第06讲 空间向量及其运算的坐标表示（七大题型）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

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题型一：空间向量的坐标表示
题型二：空间向量的直角坐标运算
题型三：空间向量的共线与共面
题型四：空间向量模长坐标表示
题型五：空间向量平行坐标表示
题型六：空间向量垂直坐标表示
题型七：空间向量夹角坐标表示
【知识点梳理】
知识点一、空间直角坐标系
1、空间直角坐标系
从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面.
2、右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
3、空间点的坐标
空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
知识点二、空间直角坐标系中点的坐标
1、空间直角坐标系中点的坐标的求法
通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.
特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为.
2、空间直角坐标系中对称点的坐标
在空间直角坐标系中，点，则有
点关于原点的对称点是；
点关于横轴(x轴)的对称点是；
点关于纵轴(y轴)的对称点是；
点关于竖轴(z轴)的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是.
知识点三、 空间向量的坐标运算
(1)空间两点的距离公式
若，则
①
即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
②，
或.
知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。
(2)空间线段中点坐标
空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.
(3)向量加减法、数乘的坐标运算
若，则
①;
②;
③;
(4)向量数量积的坐标运算
若，则
即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。
(5)空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式
若，则
(1).
(2).
知识点诠释：
①夹角公式可以根据数量积的定义推出：
，其中的范围是
②.
③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系(相等，互余，互补)。
(6)空间向量平行和垂直的条件
若，则
①
②
规定：与任意空间向量平行或垂直
作用：证明线线平行、线线垂直.
【典例例题】
题型一：空间向量的坐标表示
例1．(2023·高二课时练习)在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.
故选：C.
例2．(2023·北京·高二北京市第一六一中学校考期中)已知平行四边形，且，，，则顶点的坐标为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，
则，，
由题意得：，即，解得：，
故顶点的坐标为.
故选：D
例3．(2023·北京房山·高二统考期中)已知，则向量的坐标是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
故选：B
例4．(2023·全国·高二专题练习)平行六面体中，，则点的坐标为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，
∵，又，
∴，
解得，即.
故选：B.
例5．(2023·全国·高二专题练习)在空间直角坐标系中，，，则向量( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以向量．
故选：B.
例6．(2023·高二课时练习)若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是___________.
【答案】
【解析】点､，为线段上一点，且，
所以，
设点的坐标为，则，
则，即，
解得，即；
故答案为：．
例7．(2023·全国·高二专题练习)已知点，，，则点的坐标为______．
【答案】/
【解析】点，，则
设点，则
由，则 ，即x=0y=12z=1，
所以点的坐标为
故答案为：
例8．(2023·高二课时练习)已知点，，若点为线段AB上靠近的三等分点，则点的坐标为___________.
【答案】
【解析】由题设，，而，令，则，
∴，可得，即.
故答案为：
例9．(2023·全国·高二专题练习)如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为____，的坐标为____，的坐标为_______．
【答案】
【解析】如题图示，，
∴，
，
.
故答案为：，，.
题型二：空间向量的直角坐标运算
例10．(2023·全国·高二专题练习)已知，，则( )
A．-5B．-7C．3D．
【答案】B
【解析】，，
∴．
故选：B
例11．(2023·全国·高二专题练习)若，，，则( )
A．-11B．3C．4D．15
【答案】C
【解析】由已知，，
，
∴.
故选：C．
例12．(2023·全国·高二专题练习)已知向量,则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵向量,
∴.
故选:B.
例13．(2023·宁夏固原·高二校考阶段练习)已知，，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以.
故选：B
例14．(2023·广东深圳·高二统考期末)已知向量，，若，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知，
由，得，
解得.
故选：B.
例15．(2023·高二课时练习)已知，，则等于( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】.
故选：B.
例16．(2023·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习)已知向量则的坐标为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题可得，
故选:B.
题型三：空间向量的共线与共面
例17．(2023·全国·高二专题练习)已知，，若与共线，则实数( )
A．-2B．C．D．2
【答案】B
【解析】∵，，
∴，.
∵与共线，
∴，即.
故选：B.
例18．(2023·福建漳州·高二校考期中)与向量共线的单位向量可以为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以与向量共线的单位向量可以是或.
故选：D
例19．(2023·河南安阳·高二安阳一中校联考开学考试)在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，，
若三点共线，则有，得，解得，
，.
故选：B
例20．(2023·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考期末)已知向量，则与同向共线的单位向量( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为向量，
所以，
所以与同向共线的单位向量为：，
故选：C.
例21．(2023·吉林·高二吉林省实验校考期末)若,,且,为共线向量,则的值为( )
A．2B．C．6D．8
【答案】A
【解析】解:由题知,,为共线向量,
因为,,
所以有,
解得,
故.
故选:A
例22．(2023·河北保定·高二统考期末)若三点共线，则( )
A．1B．4C．6D．2
【答案】D
【解析】因为，
所以，
由三点共线，则有与共线，
所以，
解得：，
所以，
故选：D.
例23．(2023·云南昆明·高二昆明市第三中学校考阶段练习)已知向量，，，若共面，则实数的值为( )
A．B．1C．D．
【答案】D
【解析】因为共面，则设，所以，解得，
所以，
故选：D.
例24．(2023·福建泉州·高二福建省南安市侨光中学校考阶段练习)已知，，，若三向量共面，则实数等于( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】共面，可设，即，解得：.
故选：C.
例25．(2023·江苏扬州·高二统考期中)已知向量共面，则实数的值是( )
A．1B．C．2D．
【答案】C
【解析】因为共面，所以存在，使得，
整理得，解得.
故选：C.
例26．(2023·山西长治·高二山西省长治市第二中学校校考阶段练习)若空间四点共面，则的值为( )
A．B．2C．1D．
【答案】D
【解析】因A，B，C，D四点共面，则存在有序实数对，使得.
又.则，得.
故A，B，C错误，D正确.
故选：D
题型四：空间向量模长坐标表示
例27．(2023·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习)设空间向量，，若，则＝______．
【答案】3
【解析】，则显然，，解得，
则，，
故答案为：3.
例28．(2023·高二课时练习)，，则_______．
【答案】6
【解析】因为，，
所以，
所以；
故答案为：.
例29．(2023·江苏连云港·高二校考阶段练习)已知.则__________．
【答案】
【解析】因为，且，
所以，解得，
则，故，
所以.
故答案为：．
例30．(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习)已知点是点关于坐标平面yz内的对称点，则__________
【答案】3
【解析】因为点是点关于坐标平面yz内的对称点，
所以点坐标为,
所以，所以.
故答案为：3
例31．(2023·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习)若，则__________．
【答案】
【解析】因为，所以，
则.
故答案为：.
例32．(2023·新疆喀什·高二校考期末)若，则___________
【答案】
【解析】，
，
.
故答案为：.
题型五：空间向量平行坐标表示
例33．(2023·江西萍乡·高二统考期末)在空间直角坐标系中，，，若，则实数__________.
【答案】4
【解析】由题意得，，即，所以，解得.
故答案为：4
例34．(2023·上海徐汇·高二统考阶段练习)已知向量与向量平行()，则的值为______.
【答案】
【解析】因为向量与向量平行，
所以，则，解得，所以，
故答案为：.
例35．(2023·天津·高二统考期末)已知空间向量，，且与是共线向量，则实数x的值为_______．
【答案】
【解析】设，则，解得：.
故答案为：-6
例36．(2023·陕西咸阳·高二统考期末)已知空间向量与共线，则______.
【答案】
【解析】空间向量与共线，则存在实数，使得，则，
解得，所以.
故答案为：.
题型六：空间向量垂直坐标表示
例37．(2023·高二课时练习)已知，单位向量满足，则_________．
【答案】或
【解析】设向量，其中，
因为且，可得，即，
将代入，
可得或，
所以向量的坐标为或.
故答案为：或.
例38．(2023·贵州铜仁·高二统考期末)已知空间向量，，若，则______.
【答案】/
【解析】空间向量，，
由，得，解得，
所以.
故答案为：
例39．(2023·江苏盐城·高二校考阶段练习)已知向量，，若，则的值为_________.
【答案】
【解析】因为向量，，且，
则，可得.
故答案为：.
例40．(2023·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中)已知向量，且与互相垂直，则的值是__．
【答案】/
【解析】因为与互相垂直，所以，解得．
故答案为：
例41．(2023·福建泉州·高二统考期末)已知空间向量，若，则x=___________.
【答案】1
【解析】空间向量，由，得，解得，
所以.
故答案为：1
题型七：空间向量夹角坐标表示
例42．(2023·江苏宿迁·高二校考阶段练习)已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】因为向量，，且与的夹角为钝角，
所以，且，
解得，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
例43．(2023·甘肃白银·高二校考阶段练习)在空间直角坐标系中，已知，，则、夹角的余弦值是______．
【答案】/
【解析】因为，，由空间向量的夹角公式可得，
，
所以、夹角的余弦值是，
故答案为：.
例44．(2023·广东佛山·高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习)已知向量，，若与夹角为，则k的值为________．
【答案】
【解析】，，所以，可知，解得：．
故答案为：.
例45．(2023·高二课时练习)已知、、，则向量与的夹角大小为______．
【答案】
【解析】由题意得，，
，
，
与的夹角为．
故答案为：.
例46．(2023·安徽滁州·高二校考阶段练习)若向量，，且与的夹角的余弦值为，则实数的值为__________
【答案】3
【解析】向量，，
∴，
，
．
又夹角的余弦值为，
∴，
解得．
故答案为:．
例47．(2023·高二课时练习)已知向量，，，若向量与所成角为钝角，则实数的范围是______.
【答案】
【解析】因为，，，
所以，解得，
所以，
所以，，
因为向量与所成角为钝角，
所以，解得，
若向量与共线，则，解得，
此时与共线同向，
综上可得.
故答案为：
例48．(2023·辽宁大连·高二大连市第三十六中学校考期中)已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________.
【答案】且
【解析】因为，
所以，，
因为向量与的夹角为锐角，
所以，解得，
当时，，解得，
所以实数的取值范围为且.
故答案为：且.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·江苏常州·高二常州高级中学校考阶段练习)下列各组空间向量不能构成空间的一组基底的是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于A，设，无解，即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故A错误；
对于B，设，所以三个向量共面，故不可以作为空间向量一个基底，故B正确.
对于C，设，无解，即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故C错误；
对于D，设，无解, 即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故D错误.
故选：B.
2．(2023·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习)若向量，且与夹角的余弦值为，则等于( )
A．B．C．或D．2
【答案】A
【解析】因为，
所以，，
又与夹角的余弦值为，，
所以，解得，
注意到，即，所以.
故选：A.
3．(2023·江苏盐城·高二盐城中学校考期中)已知向量，若，则的值为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，
又，所以，解得.
故选：D.
4．(2023·江苏·高二校联考阶段练习)已知向量,若三个向量共面,则实数m等于( )
A．4B．6C．8D．10
【答案】A
【解析】由共面可得，即，
所以，解得．
故选：A．
5．(2023·高二课时练习)长方体中，，E为与的交点，F为与的交点，又，则长方体的高等于( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设长方体的长为，由长方体的性质建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
由可得，所以，
解得：.
故选：C.

6．(2023·高二课时练习)设，则AB的中点M到点C的距离( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为的中点，
所以
故选：C．
7．(2023·高二课时练习)已知向量，向量，且平行四边形OACB对角线的中点坐标为，则( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据题意画出图形，如图：
因为向量，向量，
且平行四边形OACB对角线的中点坐标为，
所以，，
所以，解得，
所以.
故选：A
8．(2023·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中)已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因点Q在直线上运动，则，设，于是有，
因为，，所以，，
因此，，
于是得
，
则当时，，此时点Q，
所以当取得最小值时，点Q的坐标为.
故选：C
二、多选题
9．(2023·浙江·高二浙江省开化中学校联考期中)空间直角坐标系中，已知，，，，则( )
A．
B．是等腰直角三角形
C．与平行的单位向量的坐标为或
D．在方向上的投影向量的坐标为
【答案】AC
【解析】根据空间向量的线性运算，
，选项A正确；
计算可得，三条边不相等，选项B不正确；
与平行的单位向量为：
选项C正确；
在方向上的投影向量与向量共线，，选项D不正确，
故选：AC.
10．(2023·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考期末)已知向量，，则下列结论中正确的是( )
A．若，则
B．若，则
C．不存在实数，使得
D．若，则
【答案】ACD
【解析】对于A项，由可得，解得，故A项正确；
对于B项，由可得，解得，故B项错误；
对于C项，假设存在实数，使得，则，所以不存在实数，使得，故C项正确；
对于D项，由可得，解得，所以，故D项正确.
故选：ACD.
11．(2023·江苏泰州·高二泰州中学校考期中)下列关于空间向量的命题中，正确的有( )
A．若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
B．若，则的夹角是钝角
C．已知，，若与垂直，则
D．已知A、B、C是空间中不共线的三个点，若点O满足，则点O是唯一的，且一定与A、B、C共面
【答案】ACD
【解析】因为向量是空间的一个基底，则不共面，所以也不共面，所以也可以作为空间的一个基底，故A正确；
当与的夹角为时，也可得，所以B错误；
因为，，则，，
且与垂直，所以，解得，故C正确；
因为，所以，所以共面，
所以四点共面，
如图，取中点为，取中点为，
则，
又因为，故，
所以，即，则在上且靠近的三等分点处，
即满足此关系的点只有一个，所以点唯一，且与共面，故D正确；
故选: ACD
12．(2023·江西抚州·高二统考期末)如图，矩形ADFE、矩形CDFG、正方形ABCD两两垂直，且，若线段DE上存在点P，使得，则边CG长度的可能值为( )
A．2B．C．4D．
【答案】CD
【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，
设，则，即，
又，
所以，
由，
得，
显然且，则，
所以，
因为，所以，
所以，所以.
故选：CD.
三、填空题
13．(2023·浙江丽水·高二统考期末)已知点，，向量，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】设，则，
即，故.
故答案为：
14．(2023·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考阶段练习)已知向量，若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围______.
【答案】
【解析】因为，
所以，，
因为向量与的夹角为锐角，
所以，解得，
而当时，，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
15．(2023·安徽·高二马鞍山二中校考阶段练习)已知空间向量，，，若，，共面，则______．
【答案】
【解析】若，，共面，则存在实数，使，
即
所以，解得，，．
所以．
故答案为：
16．(2023·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末)已知，，且，则为______.
【答案】
【解析】，，且，
，
即，解得
又
故答案为：
四、解答题
17．(2023·高二课时练习)已知空间三点，，，设，．
(1)设，，求；
(2)求与的夹角；
(3)若与互相垂直，求k．
【解析】(1)由题可知，，
由，得，设，
因为，
所以，解得，
所以或．
(2)因为、、，，，
所以，，
则，
所以与的夹角为．
(3)因为，，
又与垂直，
所以，
解得或．
18．(2023·高二课时练习)已知：，∥，⊥，求：
(1)，，；
(2)与所成角的余弦值.
【解析】(1)∵∥，
∴，
解得，
故，
又因为，所以0，
即，解得，
故；
(2)由(1)可得(5，2，3)，(1，﹣6，1)，
设向量与所成的角为，
则
.
19．(2023·高二课时练习)在平行六面体中，底面是矩形，，，平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标.

(1)；
(2)；
(3)；
【解析】(1)

如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，以过点作的平行线为轴建立空间直角坐标系．
设点，点在平面上则，
由图可知它到轴投影对应数值，则，
到轴投影对应数值为，则，即，
设点，点在平面上则，
由图可知它到轴投影对应数值，则，
到轴投影对应数值为，则，即，
设点，点在平面上则，
由图可知它到轴投影对应数值，则，
到轴投影对应数值为，则，即，
且点在轴上，则.
(2)是的重心，由三角形重心公式可得
.
(3)设，且，则，，
又 ，即
点B坐标为.
20．(2023·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习)如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点．
(1)求的距离；
(2)求的值．
【解析】(1)如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，依题意得，，，．
，∴
∴．
所以的距离为.
(2)依题意得，，，，
∴，，
，，，
∴．
21．(2023·江西吉安·高二江西省吉水县第二中学校考期末)已知，，点，．
(1)求的值．
(2)在线段AB上，是否存在一点E，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．(O为坐标原点)
【解析】(1)因为，，
所以，
则.
(2)假设线段AB上存在一点E，使得，则设，
因为，，所以，
又因为，
所以，
因为，，
所以，解得，满足，
所以，即，
所以线段AB上存在一点E，使得，且.
22．(2023·福建·高二校联考阶段练习)已知空间三点，，，．
(1)求以为边的平行四边形的面积；
(2)若，且，点是的中点，求的值．
【解析】(1)
，，
，
，
.
(2)点是的中点，
，
，
.