2，AF=6，AE//CF，则△ABE的面积为______．
15.如图，在△ABC中，D是边BC的中点，AB=a，AC=b，用向量a、b表示向量AD为______．
16.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F、G分别是DB、EC的中点，如果DE=3，那么FG= ______．
17.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠DBC=30°.如果梯形的中位线长为6，那么BD的长为______．
18.如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B′处，若四边形ABFE的面积为6，则线段DE的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解方程：2x−3=5x2−9−1．
20.(本小题8分)
解方程组：x+2y=8①x2−3xy+2y2=0②．
21.(本小题8分)
一只箱子里放有2个白球与1个红球，它们除颜色外均相同．
(1)如果从箱子中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是______；
(2)如果从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，再摸出一个球，利用树形图求两次摸出的球都是白球的概率；
(3)如果可以往箱子里放除颜色外均相同的球，请你设计一个“摸出白球的概率为35”的游戏方案．
22.(本小题9分)
某食品公司产销一种食品，已知每月的生产成本y1与产量x之间是一次函数关系，函数y1与自变量x(kg)的部分对应值如下表：
(1)求y1与x之间的函数关系式；
(2)经过试销发现，这种食品每月的销售收入y2(元)与销量x(kg)之间满足如图所示的函数关系
①y2与x之间的函数关系式为______；
②假设该公司每月生产的该种食品均能全部售出，那么该公司每月至少要生产该种食品多少kg，才不会亏损？
23.(本小题9分)
如图，在▱ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，联结AE、CF，AC平分∠DAE．
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)过点B作BG与DC的延长线交于点G，且∠GBC=∠CAE.求证：四边形ABGC是矩形．
24.(本小题10分)
如图，已知∠ABP=90°，AB=8，点C、E在射线BP上(点C、E不与点B重合且点C在点E的左侧)，联结AC、AE，D为AC的中点，过点C作CF//AE，交ED的延长线于点F，联结AF．
(1)求证：四边形ABCF是梯形；
(2)如果CE=5，当△CDE为等腰三角形时，求BC的长．
25.(本小题12分)
已知直线y=kx+b(其中kb≠0)，我们把直线y=bx+k称为直线y=kx+b的“轮换直线”.例如：直线y=3x+2的“轮换直线”是直线y=2x+3．
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=x+m(m≠1)的“轮换直线”是直线l2，交y轴于点A，l2交y轴于点B，l1和l2相交于点M．
(1)如果直线l1经过点(−1,−3)．
①求直线l1、l2的表达式和点M的坐标；
②点N是平面内一点，如果四边形AMBN是等腰梯形，且AM//BN，求点N的坐标．
(2)将AM绕点A顺时针旋转90°，点M的对应点M1落在与直线l2平行的直线l3上.小明说：“直线l3一定经过一个定点.”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.C
5.D
6.C
7.6
8.x=11
9.3
10.m<1
11.3y2−2y−1=0
12.1440°
13.8
14.8
15.12b+12a
16.4.5
17.4 3
18.72
19.解：方程两边同时乘以(x+3)(x−3)，得2(x+3)=5−(x2−9)，
整理，得 x2+2x−8=0，
解这个整式方程，得 x1=−4，x2=2，
经检验：当x=−4，x=2时，(x+3)(x−3)≠0，
所以，原方程的根是x1=−4，x2=2．
20.解：x+2y=8①x2−3xy+2y2=0②，
由②得：(x−y)(x−2y)=0，
x−y=0或x−2y=0③，
由①和③组成两个二元一次方程组：x+2y=8x−y=0，x+2y=8x−2y=0，
解得：x1=83y1=83，x2=4y2=2，
所以原方程组的解是x1=83y1=83，x2=4y2=2．
21.23
22.y2=5x
23.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，∠BAC=∠BCD，
∴AF//CE，
∵E，F分别是边BC，AD的中点，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC平分∠DAE，
∴∠EAC=∠FAC，
∵AF//CE，
∴∠FAC=∠ECA，
∴∠FAC=∠FAC，
∴AE=CE，
∴平行四边形AECF是菱形；
(2)∵四边形AECF是菱形，
∴AE=CE，
∴∠CEA=∠ACE，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=AE，
∴∠BAE=∠ABE，
∵∠ACE+∠ABE+∠BAC=180°，
∴∠ACE+∠ABE+∠BAE+∠CAE=180°，
∴2(∠BAE+∠CAE)=180°，
∴∠BAE+∠CAE=90°，
∴∠BAC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，
∴AB//CG，
∴四边形ABGC是平行四边形，
∵∠BAC=90°，
∴平行四边形ABGC是矩形．
24.(1)证明：∵CF//AE，
∴∠DCF=∠DAE，∠DFC=∠DEA，
∵D为AC的中点，
∴CD=AD，
在△DCF和△DAE中，
∠DCF=∠DAE∠DFC=∠DEACD=AD，
∴△DCF≌△DAE(AAS)，
∴CF=AE，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF//CE，即AF//BC，
∵CF//AE，AE与AB交于点A，
∴CF与AB不平行，
∴四边形ABCF是梯形；
(2)解：∵△CDE为等腰三角形，
∴有以下三种情况：
①当CD=CE=5时，如图1所示：
∵D为AC的中点，
∴AC=2CD=10，
∵AB=8，∠ABP=90°，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC= AC2−AB2=6；
②当CE=DE=5时，过点F作FH⊥BP于H，如图2所示：
由(1)可知：四边形AECF为平行四边形，
∴EF=2DE=10，AF=CE=5，AF//BP，
∵∠ABP=90°，FH⊥BP，
∴四边形ABHF为矩形，
∴BH=AF=5，FH=AB=8，
在Rt△EFH中，由勾股定理得：EH= EF2−FH2=6，
∴BC=BH+EH+CE=5+6+5=16；
③当CD=DE时，如图3所示：
由(1)可知：四边形AECF为平行四边形，
∴AC=EF，
此时平行四边形AECF为矩形，即∠AEC=90°，
∵∠ABP=90°，
∴点B与点E重合，故不合题意，
综上所述：BC的长为6或16．
25.解：(1)①由题意得：l2的表达式为：y=mx+1，
将(−1,−3)代入直线l1的表达式得：−3=−1+m，
解得：m=−2，
则直线l1、l2的表达式分别为：y=x−2，y=−2x+1；
联立上述两个函数表达式得：x−2=−2x+1，
解得：x=1，
则点M(1,−1)；
②如下图，由直线l2的表达式知，点B(0,1)，
∵AM//BN，则直线BN的表达式为：y=x+1，
设点N(t,t+1)，
∵四边形AMBN是等腰梯形，则AN=BM，
即t2+(−2−t−1)2=12+(−1−1)2，
解得：t=−2(舍去)或−1，
即点N(−2,−1)；
(2)正确，直线l3过定点(0,−1)，理由：
由题意得：l2的表达式为：y=mx+1，
联立l1、l2的表达式得：mx+1=x+m，
解得：x=1，则点M(1,m+1)，
过点M′、M分别作y轴的垂线，垂足分别为点H、G，
由题意得，∠OAM=45°，AM⊥AM′，
则△AGM、△AHM′均为等腰直角三角形且AM=AM′，
由点M的坐标知，GM=1，
则AH=HM′=GM=GA，
则点M′(1,m−1)，
设直线l3的表达式为：y=mx+n，
将点M′的坐标代入上式得：m−1=m+n，
解得：n=−1，
则直线l3的表达式为：y=mx−1，
即直线l3过点(0,−1)，即过定点(0,−1)． x(单位：kg)
10
20
30
y1(单位：/元)
3030
3060
3090
1.下列四个函数中，一次函数是( )
A. y=x2−2xB. y=2x−1C. y=1x+3D. y= x+1
2.已知一次函数y=(3−m)x+3，如果函数值y随x增大而减小，那么m的取值范围是( )
A. m>3B. m<3C. m≥3D. m≤3
3.下列事件中，必然事件是( )
A. 上海明天太阳从西边升起
B. 任意选取两个非零实数，它们的积为正
C. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上
D. 在平面内画一个平行四边形，它的内角和等于360度
4.下列方程中，有实数解的是( )
A. xx−1=1x−1B. x2+1=0C. x2−1=0D. 1x2+1=0
5.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，点E是边BC的中点，联结DE，DE//AB，下列向量中，不是AD的相反向量的是( )
A. DA
B. EB
C. CE
D. BC
6.小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具(如图1)，测得对角线AC=10 2cm，将正方形学具变形为菱形(如图2)，∠DAB=60°，则图2中对角线AC的长为( )
A. 20cmB. 10 6cmC. 10 3cmD. 10 2cm
二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。
7.直线y=−2x+6的截距是______．
8.方程 x−2=3的解是______．
9.如果一次函数y=(3m−2)x+1的图象经过A(1,8)，那么m的值是______．
10.已知一次函数y=2x+m−1的图象与y轴的交点在负半轴上，那么m的取值范围是______．
11.用换元法解方程3xx2−1−x2−1x=2，如果设y=xx2−1，那么原方程可以化为关于y的整式方程为______．
12.如果多边形的每一个内角都等于144°，那么它的内角和为______．
13.如图，在矩形ABCD中，AB=2，对角线AC与BD交于点O，∠AOD=120°，且DE//OC，CE//OD，则四边形OCED的周长为______．
14.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和AD边上，BE=2，AF=6，AE//CF，则△ABE的面积为______．
15.如图，在△ABC中，D是边BC的中点，AB=a，AC=b，用向量a、b表示向量AD为______．
16.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F、G分别是DB、EC的中点，如果DE=3，那么FG= ______．
17.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠DBC=30°.如果梯形的中位线长为6，那么BD的长为______．
18.如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B′处，若四边形ABFE的面积为6，则线段DE的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解方程：2x−3=5x2−9−1．
20.(本小题8分)
解方程组：x+2y=8①x2−3xy+2y2=0②．
21.(本小题8分)
一只箱子里放有2个白球与1个红球，它们除颜色外均相同．
(1)如果从箱子中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是______；
(2)如果从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，再摸出一个球，利用树形图求两次摸出的球都是白球的概率；
(3)如果可以往箱子里放除颜色外均相同的球，请你设计一个“摸出白球的概率为35”的游戏方案．
22.(本小题9分)
某食品公司产销一种食品，已知每月的生产成本y1与产量x之间是一次函数关系，函数y1与自变量x(kg)的部分对应值如下表：
(1)求y1与x之间的函数关系式；
(2)经过试销发现，这种食品每月的销售收入y2(元)与销量x(kg)之间满足如图所示的函数关系
①y2与x之间的函数关系式为______；
②假设该公司每月生产的该种食品均能全部售出，那么该公司每月至少要生产该种食品多少kg，才不会亏损？
23.(本小题9分)
如图，在▱ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，联结AE、CF，AC平分∠DAE．
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)过点B作BG与DC的延长线交于点G，且∠GBC=∠CAE.求证：四边形ABGC是矩形．
24.(本小题10分)
如图，已知∠ABP=90°，AB=8，点C、E在射线BP上(点C、E不与点B重合且点C在点E的左侧)，联结AC、AE，D为AC的中点，过点C作CF//AE，交ED的延长线于点F，联结AF．
(1)求证：四边形ABCF是梯形；
(2)如果CE=5，当△CDE为等腰三角形时，求BC的长．
25.(本小题12分)
已知直线y=kx+b(其中kb≠0)，我们把直线y=bx+k称为直线y=kx+b的“轮换直线”.例如：直线y=3x+2的“轮换直线”是直线y=2x+3．
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=x+m(m≠1)的“轮换直线”是直线l2，交y轴于点A，l2交y轴于点B，l1和l2相交于点M．
(1)如果直线l1经过点(−1,−3)．
①求直线l1、l2的表达式和点M的坐标；
②点N是平面内一点，如果四边形AMBN是等腰梯形，且AM//BN，求点N的坐标．
(2)将AM绕点A顺时针旋转90°，点M的对应点M1落在与直线l2平行的直线l3上.小明说：“直线l3一定经过一个定点.”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.C
5.D
6.C
7.6
8.x=11
9.3
10.m<1
11.3y2−2y−1=0
12.1440°
13.8
14.8
15.12b+12a
16.4.5
17.4 3
18.72
19.解：方程两边同时乘以(x+3)(x−3)，得2(x+3)=5−(x2−9)，
整理，得 x2+2x−8=0，
解这个整式方程，得 x1=−4，x2=2，
经检验：当x=−4，x=2时，(x+3)(x−3)≠0，
所以，原方程的根是x1=−4，x2=2．
20.解：x+2y=8①x2−3xy+2y2=0②，
由②得：(x−y)(x−2y)=0，
x−y=0或x−2y=0③，
由①和③组成两个二元一次方程组：x+2y=8x−y=0，x+2y=8x−2y=0，
解得：x1=83y1=83，x2=4y2=2，
所以原方程组的解是x1=83y1=83，x2=4y2=2．
21.23
22.y2=5x
23.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，∠BAC=∠BCD，
∴AF//CE，
∵E，F分别是边BC，AD的中点，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC平分∠DAE，
∴∠EAC=∠FAC，
∵AF//CE，
∴∠FAC=∠ECA，
∴∠FAC=∠FAC，
∴AE=CE，
∴平行四边形AECF是菱形；
(2)∵四边形AECF是菱形，
∴AE=CE，
∴∠CEA=∠ACE，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=AE，
∴∠BAE=∠ABE，
∵∠ACE+∠ABE+∠BAC=180°，
∴∠ACE+∠ABE+∠BAE+∠CAE=180°，
∴2(∠BAE+∠CAE)=180°，
∴∠BAE+∠CAE=90°，
∴∠BAC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，
∴AB//CG，
∴四边形ABGC是平行四边形，
∵∠BAC=90°，
∴平行四边形ABGC是矩形．
24.(1)证明：∵CF//AE，
∴∠DCF=∠DAE，∠DFC=∠DEA，
∵D为AC的中点，
∴CD=AD，
在△DCF和△DAE中，
∠DCF=∠DAE∠DFC=∠DEACD=AD，
∴△DCF≌△DAE(AAS)，
∴CF=AE，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF//CE，即AF//BC，
∵CF//AE，AE与AB交于点A，
∴CF与AB不平行，
∴四边形ABCF是梯形；
(2)解：∵△CDE为等腰三角形，
∴有以下三种情况：
①当CD=CE=5时，如图1所示：
∵D为AC的中点，
∴AC=2CD=10，
∵AB=8，∠ABP=90°，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC= AC2−AB2=6；
②当CE=DE=5时，过点F作FH⊥BP于H，如图2所示：
由(1)可知：四边形AECF为平行四边形，
∴EF=2DE=10，AF=CE=5，AF//BP，
∵∠ABP=90°，FH⊥BP，
∴四边形ABHF为矩形，
∴BH=AF=5，FH=AB=8，
在Rt△EFH中，由勾股定理得：EH= EF2−FH2=6，
∴BC=BH+EH+CE=5+6+5=16；
③当CD=DE时，如图3所示：
由(1)可知：四边形AECF为平行四边形，
∴AC=EF，
此时平行四边形AECF为矩形，即∠AEC=90°，
∵∠ABP=90°，
∴点B与点E重合，故不合题意，
综上所述：BC的长为6或16．
25.解：(1)①由题意得：l2的表达式为：y=mx+1，
将(−1,−3)代入直线l1的表达式得：−3=−1+m，
解得：m=−2，
则直线l1、l2的表达式分别为：y=x−2，y=−2x+1；
联立上述两个函数表达式得：x−2=−2x+1，
解得：x=1，
则点M(1,−1)；
②如下图，由直线l2的表达式知，点B(0,1)，
∵AM//BN，则直线BN的表达式为：y=x+1，
设点N(t,t+1)，
∵四边形AMBN是等腰梯形，则AN=BM，
即t2+(−2−t−1)2=12+(−1−1)2，
解得：t=−2(舍去)或−1，
即点N(−2,−1)；
(2)正确，直线l3过定点(0,−1)，理由：
由题意得：l2的表达式为：y=mx+1，
联立l1、l2的表达式得：mx+1=x+m，
解得：x=1，则点M(1,m+1)，
过点M′、M分别作y轴的垂线，垂足分别为点H、G，
由题意得，∠OAM=45°，AM⊥AM′，
则△AGM、△AHM′均为等腰直角三角形且AM=AM′，
由点M的坐标知，GM=1，
则AH=HM′=GM=GA，
则点M′(1,m−1)，
设直线l3的表达式为：y=mx+n，
将点M′的坐标代入上式得：m−1=m+n，
解得：n=−1，
则直线l3的表达式为：y=mx−1，
即直线l3过点(0,−1)，即过定点(0,−1)． x(单位：kg)
10
20
30
y1(单位：/元)
3030
3060
3090
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