第05讲 空间向量基本定理（四大题型）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

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题型一：基底的判断
题型二：基底的运用
题型三：正交分解
题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
【知识点梳理】
知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解
空间向量基本定理：
如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式.
知识点2：空间向量的正交分解
单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.
正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
用已知向量表示某一向量的三个关键点：
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立
【典例例题】
题型一：基底的判断
例1．(2023·河南省直辖县级单位·高二统考期末)若、、构成空间的一组基底，则下面也能构成空间的一组基底的是( )
A．、、B．、、
C．、、D．、、
例2．(2023·高二校考课时练习)已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是( )
A．B．C．D．
例3．(2023·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习)为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是( )
A．，，B．，，
C．，，D．，，
例4．(2023·江苏连云港·高二江苏省新海高级中学校考阶段练习)若是空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是( )
A．B．
C．D．
例5．(2023·辽宁·高二校联考期末)已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是( )
A．B．C．D．
题型二：基底的运用
例6．(2023·浙江丽水·高二统考期末)在平行六面体中，AC，BD相交于，为的中点，设，，，则( )
A．B．
C．D．
例7．(2023·江苏盐城·高二盐城中学校考期中)在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则( )
A．B．
C．D．
例8．(2023·高二课时练习)如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为( )

A．B．
C．D．
例9．(2023·高二单元测试)在平行六面体中，设，，，则以为基底表示( )
A．B．C．D．
例10．(2023·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考期中)如图，在三棱锥中，，，若，，，则( )
A．B．
C．D．
例11．(2023·全国·高二专题练习)如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则( )
A．B．C．D．
题型三：正交分解
例12．(2023·河北邯郸·高二统考期末)已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为( )
A．B．
C．D．
例13．(2023·高二课时练习)已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为( )
A．B．C．D．
例14．(2023·高二课时练习)设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是( )
A．B．
C．D．
例15．(2023·福建三明·高二福建省宁化第一中学校考开学考试)设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是( )
A．B．C．D．
例16．(2023·浙江宁波·高二余姚中学校考期中)已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则在，，下的坐标为( )
A．B．
C．D．
例17．(2023·全国·高二专题练习)设为空间的一个标准正交基底，，，则等于( )
A．7B．C．23D．11
题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
例18．(2023·广东中山·高二校考阶段练习)在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，，
(1)求(用向量表示)；
(2)求证：点E，F，G，H四点共面．
例19．(2023·高二课时练习)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足.
(1)判断三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内.
例20．(2023·广东广州·高二广州市真光中学校考阶段练习)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设，，.
(1)求证EG⊥AB；
(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．
例21．(2023·高二课时练习)如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，．
(1)证明：、、、四点共面．
(2)若，求．
例22．(2023·北京顺义·高二牛栏山一中校考阶段练习)如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且．
(1)用向量表示向量；
(2)求证：共面；
(3)当为何值时，．
例23．(2023·河南洛阳·高二校考阶段练习)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，
∠BAD=∠BAA1=60°，∠DAA1=120°.求：
(1)的值.
(2)线段AC1 的长
例24．(2023·山东济宁·高二统考期中)已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，．
(1)求；
(2)求．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习)在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是( )
A．B．
C．D．
2．(2023·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中)在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是( )
A．B．C．D．
3．(2023·高二校考课时练习)已知直线AB，BC， 不共面，若四边形的对角线互相平分，且，则的值为( )
A．1B．C．D．
4．(2023·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中)已知矩形，为平面外一点，平面，点满足，．若，则( )
A．B．C．D．－1
5．(2023·天津·高二校联考期末)在四面体中，，Q是的中点，且M为PQ的中点，若，，，则( )．
A．B．
C．D．
6．(2023·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习)在正方体中，下列各式中运算的结果为向量的是( ).
①；②；③；④.
A．①②B．②③C．③④D．①④
7．(2023·江苏南京·高二南京师大附中校考期中)如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，，，则线段的长度为( )
A．B．
C．D．
8．(2023·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习)已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若，则为( )
A．B．
C．D．
二、多选题
9．(2023·山东菏泽·高二统考期末)如图，在平行六面体中，与交于点，且，，.则下列结论正确的有( )
A．B．
C．D．
10．(2023·高二课时练习)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )
A．
B．
C．
D．
11．(2023·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中)设且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有( )
A．B．
C． D．
12．(2023·江苏南京·高二校考期末)如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量中正确的为( )
A．B．
C．D．
三、填空题
13．(2023·高二单元测试)以下四个命题中，说法正确的有__________．(填入所有正确序号)
①若任意向量共线，则必存在唯一实数使得成立；
②若向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底；
③所有的平行向量都相等；
④是直角三角形的充要条件是．
14．(2023·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为____________．
15．(2023·高二课时练习)如图，已知空间四边形ABCD中，，，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.(用向量表示)
16．(2023·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习)在平行六面体中，，且，则的余弦值是________.
四、解答题
17．(2023·高二课时练习)如图，在四面体OABC中，设，，，G为的重心，以为空间基底表示向量，．

18．(2023·高二单元测试)对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点．
(1)试证：与，共面；
(2)，，，试用基底{，，}表示向量．
19．(2023·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中)如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且.若是的中点，设.
(1)将空间向量与用表示出来；
(2)求线段BM的长.
20．(2023·上海长宁·高二统考阶段练习)如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线．
(1)若AB＝2，求圆柱的侧面积；
(2)设AB与CD是底面互相垂直的两条直径，求异面直线AC与所成角的大小．
21．(2023·高二课时练习)如图，空间四边形OABC中，G、H分别是、的重心，D为BC的中点，设，，，试用试用基底表示向量和.

22．(2023·广西南宁·高二统考开学考试)已知在平行六面体中，，，且.
(1)求的长；
(2)求向量与夹角的余弦值.