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第08讲 直线的倾斜角与斜率（七大题型）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义
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题型一：直线的倾斜角与斜率定义
题型二：斜率与倾斜角的变化关系
题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数
题型四：直线与线段相交关系求斜率范围
题型五：直线平行
题型六：直线垂直
题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用
【知识点梳理】
知识点一：直线的倾斜角
平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角．
规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．
知识点诠释：
1、要清楚定义中含有的三个条件
①直线向上方向；
②轴正向；
③小于的角．
2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．
3、倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合．
4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应．
5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置．
知识点二：直线的斜率
1、定义：
倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．
知识点诠释：
(1)当直线与x轴平行或重合时，，；
(2)直线与x轴垂直时，，k不存在．
由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在．
2、直线的倾斜角与斜率之间的关系
由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．
知识点三：斜率公式
已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式．
知识点诠释：
1、对于上面的斜率公式要注意下面五点：
(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直；
(2)与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；
(3)斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；
(4)当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合；
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：
(1)由、点的坐标求的值；
(2)已知及中的三个量可求第四个量；
(3)已知及、的横坐标(或纵坐标)可求；
(4)证明三点共线．
知识点四：两直线平行的条件
设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即．
因此，若，则．
反之，若，则．
知识点诠释：
1、公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合；
2、当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则．
知识点五：两直线垂直的条件
设两条直线的斜率分别为．若，则．
知识点诠释：
1、公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；
2、当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直．
【典例例题】
题型一：直线的倾斜角与斜率定义
例1．(2023·山东滨州·高二统考期末)直线的倾斜角为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为直线的斜率为，因此，该直线的倾斜角为.
故选：A.
例2．(2023·高二课时练习)对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】对于①：若是直线的倾斜角，则；满足直线倾斜角的定义，则①正确；
对于②：直线倾斜角为且，它的斜率；倾斜角为时没有斜率，所以②错误；
对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为时没有斜率，所以③正确；④错误；
其中正确说法的个数为2.
故选：B.
例3．(2023·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中)已知倾斜角为的直线与直线的夹角为，则的值为( )
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【解析】，即，
设直线的倾斜角为，，则，，
夹角为，故或.
故选：C.
例4．(2023·江苏南京·高二南京师范大学附属中学江宁分校校考期中)直线经过，两点，则直线的倾斜角是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设直线的倾斜角为，由已知可得直线的斜率，
又，所以倾斜角是，
故选：B.
例5．(2023·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第四中学校考期中)已知直线经过点，，该直线的倾斜角为( )．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为直线过点，，
所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以，
故选：C.
例6．(2023·湖南郴州·高二校考期中)直线n的倾斜角为150°，则它的斜率k＝( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】它的斜率k＝.
故选：B
题型二：斜率与倾斜角的变化关系
例7．(2023·福建宁德·高二统考期中)已知直线过，两点，且倾斜角为，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为直线过，两点，且倾斜角为，
所以，解得，
故选：C.
例8．(2023·高二课时练习)若如图中的直线的斜率为，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设直线的倾斜角分别为，显然，且，
所以，
又在上单调递增，故，
所以.
故选：C
例9．(2023·上海黄浦·高二上海市敬业中学校考期中)直线的倾斜角的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知,若 a = 0 ,则倾斜角为,
若,则,
①当时，(当且仅当时，取“”)，
②当时，(当且仅当时，取“”)，
，故，
综上，，
故选：C.
例10．(2023·安徽六安·高二校考阶段练习)若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为直线的斜率，
又因为直线的倾斜角为锐角，
所以，解得.
故选：C
例11．(2023·山东青岛·高二统考开学考试)已知直线的斜率为,则的倾斜角为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解:因为斜率为-1,设直线倾斜角为,,
所以,即.
故选:D
例12．(2023·湖南湘潭·高二校联考期末)若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为( )
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【解析】设直线的倾斜角为，
因为，所以，
当时，即，则；
当时，即，则，
所以直线的倾斜角为或.
故选：C.
题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数
例13．(2023·青海西宁·高二统考期末)经过点的直线的斜率为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】．
故选：C.
例14．(2023·广西南宁·高二统考开学考试)已知，，则直线的斜率为( )
A．B．C．D．7
【答案】B
【解析】因为，，所以线的斜率为.
故选：B.
例15．(2023·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末)已知直线斜率等于，则该直线的倾斜角为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设该直线的倾斜角为，则
由，得，又，所以.
故选：D.
例16．(2023·广东汕尾·高二华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习)若过两点，的直线的倾斜角为150°，则的值为( )
A．B．0C．D．3
【答案】B
【解析】因为过两点，的直线的倾斜角为150°，
所以直线斜率为 ，即，
解得.
故选：B.
例17．(2023·湖北荆州·高二统考阶段练习)若直线经过两点，，且其倾斜角为135°，则m的值为( )
A．0B．C．D．
【答案】D
【解析】经过两点，的直线的斜率为，
又直线的倾斜角为135°，∴，解得．
故选：D
例18．(2023·江苏连云港·高二统考期末)设为实数，已知过两点，的直线的斜率为，则的值为( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】因为过两点，的直线的斜率为，
所以，解得.
故选：C
题型四：直线与线段相交关系求斜率范围
例19．(2023·广东梅州·高二校联考阶段练习)已知点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】直线的斜率分别为,
结合图形可知：直线过点且与线段相交时，，
故选：B
例20．(2023·广东深圳·高二统考期末)已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】过点作，垂足为点，如图所示：
设直线交线段于点，设直线的斜率为，且，，
当点在从点运动到点(不包括点)时，直线的倾斜角逐渐增大，
此时；
当点在从点运动到点时，直线的倾斜角逐渐增大，此时.
综上所述，直线的斜率的取值范围是.
故选：D.
例21．(2023·安徽滁州·高二校考期中)已知点，，，若点是线段上的一点，则直线的斜率的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由斜率公式可得，得，
由图像可知，
当介于之间时，直线斜率的取值范围为，
当介于之间时，直线斜率的取值范围为 ，
所以直线的斜率的取值范围为，
故选：D．
例22．(2023·广东肇庆·高二校考期中)已知两点，过点的直线与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意：如下图所示：
所以，，则，
若直线的倾斜角，则，所以，
故选：.
例23．(2023·江苏连云港·高二校考期末)经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题知，直线的倾斜角为，则，
，，
且直线与连接点，的线段总有公共点，
如下图所示，
则，即，
.
故选：B
例24．(2023·江苏盐城·高二盐城中学校考期末)已知、，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A．B．C．D．或
【答案】A
【解析】设直线与线段交于点，其中，
所以，.
故选：A.
题型五：直线平行
例25．(2023·上海浦东新·高二校考期末)已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx＋y－1－m＝0，当时，m＝_________
【答案】1
【解析】因为，且斜率一定存在，所以，即，
又因为，为两条不同的直线，所以，所以
故答案为：1
例26．(2023·江苏·高二专题练习)已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是______．
【答案】平行或重合
【解析】由已知，得，，
，但直线在y轴上的截距不确定，
直线与的位置关系是平行或重合．
故答案为：平行或重合．
例27．(2023·高二课时练习)直线的倾斜角为，直线过，，则直线与的位置关系为______.
【答案】平行或重合
【解析】倾斜角为 的斜率
过点， 的斜率
与平行或重合
本题正确结果：平行或重合
例28．(2023·云南临沧·高二校考阶段练习)已知直线：，：.当时，___________.
【答案】
【解析】当时，则需满足，解得，
故答案为：
例29．(2023·高二校考课时练习)已知两条直线和互相平行，则正数a的值为____.
【答案】2
【解析】根据两条直线的方程可以得出它们的斜率分别是，;
因为两条直线平行，所以有，解得或.
又因为，所以.经检验符合题意
故答案为：2.
例30．(2023·上海静安·高二校考期中)已知直线，，若，则实数______．
【答案】
【解析】因为直线，，且,
所以，解得或，
当直线，，两直线重合，故舍去.
故答案为：
题型六：直线垂直
例31．(2023·高二课时练习)直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是______．
【答案】垂直
【解析】①当时，直线过点和点，
直线过点和点，
此时直线的斜率，直线的斜率不存在，因此；
②当时，直线过点和点，直线过点
和点．此时直线的斜率不存在，直线的斜率，因此；
③当时，直线的斜率，直线的斜率，
此时，∴．
故答案为：垂直.
例32．(2023·全国·高二期中)已知三点，则△ABC为__________ 三角形.
【答案】直角
【解析】如图，猜想是直角三角形，
由题可得边所在直线的斜率,边所在直线的斜率，
由，得即，
所以是直角三角形.
故答案为：直角.
例33．(2023·高二课时练习)已知两条直线的斜率是方程的两个根，则与的位置关系是______
【答案】垂直
【解析】解析由方程，知恒成立.
故方程有两相异实根，即与的斜率均存在.
设两根为，则 ，所以
故答案为：垂直
例34．(2023·山东滨州·高二统考期末)已知直线与直线垂直，则实数a的值为________．
【答案】或
【解析】因为直线与直线垂直，
则，解得或.
故答案为：或.
例35．(2023·广东广州·高二广州市培正中学校考期中)已知经过点和点的直线l1与经过点和点的直线互相垂直，则实数_____.
【答案】
【解析】因为，，所以，
因为两条直线相互垂直，所以直线的斜率必然存在，
又，，则，，
又所以，解得．
所以．
故答案为：.
例36．(2023·高二课时练习)已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为________________.
【答案】0或5
【解析】因为直线经过点，且，所以的斜率存在，
而经过点，则其斜率可能不存在，
当的斜率不存在时，，即，此时的斜率为0，则，满足题意；
当的斜率存在时，，即，此时直线的斜率均存在，
由得，即，解得；
综上，a的值为0或5.
故答案为：0或5.
题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用
例37．(2023·高二课时练习)在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点(异于端点)，设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .
【解析】由点和点，知直线的斜率为，
由点和点，知直线的斜率为，
因为，所以，即；
由点和点，知直线的斜率为，
由点和点，知直线的斜率为，
则直线与的斜率之积为，
所以.
例38．(2023·高二课时练习)已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标.
【解析】由题，，
所以kAC=2，，kBC=－3，
设D的坐标为(x，y)，分以下三种情况：
①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC，
所以，，，
得x=7，y=5，即
②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC，
所以，，
得x=－1，y=9，即
③当AB为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC
所以，
得x=3，y=－3，即
所以D的坐标为或或.
例39．(2023·全国·高二专题练习)在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明．
【解析】四边形是矩形．证明如下：
边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，
所以，，所以，，
所以四边形是平行四边形．
又，
所以，所以四边形是矩形．
又，，
令，即，无解，
所以与不垂直，故四边形是矩形．
例40．(2023·全国·高二专题练习)已知，，.
(1)若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标；
(2)在(1)的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形.
【解析】(1)由题意得，
，，设.
若四边形是平行四边形，则，，
即，解得，即.
若四边形是平行四边形，
则，，
即，解得，即.
若四边形是平行四边形，
则，，
即，解得，即.
综上，点的坐标为(-1，6)或(7，2)或(3，-2).
(2)若的坐标为(-1，6)，
因为，，
所以，所以，
所以平行四边形为菱形.
若的坐标为(7，2)，
因为，，
所以，所以平行四边形不是菱形.
若的坐标为(3，-2)，因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形.
因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形.
例41．(2023·全国·高二专题练习)已知四边形ABCD的顶点，，，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】设点．若，则，解得，
点．
若，则，解得，点
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·江西萍乡·高二统考期末)若直线与直线垂直，则实数( )
A．0B．1C．D．
【答案】D
【解析】直线与直线垂直，
则，解得．
故选：．
2．(2023·高二课时练习)已知直线l的倾斜角为，直线经过点，，且与l垂直，直线与直线平行，则等于( )
A．B．C．0D．2
【答案】B
【解析】由题意知：，而与l垂直，即，
又直线与直线平行，则，故，
又经过点，，则，解得，
所以.
故选：B.
3．(2023·广东汕头·高二金山中学校考期中)已知两条直线，，则是的( )
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，，，，所以；
当时，可得，解得或，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：A.
4．(2023·高二课时练习)以为顶点的四边形是( )
A．平行四边形，但不是矩形B．矩形C．梯形，但不是直角梯形D．直角梯形
【答案】D
【解析】
在坐标系中画出ABCD点，大致如上图，其中，
，
，
所以四边形ABCD是直角梯形；
故选：D.
5．(2023·江西抚州·高二统考期末)已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】如图所示，
，
因为为的边上一动点，
所以直线斜率的变化范围是.
故选：D.
6．(2023·安徽六安·高二校考阶段练习)已知，，若在线段上，则的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为点在线段上，
所以，且，
即，所以，
设，
所以当时，.
故选：D.
7．(2023·安徽六安·高二校考阶段练习)若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为直线的斜率，
又因为直线的倾斜角为锐角，
所以，解得.
故选：C
8．(2023·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中)已知倾斜角为的直线与直线的夹角为，则的值为( )
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【解析】，即，
设直线的倾斜角为，，则，，
夹角为，故或.
故选：C.
二、多选题
9．(2023·山东济南·高二校考期中)若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，斜率分别为，则下列命题正确的是( )
A．若斜率，则 B．若，则
C．若倾斜角，则 D．若，则
【答案】ABC
【解析】对于A, 若两直线斜率，则它们的倾斜角，则，正确；
对于B，由两直线垂直的条件可知，若，则，正确；
对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角，则 ，正确；
对于D, 若，不妨取，
则，不满足，不垂直，D错误，
故选：
10．(2023·高二课时练习)若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转45°后得直线，则直线的倾斜角可能为( )
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】解析：当时，直线的倾斜角为(如直线AC旋转至直线AD)；
当时，直线的倾斜角为(如直线AD旋转至直线AB).
故选：BC.
11．(2023·山西长治·高二山西省长治市第二中学校校考阶段练习)已知点,若过点的直线与线段相交，则直线的倾斜角可以是( )
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】设，由题得,所以直线的倾斜角为.
由题得,所以直线的倾斜角为.
由图可知直线与线段相交，须满足直线的倾斜角.
故选：BC
12．(2023·高二课时练习)已知点，，．若为直角三角形，则可能有( )
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】由题意知，
若为直角顶点，则在轴上，则必为，此时，重合，不符合题意，故C错误；
若为直角顶点，则，故A正确；
若B为直角顶点，根据斜率关系,可知，
所以，即，故B正确；
和不可能同时成立，所以不可能成立，故D错误.
故选：AB．
三、填空题
13．(2023·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中)直线的倾斜角是 _____.
【答案】
【解析】由得：，
所以直线的斜率为，
直线的倾斜角为.
故答案为：.
14．(2023·高二课时练习)已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为________________.
【答案】0或5
【解析】因为直线经过点，且，所以的斜率存在，
而经过点，则其斜率可能不存在，
当的斜率不存在时，，即，此时的斜率为0，则，满足题意；
当的斜率存在时，，即，此时直线的斜率均存在，
由得，即，解得；
综上，a的值为0或5.
故答案为：0或5.
15．(2023·高二课时练习)直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围是__________．
【答案】
【解析】如图：
当直线l的斜率，
直线l的倾斜角的取值范围为：.
故答案为：.
16．(2023·全国·高二专题练习)若实数、满足，，则代数式的取值范围为______
【答案】
【解析】
如图，，，，
则，.
因为，可表示点与线段上任意一点连线的斜率，
由图象可知，，
所以有.
故答案为：.
四、解答题
17．(2023·广东汕尾·高二华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习)已知，，.
(1)求直线和的斜率；
(2)若点在线段(包括端点)上移动时，求直线的斜率的取值范围.
【解析】(1)由斜率公式可得直线的斜率，
直线的斜率.
(2)如图所示，当点在AB上运动时，，，直线的斜率由负无穷增大到，由增大到正无穷大，所以直线的斜率的变化范围是.
18．(2023·青海海南·高二海南藏族自治州高级中学校考阶段练习)根据下列给定的条件，判断两直线的位置关系.
(1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3).
【解析】(1)
则
两直线斜率相同，轴上截距不同
故与平行；
(2)，
则，
故与垂直.
19．(2023·河南·高二校联考阶段练习)判断下列三点是否在同一条直线上：
(1)；
(2).
【解析】(1)因为，，
所以，
所以A，B，C三点不在同一条直线上.
(2)因为，，
所以.
又直线DE与直线DF有公共点D，
所以D，E，F三点在同一条直线上.
20．(2023·高二课时练习)已知点，，点在线段上.
(1)求直线的斜率；
(2)求的最大值.
【解析】(1)由题意知，直线的斜率.
(2)当点在两点之间时，
由点在线段上，
易知，即，
即，
当P与重合时也满足，
因此，
亦即，且，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立.
故的最大值为.
21．(2023·高二课时练习)在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点(异于端点)，设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .
【解析】由点和点，知直线的斜率为，
由点和点，知直线的斜率为，
因为，所以，即；
由点和点，知直线的斜率为，
由点和点，知直线的斜率为，
则直线与的斜率之积为，
所以.
22．(2023·山西太原·高二山西大附中校考阶段练习)已知坐标平面内三点.
(1)求直线的斜率和倾斜角；
(2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标；
(3)若是线段上一动点，求的取值范围.
【解析】(1)因为直线的斜率为.
所以直线的倾斜角为；
(2)如图，当点在第一象限时，.
设，则，解得，
故点的坐标为；
(3)由题意得为直线的斜率.
当点与点重合时，直线的斜率最小，；
当点与点重合时，直线的斜率最大，.
故直线的斜率的取值范围为，
即的取值范围为.
题型一：直线的倾斜角与斜率定义
题型二：斜率与倾斜角的变化关系
题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数
题型四：直线与线段相交关系求斜率范围
题型五：直线平行
题型六：直线垂直
题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用
【知识点梳理】
知识点一：直线的倾斜角
平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角．
规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．
知识点诠释：
1、要清楚定义中含有的三个条件
①直线向上方向；
②轴正向；
③小于的角．
2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．
3、倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合．
4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应．
5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置．
知识点二：直线的斜率
1、定义：
倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．
知识点诠释：
(1)当直线与x轴平行或重合时，，；
(2)直线与x轴垂直时，，k不存在．
由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在．
2、直线的倾斜角与斜率之间的关系
由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．
知识点三：斜率公式
已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式．
知识点诠释：
1、对于上面的斜率公式要注意下面五点：
(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直；
(2)与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；
(3)斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；
(4)当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合；
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：
(1)由、点的坐标求的值；
(2)已知及中的三个量可求第四个量；
(3)已知及、的横坐标(或纵坐标)可求；
(4)证明三点共线．
知识点四：两直线平行的条件
设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即．
因此，若，则．
反之，若，则．
知识点诠释：
1、公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合；
2、当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则．
知识点五：两直线垂直的条件
设两条直线的斜率分别为．若，则．
知识点诠释：
1、公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；
2、当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直．
【典例例题】
题型一：直线的倾斜角与斜率定义
例1．(2023·山东滨州·高二统考期末)直线的倾斜角为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为直线的斜率为，因此，该直线的倾斜角为.
故选：A.
例2．(2023·高二课时练习)对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】对于①：若是直线的倾斜角，则；满足直线倾斜角的定义，则①正确；
对于②：直线倾斜角为且，它的斜率；倾斜角为时没有斜率，所以②错误；
对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为时没有斜率，所以③正确；④错误；
其中正确说法的个数为2.
故选：B.
例3．(2023·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中)已知倾斜角为的直线与直线的夹角为，则的值为( )
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【解析】，即，
设直线的倾斜角为，，则，，
夹角为，故或.
故选：C.
例4．(2023·江苏南京·高二南京师范大学附属中学江宁分校校考期中)直线经过，两点，则直线的倾斜角是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设直线的倾斜角为，由已知可得直线的斜率，
又，所以倾斜角是，
故选：B.
例5．(2023·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第四中学校考期中)已知直线经过点，，该直线的倾斜角为( )．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为直线过点，，
所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以，
故选：C.
例6．(2023·湖南郴州·高二校考期中)直线n的倾斜角为150°，则它的斜率k＝( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】它的斜率k＝.
故选：B
题型二：斜率与倾斜角的变化关系
例7．(2023·福建宁德·高二统考期中)已知直线过，两点，且倾斜角为，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为直线过，两点，且倾斜角为，
所以，解得，
故选：C.
例8．(2023·高二课时练习)若如图中的直线的斜率为，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设直线的倾斜角分别为，显然，且，
所以，
又在上单调递增，故，
所以.
故选：C
例9．(2023·上海黄浦·高二上海市敬业中学校考期中)直线的倾斜角的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知,若 a = 0 ,则倾斜角为,
若,则,
①当时，(当且仅当时，取“”)，
②当时，(当且仅当时，取“”)，
，故，
综上，，
故选：C.
例10．(2023·安徽六安·高二校考阶段练习)若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为直线的斜率，
又因为直线的倾斜角为锐角，
所以，解得.
故选：C
例11．(2023·山东青岛·高二统考开学考试)已知直线的斜率为,则的倾斜角为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解:因为斜率为-1,设直线倾斜角为,,
所以,即.
故选:D
例12．(2023·湖南湘潭·高二校联考期末)若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为( )
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【解析】设直线的倾斜角为，
因为，所以，
当时，即，则；
当时，即，则，
所以直线的倾斜角为或.
故选：C.
题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数
例13．(2023·青海西宁·高二统考期末)经过点的直线的斜率为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】．
故选：C.
例14．(2023·广西南宁·高二统考开学考试)已知，，则直线的斜率为( )
A．B．C．D．7
【答案】B
【解析】因为，，所以线的斜率为.
故选：B.
例15．(2023·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末)已知直线斜率等于，则该直线的倾斜角为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设该直线的倾斜角为，则
由，得，又，所以.
故选：D.
例16．(2023·广东汕尾·高二华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习)若过两点，的直线的倾斜角为150°，则的值为( )
A．B．0C．D．3
【答案】B
【解析】因为过两点，的直线的倾斜角为150°，
所以直线斜率为 ，即，
解得.
故选：B.
例17．(2023·湖北荆州·高二统考阶段练习)若直线经过两点，，且其倾斜角为135°，则m的值为( )
A．0B．C．D．
【答案】D
【解析】经过两点，的直线的斜率为，
又直线的倾斜角为135°，∴，解得．
故选：D
例18．(2023·江苏连云港·高二统考期末)设为实数，已知过两点，的直线的斜率为，则的值为( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】因为过两点，的直线的斜率为，
所以，解得.
故选：C
题型四：直线与线段相交关系求斜率范围
例19．(2023·广东梅州·高二校联考阶段练习)已知点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】直线的斜率分别为,
结合图形可知：直线过点且与线段相交时，，
故选：B
例20．(2023·广东深圳·高二统考期末)已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】过点作，垂足为点，如图所示：
设直线交线段于点，设直线的斜率为，且，，
当点在从点运动到点(不包括点)时，直线的倾斜角逐渐增大，
此时；
当点在从点运动到点时，直线的倾斜角逐渐增大，此时.
综上所述，直线的斜率的取值范围是.
故选：D.
例21．(2023·安徽滁州·高二校考期中)已知点，，，若点是线段上的一点，则直线的斜率的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由斜率公式可得，得，
由图像可知，
当介于之间时，直线斜率的取值范围为，
当介于之间时，直线斜率的取值范围为 ，
所以直线的斜率的取值范围为，
故选：D．
例22．(2023·广东肇庆·高二校考期中)已知两点，过点的直线与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意：如下图所示：
所以，，则，
若直线的倾斜角，则，所以，
故选：.
例23．(2023·江苏连云港·高二校考期末)经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题知，直线的倾斜角为，则，
，，
且直线与连接点，的线段总有公共点，
如下图所示，
则，即，
.
故选：B
例24．(2023·江苏盐城·高二盐城中学校考期末)已知、，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A．B．C．D．或
【答案】A
【解析】设直线与线段交于点，其中，
所以，.
故选：A.
题型五：直线平行
例25．(2023·上海浦东新·高二校考期末)已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx＋y－1－m＝0，当时，m＝_________
【答案】1
【解析】因为，且斜率一定存在，所以，即，
又因为，为两条不同的直线，所以，所以
故答案为：1
例26．(2023·江苏·高二专题练习)已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是______．
【答案】平行或重合
【解析】由已知，得，，
，但直线在y轴上的截距不确定，
直线与的位置关系是平行或重合．
故答案为：平行或重合．
例27．(2023·高二课时练习)直线的倾斜角为，直线过，，则直线与的位置关系为______.
【答案】平行或重合
【解析】倾斜角为 的斜率
过点， 的斜率
与平行或重合
本题正确结果：平行或重合
例28．(2023·云南临沧·高二校考阶段练习)已知直线：，：.当时，___________.
【答案】
【解析】当时，则需满足，解得，
故答案为：
例29．(2023·高二校考课时练习)已知两条直线和互相平行，则正数a的值为____.
【答案】2
【解析】根据两条直线的方程可以得出它们的斜率分别是，;
因为两条直线平行，所以有，解得或.
又因为，所以.经检验符合题意
故答案为：2.
例30．(2023·上海静安·高二校考期中)已知直线，，若，则实数______．
【答案】
【解析】因为直线，，且,
所以，解得或，
当直线，，两直线重合，故舍去.
故答案为：
题型六：直线垂直
例31．(2023·高二课时练习)直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是______．
【答案】垂直
【解析】①当时，直线过点和点，
直线过点和点，
此时直线的斜率，直线的斜率不存在，因此；
②当时，直线过点和点，直线过点
和点．此时直线的斜率不存在，直线的斜率，因此；
③当时，直线的斜率，直线的斜率，
此时，∴．
故答案为：垂直.
例32．(2023·全国·高二期中)已知三点，则△ABC为__________ 三角形.
【答案】直角
【解析】如图，猜想是直角三角形，
由题可得边所在直线的斜率,边所在直线的斜率，
由，得即，
所以是直角三角形.
故答案为：直角.
例33．(2023·高二课时练习)已知两条直线的斜率是方程的两个根，则与的位置关系是______
【答案】垂直
【解析】解析由方程，知恒成立.
故方程有两相异实根，即与的斜率均存在.
设两根为，则 ，所以
故答案为：垂直
例34．(2023·山东滨州·高二统考期末)已知直线与直线垂直，则实数a的值为________．
【答案】或
【解析】因为直线与直线垂直，
则，解得或.
故答案为：或.
例35．(2023·广东广州·高二广州市培正中学校考期中)已知经过点和点的直线l1与经过点和点的直线互相垂直，则实数_____.
【答案】
【解析】因为，，所以，
因为两条直线相互垂直，所以直线的斜率必然存在，
又，，则，，
又所以，解得．
所以．
故答案为：.
例36．(2023·高二课时练习)已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为________________.
【答案】0或5
【解析】因为直线经过点，且，所以的斜率存在，
而经过点，则其斜率可能不存在，
当的斜率不存在时，，即，此时的斜率为0，则，满足题意；
当的斜率存在时，，即，此时直线的斜率均存在，
由得，即，解得；
综上，a的值为0或5.
故答案为：0或5.
题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用
例37．(2023·高二课时练习)在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点(异于端点)，设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .
【解析】由点和点，知直线的斜率为，
由点和点，知直线的斜率为，
因为，所以，即；
由点和点，知直线的斜率为，
由点和点，知直线的斜率为，
则直线与的斜率之积为，
所以.
例38．(2023·高二课时练习)已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标.
【解析】由题，，
所以kAC=2，，kBC=－3，
设D的坐标为(x，y)，分以下三种情况：
①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC，
所以，，，
得x=7，y=5，即
②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC，
所以，，
得x=－1，y=9，即
③当AB为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC
所以，
得x=3，y=－3，即
所以D的坐标为或或.
例39．(2023·全国·高二专题练习)在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明．
【解析】四边形是矩形．证明如下：
边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，
所以，，所以，，
所以四边形是平行四边形．
又，
所以，所以四边形是矩形．
又，，
令，即，无解，
所以与不垂直，故四边形是矩形．
例40．(2023·全国·高二专题练习)已知，，.
(1)若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标；
(2)在(1)的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形.
【解析】(1)由题意得，
，，设.
若四边形是平行四边形，则，，
即，解得，即.
若四边形是平行四边形，
则，，
即，解得，即.
若四边形是平行四边形，
则，，
即，解得，即.
综上，点的坐标为(-1，6)或(7，2)或(3，-2).
(2)若的坐标为(-1，6)，
因为，，
所以，所以，
所以平行四边形为菱形.
若的坐标为(7，2)，
因为，，
所以，所以平行四边形不是菱形.
若的坐标为(3，-2)，因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形.
因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形.
例41．(2023·全国·高二专题练习)已知四边形ABCD的顶点，，，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】设点．若，则，解得，
点．
若，则，解得，点
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·江西萍乡·高二统考期末)若直线与直线垂直，则实数( )
A．0B．1C．D．
【答案】D
【解析】直线与直线垂直，
则，解得．
故选：．
2．(2023·高二课时练习)已知直线l的倾斜角为，直线经过点，，且与l垂直，直线与直线平行，则等于( )
A．B．C．0D．2
【答案】B
【解析】由题意知：，而与l垂直，即，
又直线与直线平行，则，故，
又经过点，，则，解得，
所以.
故选：B.
3．(2023·广东汕头·高二金山中学校考期中)已知两条直线，，则是的( )
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，，，，所以；
当时，可得，解得或，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：A.
4．(2023·高二课时练习)以为顶点的四边形是( )
A．平行四边形，但不是矩形B．矩形C．梯形，但不是直角梯形D．直角梯形
【答案】D
【解析】
在坐标系中画出ABCD点，大致如上图，其中，
，
，
所以四边形ABCD是直角梯形；
故选：D.
5．(2023·江西抚州·高二统考期末)已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】如图所示，
，
因为为的边上一动点，
所以直线斜率的变化范围是.
故选：D.
6．(2023·安徽六安·高二校考阶段练习)已知，，若在线段上，则的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为点在线段上，
所以，且，
即，所以，
设，
所以当时，.
故选：D.
7．(2023·安徽六安·高二校考阶段练习)若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为直线的斜率，
又因为直线的倾斜角为锐角，
所以，解得.
故选：C
8．(2023·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中)已知倾斜角为的直线与直线的夹角为，则的值为( )
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【解析】，即，
设直线的倾斜角为，，则，，
夹角为，故或.
故选：C.
二、多选题
9．(2023·山东济南·高二校考期中)若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，斜率分别为，则下列命题正确的是( )
A．若斜率，则 B．若，则
C．若倾斜角，则 D．若，则
【答案】ABC
【解析】对于A, 若两直线斜率，则它们的倾斜角，则，正确；
对于B，由两直线垂直的条件可知，若，则，正确；
对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角，则 ，正确；
对于D, 若，不妨取，
则，不满足，不垂直，D错误，
故选：
10．(2023·高二课时练习)若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转45°后得直线，则直线的倾斜角可能为( )
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】解析：当时，直线的倾斜角为(如直线AC旋转至直线AD)；
当时，直线的倾斜角为(如直线AD旋转至直线AB).
故选：BC.
11．(2023·山西长治·高二山西省长治市第二中学校校考阶段练习)已知点,若过点的直线与线段相交，则直线的倾斜角可以是( )
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】设，由题得,所以直线的倾斜角为.
由题得,所以直线的倾斜角为.
由图可知直线与线段相交，须满足直线的倾斜角.
故选：BC
12．(2023·高二课时练习)已知点，，．若为直角三角形，则可能有( )
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】由题意知，
若为直角顶点，则在轴上，则必为，此时，重合，不符合题意，故C错误；
若为直角顶点，则，故A正确；
若B为直角顶点，根据斜率关系,可知，
所以，即，故B正确；
和不可能同时成立，所以不可能成立，故D错误.
故选：AB．
三、填空题
13．(2023·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中)直线的倾斜角是 _____.
【答案】
【解析】由得：，
所以直线的斜率为，
直线的倾斜角为.
故答案为：.
14．(2023·高二课时练习)已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为________________.
【答案】0或5
【解析】因为直线经过点，且，所以的斜率存在，
而经过点，则其斜率可能不存在，
当的斜率不存在时，，即，此时的斜率为0，则，满足题意；
当的斜率存在时，，即，此时直线的斜率均存在，
由得，即，解得；
综上，a的值为0或5.
故答案为：0或5.
15．(2023·高二课时练习)直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围是__________．
【答案】
【解析】如图：
当直线l的斜率，
直线l的倾斜角的取值范围为：.
故答案为：.
16．(2023·全国·高二专题练习)若实数、满足，，则代数式的取值范围为______
【答案】
【解析】
如图，，，，
则，.
因为，可表示点与线段上任意一点连线的斜率，
由图象可知，，
所以有.
故答案为：.
四、解答题
17．(2023·广东汕尾·高二华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习)已知，，.
(1)求直线和的斜率；
(2)若点在线段(包括端点)上移动时，求直线的斜率的取值范围.
【解析】(1)由斜率公式可得直线的斜率，
直线的斜率.
(2)如图所示，当点在AB上运动时，，，直线的斜率由负无穷增大到，由增大到正无穷大，所以直线的斜率的变化范围是.
18．(2023·青海海南·高二海南藏族自治州高级中学校考阶段练习)根据下列给定的条件，判断两直线的位置关系.
(1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3).
【解析】(1)
则
两直线斜率相同，轴上截距不同
故与平行；
(2)，
则，
故与垂直.
19．(2023·河南·高二校联考阶段练习)判断下列三点是否在同一条直线上：
(1)；
(2).
【解析】(1)因为，，
所以，
所以A，B，C三点不在同一条直线上.
(2)因为，，
所以.
又直线DE与直线DF有公共点D，
所以D，E，F三点在同一条直线上.
20．(2023·高二课时练习)已知点，，点在线段上.
(1)求直线的斜率；
(2)求的最大值.
【解析】(1)由题意知，直线的斜率.
(2)当点在两点之间时，
由点在线段上，
易知，即，
即，
当P与重合时也满足，
因此，
亦即，且，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立.
故的最大值为.
21．(2023·高二课时练习)在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点(异于端点)，设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .
【解析】由点和点，知直线的斜率为，
由点和点，知直线的斜率为，
因为，所以，即；
由点和点，知直线的斜率为，
由点和点，知直线的斜率为，
则直线与的斜率之积为，
所以.
22．(2023·山西太原·高二山西大附中校考阶段练习)已知坐标平面内三点.
(1)求直线的斜率和倾斜角；
(2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标；
(3)若是线段上一动点，求的取值范围.
【解析】(1)因为直线的斜率为.
所以直线的倾斜角为；
(2)如图，当点在第一象限时，.
设，则，解得，
故点的坐标为；
(3)由题意得为直线的斜率.
当点与点重合时，直线的斜率最小，；
当点与点重合时，直线的斜率最大，.
故直线的斜率的取值范围为，
即的取值范围为.
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