【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测(测)专题九立体几何(原卷版+解析)

这是一份【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测(测)专题九立体几何(原卷版+解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列命题中正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面 B．经过两条平行直线确定一个平面
C．经过一条直线和一个点确定一个平面 D．四边形确定一个平面
2．正方体中，异面直线与所成角为（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线在平面内，直线不在平面内，则“”是“”（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既非充分条件又非必要条
4．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的个数为（ ）
①平面PBC ②平面PCD ③平面PDA ④平面PBA
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．在空间四边形中，分别为上的点，且，分别为的中点，则（ ）
A．平面，且四边形是平行四边形
B．平面，且四边形是梯形
C．平面，且四边形是平行四边形
D．平面，且四边形是梯形
6．已知长方体中，，，长方体的体积是32，则直线和平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．在长方体中，，，则二面角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
8．在正方体中，E是的中点，若，则点B到平面ACE的距离等于（ ）
A．B．C．D．3
9．已知圆锥的高为，底面半径为4．若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径为（ ）
A．B．C．D．2
10．已知四面体的棱长都等于2，那么它的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是 .
12．设E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，则四边形EFGH的形状是 ．
13．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于 ．
14．如图，P是二面角内的一点，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B.若∠APB＝80°，则二面角的大小为 .
15．正方体中，分别是的中点，如图，则：与平面的位置关系是 ．
16．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝ .
17．半径为 4 的半圆卷成一个圆锥， 则该圆锥的体积为 ．
18．在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的顶点是圆柱的下底面中心，这个几何体的表面积为 .
三、解答题
19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，为中点，证明：平面
20．已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．
21．如图，平面ABC，，EA＝2DC，F是EB的中点.
（1）求证：平面ABC；
（2）求证：平面ABC．
22.如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，，分别是，的中点.
（1）若，求四棱锥的体积；
（2）求证：平面.
23．如图，在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为5，G、H分别为PB、PC的中点.
（1）求证：平面ABC；
（2）求正三棱锥的表面积.
24．如图，四棱锥的底面是正方形，侧面PAD是正三角形，，且侧面底面ABCD，E为侧棱PD的中点．
（1）求证：平面EAC；
（2）求三棱锥的体积．
专题九 立体几何
一、选择题
1．下列命题中正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面 B．经过两条平行直线确定一个平面
C．经过一条直线和一个点确定一个平面 D．四边形确定一个平面
答案：B
【解析】对于选项A：经过不共线的三点确定一个平面，故选项A错误；对于选项B：两条平行直线唯一确定一个平面，故选项B正确；对于选项C：经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故选项C错误；对于选项D：因为空间四边形不在一个平面内，故选项D错误，故选：B.
2．正方体中，异面直线与所成角为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意，作正方体，如下图所示：连接，，
∴异面直线与即所成的角为，由题可得为等边三角形，，∴异面直线与所成的角为60°，故选：B.
3．已知直线在平面内，直线不在平面内，则“”是“”（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既非充分条件又非必要条
答案：A
【解析】先讨论充分性，即考虑“”能否推出“”，因为直线在平面内，直线不在平面内，，所以，所以“”是“”的充分条件，讨论必要性，即考虑“”能否推出“”，因为直线在平面内，直线不在平面内，，所以m||n或者m,n异面，所以“”是“”的非必要条件，故选A.
4．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的个数为（ ）
①平面PBC ②平面PCD ③平面PDA ④平面PBA
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：B
【解析】对于①，平面，故①错误；对于②，由于为的中点，为的中点，则， 平面，平面，则平面，故②正确；对于③，由于，平面，平面，则平面，故③正确；对于④，由于平面，故④错误，故选：B.
5．在空间四边形中，分别为上的点，且，分别为的中点，则（ ）
A．平面，且四边形是平行四边形
B．平面，且四边形是梯形
C．平面，且四边形是平行四边形
D．平面，且四边形是梯形
答案：B
【解析】如图，由题意，得，且，，且，∴且，∴四边形是梯形；又，平面，平面，∴平面； 所以选项B正确，故选：B.
6．已知长方体中，，，长方体的体积是32，则直线和平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为长方体的体积是32，所以；所以四边形为正方形，如下图所示：
取的中点，连接，则，又，所以平面，所以即为和平面所成角；有勾股定理可知;；所以在中，，故选：C.
7．在长方体中，，，则二面角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】∵，，由二面角的平面角的定义知，就是二面角的平面角，又，所以 ,故选：D.
8．在正方体中，E是的中点，若，则点B到平面ACE的距离等于（ ）
A．B．C．D．3
答案：B
【解析】如图，在正方体中，，是的中点，则，，．，设点到平面的距离为，由，得，解得，故选：．
9．已知圆锥的高为，底面半径为4．若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径为（ ）
A．B．C．D．2
答案：A
【解析】设球的半径为，因为圆锥的高为，底面半径为4，所以圆锥的母线长为：，
由题意可知：，故选：A.
10．已知四面体的棱长都等于2，那么它的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】如图，正四面体棱长为2，平面于，则是中心，
，平面，平面，则，设外接球球心为，则在，则为外接半径，由得，解得，
所以其外接球的表面积为，故选：C．
二、填空题
11．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是 .
答案：平行或异面
【解析】空间中两条直线的位置关系有3种：相交，有且只有一个公共点；平行，没有公共点；
异面，没有公共点，所以直线a和直线b没有公共点，则它们的位置关系是平行或异面，故答案为：平行或异面．
12．设E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，则四边形EFGH的形状是 ．
答案：矩形
【解析】如图所示，∵E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，∴EFAC，且EFAC，HGAC，且HGAC，∴EFHG，且EFHG，∴四边形EFGH是平行四边形，又AC⊥BD，
∴EF⊥EH，则四边形EFGH的形状是矩形．，故答案为：矩形．
13．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于 ．
答案：
【解析】PA⊥平面ABC，∠PBA为PB与平面ABC所成的角，PA＝AB，∠PBA＝45°，故答案为：．
14．如图，P是二面角内的一点，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B.若∠APB＝80°，则二面角的大小为 .
答案：100°
【解析】设二面角的大小为，因为PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，所以，所以，故答案为：100°．
15．正方体中，分别是的中点，如图，则：与平面的位置关系是 ．
答案：平行
【解析】如图，取的中点，连接∵为的中点，∴为的中位线，则，且，∵为的中点，∴且，∴且，∴四边形为平行四边形，∴，而平面，平面，∴平面，答案：平行.
．
16．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝ .
答案：
【解析】∵MN//平面ABCD，平面PMNQ∩平面ABCD＝PQ，MN⊂平面PQNM，∴MN//PQ，易知DP＝DQ＝，故PQ＝，故答案为：．
17．半径为 4 的半圆卷成一个圆锥， 则该圆锥的体积为 ．
答案：
【解析】设圆锥的底面半径为，母线为，高为，因为圆锥是由半径为 4 的半圆卷成，所以，由，由勾股定理可得：，所以圆锥的体积为：，故答案为：．
18．在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的顶点是圆柱的下底面中心，这个几何体的表面积为 .
答案：
【解析】挖去圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面积为，故几何体的表面积为，故答案为：.
三、解答题
19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，为中点，证明：平面
答案：证明见解析
【解析】证明：设，连接，因为分别为中点，所以//，因为平面，平面，所以//平面．
20．已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．
答案：证明见解析
【解析】证明:如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC平面PBC＝PC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC．
因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，因为ADPA＝A，所以BC⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，所以BC⊥AC．
21．如图，平面ABC，，EA＝2DC，F是EB的中点.
（1）求证：平面ABC；
（2）求证：平面ABC．
答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【解析】证明：（1）∵EA⊥平面ABC，AB，AC平面ABC，∴EA⊥AB，EA⊥AC，又DC∥EA，∴DC⊥AB，DC⊥AC，∵ABAC＝A，AB、AC平面ABC，∴DC⊥平面ABC.
（2）取AB中点M，连结CM，FM，在△ABE中，F，M分别为EB，AB中点，FM∥EA，且EA＝2FM,又DC∥EA且EA＝2DC，于是DC∥FM，且DC＝FM，∴四边形DCMF为平行四边形，则DF∥CM，CM平面ABC，DF平面ABC，∴DF∥平面ABC．
22.如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，，分别是，的中点.
（1）若，求四棱锥的体积；
（2）求证：平面.
答案：(1)；(2)证明详见解析
【解析】(1)解：∵在底面是矩形的四棱锥中，底面，，∴；
(2)证明：∵四边形为矩形，∴，∵底面，面，∴，又，∴面，又，分别是，的中点，∴，∴平面．
23．如图，在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为5，G、H分别为PB、PC的中点.
（1）求证：平面ABC；
（2）求正三棱锥的表面积.
答案：（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：因为G、H分别为PB、PC的中点，所以，又平面，平面，所以平面ABC.
（2）解：设BC中点为D，连接PD，因为三棱锥P-ABC是正三棱锥，所以是等腰三角形，所以，
在Rt中，又 ，PB=5 ，PD=，所以正三棱锥侧面积为，底面积为，所以正三棱锥P-ABC的表面积为．
24．如图，四棱锥的底面是正方形，侧面PAD是正三角形，，且侧面底面ABCD，E为侧棱PD的中点．
（1）求证：平面EAC；
（2）求三棱锥的体积．
答案：(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)连接交于，连接，∵、分别为、的中点，
∴，∵平面，平面，∴∥平面.
(2)过P作PF⊥AD于F，∵侧面PAD是正三角形，∴PF⊥AD，∵平面底面ABCD，平面底面ABCD＝AD，平面PAD，∴PF⊥平面ABCD，故．