【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测(讲+练+测)3.2相等函数、分段函数、复合函数(原卷版+解析)

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1．相等函数
两个函数相等：如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则称这两个函数相等．
两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关，在对函数解析式进行化简变形时应注意定义域是否发生改变(即是否是等价变形).
2．分段函数
若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．
求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围．
3．复合函数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．
考点一 相等函数
【例题】（1）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
（2）下列函数与是同一个函数的是（ ）
A．B．C．D．
（3）下列四组函数中，表示的是同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
（4）下列四组函数中，两个函数相同的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式】（1）下列函数中与函数是同一个函数的是（ ）
A．B．C．D．
（2）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A．， B．，
C． ， D．，
（3）下面各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
（4）下列函数中与函数是同一个函数的是（ ）
A． B． C． D．
考点二 分段函数
【例题】（1）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
（2）已知函数，则 ．
（3）已知函数 ，若，则（ ）
A．B．2或C．或2D．或
（4）已知函数，则（ ）
A．0B．C．1D．2
【变式】（1）已知函数，则的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
（2）若，则 .
（3）已知函数，则不等式的解集为 ．
（4）设函数，若，则（ ）
A．3B．4C．32D．33
考点三 复合函数
【例题】（1）已知函数则（ ）
A．B．3C．1D．19
（2）已知函数，则（ ）
A．2B．C．D．
（3）已知函数，则 .
（4）已知，，则 ， _.
【变式】（1）已知函数，则（ ）
A．3B．2C．－3D．－2
（2）已知函数，则（ ）
A．B．C．4D．
（3）设函数，且，则（ ）
A．B．1C．D．3
（4）已知是一次函数，，则（ ）
A．B．C．D．或
【方法总结】
1.判断两个函数是否相等，即是否为同一函数，只须判断它们的定义域与对应关系是否完全相同即可，与表示函数自变量的字母和函数的字母无关；当两个函数的定义域与对应关系完全相同时，它们的值域也一定相同．
2.求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围．
3.2 相等函数、分段函数、复合函数
【考点梳理】
1．相等函数
两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等．
两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关，在对函数解析式进行化简变形时应注意定义域是否发生改变(即是否是等价变形).
2．分段函数
若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．
求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围．
3．复合函数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．
考点一 相等函数
【例题】（1）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
答案：C
【解析】对于A，∵，x，对应关系不同，∴不是同一函数；对于B，的定义域时，的定义域是，∴不是同一函数；对于C，两函数的定义域，对应法则相同，∴是同一函数；对于D，的定义域为，的定义域为，不是同一函数，故选：C．
（2）下列函数与是同一个函数的是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】的定义域为R，A. ，且定义域为R，故正确；B. ，故错误；C. ，故错误；D. ，故错误；故选：A.
（3）下列四组函数中，表示的是同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】A中，两函数定义域均为R；u＝|v|，故对应法则也相同，∴是同一函数；而B，C，D中两函数定义域均不同，∴不是同一函数.B中，y的定义域为R，s的定义域为[0，＋∞)；C中，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)；的定义域为R；D中，且，即定义域，
或，定义域为，故选：A.
（4）下列四组函数中，两个函数相同的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：D
【解析】选项A：的定义域为，和定义域不同，不是同一函数，故A错误；选项B：的定义域为，和定义域不同，不是同一函数，故B错误；选项C：的定义域为，和定义域不同，不是同一函数，故C错误；
选项D：的定义域为，和定义域相同，对应法则也一样，是同一函数，故D正确，故选：D.
【变式】（1）下列函数中与函数是同一个函数的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】对于A中，函数的定义为，因为函数的定义域为，所以两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B中，函数与函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数；对于C中，函数与函数的对应法则不同，不是同一函数；对于D中，函数的定义域为，因为函数的定义域为，所以两函数的定义域不同，不是同一函数，故选：B.
（2）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A．， B．，
C． ， D．，
答案：C
【解析】由题意得：对于选项A：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误；对于选项B：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误；对于选项C：的定义域为，的定义域为，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；对于选项D：的定义域为，的定义域为或，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误，故选：C.
（3）下面各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：B
【解析】对于A，的定义域为R，而的定义域为，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；对于B，两个函数的定义域都为R，定义域相同，，这两个函数是同一个函数；对于C，的定义域为，而的定义域是R，两个函数的定义城不相同，所以不是同一个函数；对于D，的定义域为，而的定义域是R，两个的数的定义域不相同，所以不是同一个函数，故选：B.
（4）下列函数中与函数是同一个函数的是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】对于选项，与函数的对应法则不一样，则错；对于选项,的定义域为，与函数的定义域不一样，则错；对于选项,，则正确；对于选项,的定义域为，与函数的定义域不一样，则错，故选:.
考点二 分段函数
【例题】（1）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】当时，，，故选：C.
（2）已知函数，则 ．
答案：
【解析】．故答案为：.
（3）已知函数 ，若，则（ ）
A．B．2或C．或2D．或
答案：C
【解析】当时，此时，即令，得 ，满足；当时，此时，即令，得 ，因为，所以，综上所述，或，故选：C.
（4）已知函数，则（ ）
A．0B．C．1D．2
答案：D
【解析】由题意得当时，函数的一个周期为4，所以，故选：D．
【变式】（1）已知函数，则的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：D
【解析】，故选：D.
（2）若，则 .
答案：
【解析】因为，所以，故答案为：.
（3）已知函数，则不等式的解集为 ．
答案：
【解析】由题意，得或，解得或，所以不等式的解集为，故答案为：．
（4）设函数，若，则（ ）
A．3B．4C．32D．33
答案：D
【解析】当时，，解得：，符合要求，当时，，故不可能等于5，综上：，故选：D.
考点三 复合函数
【例题】（1）已知函数则（ ）
A．B．3C．1D．19
答案：B
【解析】，故选：B.
（2）已知函数，则（ ）
A．2B．C．D．
答案：C
【解析】，故选：C.
（3）已知函数，则 .
答案：1
【解析】由题意可得，所以，故答案为：1.
（4）已知，，则 ， _.
答案：；.
【解析】由题意，函数，，则，，故答案为：；.
【变式】（1）已知函数，则（ ）
A．3B．2C．－3D．－2
答案：B
【解析】∵，∴，因此，，故选：B.
（2）已知函数，则（ ）
A．B．C．4D．
答案：C
【解析】，，故选：C.
（3）设函数，且，则（ ）
A．B．1C．D．3
答案：D
【解析】因为，所以，故选：D．
（4）已知是一次函数，，则（ ）
A．B．C．D．或
答案：D
【解析】由题意设，则，∴，解得或，∴或，故选：D.
【方法总结】
1.判断两个函数是否相等，即是否为同一函数，只须判断它们的定义域与对应关系是否完全相同即可，与表示函数自变量的字母和函数的字母无关；当两个函数的定义域与对应关系完全相同时，它们的值域也一定相同．
2.求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围．