【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测(讲+练+测)8.7抛物线(原卷版+解析)

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1．下列四个抛物线中，开口朝下且焦点到准线的距离为5的是（ ）
A．B．
C．D．
2．抛物线的准线方程是，则实数a的值（ ）
A．B．C．8D．-8
3．若抛物线（）上一点P（2，）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（ ）
A．y2=2xB．y2=4xC．y2=6xD．y2=8x
4．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）
A．B．C．D．
5．抛物线上一点的坐标为，则点到焦点的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则m的值为（ ）
A．4B．-4C．2D．-2
7．已知抛物线的焦点为，，是上一点，，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
8．已知为抛物线上一点，点到抛物线的焦点的距离为8，到轴的距离为6，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，直线与轴交于点，且，则点到准线的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．已知抛物线，，点在抛物线上，记点到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
二、填空题
11．抛物线的准线方程是 .
12．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则实数m的值为 ．
13．已知抛物线：经过点，则抛物线的准线方程是 .
14．若拋物线的焦点也是双曲线的焦点，则 .
15．设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是 ．
16．已知曲线：，焦点是F，P是抛物线上任意一点，则点P到焦点F和到点的距离之和的最小值是 .
17．设抛物线上一点到轴的距离是到焦点距离的一半，则抛物线的标准方程为 .
18．过点的直线与抛物线相交于，两点，，则直线的方程为 .
三、解答题
19．根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是；
（2）准线方程是.
20．已知点M与点的距离比它到直线的距离小2，求点M的轨迹方程．
21．若抛物线与椭圆有一个共同的焦点，求m的值．
22．已知抛物线的准线与x轴交于点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过点M的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程．
23.已知抛物线，其焦点到其准线的距离为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，
（1）求抛物线的方程及其焦点坐标；
（2）求.
24．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.
（1）求点的坐标和抛物线的准线方程；
（2）过点的直线与抛物线交于两个不同点，若的中点为，求的面积.
8.7 抛物线
一、选择题
1．下列四个抛物线中，开口朝下且焦点到准线的距离为5的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】抛物线的开口朝下，说明其焦点在轴的负半轴上，则其满足标准方程 ，又焦点到准线的距离，所以该抛物线的标准方程为，故选：B．
2．抛物线的准线方程是，则实数a的值（ ）
A．B．C．8D．-8
答案：A
【解析】由题意得：，解得：，故选：A．
3．若抛物线（）上一点P（2，）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（ ）
A．y2=2xB．y2=4xC．y2=6xD．y2=8x
答案：D
【解析】抛物线上一点到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4，∴，解得，∴抛物线的标准方程为，故选：D.
4．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】抛物线的焦点为， 双曲线的一条渐近线可设为，即，焦点到的距离为，故选：B.
5．抛物线上一点的坐标为，则点到焦点的距离为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】在抛物线上，，解得：，点到焦点的距离为，故选：B.
6．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则m的值为（ ）
A．4B．-4C．2D．-2
答案：B
【解析】由题可知抛物线焦点为，椭圆左焦点为，∴，故选：B.
7．已知抛物线的焦点为，，是上一点，，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
答案：A
【解析】由抛物线方程 ，得p=1，准线方程为，点A到焦点F的距离等于到准线的距离，即，解得，故选：A.
8．已知为抛物线上一点，点到抛物线的焦点的距离为8，到轴的距离为6，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：D
【解析】易知点A的横坐标为6，抛物线准线方程为：，由抛物线的定义可知：.
故选：D.
9．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，直线与轴交于点，且，则点到准线的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：B
【解析】如图，过点作轴的垂线，垂足为，由题知，即，因为，所以，所以，所以点到准线的距离为，故选：B.
10．已知抛物线，，点在抛物线上，记点到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
答案：D
【解析】由已知得抛物线的焦点为，准线方程为，设点到准线的距离为，则，则由抛物线的定义可知，∵，当点、、三点共线时等号成立，∴，故选：.
二、填空题
11．抛物线的准线方程是 .
答案：
【解析】抛物线为，则，解得：，准线方程为：，故答案为：．
12．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则实数m的值为 ．
答案：
【解析】由椭圆方程可知，，，则，即椭圆的右焦点的坐标为，抛物线的焦点坐标为，∵抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，∴，即，故答案为：．
13．已知抛物线：经过点，则抛物线的准线方程是 .
答案：
【解析】由题意得：抛物线：经过点，，解得，准线方程为，故答案为：．
14．若拋物线的焦点也是双曲线的焦点，则 .
答案：
【解析】因为拋物线的焦点为，且该点也是双曲线的焦点，所以，又因为，所以，故答案为：．
15．设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是 ．
答案：6
【解析】由，可得．已知抛物线方程可得其准线方程为，又由点到轴的距离为4，可得点的横坐标，由抛物线定义可知点到焦点的距离等于其到准线的距离，即，故答案为：6．
16．已知曲线：，焦点是F，P是抛物线上任意一点，则点P到焦点F和到点的距离之和的最小值是 .
答案：4
【解析】，焦点坐标为，由题意得：，故点到焦点和到点的距离之和的最小值是4，故答案为：4．
17．设抛物线上一点到轴的距离是到焦点距离的一半，则抛物线的标准方程为 .
答案：
【解析】由题意可得，解得，故该抛物线的标准方程为，故答案为：.
18．过点的直线与抛物线相交于，两点，，则直线的方程为 .
答案：
【解析】由题意知，抛物线的焦点坐标，又，所以点P为抛物线的焦点，设，由，由抛物线的定义得，解得，所以AB垂直与x轴，所以直线AB的方程为：，故答案为：．
三、解答题
19．根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是；
（2）准线方程是.
答案：（1）；（2）
【解析】解：（1）由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为，则，可得，所以，抛物线的标准方程为；
（2）由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为，则，可得，因此，抛物线的标准方程为．
20．已知点M与点的距离比它到直线的距离小2，求点M的轨迹方程．
答案：
【解析】解：由题意知动点到的距离比它到直线的距离小2，即动点到的距离与它到直线的距离相等，由抛物线定义可知动点的轨迹为以为焦点的抛物线，则点的轨迹方程为．
21．若抛物线与椭圆有一个共同的焦点，求m的值．
答案：
【解析】解：由得焦点，．
当焦点为时，抛物线开口向左，∴．∴；
当焦点为时，抛物线开口向右，∴．∴．
综上所述：．
22．已知抛物线的准线与x轴交于点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过点M的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程．
答案：（1）；（2）或
【解析】解：（1）的准线过，故，则，抛物线方程为
（2）设切线方程为，与抛物线方程联立有，，故，故直线l的方程为：或．
23.已知抛物线，其焦点到其准线的距离为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，
（1）求抛物线的方程及其焦点坐标；
（2）求.
答案：（1），焦点坐标为；（2）8.
【解析】解：（1）抛物线的焦点到其准线的距离为，得，所以抛物线的方程为，焦点坐标为.
（2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为，设，联立方程组消去可得，则，所以．
24．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.
（1）求点的坐标和抛物线的准线方程；
（2）过点的直线与抛物线交于两个不同点，若的中点为，求的面积.
答案：（1），；（2）
【解析】解：（1）∵在抛物线上，，∴点的坐标为，抛物线的准线方程为；
（2）设 的坐标分别为，则，，∴直线的方程为 ，点到直线的距离，．