高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第16练平面向量的概念和运算(原卷版+解析)

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1．(2023·海南·嘉积中学模拟）平面向量满足，且，则（ ）
A．B．13C．D．21
2．(2023·广东·一模）若向量，满足，，，则（ ）
A．B．2C．2D．4
3．(2023·山东烟台·一模）若非零向量，满足，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·辽宁·东北育才学校模拟）已知单位向量满足则=（ ）
A．B．C．D．2
5．(2023·海南海口·二模）已知向量，的夹角为45°，，且，若，则______．
6．(2023·广东北江实验学校模拟）已知，与的夹角为，则向量在向量方向上的投影是________．
7．(2023·湖北·孝昌县第一高级中学三模）已知，，均为单位向量，且，则与夹角的余弦值为______．
1．(2023·北京·北师大二附中三模）设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．(2023·辽宁·大连市一0三中学模拟）已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
3．(2023·山东潍坊·模拟）定义：，其中为向量与的夹角．若，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟）已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．3
5．(2023·北京市大兴区兴华中学三模）已知为单位向量，向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·上海市七宝中学模拟）设点O在的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且，则___________
7．(2023·上海虹口·二模）已知向量，满足，，，则_________.
8．(2023·浙江绍兴·模拟）已知是圆心为O，半径为R的圆的内接三角形，M是圆O上一点，G是的重心．若，则___________．
9．(2023·福建省福州第一中学三模）过点的直线与交于A，B两点，当M为线段中点时，___________.
1．(2023·江苏淮安·模拟）已知，在上的投影为1，则在上的投影为（ ）
A．-1B．2C．3D．
2．(2023·湖南师大附中三模）艺术家们常用正多边形来设计漂亮的图案，我国国旗上五颗耀眼的正五角星就是源于正五边形，正五角星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接，并去掉正五边形的边后得到的图形，它的中心就是这个正五边形的中心.如图，设O是正五边形ABCDE的中心，则下列关系错误的是（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023·海南华侨中学模拟）已知不共线的平面向量两两所成的角相等，且，则（ ）
A．B．2C．3D．2或3
4．(2023·江苏泰州·模拟）若向量，互相垂直，且满足，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．
5．(2023·辽宁实验中学模拟）已知平面向量，且，满足，若﹐则可能的取值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
6．(2023·湖北·黄冈中学模拟）已知是半径为2的圆O的内接三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．若角，则
B．若，则
C．若，则，的夹角为
D．若，则为圆O的一条直径
7．(2023·广东·三模）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC､BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为定值
C．的取值范围是[-2，0]D．当时，为定值
8．(2023·山东师范大学附中模拟）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________.
9．(2023·浙江·镇海中学模拟）如图，已知点O，A，B，C（顺时针排列）在半径为2的圆E上，将顺时针旋转，得到，则的最大值为_________．
10．(2023·天津河西·一模）如图，△是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，那么______；点M为线段CE上的动点，则的最小值为______．
专题05 平面向量及其应用
第16练 平面向量的概念和运算
1．(2023·海南·嘉积中学模拟）平面向量满足，且，则（ ）
A．B．13C．D．21
答案：A
【解析】由得：，所以，其中，故.
故选：A
2．(2023·广东·一模）若向量，满足，，，则（ ）
A．B．2C．2D．4
答案：B
【解析】由题意可得.
故选：B.
3．(2023·山东烟台·一模）若非零向量，满足，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由，可得
则，则
又，则
故选：B
4．(2023·辽宁·东北育才学校模拟）已知单位向量满足则=（ ）
A．B．C．D．2
答案：C
【解析】由题意，单位向量，即，
又由，解得.
故选：C.
5．(2023·海南海口·二模）已知向量，的夹角为45°，，且，若，则______．
答案：-2
【解析】因为得，
又因为，
所以，所以．
故答案为：-2.
6．(2023·广东北江实验学校模拟）已知，与的夹角为，则向量在向量方向上的投影是________．
答案：
【解析】由数量积的几何意义可知，向量在向量方向上的投影为
.
故答案为：
7．(2023·湖北·孝昌县第一高级中学三模）已知，，均为单位向量，且，则与夹角的余弦值为______．
答案：
【解析】解：由题意得：

，即
，，均为单位向量
，即
故答案为：
1．(2023·北京·北师大二附中三模）设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：C
【解析】∵A､B､C三点不共线,∴
|+|>|||+|>|-|
|+|2>|-|2•>0与
的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C.
2．(2023·辽宁·大连市一0三中学模拟）已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
答案：C
【解析】解：因为，为单位向量，所以，
又，所以，即，
所以，即，所以，
所以，因为，所以；
故选：C
3．(2023·山东潍坊·模拟）定义：，其中为向量与的夹角．若，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】，，又，，
.
故选：D.
4．(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟）已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．3
答案：C
【解析】解：因为，，且与的夹角为，
所以，
，
故选：C
5．(2023·北京市大兴区兴华中学三模）已知为单位向量，向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为为单位向量，向量，且，
所以，
，
所以，
因为，
所以，
故选：B
6．(2023·上海市七宝中学模拟）设点O在的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且，则___________
答案：2
【解析】∵点D，E分别为边AC，BC的中点，∴，，
∴．
故答案为：2．
7．(2023·上海虹口·二模）已知向量，满足，，，则_________.
答案：
【解析】由可得，，即，解得：，所以．
故答案为：．
8．(2023·浙江绍兴·模拟）已知是圆心为O，半径为R的圆的内接三角形，M是圆O上一点，G是的重心．若，则___________．
答案：
【解析】∵，则
∵，则
∴
同理可得：，
∴
∵G是的重心，则即
∴
故答案为：．
9．(2023·福建省福州第一中学三模）过点的直线与交于A，B两点，当M为线段中点时，___________.
答案：-8
【解析】解：因为点在内，
所以当M为线段中点时，，
又因为的半径为4,＝,
所以，
所以，
所以，＝.
故答案为：-8.
1．(2023·江苏淮安·模拟）已知，在上的投影为1，则在上的投影为（ ）
A．-1B．2C．3D．
答案：C
【解析】在上的投影为，即，
在上的投影为，
故选：C
2．(2023·湖南师大附中三模）艺术家们常用正多边形来设计漂亮的图案，我国国旗上五颗耀眼的正五角星就是源于正五边形，正五角星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接，并去掉正五边形的边后得到的图形，它的中心就是这个正五边形的中心.如图，设O是正五边形ABCDE的中心，则下列关系错误的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】对于A，，故A正确，
对于B：因为，，所以，故B正确，
对于C：由题意是的外心，不是的重心
设中点为，则，
，故C错误，
对于D：，故D正确．
故选：C
3．(2023·海南华侨中学模拟）已知不共线的平面向量两两所成的角相等，且，则（ ）
A．B．2C．3D．2或3
答案：D
【解析】由不共线的平面向量，，两两所成的角相等，可设为θ，则.设||=m.
因为，所以，
即，
所以
即，解得：或3.
所以||=2或3
故选：D
4．(2023·江苏泰州·模拟）若向量，互相垂直，且满足，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．
答案：B
【解析】由题设，且，
∴，而，当时等号成立，
∴.
故选：B．
5．(2023·辽宁实验中学模拟）已知平面向量，且，满足，若﹐则可能的取值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
答案：CD
【解析】因为，且，所以不妨设，，如图，设．
因为， 则点在轴负半轴或射线上（不含原点），，，
显然当在在轴负半轴的点时，，不满足，
因此满足的点在射线上（不含原点），
由得，
即，所以，，
只有CD满足．
故选：CD．
6．(2023·湖北·黄冈中学模拟）已知是半径为2的圆O的内接三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．若角，则
B．若，则
C．若，则，的夹角为
D．若，则为圆O的一条直径
答案：BC
【解析】对于A，作OD垂直于AB.垂足为D，则 ,
由正弦定理得 ，
故,故A错误；
对于B,由得，，
即,则点O为BC的中点，即BC为圆的直径，故，B正确；
对于C，设，的夹角为 ，
由得，，即 ，
解得 或，
由于，故，故，
则，的夹角为，C正确；
对于D,由 得，
即，则为圆O的一条直径，D错误，
故选:BC
7．(2023·广东·三模）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC､BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为定值
C．的取值范围是[-2，0]D．当时，为定值
答案：ABD
【解析】如图，连接，设的中点为，连接，则.
故，故A正确；
如图，设直线PO与圆O交于E，F，
则
，故B正确；
取AC的中点M，连接OM，
则
，
而，故的取值范围是，故C错误；
当时，
，
故D正确.
故选：ABD.
8．(2023·山东师范大学附中模拟）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________.
答案：
【解析】如下图所示：
设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径，
，
当为正方形的某边的中点时，，
当与正方形的顶点重合时，，即，
因此，.
故答案为：.
9．(2023·浙江·镇海中学模拟）如图，已知点O，A，B，C（顺时针排列）在半径为2的圆E上，将顺时针旋转，得到，则的最大值为_________．
答案：16
【解析】如图，作于G，于H，
由题可得，
∴
．当且仅当且时等号成立，
故答案为：16．
10．(2023·天津河西·一模）如图，△是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，那么______；点M为线段CE上的动点，则的最小值为______．
答案：
【解析】由题设，且，，
所以
；
由题设，则，
若，则且，
所以，
当时，的最小值为.
故答案为：，