高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第24练空间直线、平面的平行与垂直(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第24练空间直线、平面的平行与垂直(原卷版+解析)，共25页。试卷主要包含了(2023·山西·一模等内容，欢迎下载使用。


1．(2023·浙江浙江·二模）已知直线平面，点平面，且P不在l上，那么过点且平行于直线的直线（ ）
A．有无数条，仅有一条在平面内B．只有一条，且不在平面内
C．有无数条，均不在平面内D．只有一条，且在平面内
2．(2023·浙江杭州·二模）设为两个不同的平面，则的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行B．垂直于同一平面
C．平行于同一条直线D．内的任何直线都与平行
3．(2023·广东·模拟）在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
4．(2023·山西·一模（文））如图，正方体中，若，，分别是棱，，的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面平面
5．(2023·广东·深圳市光明区高级中学模拟）如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
6．(2023·河南·宝丰县第一高级中学模拟（文））在矩形ABCD中，，点E为CD的中点（如图1），沿AE将△折起到△处，使得平面平面ABCE（如图2），则直线PC与平面ABCE所成角的正切值为___________.
1．(2023·湖北省仙桃中学模拟）已知平面，，，直线，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
2．(2023·广东·普宁市华侨中学二模）如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形且，则在下列说法中，错误的为（ ）
A．B．截面PQMN
C．D．异面直线PM与BD所成的角为45°
3．(2023·浙江湖州·模拟）如图，已知四边形，是以为斜边的等腰直角三角形，为等边三角形，，将沿对角线翻折到在翻折的过程中，下列结论中不正确的是（ ）
A．B．与可能垂直
C．直线与平面所成角的最大值是D．四面体的体积的最大是
4．(2023·山东师范大学附中模拟）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点，满足面ABC，，若，则该“鞠”的体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·江苏淮安·模拟）周总理纪念馆是由正方体和正四棱锥组合体建筑设计，如图所示，若该组合体接于半径R的球O（即所有顶点都在球上），记正四棱锥侧面与正方体底面所成二面角为，则_________．
6．(2023·海南·模拟）如图，在长方体中，，，，则点到平面的距离为______.
7．(2023·江西省丰城中学模拟（文））在三棱锥中，底面为直角三角形，且斜边上的高为，三棱锥的外接球的直径为.若该外接球的表面积为则当三棱锥的体积最大时，的外接圆半径为_______________________．
8．(2023·广西桂林·二模（理））在三棱锥ABCD中，对棱，当平面α与三棱锥ABCD的某组对棱均平行时，则三棱锥ABCD被平面α所截得的截面面积最大值为___________.
1．(2023·广东广州·三模）一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形为正方形，分别为的中点，在此几何体中，下面结论错误的是（ ）
A．直线与直线异面B．直线与直线异面
C．直线平面D．直线平面
2．(2023·北京四中三模）如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，则下列说法不正确的是（ ）
A．与不可能平行B．与是异面直线
C．点的轨迹是一条线段D．三棱锥的体积为定值
3．(2023·浙江绍兴·模拟）正方体中，O为正方体的中心，P为正方体表面上的一个动点，若直线与平面、平面所成的角都是，则这样的点P的个数为（ ）
A．4B．6C．8D．无数个
4．(2023·广东·模拟）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·山东青岛·二模）已知正方体，动点P在线段BD上，则下述正确的是（ ）
A．B．
C．平面D．平面
6．(2023·湖北·模拟）棱长为1的正方体中，P、Q分别在棱BC、上，，，，且，过A、P、Q三点的平面截正方体得到截面多边形，则（ ）
A．时，截面一定为等腰梯形B．时，截面一定为矩形且面积最大值为
C．存在x，y使截面为六边形D．存在x，y使与截面平行
7．(2023·福建省厦门集美中学模拟）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，它是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（ ）
A．AB与平面BCD所成的角为B．
C．与AB所成的角是的棱共有16条D．该半正多面体的外接球的表面积为
8．(2023·重庆·一模）如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不包含端点）上运动，则下列结论正确的是______.（填序号）
①正方体的外接球表面积为；②异面直线与所成角的取值范围是；③直线平面；④三棱锥的体积随着点的运动而变化.
9．(2023·河北保定·一模）在如图直四棱柱中，底面为菱形，，，点为棱的中点，若为菱形内一点（不包含边界），满足平面，设直线与直线所成角为，则的最小值为______.
10．(2023·江苏扬州·模拟）在三棱锥中，平面为三棱锥外接球球面上一动点，则点到平面的距离的最大值为__________.
专题07 立体几何初步
第24练 空间直线、平面的平行与垂直
1．(2023·浙江浙江·二模）已知直线平面，点平面，且P不在l上，那么过点且平行于直线的直线（ ）
A．有无数条，仅有一条在平面内B．只有一条，且不在平面内
C．有无数条，均不在平面内D．只有一条，且在平面内
答案：D
【解析】过直线与点的平面有且只有一个,记该平面为.
又因直线平面，点平面
所以过点且平行于直线的直线只有一条，且这条线为平面与平面的相交线.
故选：D.
2．(2023·浙江杭州·二模）设为两个不同的平面，则的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行B．垂直于同一平面
C．平行于同一条直线D．内的任何直线都与平行
答案：D
【解析】A选项，内有无数条直线与平行，与可能相交，A选项错误.
B选项，垂直于同一平面，与可能相交，B选项错误.
C选项，平行于同一条直线，与可能相交，C选项错误.
D选项，内的任何直线都与平行，则，D选项正确.
故选：D
3．(2023·广东·模拟）在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
答案：A
【解析】设正方体的棱长为，连接，，，
因为，故或其补角为直线与直线所成角.
而，，，
故，所以，
所以，因为为锐角，故，
故选：A.
4．(2023·山西·一模（文））如图，正方体中，若，，分别是棱，，的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面平面
答案：C
【解析】由为正方体，且，分别是棱，的中点，则，则平面即为平面，
A选项，如图连接，由正方体可知，又不成立，所以不成立，即A选项错误；
B选项，由平面，故与平面不平行，B选项错误；
C选项，连接，则，又平面，，所以平面，C选项正确；
D选项，平面与平面有公共点，故D选项错误；
故选：C.
5．(2023·广东·深圳市光明区高级中学模拟）如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
答案：
【解析】∵MN//平面ABCD，平面PMNQ∩平面ABCD＝PQ，MN⊂平面PQNM，
∴MN//PQ，易知DP＝DQ＝，
故PQ＝.
故答案为：
6．(2023·河南·宝丰县第一高级中学模拟（文））在矩形ABCD中，，点E为CD的中点（如图1），沿AE将△折起到△处，使得平面平面ABCE（如图2），则直线PC与平面ABCE所成角的正切值为___________.
答案：
【解析】取的中点，连接，，
∵且为的中点，∴，
又∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
则直线PC与平面ABCE所成角为
，
即，
所以.
故答案为：．
1．(2023·湖北省仙桃中学模拟）已知平面，，，直线，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
答案：C
【解析】若，，，则与平行或相交，故A错误；
若，，则或，故B错误；
若，，，由面面平行与线面垂直的性质定理可得，，故C正确；
若，，，则与平行或相交，故D错误.
故选：C.
2．(2023·广东·普宁市华侨中学二模）如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形且，则在下列说法中，错误的为（ ）
A．B．截面PQMN
C．D．异面直线PM与BD所成的角为45°
答案：C
【解析】A：由题设，易知，又，，即有，正确；
B：由，截面PQMN，截面PQMN，则截面PQMN，正确；
C：仅当为中点时，故错误；
D：由A知：异面直线PM与BD所成的角为，正确.
故选：C
3．(2023·浙江湖州·模拟）如图，已知四边形，是以为斜边的等腰直角三角形，为等边三角形，，将沿对角线翻折到在翻折的过程中，下列结论中不正确的是（ ）
A．B．与可能垂直
C．直线与平面所成角的最大值是D．四面体的体积的最大是
答案：C
【解析】如图所示，取的中点，连接
是以为斜边的等腰直角三角形,
为等边三角形,
面 , ,故A正确
对于B，假设，又
面，，
又,，故与可能垂直，故B正确
当面面时，此时面，即为直线与平面所成角
此时，故C错误
当面面时，此时四面体的体积最大，此时的体积为： ，故D正确
故选：C
4．(2023·山东师范大学附中模拟）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点，满足面ABC，，若，则该“鞠”的体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】取中点为,过作,且,因为平面ABC,所以平面.由于,故,进而可知,所以是球心,为球的半径.
由,又,当且仅当,等号成立,故此时,所以球半径,故,体积最小值为
故选:C
5．(2023·江苏淮安·模拟）周总理纪念馆是由正方体和正四棱锥组合体建筑设计，如图所示，若该组合体接于半径R的球O（即所有顶点都在球上），记正四棱锥侧面与正方体底面所成二面角为，则_________．
答案：
【解析】由正方体的性质可知该组合体的外接球的球心为正方体的中心，
设正方体底面的中心为，的中点为，连接，
则，
则，设正方体的棱长为，则，
∴.
故答案为：.
6．(2023·海南·模拟）如图，在长方体中，，，，则点到平面的距离为______.
答案：
【解析】在长方体中，平面，则有，
又，，，于是有，，
而平面，，
设点到平面的距离为h，由得：，
即，解得，
所以点到平面的距离为.
故答案为：
7．(2023·江西省丰城中学模拟（文））在三棱锥中，底面为直角三角形，且斜边上的高为，三棱锥的外接球的直径为.若该外接球的表面积为则当三棱锥的体积最大时，的外接圆半径为_______________________．
答案：
【解析】设，过作交于，则．
因为外接球的表面积为故外接球的半径为，故．
因为为球的直径，故均为直角，故，，
而，故平面，
而平面，故，而，
故平面，故，
又，故，
当且仅当时等号成立，此时即的外接圆半径．
故答案为：．
8．(2023·广西桂林·二模（理））在三棱锥ABCD中，对棱，当平面α与三棱锥ABCD的某组对棱均平行时，则三棱锥ABCD被平面α所截得的截面面积最大值为___________.
答案：3
【解析】因为每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥ABCD放入长方体中，设长宽高分别为x，y，z，则，则.
当平面α与三棱锥ABCD的对棱AB，CD均平行时，截而为四边形EFGH，，，
设，则，，同理，（或其补角）是异面直线所成的角，
，其中为定值，
，时，取得最大值，即截面面积最大，此时是所在棱中点，
由长方体性知最大面积为长方体上下底面面积的一半，
同样地，当平面a与三棱锥ABCD的对棱AC，BD均平行时，截面最大面积为；当平面α与三棱锥ABCD的对棱AD，BC均平行时，截面最大面积为.
故答案为：3.
1．(2023·广东广州·三模）一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形为正方形，分别为的中点，在此几何体中，下面结论错误的是（ ）
A．直线与直线异面B．直线与直线异面
C．直线平面D．直线平面
答案：B
【解析】
由题意知：该几何体是底面为正方形的四棱锥，如图所示，连接，易得，则，
故共面，则共面，故B错误；又面，面，不在直线上，则直线与直线异面，A正确；
由，平面，平面，则直线平面，C正确；
平面，平面，则直线平面，D正确.
故选：B.
2．(2023·北京四中三模）如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，则下列说法不正确的是（ ）
A．与不可能平行B．与是异面直线
C．点的轨迹是一条线段D．三棱锥的体积为定值
答案：A
【解析】解：设平面与直线交于，连接，，
则为的中点，分别取，的中点，，
连接，，，
如图，∵，平面，平面，
∴平面，同理可得平面，
又、是平面内的两条相交直线，
∴平面平面，而平面，∴平面，
得点的轨迹为一条线段，故C正确；
并由此可知，当与重合时，与平行，故A错误；
∵平面平面，和平面相交，∴与是异面直线，故B正确；
∵，则点到平面的距离为定值，∴三棱锥的体积为定值，故D正确．
故选：A．
3．(2023·浙江绍兴·模拟）正方体中，O为正方体的中心，P为正方体表面上的一个动点，若直线与平面、平面所成的角都是，则这样的点P的个数为（ ）
A．4B．6C．8D．无数个
答案：C
【解析】∵为正方形，则
又∵平面，则
，则平面
∴
同理可得：，
∴平面
如图，取的中点，连接交于点，若平面(即平面)存在点，使得与平面、平面所成的角都是，连接，过作，垂足为，连接，则∥
设正方体的边长为6，则
∴
即在线段作确定点，再过点作∥，且，连接，则直线即为满足题意的直线
根据对称可知满足条件的直线共有4条，则这些直线与正方体表面的交点共有8个
故选：C．
4．(2023·广东·模拟）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】如图所示，为直角三角形，又，
所以，
因为为正三角形，所以，
连接，为的中点，E为中点，
则，所以为二面角的平面角
所以．
因为为直角三角形，E为中点，
所以点为的外接圆的圆心，
设G为的中心，则G为的外接圆圆心．过E作面的垂线，过G作面的垂线，设两垂线交于O．
则O即为三棱锥的外接球球心．设与交于点H，
，
所以,，
∴．
所以，
故选：C.
5．(2023·山东青岛·二模）已知正方体，动点P在线段BD上，则下述正确的是（ ）
A．B．
C．平面D．平面
答案：BD
【解析】对A，如图，根据正方体的性质有且，故平行四边形，故，故当且仅当在点时才有，故A错误；
对B，如图，由正方体的性质可得，平面，故，又，平面，故平面，故，同理，故平面，故，故B正确；
对C，当在时，，故平面不成立，故C错误；
对D，同B有平面，故平面平面，故平面成立，故D正确；
故选：BD
6．(2023·湖北·模拟）棱长为1的正方体中，P、Q分别在棱BC、上，，，，且，过A、P、Q三点的平面截正方体得到截面多边形，则（ ）
A．时，截面一定为等腰梯形B．时，截面一定为矩形且面积最大值为
C．存在x，y使截面为六边形D．存在x，y使与截面平行
答案：BD
【解析】对A，时，截面为矩形，故A错；
对B，当时，点与点重合，设过A、P、Q三点的平面交于，则因为平面平面，故，且，此时截面为矩形，当点与点重合时面积最大，此时截面积，B正确；
对C，截面只能为四边形、五边形，故C错；
对D，当，时，延长交延长线于，画出截面如图所示.此时因为，，故，则.由面面平行的截面性质可得，，故，此时，故且，故平行四边形，故，根据线面平行的判定可知与截面平行，故D正确．
故选：BD
7．(2023·福建省厦门集美中学模拟）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，它是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（ ）
A．AB与平面BCD所成的角为B．
C．与AB所成的角是的棱共有16条D．该半正多面体的外接球的表面积为
答案：AC
【解析】补全该半正多面体得到一正方体，设正方体的棱长为，
由题意知，该半正多面体由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成.
则由半正多面体的表面积为，
得，解得，
∵，
因为平面，为AB与平面BCD的夹角，
因为为直角三角形，且，所以
所以AB与平面BCD所成的角为，故A正确；
∴，故B错误；
在与相交的6条棱中，与AB所成的角是的棱有4条，又这4条棱中，每一条棱都有3条平行的棱，故与AB所成的角是的棱共有16条，故C正确；
由半正多面体的对称性可知，其对称中心与相应的正方体的对称中心是同一点，其对称中心为正方体的体对角线的中点，点在平面的投影点为，
则有，，所以，
故该半正多面体的外接球的半径为，面积为，故D错误；
故选：AC.
8．(2023·重庆·一模）如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不包含端点）上运动，则下列结论正确的是______.（填序号）
①正方体的外接球表面积为；②异面直线与所成角的取值范围是；③直线平面；④三棱锥的体积随着点的运动而变化.
答案：②③
【解析】正方体对角线长为，即这外接球直径，因此球半径为，球表面积为，①错；
正方体中与平行且相等，是平行四边形，，是正三角形，与的夹角（锐角或直角）的范围是，因此②正确；
由②上知，而平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，而平面，所以平面，③正确；
由平面，因此到平面的距离不变，所以不变，④错．
故答案为：②③．
9．(2023·河北保定·一模）在如图直四棱柱中，底面为菱形，，，点为棱的中点，若为菱形内一点（不包含边界），满足平面，设直线与直线所成角为，则的最小值为______.
答案：
【解析】取线段，中点，，连结，，.
如图所示：
由于，，所以，因为平面，平面，所以平面，
同理可得平面平面，
又，
故平面平面，故点在线段上.
因为，所以，
故.在中，当时，
取得最小值，故tana的最小值为.
故答案为：
10．(2023·江苏扬州·模拟）在三棱锥中，平面为三棱锥外接球球面上一动点，则点到平面的距离的最大值为__________.
答案：
【解析】由，则，
设的外接圆圆心，半径为，则，可得，
设外接球半径为，
所以，可得，
由面，面，则，故，
所以△外接圆是为直径的圆，且，
外接球球心到面的距离，
到距离的最大值.
故答案为：