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第03讲 概率的综合运用（五大题型）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义
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题型一：古典概型
题型二：概率的基本性质
题型三：事件的独立性
题型四：随机模拟
题型五：概率的综合运用
【知识点梳理】
知识点1、古典概型
(1)古典概型
考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型(classical mdels f prbability)，简称古典概型．
(2)概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率
P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(nA,nΩ).
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
知识点2、概率的基本性质
一般地，概率有如下性质：
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么
P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)．
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
知识点3、事件A与B相互独立
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
(1)事件A与B是相互独立的，那么A与B， A与B， A与B也是否相互独立.
(2)相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).
【典例例题】
题型一：古典概型
例1．(2023·高一课时练习)某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算).现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时.
(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车费多于14元的概率为，求甲的停车费为6元的概率；
(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率.
例2．(2023·江苏·高一专题练习)清明期间，某校为缅怀革命先烈，要求学生通过前往革命烈士纪念馆或者线上网络的方式参与“清明祭英烈”活动，学生只能选择一种方式参加.已知该中学初一、初二、初三3个年级的学生人数之比为，为了解学生参与“清明祭英烈”活动的方式，现采用分层抽样的方法进行调查，得到如下数据.
(1)求，的值；
(2)从该校各年级被调查且选择线上网络方式参与“清明祭英烈”活动的学生人任选两人，求这两人是同一个年级的概率.
例3．(2023·江苏·高一专题练习)某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图：
(1)估计两组测试的平均成绩，
(2)若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率．
正、副队长都来自“田径队”包含的基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6个，
故正、副队长都来自“田径队”的概率为．
例4．(2023·江苏·高一专题练习)随着新课程标准的实施，新高考改革的推进，越来越多的普通高中学校认识到了生涯规划教育对学生发展的重要性，生涯规划知识大赛可以鼓励学生树立正确的学习观、生活观.某校高一年级1000名学生参加生涯规划知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间内，学校将初赛成绩分成5组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计这1000名学生初赛成绩的平均数(同一组的数据以该组区间的中间值作代表)；
(2)为了帮学生制定合理的生涯规划学习计划，学校从成绩不足70分的两组学生中用分层抽样的方法随机抽取6人，然后再从抽取的6人中任意选取2人进行个别辅导，求选取的2人中恰有1人成绩在内的概率.
例5．(2023·江苏无锡·高一辅仁高中校考期末)甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果(a，b)，如果，算甲赢，否则算乙赢．
(1)求的概率；
(2)这种游戏规则公平吗？请说明理由．
题型二：概率的基本性质
例6．(2023·高一课时练习)将一颗质地均匀的骰子(各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6)先后抛掷3次，至少出现1次6点向上的概率是( )．
A．B．C．D．
例7．(2023·全国·高一专题练习)抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为( )
A．B．C．D．
例8．(2023·甘肃庆阳·高一校考期中)某城市2017年的空气质量状况如下表所示：
其中污染指数时，空气质量为优；时，空气质量为良；时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为( )
A．B．C．D．
例9．(2023·高一课时练习)抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数是偶数”，事件为“向上的点数不超过3”，则概率( )
A．B．C．D．
题型三：事件的独立性
例10．(2023·全国·高一专题练习)两个黑帮帮主甲和乙决定以如下方式决斗：甲带了一名手下A ，而乙带了两名手下和，规定任意一名手下向敌方成员开枪时，会随机命中敌方的一个尚未倒下的人，且命中每个人的概率相等，并且，三名手下被命中一次之后就会倒下，而甲被命中三次后倒下，乙被命中两次后倒下，只要甲或者乙任意一人倒下，决斗立刻结束，未倒下的一人胜出.决斗开始时，A先向敌方成员开枪，之后若B未倒下，则B向敌方成员开枪，之后按C，A，B，C，A，B，……的顺序依次进行，则甲最终获胜的概率是( )
A．B．C．D．
例11．(2023·全国·高一专题练习)从高一(男、女生人数相同,人数很多)抽三名学生参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是( )
A．B．
C．事件A与事件B互斥D．事件A与事件C对立
例12．(2023·江苏·高一专题练习)某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为，，，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则( )
A．B．C．D．
例13．(2023·全国·高一专题练习)有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，3个红色．采用放回方式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件“第二次取蓝球”，丙表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“与两次取出相同颜色的球”，则( )
A．甲与乙相互独立B．甲与丙相互独立
C．乙与丙相互独立D．乙与丁相互独立
例14．(2023·全国·高一专题练习)篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为( )
A．B．C．D．
题型四：随机模拟
例15．(2023·全国·高一专题练习)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题,现有类似的题：粮仓开仓收粮，有人送来532石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得54粒内夹谷6粒，则这批米内夹谷约为
A．59石B．60石C．61石D．62石
例16．(2023·高一课时练习)假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为______．
例17．(2023·全国·高一专题练习)抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第998次抛掷恰好出现“正面向上”的概率为_____________．
例18．(2023·高一课时练习)利用随机模拟方法计算y=x2与y=4围成的面积时,利用计算器产生两组0~1之间的均匀随机数a1=RAND,b1=RAND,然后进行平移与伸缩变换,a=4a1-2,b=4b1,试验进行100次,前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65,已知最后两次试验的随机数a1=0.3,b1=0.8及a1=0.4,b1=0.3,那么本次模拟得出的面积的近似值为_____.
题型五：概率的综合运用
例19．(2023·江苏·高一专题练习)进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识,某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两位同学中恰有一人答对的概率为.
(1)求的值及每题甲、乙两位同学同时答对的概率；
(2)试求两人答对的题数之和为3的概率.
例20．(2023·江苏·高一专题练习)某中学为了解高一年级数学文化知识竞赛的得分情况，从参赛的1000名学生中随机抽取了50名学生的成绩进行分析．经统计，这50名学生的成绩全部介于55分和95分之间，将数据按照如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组和第八组人数相同，第七组的人数为3人．
(1)求第六组的频率；若比赛成绩由高到低的前15%为优秀等级，试估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数(精确到0.1)；
(2)若从样本中成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的成绩分别为x，y，从下面两个条件中选一个，求事件E的概率．
①事件E：；
②事件E：．
注：如果①②都做，只按第①个计分．
例21．(2023·江苏·高一专题练习)11分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．已知甲乙两位同学进行11分制乒乓球比赛，双方10：10平后，甲先发球､假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．
(1)求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率：
(2)求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率．
例22．(2023·全国·高一专题练习)我市某校为了解高一新生对物理科与历史科方向的选择意向，对1000名高一新生发放意向选择调查表，统计知，有600名学生选择物理科，400名学生选择历史科.分别从选择物理科和历史科的学生中随机各抽取20名学生的数学成绩得如下累计表(下表)：
(1)利用表中数据，试分析数学成绩对学生选择物理科或历史科的影响，并绘制选择物理科的学生的数学成绩的频率分布直方图(如图)；
(2)从数学成绩不低于70分的选择物理科和历史科的学生中各取一名学生的数学成绩，求选取物理科学生的数学成绩至少高于选取历史科学生的数学成绩一个分数段的概率.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023春·河南洛阳·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习)已知集合，且，则关于的方程无实数根或的概率为( )
A．B．C．D．
2．(2023春·全国·高一专题练习)某中学举行疾病防控知识竞赛，其中某道题甲队答对该题的概率为，乙队和丙队答对该题的概率都是.若各队答题的结果相互独立且都进行了答题.则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率为( )
A．B．C．D．
3．(2023春·河南·高一校联考期末)在一次考试中，小明同学将比较难的第8题、第12题、第16题留到最后做，做每道题的结果相互独立．假设小明同学做对第8、12、16题的概率从小到大依次为，，，做这三道题的次序随机，小明连对两题的概率为p，则( )
A．p与先做哪道题次序有关B．第8题定为次序2，p最大
C．第12题定为次序2，p最大D．第16题定为次序2，p最大
4．(2023春·河南·高一校联考期末)连续抛掷一枚均匀的骰子两次，向上的点数分别记为a，b，，则( )
A．事件“是偶数”与“a为奇数，b为偶数”互为对立事件
B．事件“”发生的概率为
C．事件“”与“”互为互斥事件
D．事件“且”的概率为
5．(2023·高一课时练习)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有1个白球，都是白球B．至少有1个白球，至少有1个红球
C．恰有1个白球，恰有2个白球D．至少有1个白球，都是红球
6．(2023春·高一课时练习)下列说法正确的是( )
A．当A，B不互斥时，可由公式计算的概率
B．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小
C．若，则事件A与B是对立事件
D．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
7．(2023·全国·高一专题练习)下列说法正确的是( )
A．若，为两个事件，则“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件
B．若，为两个事件，则
C．若事件，，两两互斥，则
D．若事件，满足，则与相互对立
8．(2023·全国·高一专题练习)甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为( )
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023春·全国·高一专题练习)已知事件A，B，且，则( )
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果A与B相互独立，那么
D．如果A与B相互独立，那么
10．(2023春·高一单元测试)某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是( )
A．B．
C．D．
11．(2023春·高一课时练习)下列命题中，正确的是( )
A．若事件A，B互斥，则
B．若事件A，B相互独立，则
C．若事件A，B，C两两互斥，则
D．若事件A，B，C两两独立，则
12．(2023·全国·高一专题练习)甲袋中有2个黑球，2个白球，乙袋中有2个黑球，1个白球，这些小球除颜色外完全相同.从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论正确的是( )
A．2个球都是黑球的概率为B．2个球都是白球的概率为
C．1个黑球1个白球的概率为D．2个球中最多有1个黑球的概率为
三、填空题
13．(2023春·高一课时练习)已知，.(1)如果，那么______，______，______；(2)如果A，B互斥，那么______，______，______.
14．(2023·全国·高一专题练习)随着阿根廷队的夺冠，2022年卡塔尔足球世界杯落下帷幕.根据足球比赛规则，两支球队先进行90分钟常规赛.若比分相同，则进行30分钟加时赛；如果在加时赛比分依旧相同，则进入5球点球大赛.若甲、乙两队在常规赛与加时赛中得分均相同，则甲、乙两队轮流进行5轮点球射门，进球得1分，不进球不得分.假设甲队每次进球的概率均为0.8，乙队每次进球的概率均为0.5，且在前两轮点球中，乙队领先一球，已知每轮点球大赛结果相互独立，则最终甲队获胜的概率为______.
15．(2023·江苏·高一专题练习)甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲胜第一局，乙胜第二局的概率为___________．
16．(2023·全国·高一专题练习)课外活动期间，几名篮球爱好者在体育老师指导下进行定点投篮训练，约定每人最多投篮10次，若某同学第n次投篮进球为首次连续进球，则该同学得分且停止投篮.例如：某同学前两次均投篮进球，则得10分，且停止投篮.已知同学甲每次投篮进球的概率均为，则甲在第2次投篮恰好进球，且得5分时停止投篮的概率为___________.
四、解答题
17．(2023春·全国·高一专题练习)甲、乙两同学组成“星队”参加“庆祝中国共产党成立周年”知识竞赛．现有、两类问题，竞赛规则如下：
①竞赛开始时，甲、乙两同学各自先从类问题中随机抽取一个问题进行回答，答错的同学本轮竞赛结束；答对的同学再从类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，本轮竞赛结束．
②若在本轮竞赛中甲、乙两同学合计答对问题的个数不少于个，则“星队”可进入下一轮．已知甲同学能答对类中问题的概率为，能答对类中问题的概率为．乙同学能答对类中问题的概率为，答对类中问题的概率为．
(1)设“甲答对个，个，个问题”分别记为事件、、，求事件、、的概率；
(2)求“星队”能进入下一轮的概率．
18．(2023春·江苏无锡·高一锡东高中校考阶段练习)本学期初，某校为检验高三学生网络学习的效果，对全校高三学生进行期初数学测试(满分100)，并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成，，，，五组，得到如图所示频率分布直方图．
(1)求图中的值；
(2)估计该校高三学生期初数学成绩的平均数和85%分位数；
(3)为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在的概率．
19．(2023春·全国·高一专题练习)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．
甲、乙两人所付租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．
租车费都为0元的概率为，租车费都为2元的概率为，租车费都为4元的概率为.
所以甲、乙所付租车费用相同的概率为.
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为，则“”表示“两人的租车费用之和为4元”，
其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．
所以可得，
即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为.
20．(2023春·安徽·高一安徽省颍上第一中学校联考阶段练习)某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加全国高中数学竞赛，现整理了近期两人5次模拟考试的成绩，结果如下表：
(1)如果根据甲、乙两人近5次的考试成绩，你认为选谁参加较合适？并说明理由；
(2)如果按照如下方案推荐参加全国高中数学竞赛：
方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加全国高中数学竞赛，否则被淘汰；
方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加全国高中数学竞赛，否则被淘汰.
已知学生甲只会5道备选题中的3道，那么学生甲选择哪种答题方案可参加全国高中数学竞赛的可能性更大？并说明理由.
21．(2023春·辽宁·高一校联考阶段练习)某校组织了所有学生参加党史知识测试，该校一数学兴趣小组从所有成绩(满分100分，最低分50分)中，随机调查了200名参与者的测试成绩，将他们的成绩按，，，，分组，并绘制出了部分频率分布直方图如图所示．
(1)请将频率分布直方图补充完整；
(2)估计该校所有学生成绩的第60百分位数；
(3)从成绩在，内的学生中用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人开座谈会，求这2人来自不同分组的概率．
22．(2023春·河南·高一校联考期末)大学毕业生小张和小李通过了某单位的招聘笔试考试，正在积极准备结构化面试，每天相互进行多轮测试，每轮由小张和小李各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小李每轮答对的概率为．在每轮活动中，小张和小李答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(1)求两人在两轮活动中都答对的概率；
(2)求两人在两轮活动中至少答对3道题的概率；
(3)求两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2的概率．
年级人数方式
初一年级
初二年级
初三年级
前往革命烈士纪念馆
2a-1
8
10
线上网络
a
b
2
污染指数
30
60
100
110
130
140
概率
93
28
12
45
85
69
68
34
31
25
73
93
02
75
56
48
87
30
11
35
分数段
物理人数
历史人数
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲的成绩(分)
78
80
65
85
92
乙的成绩(分)
75
86
70
95
74
题型一：古典概型
题型二：概率的基本性质
题型三：事件的独立性
题型四：随机模拟
题型五：概率的综合运用
【知识点梳理】
知识点1、古典概型
(1)古典概型
考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型(classical mdels f prbability)，简称古典概型．
(2)概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率
P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(nA,nΩ).
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
知识点2、概率的基本性质
一般地，概率有如下性质：
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么
P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)．
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
知识点3、事件A与B相互独立
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
(1)事件A与B是相互独立的，那么A与B， A与B， A与B也是否相互独立.
(2)相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).
【典例例题】
题型一：古典概型
例1．(2023·高一课时练习)某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算).现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时.
(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车费多于14元的概率为，求甲的停车费为6元的概率；
(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率.
例2．(2023·江苏·高一专题练习)清明期间，某校为缅怀革命先烈，要求学生通过前往革命烈士纪念馆或者线上网络的方式参与“清明祭英烈”活动，学生只能选择一种方式参加.已知该中学初一、初二、初三3个年级的学生人数之比为，为了解学生参与“清明祭英烈”活动的方式，现采用分层抽样的方法进行调查，得到如下数据.
(1)求，的值；
(2)从该校各年级被调查且选择线上网络方式参与“清明祭英烈”活动的学生人任选两人，求这两人是同一个年级的概率.
例3．(2023·江苏·高一专题练习)某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图：
(1)估计两组测试的平均成绩，
(2)若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率．
正、副队长都来自“田径队”包含的基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6个，
故正、副队长都来自“田径队”的概率为．
例4．(2023·江苏·高一专题练习)随着新课程标准的实施，新高考改革的推进，越来越多的普通高中学校认识到了生涯规划教育对学生发展的重要性，生涯规划知识大赛可以鼓励学生树立正确的学习观、生活观.某校高一年级1000名学生参加生涯规划知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间内，学校将初赛成绩分成5组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计这1000名学生初赛成绩的平均数(同一组的数据以该组区间的中间值作代表)；
(2)为了帮学生制定合理的生涯规划学习计划，学校从成绩不足70分的两组学生中用分层抽样的方法随机抽取6人，然后再从抽取的6人中任意选取2人进行个别辅导，求选取的2人中恰有1人成绩在内的概率.
例5．(2023·江苏无锡·高一辅仁高中校考期末)甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果(a，b)，如果，算甲赢，否则算乙赢．
(1)求的概率；
(2)这种游戏规则公平吗？请说明理由．
题型二：概率的基本性质
例6．(2023·高一课时练习)将一颗质地均匀的骰子(各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6)先后抛掷3次，至少出现1次6点向上的概率是( )．
A．B．C．D．
例7．(2023·全国·高一专题练习)抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为( )
A．B．C．D．
例8．(2023·甘肃庆阳·高一校考期中)某城市2017年的空气质量状况如下表所示：
其中污染指数时，空气质量为优；时，空气质量为良；时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为( )
A．B．C．D．
例9．(2023·高一课时练习)抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数是偶数”，事件为“向上的点数不超过3”，则概率( )
A．B．C．D．
题型三：事件的独立性
例10．(2023·全国·高一专题练习)两个黑帮帮主甲和乙决定以如下方式决斗：甲带了一名手下A ，而乙带了两名手下和，规定任意一名手下向敌方成员开枪时，会随机命中敌方的一个尚未倒下的人，且命中每个人的概率相等，并且，三名手下被命中一次之后就会倒下，而甲被命中三次后倒下，乙被命中两次后倒下，只要甲或者乙任意一人倒下，决斗立刻结束，未倒下的一人胜出.决斗开始时，A先向敌方成员开枪，之后若B未倒下，则B向敌方成员开枪，之后按C，A，B，C，A，B，……的顺序依次进行，则甲最终获胜的概率是( )
A．B．C．D．
例11．(2023·全国·高一专题练习)从高一(男、女生人数相同,人数很多)抽三名学生参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是( )
A．B．
C．事件A与事件B互斥D．事件A与事件C对立
例12．(2023·江苏·高一专题练习)某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为，，，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则( )
A．B．C．D．
例13．(2023·全国·高一专题练习)有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，3个红色．采用放回方式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件“第二次取蓝球”，丙表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“与两次取出相同颜色的球”，则( )
A．甲与乙相互独立B．甲与丙相互独立
C．乙与丙相互独立D．乙与丁相互独立
例14．(2023·全国·高一专题练习)篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为( )
A．B．C．D．
题型四：随机模拟
例15．(2023·全国·高一专题练习)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题,现有类似的题：粮仓开仓收粮，有人送来532石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得54粒内夹谷6粒，则这批米内夹谷约为
A．59石B．60石C．61石D．62石
例16．(2023·高一课时练习)假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为______．
例17．(2023·全国·高一专题练习)抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第998次抛掷恰好出现“正面向上”的概率为_____________．
例18．(2023·高一课时练习)利用随机模拟方法计算y=x2与y=4围成的面积时,利用计算器产生两组0~1之间的均匀随机数a1=RAND,b1=RAND,然后进行平移与伸缩变换,a=4a1-2,b=4b1,试验进行100次,前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65,已知最后两次试验的随机数a1=0.3,b1=0.8及a1=0.4,b1=0.3,那么本次模拟得出的面积的近似值为_____.
题型五：概率的综合运用
例19．(2023·江苏·高一专题练习)进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识,某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两位同学中恰有一人答对的概率为.
(1)求的值及每题甲、乙两位同学同时答对的概率；
(2)试求两人答对的题数之和为3的概率.
例20．(2023·江苏·高一专题练习)某中学为了解高一年级数学文化知识竞赛的得分情况，从参赛的1000名学生中随机抽取了50名学生的成绩进行分析．经统计，这50名学生的成绩全部介于55分和95分之间，将数据按照如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组和第八组人数相同，第七组的人数为3人．
(1)求第六组的频率；若比赛成绩由高到低的前15%为优秀等级，试估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数(精确到0.1)；
(2)若从样本中成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的成绩分别为x，y，从下面两个条件中选一个，求事件E的概率．
①事件E：；
②事件E：．
注：如果①②都做，只按第①个计分．
例21．(2023·江苏·高一专题练习)11分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．已知甲乙两位同学进行11分制乒乓球比赛，双方10：10平后，甲先发球､假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．
(1)求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率：
(2)求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率．
例22．(2023·全国·高一专题练习)我市某校为了解高一新生对物理科与历史科方向的选择意向，对1000名高一新生发放意向选择调查表，统计知，有600名学生选择物理科，400名学生选择历史科.分别从选择物理科和历史科的学生中随机各抽取20名学生的数学成绩得如下累计表(下表)：
(1)利用表中数据，试分析数学成绩对学生选择物理科或历史科的影响，并绘制选择物理科的学生的数学成绩的频率分布直方图(如图)；
(2)从数学成绩不低于70分的选择物理科和历史科的学生中各取一名学生的数学成绩，求选取物理科学生的数学成绩至少高于选取历史科学生的数学成绩一个分数段的概率.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023春·河南洛阳·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习)已知集合，且，则关于的方程无实数根或的概率为( )
A．B．C．D．
2．(2023春·全国·高一专题练习)某中学举行疾病防控知识竞赛，其中某道题甲队答对该题的概率为，乙队和丙队答对该题的概率都是.若各队答题的结果相互独立且都进行了答题.则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率为( )
A．B．C．D．
3．(2023春·河南·高一校联考期末)在一次考试中，小明同学将比较难的第8题、第12题、第16题留到最后做，做每道题的结果相互独立．假设小明同学做对第8、12、16题的概率从小到大依次为，，，做这三道题的次序随机，小明连对两题的概率为p，则( )
A．p与先做哪道题次序有关B．第8题定为次序2，p最大
C．第12题定为次序2，p最大D．第16题定为次序2，p最大
4．(2023春·河南·高一校联考期末)连续抛掷一枚均匀的骰子两次，向上的点数分别记为a，b，，则( )
A．事件“是偶数”与“a为奇数，b为偶数”互为对立事件
B．事件“”发生的概率为
C．事件“”与“”互为互斥事件
D．事件“且”的概率为
5．(2023·高一课时练习)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有1个白球，都是白球B．至少有1个白球，至少有1个红球
C．恰有1个白球，恰有2个白球D．至少有1个白球，都是红球
6．(2023春·高一课时练习)下列说法正确的是( )
A．当A，B不互斥时，可由公式计算的概率
B．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小
C．若，则事件A与B是对立事件
D．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
7．(2023·全国·高一专题练习)下列说法正确的是( )
A．若，为两个事件，则“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件
B．若，为两个事件，则
C．若事件，，两两互斥，则
D．若事件，满足，则与相互对立
8．(2023·全国·高一专题练习)甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为( )
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023春·全国·高一专题练习)已知事件A，B，且，则( )
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果A与B相互独立，那么
D．如果A与B相互独立，那么
10．(2023春·高一单元测试)某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是( )
A．B．
C．D．
11．(2023春·高一课时练习)下列命题中，正确的是( )
A．若事件A，B互斥，则
B．若事件A，B相互独立，则
C．若事件A，B，C两两互斥，则
D．若事件A，B，C两两独立，则
12．(2023·全国·高一专题练习)甲袋中有2个黑球，2个白球，乙袋中有2个黑球，1个白球，这些小球除颜色外完全相同.从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论正确的是( )
A．2个球都是黑球的概率为B．2个球都是白球的概率为
C．1个黑球1个白球的概率为D．2个球中最多有1个黑球的概率为
三、填空题
13．(2023春·高一课时练习)已知，.(1)如果，那么______，______，______；(2)如果A，B互斥，那么______，______，______.
14．(2023·全国·高一专题练习)随着阿根廷队的夺冠，2022年卡塔尔足球世界杯落下帷幕.根据足球比赛规则，两支球队先进行90分钟常规赛.若比分相同，则进行30分钟加时赛；如果在加时赛比分依旧相同，则进入5球点球大赛.若甲、乙两队在常规赛与加时赛中得分均相同，则甲、乙两队轮流进行5轮点球射门，进球得1分，不进球不得分.假设甲队每次进球的概率均为0.8，乙队每次进球的概率均为0.5，且在前两轮点球中，乙队领先一球，已知每轮点球大赛结果相互独立，则最终甲队获胜的概率为______.
15．(2023·江苏·高一专题练习)甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲胜第一局，乙胜第二局的概率为___________．
16．(2023·全国·高一专题练习)课外活动期间，几名篮球爱好者在体育老师指导下进行定点投篮训练，约定每人最多投篮10次，若某同学第n次投篮进球为首次连续进球，则该同学得分且停止投篮.例如：某同学前两次均投篮进球，则得10分，且停止投篮.已知同学甲每次投篮进球的概率均为，则甲在第2次投篮恰好进球，且得5分时停止投篮的概率为___________.
四、解答题
17．(2023春·全国·高一专题练习)甲、乙两同学组成“星队”参加“庆祝中国共产党成立周年”知识竞赛．现有、两类问题，竞赛规则如下：
①竞赛开始时，甲、乙两同学各自先从类问题中随机抽取一个问题进行回答，答错的同学本轮竞赛结束；答对的同学再从类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，本轮竞赛结束．
②若在本轮竞赛中甲、乙两同学合计答对问题的个数不少于个，则“星队”可进入下一轮．已知甲同学能答对类中问题的概率为，能答对类中问题的概率为．乙同学能答对类中问题的概率为，答对类中问题的概率为．
(1)设“甲答对个，个，个问题”分别记为事件、、，求事件、、的概率；
(2)求“星队”能进入下一轮的概率．
18．(2023春·江苏无锡·高一锡东高中校考阶段练习)本学期初，某校为检验高三学生网络学习的效果，对全校高三学生进行期初数学测试(满分100)，并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成，，，，五组，得到如图所示频率分布直方图．
(1)求图中的值；
(2)估计该校高三学生期初数学成绩的平均数和85%分位数；
(3)为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在的概率．
19．(2023春·全国·高一专题练习)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．
甲、乙两人所付租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．
租车费都为0元的概率为，租车费都为2元的概率为，租车费都为4元的概率为.
所以甲、乙所付租车费用相同的概率为.
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为，则“”表示“两人的租车费用之和为4元”，
其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．
所以可得，
即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为.
20．(2023春·安徽·高一安徽省颍上第一中学校联考阶段练习)某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加全国高中数学竞赛，现整理了近期两人5次模拟考试的成绩，结果如下表：
(1)如果根据甲、乙两人近5次的考试成绩，你认为选谁参加较合适？并说明理由；
(2)如果按照如下方案推荐参加全国高中数学竞赛：
方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加全国高中数学竞赛，否则被淘汰；
方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加全国高中数学竞赛，否则被淘汰.
已知学生甲只会5道备选题中的3道，那么学生甲选择哪种答题方案可参加全国高中数学竞赛的可能性更大？并说明理由.
21．(2023春·辽宁·高一校联考阶段练习)某校组织了所有学生参加党史知识测试，该校一数学兴趣小组从所有成绩(满分100分，最低分50分)中，随机调查了200名参与者的测试成绩，将他们的成绩按，，，，分组，并绘制出了部分频率分布直方图如图所示．
(1)请将频率分布直方图补充完整；
(2)估计该校所有学生成绩的第60百分位数；
(3)从成绩在，内的学生中用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人开座谈会，求这2人来自不同分组的概率．
22．(2023春·河南·高一校联考期末)大学毕业生小张和小李通过了某单位的招聘笔试考试，正在积极准备结构化面试，每天相互进行多轮测试，每轮由小张和小李各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小李每轮答对的概率为．在每轮活动中，小张和小李答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(1)求两人在两轮活动中都答对的概率；
(2)求两人在两轮活动中至少答对3道题的概率；
(3)求两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2的概率．
年级人数方式
初一年级
初二年级
初三年级
前往革命烈士纪念馆
2a-1
8
10
线上网络
a
b
2
污染指数
30
60
100
110
130
140
概率
93
28
12
45
85
69
68
34
31
25
73
93
02
75
56
48
87
30
11
35
分数段
物理人数
历史人数
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲的成绩(分)
78
80
65
85
92
乙的成绩(分)
75
86
70
95
74
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