高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)专题12数列(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)专题12数列(原卷版+解析)，共18页。试卷主要包含了(2023·云南师大附中模拟等内容，欢迎下载使用。
A．10B．14C．23D．26
2．(2023·辽宁实验中学模拟）已知数列是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·陕西·西北工业大学附属中学模拟（理））已知数列满足，且，，则（ ）
A．2021B．C．D．
4．(2023·上海交大附中模拟）设等差数列，首项．设实系数一元二次方程的两根为．若存在唯一的，使得，则公差的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·安徽·合肥市第八中学模拟（文））已知数列{}满足，，则数列{}第2022项为（ ）
A．B．
C．D．
6．(2023·北京八十中模拟）数学源于生活，数学在生活中无处不在!学习数学就是要学会用数学的眼光看现实世界!1906年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做法如下：从一个边长为2的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边，分别向外作正三角形，再去掉底边（如图①､②､③等）.反复进行这一过程，就得到雪花曲线.
不妨记第个图中的图形的周长为，则（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·浙江湖州·模拟）已知数列的各项都是正数，．记，数列的前n项和为，给出下列四个命题：
①若数列各项单调递增，则首项
②若数列各项单调递减，则首项
③若数列各项单调递增，当时，
④若数列各项单调递增，当时，，
则以下说法正确的个数（ ）
A．4B．3C．2D．1
8．(2023·浙江温州·二模）对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，恒有，则称数列有界；若这样的正数不存在，则称数列无界，已知数列满足：，，记数列的前项和为，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，数列有界B．当时，数列有界
C．当时，数列有界D．当时，数列有界
9．(2023·江苏·阜宁县东沟中学模拟）（多选题）在平面四边形中，的面积是面积的2倍，又数列满足，当时，恒有，设的前项和为，则（ ）
A．为等比数列B．为递减数列
C．为等差数列D．
10．(2023·福建·三明一中模拟）（多选题）已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．第5次取出的球是红球的概率为D．前3次取球恰有2次取到红球的概率是
11．(2023·江苏·华罗庚中学三模）（多选题）是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则（ ）
A．当时，B．当时，
C．D．
12．(2023·江苏·盐城中学模拟）（多选题）设，正项数列满足，下列说法正确的有（ ）
A． 为中的最小项
B．为中的最大项
C．存在，使得成等差数列
D．存在，使得成等差数列
13．(2023·上海徐汇·三模）设是直线与圆在第一象限的交点，则___________.
14．(2023·广东·模拟）已知函数满足时，，．若函数的图像与x轴恰好有个不同的交点，则_________．
15．(2023·上海长宁·二模）已知数列满足：对任意，都有，． 设数列的前项和为，若，则的最大值为__________．
16．(2023·福建·莆田二中模拟）已知数列满足：，，且，，其中.则___________，若，则使得成立的最小正整数为___________.
专题12 数列
1．(2023·云南师大附中模拟（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ）
A．10B．14C．23D．26
答案：D
【解析】解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列．
由题意可知，等差数列中，前5项和为100，
设公差为，前项和为，
则，解得，
所以，
所以公士出的钱数为，
故选：D．
2．(2023·辽宁实验中学模拟）已知数列是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设等差数列的公差为，所以，所以，
，又、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，
即，，构成等比数列，所以，
解得，（舍去），所以.
故选：A.
3．(2023·陕西·西北工业大学附属中学模拟（理））已知数列满足，且，，则（ ）
A．2021B．C．D．
答案：B
【解析】∵，即，则
∴数列是以首项，公差的等差数列
则，即
∴
则
故选：B．
4．(2023·上海交大附中模拟）设等差数列，首项．设实系数一元二次方程的两根为．若存在唯一的，使得，则公差的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】已知方程为一元二次方程，则．
首先计算方程的根的判别式，并进行分类讨论．
第一种情况，若，即，则，
解得．
第二种情况，若，即，则，
解得，故综合上述两种情况，才能满足不等式成立．
而．
若，则均符合要求；
若，则仅有符合要求；
若，则均符合要求；
若则没有符合要求的项；
故选：B
5．(2023·安徽·合肥市第八中学模拟（文））已知数列{}满足，，则数列{}第2022项为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】解：由.得，
又，可得
所以，，，……，
，将上式相加得
，
故选：A.
6．(2023·北京八十中模拟）数学源于生活，数学在生活中无处不在!学习数学就是要学会用数学的眼光看现实世界!1906年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做法如下：从一个边长为2的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边，分别向外作正三角形，再去掉底边（如图①､②､③等）.反复进行这一过程，就得到雪花曲线.
不妨记第个图中的图形的周长为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由图知：第一个图有3条边，各边长为2，故周长；
第二个图有12条边，各边长为，故周长；
第三个图有48条边，各边长为，故周长；
……
所以边的条数是首项为3，公比为4的等比数列，则第n个图的边有条，
边长是首项为2，公比为的等比数列，则第n个图的边长为，
故.
故选：C
7．(2023·浙江湖州·模拟）已知数列的各项都是正数，．记，数列的前n项和为，给出下列四个命题：
①若数列各项单调递增，则首项
②若数列各项单调递减，则首项
③若数列各项单调递增，当时，
④若数列各项单调递增，当时，，
则以下说法正确的个数（ ）
A．4B．3C．2D．1
答案：B
【解析】对于①，由题意，正数数列是单调递增数列，且，
∴，解得，∴．
∴．∵，∴．则①成立，
对于②，由题意，正数数列是单调递减数列，且，
∴，解得，∴．
∴．故②成立.
又由，可得：．
∴．∵，
∴
．
对于③，当时，因为，所以，∴，则，故③不成立；
对于④，当时，因为，∴，即，
∴．则，故④成立.
故选：B
8．(2023·浙江温州·二模）对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，恒有，则称数列有界；若这样的正数不存在，则称数列无界，已知数列满足：，，记数列的前项和为，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，数列有界B．当时，数列有界
C．当时，数列有界D．当时，数列有界
答案：B
【解析】当时，
令，则，
当 时，，故 ，
因为，则，
所以 ，（这是因为），
令 ，则，
故时单调递增函数，
故，则，
假设 ，则，
故由归纳法可得成立，所以 ，
故数列无界，故A错；
又由，
设
则 ，
故递减，则，
所以 ，则 ，
则 ，
故 ，则，
故 ，
即当时，数列有界，故B正确
当 时，，由， ，
假设 ，则 ，即成立，
所以此时 都无界，故C,D错误；
9．(2023·江苏·阜宁县东沟中学模拟）（多选题）在平面四边形中，的面积是面积的2倍，又数列满足，当时，恒有，设的前项和为，则（ ）
A．为等比数列B．为递减数列
C．为等差数列D．
答案：BD
【解析】如图，连交于，
则，即，
所以，所以，
所以，
设，
因为当时，恒有，
所以，
，所以当时，恒有，
所以，即，又，所以，
所以，所以，
因为不是常数，所以不为等比数列，故A不正确；
因为，即，所以为递减数列，故B正确；
因为不是常数，所以不为等差数列，故C不正确；
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，故D正确.
故选：BD
10．(2023·福建·三明一中模拟）（多选题）已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．第5次取出的球是红球的概率为D．前3次取球恰有2次取到红球的概率是
答案：AC
【解析】依题意，
设第次取出球是红球的概率为，则白球概率为，
对于第次，取出红球有两种情况．
①从红箱取出的概率为，②从白箱取出的概率为，
对应，即，故B错误；
所以，
令，则数列为等比数列，公比为，因为，所以，
故，所以，故选项A，C正确；
第1次取出球是红球的概率为，第2次取出球是红球的概率为，
第3次取出球是红球的概率为，
前3次取球恰有2次取到红球的概率是，
故D错误；故选：AC．
11．(2023·江苏·华罗庚中学三模）（多选题）是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则（ ）
A．当时，B．当时，
C．D．
答案：AD
【解析】因为是奇函数,是偶函数,则有，解得.
对于A：任取，则，所以.故A正确；
对于B：任取，则，所以.故B错误；
对于C:当x∈(2,3)时,有x-1∈(1,2),x-2∈(0,1).所以，则有，，故.故C错误;
对于D：由C的结论, ，则.故D正确.
故选：AD
12．(2023·江苏·盐城中学模拟）（多选题）设，正项数列满足，下列说法正确的有（ ）
A． 为中的最小项
B．为中的最大项
C．存在，使得成等差数列
D．存在，使得成等差数列
答案：AB
【解析】解：由可得
令，
当递增；
当递减
且
是最小的项；
所以A正确
令
在区间内递减，即；即
即，
所以，综上所述，是最大的项，所以B正确，
由于 是最小的项，是最大的项，则不可能使得成等差数列，故C错误；
因为，所以，则，
，所以不存在成等差数列，故D错误
故选：AB
13．(2023·上海徐汇·三模）设是直线与圆在第一象限的交点，则___________.
答案：
【解析】联立，解得，
因为，当时，直线趋近于直线，
此时，直线与圆在第一象限的交点趋近于点，
而可视为点与点连线的斜率，
当时，的值会无限趋近于点与点连线的斜率，
故.
故答案为：.
14．(2023·广东·模拟）已知函数满足时，，．若函数的图像与x轴恰好有个不同的交点，则_________．
答案：
【解析】∵，∴，所以函数周期为4，
当时，，即；
当时，，函数周期为4，
令，
即与函数恰有个不同的交点，
根据图象知，直线与第个半圆相切，
故，
故，
所以．
故答案为：.
15．(2023·上海长宁·二模）已知数列满足：对任意，都有，． 设数列的前项和为，若，则的最大值为__________．
答案：
【解析】假设中存在相邻两项 为非负数，则，
若，则，与条件矛盾；
若，则，与条件矛盾，
故中不可能存在相邻两项为非负数，
当时，则，则根据得,
故，
当时，则，则根据得,
故，
所以总成立，
又当n为奇数时， ，所以的奇偶性不同，则，
当n为偶数时，，
故当k为奇数时, ,
此时考查数列：符合题意，
此时的最大值为0；
故当k为偶数时, ,
此时考查数列：符合题意，
此时的最大值为 ，故的最大值为 ，
故答案为：
16．(2023·福建·莆田二中模拟）已知数列满足：，，且，，其中.则___________，若，则使得成立的最小正整数为___________.
答案：
【解析】，，
，又，，
；
可猜想：；
当时，成立；
假设当时，成立，
那么当时，，，，
；
综上所述：当时，；，
，
解得：，使得成立的最小正整数为.
故答案为：；.