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第04讲 空间向量及其运算（七大题型）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义
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这是一份第04讲 空间向量及其运算（七大题型）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义，文件包含第04讲空间向量及其运算七大题型教师版-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义docx、第04讲空间向量及其运算七大题型学生版-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。
题型一：空间向量的有关概念及线性运算
题型二：共线向量定理的应用
题型三：共面向量及应用
题型四：空间向量的数量积
题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角
题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度
题型七：利用空间向量的数量积证垂直
【知识点梳理】
知识点一：空间向量的有关概念
1、空间向量
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：空间向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：eq \(AB,\s\up8(→))，其模记为|a|或|eq \(AB,\s\up8(→))|.
知识点诠释：
(1)空间中点的一个平移就是一个向量；
(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。
2、几类常见的空间向量
知识点二：空间向量的线性运算
(1)向量的加法、减法
(2)空间向量的数乘运算
①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
当λ>0时，λa与向量a方向相同；
当λ<0时，λa与向量a方向相反；
当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．
②运算律
结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点诠释：
(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；
(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．
(3)空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：；
知识点三：共线问题
共线向量
(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.
(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.
(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得eq \(OP,\s\up8(→))＝λa.
知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题：
(1)存在唯一实数，使得；
(2)存在唯一实数，使得，则．
注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．
(3)共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；(进而证线面平行)
②证明三点共线。
注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。
知识点四：向量共面问题
共面向量
(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使eq \(AP,\s\up8(→))＝xeq \(AB,\s\up8(→))＋yeq \(AC,\s\up8(→))或对空间任意一点O，有eq \(OP,\s\up8(→))＝eq \(OA,\s\up8(→))＋xeq \(AB,\s\up8(→))＋yeq \(AC,\s\up8(→)).
(4)共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行(进而证面面平行)。
知识点五：空间向量数量积的运算
空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积为0.
(2)常用结论(a，b为非零向量)
①a⊥b⇔a·b＝0.
②a·a＝|a||a|cs〈a，a〉＝|a|2.
③cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|).
(3)数量积的运算律
知识点诠释：
(1)由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．
(2)两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
(3)两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．
知识点六：利用数量积证明空间垂直关系
当a⊥b时，a·b＝0.
知识点七：夹角问题
1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：，
那么空间两个向量、的夹角的余弦。
知识点诠释：
(1)规定:
(2)特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。
2、利用空间向量求异面直线所成的角
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。
在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。
知识点八：空间向量的长度
1、定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：
将其推广：
；。
2、利用向量求线段的长度。
将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。
【典例例题】
题型一：空间向量的有关概念及线性运算
例1．(2023·高二课时练习)在平行六面体中，与向量相等的向量共有( )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
例2．(2023·山东济南·高二校考期中)下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量满足，则
D．相等向量其方向必相同
例3．(2023·山西·高二校联考期中)下列关于空间向量的说法中错误的是( )
A．零向量与任意向量平行
B．任意两个空间向量一定共面
C．零向量是任意向量的方向向量
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
例4．(2023·山东滨州·高二统考期末)如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且满足，N为BC的中点，则( )
A．B．C．D．
例5．(2023·贵州铜仁·高二统考期末)如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，是的中点，设，，，用，，表示，则( )
A．B．C．D．
例6．(2023·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习)四面体中，，是的中点，是的中点，设，，，则( )
A．B．
C．D．
题型二：共线向量定理的应用
例7．(2023·高二课时练习)已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是( )
A．B．C．D．
例8．(2023·吉林松原·高二吉林油田高级中学校考期中)若，E为空间中不在直线CD上的任意一点，则直线AB与平面CDE的位置关系是( )
A．相交B．平行C．在平面内D．平行或在平面内
例9．(2023·新疆阿勒泰·高二校联考期末)如果空间向量不共线，且，那么的值分别是( )
A．B．
C．D．
例10．(2023·河南焦作·高二温县第一高级中学校考阶段练习)若空间向量不共线，且，则( )
A．6B．12C．18D．24
例11．(2023·江苏·高二专题练习)满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是( )
A．B．
C．D．
例12．(2023·高二课时练习)当，且不共线时，与的关系是( )
A．共面B．不共面C．共线D．无法确定
题型三：共面向量及应用
例13．(2023·高二课时练习)下面关于空间向量的说法正确的是( )
A．若向量平行，则所在直线平行
B．若向量所在直线是异面直线，则不共面
C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面
D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面
例14．(2023·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试)已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是( )
A．点是唯一的，且一定与共面
B．点不唯一，但一定与共面
C．点是唯一的，但不一定与共面
D．点不唯一，也不一定与共面
例15．(2023·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习)在下列条件中，能使与，，一定共面的是( )
A．B．
C．D．
例16．(2023·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习)已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为( )
A．-2B．-1C．1D．2
例17．(2023·河南洛阳·高二统考期中)已知点D在确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足，则：的最小值为( )
A．B．C．1D．2
例18．(2023·江苏淮安·高二校联考期中)已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于( )
A．B．C．D．
题型四：空间向量的数量积
例19．(2023·高二课时练习)化简：________.
例20．(2023·上海·高二专题练习)在三棱锥中，已知，，，则___________
例21．(2023·江苏常州·高二江苏省溧阳中学校考阶段练习)在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点，则=_______.
例22．(2023·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习)平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是__________．
例23．(2023·湖南衡阳·高二校考期末)如图，在直三棱柱中，，、分别为棱、的中点，则______.
例24．(2023·湖北荆州·高二统考阶段练习)如图，正四面体的长为1，，则______．
题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角
例25．(2023·高二课时练习)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角．
例26．(2023·高二课时练习)已知空间向量与夹角的余弦值为，且，，令，．
(1)求，为邻边的平行四边形的面积S；
(2)求，夹角的余弦值．
例27．(2023·广东深圳·高二深圳市罗湖外语学校校考期末)平行六面体，
(1)若，，，，，，求长；
(2)若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值．
例28．(2023·重庆江津·高二重庆市江津中学校校考阶段练习)如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为，且两两夹角为.求：
(1)的长；
(2)与夹角的余弦值.
题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度
例29．(2023·辽宁沈阳·高二新民市第一高级中学校考阶段练习)如图所示，平行六面体中，，，，，，求的长．
例30．(2023·湖北咸宁·高二校考阶段练习)如图，在平行六面体中，，，，，．求：
(1)
(2)的长．
例31．(2023·江苏淮安·高二洪泽湖高级中学校考阶段练习)如图，在平行六面体中，．求：
(1)；
(2)的长；
(3)的长．
例32．(2023·河北唐山·高二滦南县第一中学校考阶段练习)如图，是平行四边形，，.如图，把平行四边形沿对角线折起，使与成角，求的长.
例33．(2023·高二课时练习)如图，已知平行六面体中，，，，，求的长．
题型七：利用空间向量的数量积证垂直
例34．(2023·山东泰安·高二统考期中)如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点．
(1)求的长；
(2)证明：．
例35．(2023·高二课时练习)如图，四棱锥的各棱长都为．
(1)用向量法证明；
(2)求的值．
例36．(2023·福建三明·高二福建省尤溪第一中学校考开学考试)如图，在正三棱柱中，底面的边长为.
(1)设侧棱长为1，试用向量法证明：；
(2)设与的夹角为，求侧棱的长.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·山东滨州·高二统考期末)如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是( )
A．B．C．D．
2．(2023·高二课时练习)平行六面体中，，，则的长为( )
A．10B．C．D．
3．(2023·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中)在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为( )
A．－6B．6
C．3D．－3
4．(2023·高二课时练习)已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于( )
A．B．C．D．4
5．(2023·湖南·高二校联考期中)在平行六面体中，点E为的中点，点F为的中点，，，，则( )
A．B．
C．D．
6．(2023·江西新余·高二统考期末)如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使，用向量，，表示向量为( )
A．B．
C．D．
7．(2023·广东惠州·高二统考期末)棱长为的正四面体中，则等于( )
A．B．C．D．
8．(2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中)如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为( )
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习)已知平行六面体如图所示，其中，，，线段AC，BD交于点O，点E是线段上靠近的三等分点，则下列说法正确的是( )
A．B．
C．D．
10．(2023·江苏淮安·高二校联考期中)下列命题中是真命题的为( )
A．若与共面，则存在实数，使
B．若存在实数，使向量，则与共面
C．若点四点共面，则存在实数，使
D．若存在实数，使，则点四点共面
11．(2023·河北邢台·高二邢台一中校考期末)如图，在三棱柱中，分别是上的点，且.设，若，则下列说法中正确的是( )
A．B．
C．D．
12．(2023·江苏镇江·高二江苏省丹阳高级中学校考期末)如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且则下列说法中正确的有( )
A．B．
C．D．直线与所成角的余弦值为
三、填空题
13．(2023·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中学校考阶段练习)如图，在平行六面体中，，且，，则的长为____________．
14．(2023·高二课时练习)若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为________．
15．(2023·高二课时练习)如图，在长方体中，向量，，是________向量(填“共面”或“不共面”)．
16．(2023·江苏淮安·高二校联考期中)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，分别为上的点，且，__________.
四、解答题
17．(2023·高二课时练习)如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：
(1)
(2)
(3)
18．(2023·高二课时练习)如图, 在直三棱柱 (即平面),, , 求
19．(2023·高二课时练习)如图所示，以长方体的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若，求向量的模．
20．(2023·高二课时练习)如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为.求的长.
21．(2023·浙江温州·高二校考期末)在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点.
(1)若，求的值；
(2)设，，，求的值.
22．(2023·重庆九龙坡·高二重庆实验外国语学校校考期末)如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，，
(1)求线段的长；
(2)求证：．
名称
方向
模
记法
零向量
任意
0
0
单位向量
任意
1
相反向量
相反
相等
a的相反向量：－a
eq \(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq \(BA,\s\up8(→))
相等向量
相同
相等
a＝b
空间向量的运算
加法
eq \(OB,\s\up8(→))＝eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OC,\s\up8(→))＝a＋b
减法
eq \(CA,\s\up8(→))＝eq \(OA,\s\up8(→))－eq \(OC,\s\up8(→))＝a－b
加法运算律
①交换律：a＋b＝b＋a
②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
数乘向量与数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
题型一：空间向量的有关概念及线性运算
题型二：共线向量定理的应用
题型三：共面向量及应用
题型四：空间向量的数量积
题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角
题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度
题型七：利用空间向量的数量积证垂直
【知识点梳理】
知识点一：空间向量的有关概念
1、空间向量
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：空间向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：eq \(AB,\s\up8(→))，其模记为|a|或|eq \(AB,\s\up8(→))|.
知识点诠释：
(1)空间中点的一个平移就是一个向量；
(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。
2、几类常见的空间向量
知识点二：空间向量的线性运算
(1)向量的加法、减法
(2)空间向量的数乘运算
①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
当λ>0时，λa与向量a方向相同；
当λ<0时，λa与向量a方向相反；
当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．
②运算律
结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点诠释：
(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；
(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．
(3)空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：；
知识点三：共线问题
共线向量
(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.
(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.
(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得eq \(OP,\s\up8(→))＝λa.
知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题：
(1)存在唯一实数，使得；
(2)存在唯一实数，使得，则．
注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．
(3)共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；(进而证线面平行)
②证明三点共线。
注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。
知识点四：向量共面问题
共面向量
(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使eq \(AP,\s\up8(→))＝xeq \(AB,\s\up8(→))＋yeq \(AC,\s\up8(→))或对空间任意一点O，有eq \(OP,\s\up8(→))＝eq \(OA,\s\up8(→))＋xeq \(AB,\s\up8(→))＋yeq \(AC,\s\up8(→)).
(4)共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行(进而证面面平行)。
知识点五：空间向量数量积的运算
空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积为0.
(2)常用结论(a，b为非零向量)
①a⊥b⇔a·b＝0.
②a·a＝|a||a|cs〈a，a〉＝|a|2.
③cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|).
(3)数量积的运算律
知识点诠释：
(1)由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．
(2)两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
(3)两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．
知识点六：利用数量积证明空间垂直关系
当a⊥b时，a·b＝0.
知识点七：夹角问题
1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：，
那么空间两个向量、的夹角的余弦。
知识点诠释：
(1)规定:
(2)特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。
2、利用空间向量求异面直线所成的角
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。
在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。
知识点八：空间向量的长度
1、定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：
将其推广：
；。
2、利用向量求线段的长度。
将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。
【典例例题】
题型一：空间向量的有关概念及线性运算
例1．(2023·高二课时练习)在平行六面体中，与向量相等的向量共有( )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
例2．(2023·山东济南·高二校考期中)下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量满足，则
D．相等向量其方向必相同
例3．(2023·山西·高二校联考期中)下列关于空间向量的说法中错误的是( )
A．零向量与任意向量平行
B．任意两个空间向量一定共面
C．零向量是任意向量的方向向量
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
例4．(2023·山东滨州·高二统考期末)如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且满足，N为BC的中点，则( )
A．B．C．D．
例5．(2023·贵州铜仁·高二统考期末)如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，是的中点，设，，，用，，表示，则( )
A．B．C．D．
例6．(2023·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习)四面体中，，是的中点，是的中点，设，，，则( )
A．B．
C．D．
题型二：共线向量定理的应用
例7．(2023·高二课时练习)已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是( )
A．B．C．D．
例8．(2023·吉林松原·高二吉林油田高级中学校考期中)若，E为空间中不在直线CD上的任意一点，则直线AB与平面CDE的位置关系是( )
A．相交B．平行C．在平面内D．平行或在平面内
例9．(2023·新疆阿勒泰·高二校联考期末)如果空间向量不共线，且，那么的值分别是( )
A．B．
C．D．
例10．(2023·河南焦作·高二温县第一高级中学校考阶段练习)若空间向量不共线，且，则( )
A．6B．12C．18D．24
例11．(2023·江苏·高二专题练习)满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是( )
A．B．
C．D．
例12．(2023·高二课时练习)当，且不共线时，与的关系是( )
A．共面B．不共面C．共线D．无法确定
题型三：共面向量及应用
例13．(2023·高二课时练习)下面关于空间向量的说法正确的是( )
A．若向量平行，则所在直线平行
B．若向量所在直线是异面直线，则不共面
C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面
D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面
例14．(2023·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试)已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是( )
A．点是唯一的，且一定与共面
B．点不唯一，但一定与共面
C．点是唯一的，但不一定与共面
D．点不唯一，也不一定与共面
例15．(2023·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习)在下列条件中，能使与，，一定共面的是( )
A．B．
C．D．
例16．(2023·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习)已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为( )
A．-2B．-1C．1D．2
例17．(2023·河南洛阳·高二统考期中)已知点D在确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足，则：的最小值为( )
A．B．C．1D．2
例18．(2023·江苏淮安·高二校联考期中)已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于( )
A．B．C．D．
题型四：空间向量的数量积
例19．(2023·高二课时练习)化简：________.
例20．(2023·上海·高二专题练习)在三棱锥中，已知，，，则___________
例21．(2023·江苏常州·高二江苏省溧阳中学校考阶段练习)在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点，则=_______.
例22．(2023·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习)平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是__________．
例23．(2023·湖南衡阳·高二校考期末)如图，在直三棱柱中，，、分别为棱、的中点，则______.
例24．(2023·湖北荆州·高二统考阶段练习)如图，正四面体的长为1，，则______．
题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角
例25．(2023·高二课时练习)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角．
例26．(2023·高二课时练习)已知空间向量与夹角的余弦值为，且，，令，．
(1)求，为邻边的平行四边形的面积S；
(2)求，夹角的余弦值．
例27．(2023·广东深圳·高二深圳市罗湖外语学校校考期末)平行六面体，
(1)若，，，，，，求长；
(2)若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值．
例28．(2023·重庆江津·高二重庆市江津中学校校考阶段练习)如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为，且两两夹角为.求：
(1)的长；
(2)与夹角的余弦值.
题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度
例29．(2023·辽宁沈阳·高二新民市第一高级中学校考阶段练习)如图所示，平行六面体中，，，，，，求的长．
例30．(2023·湖北咸宁·高二校考阶段练习)如图，在平行六面体中，，，，，．求：
(1)
(2)的长．
例31．(2023·江苏淮安·高二洪泽湖高级中学校考阶段练习)如图，在平行六面体中，．求：
(1)；
(2)的长；
(3)的长．
例32．(2023·河北唐山·高二滦南县第一中学校考阶段练习)如图，是平行四边形，，.如图，把平行四边形沿对角线折起，使与成角，求的长.
例33．(2023·高二课时练习)如图，已知平行六面体中，，，，，求的长．
题型七：利用空间向量的数量积证垂直
例34．(2023·山东泰安·高二统考期中)如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点．
(1)求的长；
(2)证明：．
例35．(2023·高二课时练习)如图，四棱锥的各棱长都为．
(1)用向量法证明；
(2)求的值．
例36．(2023·福建三明·高二福建省尤溪第一中学校考开学考试)如图，在正三棱柱中，底面的边长为.
(1)设侧棱长为1，试用向量法证明：；
(2)设与的夹角为，求侧棱的长.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·山东滨州·高二统考期末)如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是( )
A．B．C．D．
2．(2023·高二课时练习)平行六面体中，，，则的长为( )
A．10B．C．D．
3．(2023·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中)在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为( )
A．－6B．6
C．3D．－3
4．(2023·高二课时练习)已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于( )
A．B．C．D．4
5．(2023·湖南·高二校联考期中)在平行六面体中，点E为的中点，点F为的中点，，，，则( )
A．B．
C．D．
6．(2023·江西新余·高二统考期末)如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使，用向量，，表示向量为( )
A．B．
C．D．
7．(2023·广东惠州·高二统考期末)棱长为的正四面体中，则等于( )
A．B．C．D．
8．(2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中)如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为( )
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习)已知平行六面体如图所示，其中，，，线段AC，BD交于点O，点E是线段上靠近的三等分点，则下列说法正确的是( )
A．B．
C．D．
10．(2023·江苏淮安·高二校联考期中)下列命题中是真命题的为( )
A．若与共面，则存在实数，使
B．若存在实数，使向量，则与共面
C．若点四点共面，则存在实数，使
D．若存在实数，使，则点四点共面
11．(2023·河北邢台·高二邢台一中校考期末)如图，在三棱柱中，分别是上的点，且.设，若，则下列说法中正确的是( )
A．B．
C．D．
12．(2023·江苏镇江·高二江苏省丹阳高级中学校考期末)如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且则下列说法中正确的有( )
A．B．
C．D．直线与所成角的余弦值为
三、填空题
13．(2023·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中学校考阶段练习)如图，在平行六面体中，，且，，则的长为____________．
14．(2023·高二课时练习)若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为________．
15．(2023·高二课时练习)如图，在长方体中，向量，，是________向量(填“共面”或“不共面”)．
16．(2023·江苏淮安·高二校联考期中)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，分别为上的点，且，__________.
四、解答题
17．(2023·高二课时练习)如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：
(1)
(2)
(3)
18．(2023·高二课时练习)如图, 在直三棱柱 (即平面),, , 求
19．(2023·高二课时练习)如图所示，以长方体的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若，求向量的模．
20．(2023·高二课时练习)如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为.求的长.
21．(2023·浙江温州·高二校考期末)在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点.
(1)若，求的值；
(2)设，，，求的值.
22．(2023·重庆九龙坡·高二重庆实验外国语学校校考期末)如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，，
(1)求线段的长；
(2)求证：．
名称
方向
模
记法
零向量
任意
0
0
单位向量
任意
1
相反向量
相反
相等
a的相反向量：－a
eq \(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq \(BA,\s\up8(→))
相等向量
相同
相等
a＝b
空间向量的运算
加法
eq \(OB,\s\up8(→))＝eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OC,\s\up8(→))＝a＋b
减法
eq \(CA,\s\up8(→))＝eq \(OA,\s\up8(→))－eq \(OC,\s\up8(→))＝a－b
加法运算律
①交换律：a＋b＝b＋a
②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
数乘向量与数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
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