高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第30练空间向量的应用(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第30练空间向量的应用(原卷版+解析)，共39页。试卷主要包含了(2023·广西南宁·一模等内容，欢迎下载使用。


1．(2023·广西南宁·一模（理））在正方体中O为面的中心，为面的中心.若E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·河南·汝州市第一高级中学模拟（文））在正方体中，E，F分别为棱AD，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为（ ）．
A．B．C．D．
3．(2023·辽宁丹东·模拟）在三棱锥中，平面ABC，，是正三角形，M，N分别是AB，PC的中点，则直线MN，PB所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·福建泉州·模拟）在正方体中，E，F，G分别是，的中点，则（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面
5．(2023·陕西商洛·二模（文））在正方体中，点P是底面的中心，则直线与所成角的余弦值为___________.
6．(2023·内蒙古赤峰·模拟（理））在正方体中，点、分别为棱、的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____.
7．(2023·新疆乌鲁木齐·模拟（理））如图，在正方体中，直线和平面所成角的正弦值是____；
1．(2023·湖南衡阳·二模）设、是空间中两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
2．如图，矩形ABCD是圆柱的轴截面，，，点E在上底面圆周上，且，则异面直线AE与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在三棱锥中，平面ABC，是边长为2的正三角形，，E，F分别为MA，MC的中点，则异面直线BE与AF所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·北京·首都师范大学附属中学三模）如图，在正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．直线与直线相交
B．当为棱上的中点时，则点在平面的射影是点
C．存在点，使得直线与直线所成角为
D．三棱锥的体积为定值
5．(2023·湖北·鄂南高中模拟）已知正方体的棱长为.以为坐标原点，以为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴建立空间直角坐标系，动点满足直线与所成夹角为的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
6．(2023·青海·模拟（理））手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．
7．(2023·北京市第十二中学三模）在棱长为1的正方体中，点P是对角线的动点（点P与不重合），则下列结论正确的有___________.
①存在点P，使得平面平面；
②存在点P，使得平面；
③分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意的点P都有；
④对任意的点P，的面积都不等于.
8．(2023·浙江·赫威斯育才高中模拟）如图，在四棱锥中，，分别是，的中点，底面，，，，若平面平面，则二面角的正弦值是_________.
9．(2023·吉林长春·模拟（理））现有四棱锥（如图），底面ABCD是矩形，平面ABCD.，，点E，F分别在棱AB，BC上.当空间四边形PEFD的周长最小时，异面直线PE与DF所成角的余弦值为___________.
1．(2023·浙江·杭州高级中学模拟）如图，已知矩形的对角线交于点，将沿翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·陕西·交大附中模拟（理））在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
①四面体外接球的表面积为
②点与点之间的距离为
③四面体的体积为
④异面直线与所成的角为
A．B．C．D．
3．(2023·河南·模拟（文））在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选题）在棱长为1的正方体中，分别为线段上的动点（均不与点重合），则下列说法正确的是（ ）
A．存在使得平面
B．存在使得
C．当平面时，三棱锥与体积之和最大值为
D．记与平面所成的角分别为，则
5．（多选题）(2023·辽宁·鞍山一中模拟）如图，已知二面角的棱上有不同两点和，若，，，，则（ ）
A．直线和直线为异面直线
B．若，则四面体体积的最大值为2
C．若，，，，，，则二面角的大小为
D．若二面角的大小为，，，，则过、、、四点的球的表面积为
6．（多选题）(2023·山东济南·二模）在棱长为1的正方体中，E，F，G分别为线段，CD，CB上的动点（E，F，G均不与点C重合），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点E，F，G，使得平面EFG
B．存在点E，F，G，使得
C．当平面EFG时，三棱锥与C-EFG体积之和的最大值为
D．记CE，CF，CG与平面EFG所成的角分别为，，，则
7．(2023·湖南·长沙市明德中学二模）如图，在三棱锥中，，，分别为棱的中点，为三棱锥外接球的球心，则球的体积为________；平面截球所得截面的周长为________．
8．(2023·广东·模拟）已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是___________；直线与直线所成角的取值范围为___________.
专题09 空间向量与立体几何
第30练 空间向量的应用
1．(2023·广西南宁·一模（理））在正方体中O为面的中心，为面的中心.若E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
设异面直线与所成角为，
则.
故选：B
2．(2023·河南·汝州市第一高级中学模拟（文））在正方体中，E，F分别为棱AD，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为（ ）．
A．B．C．D．
答案：A
【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则，
∴，
∴，
即异面直线EF与所成角的余弦值为.
故选：A.
3．(2023·辽宁丹东·模拟）在三棱锥中，平面ABC，，是正三角形，M，N分别是AB，PC的中点，则直线MN，PB所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】如图，以AC的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系，设
则
，则直线MN，PB所成角的余弦值为
故选：D．
4．(2023·福建泉州·模拟）在正方体中，E，F，G分别是，的中点，则（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面
答案：A
【解析】解：取、、的中点分别记为、、，连接、、、，
根据正方体的性质可得面即为平面，
对于A：如图，，平面，平面，所以平面，故A正确；
对于B：如图，在平面中，，则平面，所以B错误；
对于C、D：如图，平面，因为过平面外一点作（）仅能作一条垂线垂直该平面，故C、D错误；
其中平面可按如下证明：如图建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则，，，，，
所以，，，
所以，，即，，
又，平面，所以平面；
故选：A
5．(2023·陕西商洛·二模（文））在正方体中，点P是底面的中心，则直线与所成角的余弦值为___________.
答案：
【解析】如图，以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则，，，，
设直线与所成角为，
则
故答案为：
6．(2023·内蒙古赤峰·模拟（理））在正方体中，点、分别为棱、的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____.
答案：
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为，
，
，
异面直线与所成角的余弦值：
，
故答案为：
7．(2023·新疆乌鲁木齐·模拟（理））如图，在正方体中，直线和平面所成角的正弦值是____；
答案：
【解析】设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，设平面的法向量为，
则，故可设.
设直线和平面所成角为，
则.
故选：
1．(2023·湖南衡阳·二模）设、是空间中两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
答案：A
【解析】对于A选项，设直线、的方向向量分别为、，
因为，，则平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
因为，则，故，A对；
对于B选项，若，，，则、平行或异面，B错；
对于C选项，若，，，则、的位置关系不确定，C错；
对于D选项，若，，，，则、平行或相交，D错.
故选：A.
2．如图，矩形ABCD是圆柱的轴截面，，，点E在上底面圆周上，且，则异面直线AE与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】根据题意可以为坐标原点，，所在直线分别为y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，故，，
故，
故异面直线AE与所成角的余弦值为，
故选：B.
3．如图，在三棱锥中，平面ABC，是边长为2的正三角形，，E，F分别为MA，MC的中点，则异面直线BE与AF所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】解法一：设H为MF的中点，连接EH，BH，如图，
∵E是MA的中点，
∴，.
∴是异面直线BE与AF所成的角或其补角.
∵平面ABC，∴，，
∵，，
∴，
∴.
∵F为MC的中点，
∴，，
又，
∴在中，，
，
∴，
∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为，
解法二：以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
易知，，，，
所以，，
则，
∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为，
故选：B.
4．(2023·北京·首都师范大学附属中学三模）如图，在正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．直线与直线相交
B．当为棱上的中点时，则点在平面的射影是点
C．存在点，使得直线与直线所成角为
D．三棱锥的体积为定值
答案：D
【解析】A：由题意知，，平面，平面
所以平面，
又平面，所以与不相交，故A错误；
B：连接，如图，
当点为的中点时，，又，所以，
若点在平面的射影为，则平面，垂足为，
所以，设正方体的棱长为2，则，
在中，，所以，
即不成立，故B错误；
C：建立如图空间直角坐标系，连接，则，
所以异面直线与所成角为直线与所成角，
设正方体的棱长为2，若存在点使得与所成角为，
则，所以，
所以，又，
得，解得，
不符合题意，故不存在点使得与所成角为，故C错误；
D：如图，
由等体积法可知，
又，
为定值，所以为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故D正确.
故选：D.
5．(2023·湖北·鄂南高中模拟）已知正方体的棱长为.以为坐标原点，以为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴建立空间直角坐标系，动点满足直线与所成夹角为的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
答案：D
【解析】正方体的棱长为,可得，,
点，则，由动点满足直线与所成夹角为可得，整理得由，可得，当时取等号，即最大值为2，
故选：D
6．(2023·青海·模拟（理））手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．
答案：
【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，
因为，，
所以可得，
所以，
所以，
所以异面直线PQ与MN所成角的余弦值是.
故答案为：.
7．(2023·北京市第十二中学三模）在棱长为1的正方体中，点P是对角线的动点（点P与不重合），则下列结论正确的有___________.
①存在点P，使得平面平面；
②存在点P，使得平面；
③分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意的点P都有；
④对任意的点P，的面积都不等于.
答案：①②④
【解析】对于①，如图，因为，
所以平面平面，
当直线交平面于点时，有平面平面，故①正确；
对于②，如图，设正方体的棱长为2，则，，
则，
有，，所以，，
又平面，所以平面，
当直线交平面于点时，有平面，故②正确；
对于③，因为设（其中），
则△在平面的正投影面积为，
又△在平面上的正投影图形的面积与在平面的正投影图形面积相等，
所以，
若，则，解得或，
因为，所以，故存在点，使得；故③错误；
对于④，由于固定不变，只要找上的点到的距离最短即可，
取中点，连接，
由②的分析可证得平面，由平面得；
又平面，平面，所以，
所以为直线与的公垂线，此时△的面积最小；
因为在正方体中，易知，
又，所以，
因此，；
所以对任意点，△的面积都不等于,故④正确.
故答案为：①②④
8．(2023·浙江·赫威斯育才高中模拟）如图，在四棱锥中，，分别是，的中点，底面，，，，若平面平面，则二面角的正弦值是_________.
答案：
【解析】设，则平面平面，
由重心的性质可得，
因为底面，，设，
，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，
，
设平面，的法向量为，
则，
，
所以，由图可知，
二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为，
正弦值为.
故答案为：
9．(2023·吉林长春·模拟（理））现有四棱锥（如图），底面ABCD是矩形，平面ABCD.，，点E，F分别在棱AB，BC上.当空间四边形PEFD的周长最小时，异面直线PE与DF所成角的余弦值为___________.
答案：
【解析】将沿旋转到平面内，如下图所示，
设点关于对称的点为，线段与的交点为，
此时空间四边形PEFD的周长最小，
因为，所以，
同理可得：，
因为底面ABCD是矩形，所以，
又因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
所以可以建立如下图所示的空间直角坐标系，
，
，
异面直线PE与DF所成角的余弦值为：
，
故答案为：
1．(2023·浙江·杭州高级中学模拟）如图，已知矩形的对角线交于点，将沿翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】如图示,设处为沿翻折后的位置，
以D为坐标原点，DA,DC分别为x,y轴，过点D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则 ，设 ，
由于 ,故 ，
而 ，
由于 ,故，则，
即 ；
又由在翻折过程中存在某个位置，便得，不妨假设,
则，即 ，
即 ，
当将翻折到如图位置时，位于平面ABCD内，
不妨假设此时 ，设垂足为G,
作 AD的延长线，垂足为F,此时在x轴负半轴上方向上，DF的长最大，a取最小值，
由于，故 ,
所以 ,而,
故，又 ,
故 为正三角形，则,
而 ,故 ,则 ，
故， ，则 ，
故的取值范围是 ，
故选：A
2．(2023·陕西·交大附中模拟（理））在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
①四面体外接球的表面积为
②点与点之间的距离为
③四面体的体积为
④异面直线与所成的角为
A．B．C．D．
答案：B
【解析】对于①，取的中点，连接、，则，
因为，所以，，
所以，为四面体的外接球球心，球的表面积为，①对；
对于②③④，过点在平面内作，垂足为点，过点作交于点，
则二面角的平面角为，
在中，，，，则，，
，则，，，
，，，平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的垂线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，则、、、，
，②错，
，，③对，
，，
，故异面直线与所成角为，④错.
故选：B.
3．(2023·河南·模拟（文））在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
设上底面圆心为，下底面圆心为，连接
以为原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
则
则
又异面直线所成角的范围为
故异面直线与所成角的余弦值为
故选：A
4．（多选题）在棱长为1的正方体中，分别为线段上的动点（均不与点重合），则下列说法正确的是（ ）
A．存在使得平面
B．存在使得
C．当平面时，三棱锥与体积之和最大值为
D．记与平面所成的角分别为，则
答案：AC
【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
设，
对于A，因为平面，平面，
所以，又因，
所以平面，又平面，
所以，
当时，，此时，
要使平面EFG，只需即可，
，
则，
则，即，
当时，，
故存在点E，F，G，使得平面EFG，故A正确；
对于B，，
则，
要使，
只需要即可，
，
，
，
则，
故，
因为，所以，
所以，
所以不存在点E，F，G，使得，故B错误；
对于C，因为平面EFG，
所以，
，
则，
则，所以，
要使最大，则，此时，
所以三棱锥与体积之和最大值为，故C正确；
对于D，由上可知，，
则，
因为，
所以到平面的距离满足，
所以，
所以，
，
，
所以，
所以，故D错误.
故选：AC.
5．（多选题）(2023·辽宁·鞍山一中模拟）如图，已知二面角的棱上有不同两点和，若，，，，则（ ）
A．直线和直线为异面直线
B．若，则四面体体积的最大值为2
C．若，，，，，，则二面角的大小为
D．若二面角的大小为，，，，则过、、、四点的球的表面积为
答案：ACD
【解析】对于A，由异面直线的定义知A正确；
对于B，要求四面体体积的最大值，则面且，
此时四面体体积的最大值：
,故B不正确；
对于C，在平面内过A作BD的平行线AE，且使得，连接，
四边形是一个矩形，是二面角的一个平面角，且面AEC，
所以面AEC，从而.
在中，由余弦定理可知：
所以.故C正确；
对于D，因为二面角的大小为，，，，
如下图，所以平面与平面所成角的大小为，，
取的中点，的中点，为△△的外心，
取的中点，连接，则
所以是二面角的一个平面角，则，
过作平面的垂线和过作平面的垂线，交于点，即为外接球球心，
所以面， 面， 连接 ， ，
所以易证得：与全等，所以，
所以在直角三角形，，
，则过、、、四点的球的表面积为.故D正确.
故选：ACD
6．（多选题）(2023·山东济南·二模）在棱长为1的正方体中，E，F，G分别为线段，CD，CB上的动点（E，F，G均不与点C重合），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点E，F，G，使得平面EFG
B．存在点E，F，G，使得
C．当平面EFG时，三棱锥与C-EFG体积之和的最大值为
D．记CE，CF，CG与平面EFG所成的角分别为，，，则
答案：ACD
【解析】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，
对于A，因为平面，平面，
所以，
又因，
所以平面，
又平面，所以，
当时，，此时，
要使平面EFG，只需即可，
，
则，
则，即，
当时，，
故存在点E，F，G，使得平面EFG，故A正确；
对于B，，
则，
要使，
只需要即可，
，
，
，
则，
故，
因为，所以，
所以，
所以不存在点E，F，G，使得，故B错误；
对于C，因为平面EFG，
所以，
，
则，
则，所以，
要使最大，则，此时，
所以体积之和的最大值为，故C正确；
对于D，由B，，
则，
因为，
所以到平面的距离满足，
所以，
所以，
，
，
所以，故D正确.
故选：ACD.
7．(2023·湖南·长沙市明德中学二模）如图，在三棱锥中，，，分别为棱的中点，为三棱锥外接球的球心，则球的体积为________；平面截球所得截面的周长为________．
答案：
【解析】因为，
将三棱锥补成正方体如图1，
所以三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心是的中点.
设外接球的半径为，则，即，
所以.
方法一：设，因为平面，，
所以平面，所以平面平面，
因为平面平面，
过作，垂足为，如图2，则平面，且是截面的圆心.
设，如图3，在矩形中，
所以，过作，垂足为，则，
在中，，，
，则，所以，
设截面圆的半径为，则，故截面的周长为.
方法二：以分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
由，得，
所以平面的一个法向量.
设直线与平面所成的角为，球心到平面的距离为
所以，且.
设截面的半径，则，所以截面的周长为.
8．(2023·广东·模拟）已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是___________；直线与直线所成角的取值范围为___________.
答案：
【解析】设A在面内的投影为E，故E为三角形BCD的中心，
设正四面体的棱长为，球的半径为.
则，，
依题可得，球心在上，，代入数据可得，
则，，
又，，
故的轨迹为平面BCD内以E为圆心，为半径的圆，
，
三点共线时，且P在BE之间时，的最小值是.
以E为圆心，BE所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系，
，，，，
设，，
故，，
设直线与直线所成角为，
∵，
∴，
又，故，
故答案为：，.