高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)专题09空间向量与立体几何(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)专题09空间向量与立体几何(原卷版+解析)，共26页。试卷主要包含了(2023·安徽合肥·二模，(2023·江苏淮安·模拟）等内容，欢迎下载使用。

A．//B．
C．//平面D．平面
2．(2023·福建省福州第一中学三模）以下四组向量在同一平面的是（ ）
A．、、B．、、
C．、、D．、、
3．(2023·北京·101中学三模）如图，已知正方体的棱长为，是的中点，点在侧面（含边界）内，若，则面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·四川雅安·二模）如图，长方体中，点E，F分别是棱，上的动点（异于所在棱的端点）.给出以下结论：①在F运动的过程中，直线能与AE平行；②直线与EF必然异面；③设直线AE，AF分别与平面相交于点P，Q，则点可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
5．(2023·山东泰安·二模）已知A，B两点都在以PC为直径的球O的球面上，AB⊥BC，AB＝BC＝4，若球O的体积为，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
6．(2023·浙江嘉兴·模拟）如图，在矩形中，，E，F，G，H分别为边的中点，将分别沿直线翻折形成四棱锥，下列说法正确的是（ ）
A．异面直线所成角的取值范围是
B．异面直线所成角的取值范围是
C．异面直线所成角的取值范围是
D．异面直线所成角的取值范围是
7．(2023·安徽·合肥市第八中学模拟（理））平行六面体中，，则与底面所成的线面角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·安徽合肥·二模（文））在直三棱柱中，，，为该三棱柱表面上一动点，若，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．
C．D．
9．(2023·湖南·长郡中学模拟）（多选题）已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A．B．平面
C．与所成角的余弦值为D．动点P的轨迹长为
10．(2023·江苏淮安·模拟）（多选题）如图，已知正方体ABCD—的棱长为1，P为正方形底面ABCD内一动点，则下列结论正确的有（ ）
A．三棱锥-的体积为定值
B．存在点P，使得
C．若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹是线段AC
D．若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面α垂直于平面，则平面α截正方体的截面周长为3
11．(2023·江苏·苏州市第六中学校三模）（多选题）某酒店大堂的壁灯的外观是将两个正三棱锥的底面重合构成的一个六面体（如图），已知，现已知三棱锥的高大于三棱锥的高，则（ ）
A．∥平面
B．二面角的余弦值小于
C．该六面体存在外接球
D．该六面体存在内切球
12．(2023·山东师范大学附中模拟）（多选题）已知正方体棱长为2，P为空间中一点．下列论述正确的是（ ）
A．若，则异面直线BP与所成角的余弦值为
B．若，三棱锥的体积为定值
C．若，有且仅有一个点P，使得平面
D．若，则异面直线BP和所成角取值范围是
13．(2023·福建漳州·三模）已知正方体ABCD—的棱长为4，M在棱上，且1，则直线BM与平面所成角的正弦值为___________．
14．(2023·北京西城·一模）如图，在棱长为的正方体中，点为棱的中点，点为底面内一点，给出下列三个论断：
①；②；③.
以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________.
15．(2023·重庆八中模拟）如图所示，是棱长为的正方体，、分别是下底面的棱、的中点，是上底面的棱上的一点，，过、、的平面交上底面于，在上，则异面直线与所成角的余弦值为___________．
16．(2023·浙江·湖州市菱湖中学模拟）已知正四面体VABC的棱长为2，E，F分别是棱VA，BC的中点，则该正四面体外接球的表面积为___________．异面直线BE与VF所成角的余弦值为___________．
专题09 空间向量与立体几何
1．(2023·北京昌平·二模）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．//B．
C．//平面D．平面
答案：B
【解析】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
令，是底面的中心，分别是的中点，
则，，，
对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；对于B，因，则，即，B正确；对于C，设平面的法向量为，则，令，得，
，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.
故选：B
2．(2023·福建省福州第一中学三模）以下四组向量在同一平面的是（ ）
A．、、B．、、
C．、、D．、、
答案：B
【解析】对于A选项，设，所以，，无解；对于B选项，因为，故B选项中的三个向量共面；对于C选项，设，所以，，无解；对于D选项，设，所以，，矛盾.
故选：B.
3．(2023·北京·101中学三模）如图，已知正方体的棱长为，是的中点，点在侧面（含边界）内，若，则面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ，，，，
设 ，则 ，，
因为 ，
所以 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
当 时， 取最小值 ，
易知，
所以 的最小值为．
故选：D.
4．(2023·四川雅安·二模）如图，长方体中，点E，F分别是棱，上的动点（异于所在棱的端点）.给出以下结论：①在F运动的过程中，直线能与AE平行；②直线与EF必然异面；③设直线AE，AF分别与平面相交于点P，Q，则点可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
答案：B
【解析】长方体中，，连接，，当点E，F分别是棱，中点时，由勾股定理得：，故，同理可得：，故四边形是平行四边形，所以在F运动的过程中，直线能与AE平行，与EF相交，①正确，②错误；
以为坐标原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则当点E，F分别是棱，中点且长方体为正方体时，设棱长为2，则，，，则，，则，又两向量有公共点，所以三点共线，故则点可能在直线PQ上，③正确.
故选：B
5．(2023·山东泰安·二模）已知A，B两点都在以PC为直径的球O的球面上，AB⊥BC，AB＝BC＝4，若球O的体积为，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
如图，取中点，连接，由可得是的外心，则平面，又，，
由得，即，又，，分别是中点，
，，以为轴建立空间直角坐标系，
则，与平行的向量，
，故异面直线PB与AC所成角的余弦值为.
故选：A.
6．(2023·浙江嘉兴·模拟）如图，在矩形中，，E，F，G，H分别为边的中点，将分别沿直线翻折形成四棱锥，下列说法正确的是（ ）
A．异面直线所成角的取值范围是
B．异面直线所成角的取值范围是
C．异面直线所成角的取值范围是
D．异面直线所成角的取值范围是
答案：C
【解析】解：建立如图所示空间直角坐标系，由题意得，
和在平面中的投影分别在和上（如下图所示），
因为，令，则，
由比值可知，的x，y，z坐标比值为，所以令坐标为，
因为在平面中的投影在上，所以，
同理可得坐标为，
，
则，
解得，因为和的范围均为，
所以，即夹角范围是，故A，B错误；同理可得，因为异面直线所成角范围是，则夹角范围是．即C正确，D错误；故选：C．
7．(2023·安徽·合肥市第八中学模拟（理））平行六面体中，，则与底面所成的线面角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】解：如图所示，连接，相交于点，连接．
平行六面体中，且，
不妨令
，，都是等边三角形．
是等边三角形．
，，，平面
平面，平面，
平面平面，
是与底面所成角．
因为，，所以．
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
其中的坐标计算如下，过 作交于点，
因为，，所以，
所以，，
因为
所以，所以，
显然平面的法向量为，
设与底面所成的角为，则
故选：A
8．(2023·安徽合肥·二模（文））在直三棱柱中，，，为该三棱柱表面上一动点，若，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】因为，，所以可将直三棱柱补形为边长为2的正方体，取的中点E，F，G，H，K，L按顺序连接.，，如图所示，
正方体中，，，
所以面，
所以，因为，所以.
同理可得，
因为，所以面，其中为正六边形.
因为E，G，H，L为的中点，所以M，N为的四等分点，
根据正方体对称性，知O为MN中点也是BC中点，因为，所以点P在过点O垂直于BC的平面内，即点P在面内.
又因为点P在三棱柱表面上，所以P点的轨迹为五边形MNEFG，
，由正六边形及正方体对称性可知
，
故点P的轨迹长度为，
故选：B
9．(2023·湖南·长郡中学模拟）（多选题）已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A．B．平面
C．与所成角的余弦值为D．动点P的轨迹长为
答案：BCD
【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则，
所以，
由平面，得，即，
化简可得：，
所以动点P在直线上，
对于选项A：，所以与不垂直，所以A选项错误；对于选项B：平面平面，所以平面，B选项正确；对于选项C：，C选项正确；对于选项D：动点P在直线上，且P为侧面上的动点，则P在线段上，，所以，D选项正确；故选：BCD.
10．(2023·江苏淮安·模拟）（多选题）如图，已知正方体ABCD—的棱长为1，P为正方形底面ABCD内一动点，则下列结论正确的有（ ）
A．三棱锥-的体积为定值
B．存在点P，使得
C．若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹是线段AC
D．若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面α垂直于平面，则平面α截正方体的截面周长为3
答案：ACD
【解析】对于A，P为正方形底面ABCD时，三棱锥的高不变，底面积也不变，所以体积为定值，所以A正确；对于B，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，；若，则，即，与题意矛盾，所以B不正确；对于C，，由得，所以的轨迹就是线段，所以C正确；对于D，因为，所以平面；因为平面平面，所以平面；以为参照线作出平面与正方体各个侧面的交线，如图，易知每个侧面的交线均相等，长度为，所以截面周长为，所以D正确.
故选：ACD.
11．(2023·江苏·苏州市第六中学校三模）（多选题）某酒店大堂的壁灯的外观是将两个正三棱锥的底面重合构成的一个六面体（如图），已知，现已知三棱锥的高大于三棱锥的高，则（ ）
A．∥平面
B．二面角的余弦值小于
C．该六面体存在外接球
D．该六面体存在内切球
答案：BD
【解析】连接AE交平面BCD于F.延长DF交BC于H.
因为该几何体为两个正三棱锥的底面重合构成的一个六面体，且，
所以为边长为1的正三角形，且F为的中心，且面,面.
所以,.
以H为原点，为x轴正方向，为y轴正方向，过H作Hz平行AF，为z轴建立空间直角坐标系,则，，，，，（）.所以,,.
对于A：设为面的一个法向量，则，不妨令y=1，则.
假设∥平面，则有，解得：.
这与相矛盾，所以∥平面不成立.故A错误；对于B：因为面,所以.
在正三角形中，.
又,所以面,所以,.所以为二面角的平面角.
在EF上取点G，使.连接BG、CG、DG、HG.
则几何体G-BCD为正三棱锥，且与正三棱锥A-BCD全等.
所以,.
由余弦定理得：.
如图示：因为,所以.
即二面角的余弦值小于.
故B正确；对于C：假设该六面体存在外接球，设其球心为O.则球O必经过ABCD,所以球O为正三棱锥A-BCD的外接球，设球O的半径为R.
由得：.
因为,,所以，解得：.
设球O的与AE的另一个交点为M，则,所以
而,所以球O不能经过点E.
即该六面体不存在外接球.故C错误；对于D：由于该六面体是将两个正三棱锥的底面重合构成的，所以存在球Q与六面体均相切，设内切球的半径为r.设.由等体积法可得：
.
而，
可求出.
故该六面体存在内切球.故D正确.
故选：BD
12．(2023·山东师范大学附中模拟）（多选题）已知正方体棱长为2，P为空间中一点．下列论述正确的是（ ）
A．若，则异面直线BP与所成角的余弦值为
B．若，三棱锥的体积为定值
C．若，有且仅有一个点P，使得平面
D．若，则异面直线BP和所成角取值范围是
答案：ABD
【解析】选项A：由题，如下图，P为中点，取的中点O，连接，则，所以或其补角即为异面直线与所成的角，易得，所以，A正确；
选项B：由条件，可知P点的轨迹为线段，因为，故P到平面的距离为定值，且三角形面积为定值，故三棱锥体积为定值．故选项B正确．
选项C：由可知点P在线段上（E、F分别为、中点），因为平面，所以平面即为平面，点P即为平面与直线交点，此交点在延长线上，故选项C错误．
选项D：由可知点P的轨迹为线段．建系如图，得，设，则，所以，令，
当，即时，，此时直线和所成角是；当，即时，则，令，，所以当，即时，取最大值为，直线和所成角的最小值为，故选项D正确．
故选：ABD.
13．(2023·福建漳州·三模）已知正方体ABCD—的棱长为4，M在棱上，且1，则直线BM与平面所成角的正弦值为___________．
答案：
【解析】如图所示，以为原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，
所以有，，，，，，
则，，，
设平面的法向量，则由
，令，得，
设直线BM与平面所成角为，则
，
故答案为：.
14．(2023·北京西城·一模）如图，在棱长为的正方体中，点为棱的中点，点为底面内一点，给出下列三个论断：
①；②；③.
以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________.
答案：若，则；若，则.
【解析】如图,建立空间直角坐标系
则
设,则
而
所以以其中的一个论断作为条件,另一个论断作为结论,可以写出两个正确的命题:
若,则
若,则
答案任填其中一个即可
故答案为:若,则(若,则)
15．(2023·重庆八中模拟）如图所示，是棱长为的正方体，、分别是下底面的棱、的中点，是上底面的棱上的一点，，过、、的平面交上底面于，在上，则异面直线与所成角的余弦值为___________．
答案：
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，，
设点，，，
因为，所以，，即点，
，，
所以，.
因此，异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
16．(2023·浙江·湖州市菱湖中学模拟）已知正四面体VABC的棱长为2，E，F分别是棱VA，BC的中点，则该正四面体外接球的表面积为___________．异面直线BE与VF所成角的余弦值为___________．
答案：
【解析】解：将正四面体补成一个正方体，
因为正四面体的棱长为，则正方体的棱长为，
所以正方体的体对角线长为，
正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，
外接球的表面积为．
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为；
故答案为：；；