第09讲 直线的方程（十大题型）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

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题型一：点斜式直线方程
题型二：斜截式直线方程
题型三：两点式直线方程
题型四：截距式直线方程
题型五：中点坐标公式
题型六：直线的一般式方程
题型七：直线方程的综合应用
题型八：判断动直线所过定点
题型九：直线与坐标轴形成三角形问题
题型十：直线方程的实际应用
【知识点梳理】
知识点一：直线的点斜式方程
方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．
知识点诠释：
1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；
2、当直线的倾斜角为时，直线方程为；
3、当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：．
4、表示直线去掉一个点；表示一条直线．
知识点二：直线的斜截式方程
如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
知识点诠释：
1、b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；
2、斜截式方程可由过点的点斜式方程得到；
3、当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式．
4、斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线．
5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距．
知识点三：直线的两点式方程
经过两点(其中)的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式．
知识点诠释：
1、这个方程由直线上两点确定；
2、当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程．
3、直线方程的表示与选择的顺序无关．
4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．
知识点四：直线的截距式方程
若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距．
知识点诠释：
1、截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线．
2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距．
知识点五：直线方程几种表达方式的选取
在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏．
知识点六：直线方程的一般式
关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．
知识点诠释：
1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线．
当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．
当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．
由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．
2、在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程．
知识点七：直线方程的不同形式间的关系
直线方程的五种形式的比较如下表：
知识点诠释：
在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多，应用时若采用的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．
知识点八：直线方程的综合应用
1、已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．
2、据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．
对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．
(1)从斜截式考虑
已知直线，，
；
于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为．
(2)从一般式考虑：
且或，记忆式()
与重合，，，
于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为．
【典例例题】
题型一：点斜式直线方程
例1．(2023·高二课时练习)已知直线的方程是，则( )
A．直线经过点，斜率为-1B．直线经过点，斜率为-1
C．直线经过点，斜率为-1D．直线经过点，斜率为1
【答案】C
【解析】根据已知可得出直线的点斜式方程为，
所以，直线经过点，斜率为-1.
故选：C.
例2．(2023·高二校考课时练习)过两点的直线方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由两点，可得过两点的直线的斜率为，
又由直线的点斜式方程，可得，即.
故选：B.
例3．(2023·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习)过点且倾斜角为150°的直线l的方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】依题意，直线l的斜率，
故直线l的方程为，
即，
故选：B.
例4．(2023·河南南阳·高二统考期末)过点且与直线垂直的直线方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】与直线垂直的直线的斜率，
∴所求的直线方程为，即为，
故选：.
例5．(2023·上海·高二专题练习)过点，倾斜角为的直线方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】依题意，直线的斜率，
所以直线方程为：，即.
故选：B
题型二：斜截式直线方程
例6．(2023·高二课前预习)写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率是，在轴上的截距是；
(2)倾斜角为，在轴上的截距是；
(3)倾斜角为，在轴上的截距是．
【解析】(1)
(2)因为，所以．
(3)因为，所以．
例7．(2023·高二课时练习)根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(2)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3．
【解析】(1)因为倾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得直线方程为y＝－x－2．
(3)因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝．
因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，
所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，
故所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3.
例8．(2023·高二课时练习)写出下列直线的斜截式方程.
(1)斜率是，在y轴上的截距是；
(2)斜率是，在y轴上的截距是4．
【解析】(1) 因为直线斜率是，在y轴上的截距是，
所以直线的斜截式方程为；
(2)因为直线斜率是，在y轴上的截距是4，
所以直线的斜截式方程为；
题型三：两点式直线方程
例9．(2023·高二课时练习)已知直线分别经过下面两点，用两点式方程求直线的方程：
(1)A(3, 1), B(2, －3)；
(2)A(2, 1), B(0, －3)；
(3)A(0, 5), B(4, 0).
【解析】(1)直线的两点式方程为.
(2)直线的两点式方程为.
(3)直线的两点式方程为.
例10．(2023·高二课时练习)在中，已知点，，．求边上中线所在直线的两点式方程．
【解析】因为，，所以线段BC的中点D的坐标为．
又BC边上的中线经过点，
所以BC边上中线的两点式方程为．
例11．(2023·江苏·高二专题练习)求经过下列两点的直线的两点式方程.
(1)，；
(2)，．
【解析】因为直线的两点式方程为：，
因为，，
所以直线的两点式方程：；
因为，，
所以直线的两点式方程：；
题型四：截距式直线方程
例12．(2023·全国·高二专题练习)已知△ABC中，A(1，﹣4)，B(6，6)，C(﹣2，0).求：
(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；
(2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程.
【解析】(1)∵，∴△ABC中平行于BC边的中位线的斜率，
又线段AB的中点为，
∴△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程为，化为一般式6x﹣8y﹣13=0，
可得截距式：.
(2)BC边的中点为D(2，3)，
∴BC边的中线所在直线的方程为y﹣3=7(x﹣2)，
化为一般式方程7x﹣y﹣11=0，化为截距式方程.
例13．(2023·高一课时练习)根据下列条件求直线的截距式方程，并画出图形.
(1)在x轴、y轴上的截距分别是2，3；
(2)在x轴、y轴上的截距分别是，6．
【解析】(1)由截距式得：.
(2)由截距式得：.
题型五：中点坐标公式
例14．(2023·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考期末)直线过点且与轴､轴分别交于，两点，若恰为线段的中点，则直线的方程为__________.
【答案】
【解析】设点､，
由中点坐标公式得：，
解得：，，
由直线过点､，
直线的方程为：，
即.
故答案为：.
例15．(2023·高二单元测试)直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为______．
【答案】
【解析】设直线与和，分别交于点和，
因为所截得的线段中点恰为坐标原点，可得，解得，
所以和，则，
可得直线的方程为，即.
故答案为：.
例16．(2023·江苏南通·高二统考期中)已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标为，则线段的长度为___________.
【答案】
【解析】在平面直角坐标系中，，
则为直角三角形，且为斜边，
故.
故答案为：
例17．(2023·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习)已知点，，线段PQ的中点为，则直线PQ的方程为______.
【答案】
【解析】因为点，，线段PQ的中点为，
所以，所以，
所以，
所以直线PQ的方程为，即，
故答案为：.
题型六：直线的一般式方程
例18．(2023·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期中)若，且，则经过的直线的一般方程为_________
【答案】
【解析】若,
则点在直线上,
点在直线上
即、都在同一直线上
因为两点确定一条直线,所以由、确定的直线即为
故答案为:
例19．(2023·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末)倾斜角为，且过点的直线的方程为__________.
【答案】/
【解析】因为直线倾斜角为，且过点，
所以直线轴，故直线方程为，
故答案为：
例20．(2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期末)直线l过点，若l的斜率为3，则直线l的一般式方程为______．
【答案】
【解析】由直线的点斜式可得，方程为，化为一般式方程为.
故答案为：
例21．(2023·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考期末)过点的直线方程(一般式)为 _____．
【答案】
【解析】因为过点的直线的斜率为，
所以直线方程为，
化为一般式为，
故答案为： ．
例22．(2023·陕西·高二校考阶段练习)已知的三个顶点坐标为，，，则BC边上的中线AE所在直线的一般方程为______．
【答案】
【解析】BC的中点坐标为，即，
故BC边上的中线AE所在直线的方程为，化为一般方程为.
故答案为：
例23．(2023·浙江杭州·高二统考期中)写出过点，且在两坐标轴上截距相等的一条直线方程__________.
【答案】或写出1条即可
【解析】当直线过原点时，方程设为代入点A得：；
当直线不过原点时，设直线的方程为：，
把点代入直线的方程可得，则直线方程是
故答案为：或写出1条即可
题型七：直线方程的综合应用
例24．(2023·高二课时练习)当直线方程的系数A，B，C满足什么条件时，该直线分别具有以下性质？
(1)过坐标原点；
(2)与两条坐标轴都相交；
(3)只与x轴相交；
(4)是x轴所在直线；
(5)设为直线上一点，证明：这条直线的方程可以写成．
【解析】(1)将代入得，
当且不同为方程表示过坐标原点的直线；
(2)直线与两条坐标轴都相交说明横纵截距都存在，
当且时直线过原点满足条件，
当时，令时，令时，
所以都不为0，
综上所述，时直线与两条坐标轴都相交；
(3)直线只与x轴相交，就是与轴平行、重合均可，
因此直线方程可化成形式，
故且；
(4)x轴的方程为，因此方程中时
方程表示的直线是x轴所在直线；
(5)因为为直线上一点，所以，
所以，
所以方程可化为，
即，
所以这条直线的方程可以写成．
例25．(2023·四川遂宁·高二统考期末)已知的三个顶点分别是A(4，0)，B(6，6)，C(0，2)．
(1)求BC边上的高所在直线的方程；
(2)求AB边的垂直平分线所在直线的方程．
【解析】(1)边所在的直线的斜率，
因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为．
又边上的高经过点，
所以边上的高所在的直线方程为，
即；
(2)边所在的直线的斜率，
所以边的垂直平分线的斜率为，
边中点E的坐标是，即，
所以AC边的垂直平分线的方程是
即．
例26．(2023·四川遂宁·高二校考期中)已知中，，，.求：
(1)边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程.
(2)中平行于边的中位线所在直线的一般式方程.
【解析】(1)由题意知，，，所以边的中点为，
所以边上的中线所在直线的方程为，
即得其一般式方程为，截距式方程为.
(2)平行于边的中位线就是中点的连线.
因为线段中点坐标分别为，，
所以这条直线的方程为，
整理得一般式方程为.
例27．(2023·湖北襄阳·高二襄阳四中校考开学考试)在中，已知点，，．
(1)求BC边上中线的方程．
(2)若某一直线过B点，且x轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．
【解析】(1)BC中点，即，故BC边上中线的方程为，即；
(2)直线过B点且x轴上截距是y轴上截距的2倍，
i. 若直线过原点，则直线方程为，即；
ii. 若直线不过原点，设y轴上截距为m，则直线方程为，代入B点解得，故直线方程为，即；
故该直线的一般式方程为或.
例28．(2023·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期中)已知的顶点，，.
(1)求过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程；
(2)求角的角平分线所在直线的一般式方程.
【解析】(1)由题意可知，当所求直线经过原点时，所求直线方程为，即，
当所求直线不经过坐标原点时，可设直线的方程为，则
因为所求直线经过点，所以，解得，
所以所求直线的方程为，即，
综上所述，所求直线方程为或.
(2)由题意可知，因为，，
所以，
因为，，所以,
所以角的角平分线所在直线的倾斜角为或，
当角的角平分线所在直线的倾斜角为，其斜率为，
所以角的角平分线所在直线方程为，即，
当角的角平分线所在直线的倾斜角为，其斜率为，
所以角的角平分线所在直线方程为，即，
综上所述，所求直线方程为或.
例29．(2023·安徽宿州·高二校联考期中)在中，已知顶点，，．
(1)求AB边上中线的方程：
(2)求过点B，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程．
【解析】(1)，，则中点坐标为
则，故AB边上中线的方程为，即
(2)当直线在轴和轴上的截距均为0时，可设直线的方程为，
代入点，则，解得，
所以所求直线的方程为，即；
当直线在轴和轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为，
代入点，则，解得，
所以所求直线的方程为，即，
综上所述，该直线的一般式方程为或．
题型八：判断动直线所过定点
例30．(2023·高二课时练习)已知实数满足，则直线过定点_____.
【答案】
【解析】由实数满足，可得,
代入直线方程，可得，
联立方程组，解得，
所以直线过定点.
故答案为：.
例31．(2023·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中)已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为______.
【答案】
【解析】因为直线可化为，
令，解得，
所以直线过定点，
故答案为：.
例32．(2023·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中)无论取何值，直线恒过定点__________．
【答案】
【解析】直线方程化为，由得，定点为，
故答案为：．
例33．(2023·福建·高二福建师大附中校考开学考试)直线恒过定点________.
【答案】
【解析】依题意，直线，由得，
所以直线恒过定点.
故答案为：
例34．(2023·湖南郴州·高二校考期中)无论为何值，直线必过定点坐标为______
【答案】
【解析】直线可化为，
由可得，.
所以，直线必过定点坐标为.
故答案为：.
题型九：直线与坐标轴形成三角形问题
例35．(2023·浙江绍兴·高二诸暨中学校考阶段练习)已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程：
(1)时，求直线l的方程．
(2)当的面积最小时，求直线l的方程．
【解析】(1)作，则.
由三角形相似，，可求得，，
∴方程为，即；
(2)根据题意，设直线l的方程为，由题意，知，，
∵l过点，∴，解得，∴的面积，
化简，得.①
∴，解得或(舍去).
∴S的最小值为4，
将代入①式，得，解得，
∴.∴直线l的方程为.
例36．(2023·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习)设直线l的方程为
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
(3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程.
【解析】(1)当直线过原点时满足条件，此时,解得,化为.
当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故,解得,可得直线的方程为:.
综上所述，直线的方程为或.
(2),
∵不经过第二象限,∴,解得.
∴实数的取值范围是.
(3)令,解得,解得;
令,解得,解得或.
综上有.
∴
,
当且仅当时取等号.
∴(为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程，即
例37．(2023·江苏连云港·高二校考阶段练习)设为实数，若直线的方程为，根据下列条件分别确定的值：
(1)直线的斜率为；
(2)直线与两坐标轴在第二象限围成的三角形面积为.
【解析】(1)由题意可知，直线的斜率为，解得.
(2)由题意可知，在直线的方程中，令，可得，
令时，可得，
所以，直线分别交、轴于点、，
由题意可得，解得.
由题意可得，整理可得，
因为，解得.
例38．(2023·全国·高二专题练习)已知直线的方程为：．
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．
【解析】(1)证明：原方程整理得：．
由，可得，
不论为何值，直线必过定点
(2)设直线的方程为．
令令．
．
当且仅当，即时，三角形面积最小．
则的方程为．
例39．(2023·甘肃兰州·高二兰州市外国语高级中学校考期中)已知直线.
(1)若直线不能过第三象限，求的取值范围；
(2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
【解析】(1)由，
当时，直线的方程为，此时直线不过第三象限，合乎题意；
当时，在直线的方程中，令，可得，
令，可得，
若直线不过第三象限，则，解得.
综上所述，.
(2)由(1)可知，，
又在轴负半轴，在轴正半轴，所以，，可得.
，当且仅当时等号成立，
所以，的最小值为，此时直线的方程.
例40．(2023·高二课时练习)已知直线l经过点P(4, 1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l的点斜式方程.
【解析】根据题意知直线l不垂直于x轴，其斜率存在且为负数，
故可设直线l的方程为.
在方程中，令，得；令，得.
故直线l与两坐标轴交于点与.
因为直线l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，
所以，即：，解得，
故直线l的点斜式方程为
例41．(2023·上海·高二专题练习)已知直线l过定点，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B，点O为坐标原点．
(1)若的面积为4，求直线l的方程；
(2)求的最小值，并求此时直线l的方程；
(3)求的最小值，并求此时直线l的方程．
【解析】(1)设直线l：，由直线过可得，∴，
由可得.
所以直线l的方程为，即.
(2)设直线l：，则，
，
当且仅当时，即时取等号，
此时直线方程.
(3)设直线l：，∵三点共线，且，，
即，，
∴
|，
当且仅当时，即时取等号，此时直线方程．
题型十：直线方程的实际应用
例42．(2023·高二校考课时练习)如图所示，某县相邻两镇在同一平面直角坐标系下的坐标为，一条河所在的直线方程为 ，若在河边l上建一座供水站P，使之到A，B两镇的管道最短，问供水站P应建在什么地方?

【解析】如图，作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，若点(异于点P)在直线l上，连接，，，

则，
所以供水站建在点P处时，到A，B两镇所使用的管道最省，
设，则的中点在l上，且，
即，解得，即，
所以，
所以直线的方程为，即 ，
联立方程，解得，
所以点P的坐标为，
所以供水站P应建在点处．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·高二课时练习)已知直线和互相垂直且都过点，若过原点，则与y轴交点的坐标为()
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得直线的斜率，
由直线和互相垂直可得直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
令得，
故直线与轴交点为.
故选：B.
2．(2023·高二课时练习)经过点，且与直线垂直的直线方程为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设与直线垂直的直线方程为，于是，解得，
所以所求的直线方程为.
故选：A
3．(2023·高二课时练习)过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是( )
A．B．C．D．或
【答案】D
【解析】设直线在x，y轴上的截距分别为，则，
若，即直线过原点，设直线为，
代入，即，解得，
故直线方程为；
若，设直线为，
代入，即，解得，
故直线方程为，即；
综上所述：直线方程为或.
故选：D.
4．(2023·高二课时练习)过点，且与原点距离最远的直线方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】当直线与垂直时，此时原点到直线的距离最大，
,所以所求直线斜率为，由点斜式可得直线方程为，即，
故选：C
5．(2023·高二课时练习)经过点，且倾斜角为的直线的一般式方程为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由直线的倾斜角为知，直线的斜率，
因此，其直线方程为，即.
故选：A
6．(2023·高二课时练习)经过点，且平行于直线的直线方程为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】平行于直线的直线方程可设为，
又所求直线过点，
则，解之得，
则所求直线为.
故选：A
7．(2023·山东泰安·高二统考期末)设、是轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由于直线的方程为，故其倾斜角为，
又，且、是轴上两点，故直线的倾斜角为，
又当时，，即，
直线的方程为，即．
故选：A．
8．(2023·陕西·高二校考阶段练习)已知直线过定点P，若点P在直线上，且，则的最小值为( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】因为直线可化为：，
令，解得：，所以定点，
又因为点P在直线上，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故选：.
二、多选题
9．(2023·广东广州·高二广州市培正中学校考期中)下列说法中正确的是( )
A．若直线斜率为，则它的倾斜角为
B．若，，则直线的倾斜角为
C．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点
D．若直线的斜率为，则这条直线必过与两点
【答案】ABC
【解析】对于A，设直线的倾斜角为，则由题意得，所以，故A正确；
对于B，因为，，所以直线与轴垂直，则其斜率不存在，故其倾斜角为，故B正确；
对于C，因为直线过定点，且斜率为，所以直线的方程为，即，
易知，故直线必过，故C正确；
对于D，不妨取，满足直线的斜率为，但显然该直线不过与两点，故D错误．
故选：ABC.
10．(2023·高二课时练习)过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( )
A．y=-x+5B．y=x+5
C．y=D．y=-
【答案】AC
【解析】当直线过坐标原点时，直线过点,所以直线方程为y=;
当直线不过坐标原点时，设直线方程为=1，代入点，可得a=5，
即y=-x+5.
故选:AC.
11．(2023·海南·高二统考学业考试)若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是( )
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】易知直线的斜率存在，故设直线的方程，
令，得；令，得.
故围成的三角形面积为,
化简可得或.
对于方程，，故方程无解.
对于方程，可得或.
故直线的方程或，
即或.
故选:CD.
12．(2023·广东广州·高二统考开学考试)△ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是( )
A．边BC与直线平行
B．边BC上的高所在的直线的方程为
C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
D．过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5)
【答案】BD
【解析】直线的斜率为，而直线的斜率为，两直线不平行，A错；
边上高所在直线斜率为，直线方程为，即，B正确；
过且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为，过原点时方程为，C错；
过点A且平分△ABC面积的直线过边BC中点，坐标为，D正确 ．
故选：BD．
三、填空题
13．(2023·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中)经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l为______．
【答案】或
【解析】依题意，当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，方程为，即；
当直线不不过原点时，设直线的方程为，于是，解得，方程为，
所以直线的方程为或.
故答案为：或

14．(2023·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中)已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为______.
【答案】
【解析】因为直线可化为，
令，解得，
所以直线过定点，
故答案为：.
15．(2023·上海浦东新·高二上海师大附中校考期末)已知点到直线的距离为d，则d的最大值是______．
【答案】5
【解析】直线即，
令得，故直线过定点.
所以d的最大值为．
因为，，
所以.
故答案为：5
16．(2023·福建福州·高二校联考期中)设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的值是____.
【答案】25
【解析】直线，整理成，则，即
直线，整理成，则，即
又，过定点的动直线和过定点的动直线始终垂直，为两条垂直直线的交点
则有
所以.
故答案为：25.
四、解答题
17．(2023·江苏扬州·高二统考开学考试)已知直线，求：
(1)过点且与直线l平行的直线的方程；
(2)过点且与直线l垂直的直线的方程．
【解析】(1)因为直线的斜率为，
所以与直线l平行的直线的斜率为，
又所求直线过，
所以所求直线方程为，即．
(2)因为直线的斜率为，
所以与直线l垂直的直线的斜率为，
又所求直线过，
所以所求直线方程为，即．
18．(2023·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期中)已知的三个顶点，，，求：
(1)边上的高所在直线的方程；
(2)的垂直平分线所在直线的方程．
【解析】(1)由斜率公式易知，直线的斜率．
又直线过点，代入点斜式得直线的方程为：．
(2)，．又线段的中点为，
所在直线的方程为，
整理得所求的直线方程为：．
19．(2023·上海·高二专题练习)已知直线l过定点，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B，点O为坐标原点．
(1)若的面积为4，求直线l的方程；
(2)求的最小值，并求此时直线l的方程；
(3)求的最小值，并求此时直线l的方程．
【解析】(1)设直线l：，由直线过可得，∴，
由可得.
所以直线l的方程为，即.
(2)设直线l：，则，
，
当且仅当时，即时取等号，
此时直线方程.
(3)设直线l：，∵三点共线，且，，
即，，
∴
|，
当且仅当时，即时取等号，此时直线方程．
20．(2023·上海静安·高二校考期末)已知直线和，
(1)若与平行，求的值；
(2)若与垂直，求的值.
【解析】(1)当时，与平行，
解得时，与平行．
(2)当时，即时，与垂直，
解得时，与垂直．
21．(2023·上海·高二专题练习)分别求满足下列条件的直线的方程：
(1)直线过点，且与直线垂直，求的点法式方程；
(2)直线过点和，求的两点式方程；
(3)直线的倾斜角为，另一直线的倾斜角，且过点，求的点斜式方程；
(4)直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的一般式方程.
【解析】(1)直线的法向量即为直线的方向向量，
故的点法式方程为；
(2)的两点式方程为；
(3)由题意得：
，又，
所以，故，所以的斜率为，
的点斜式方程为；
(4)当直线在两坐标轴上的截距为0时，设，将代入得：，解得：，
故直线的方程为，化为一般式方程为；
当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设，
将代入得：，解得：，
故直线的方程为，化为一般式方程为；
故直线的方程为或．
22．(2023·安徽滁州·高二校考期中)已知直线．
(1)求直线过定点的坐标；
(2)当直线时，求直线的方程；
(3)若交轴正半轴于，交轴正半轴于，的面积为，求最小值时直线的方程．
【解析】(1)直线可化为，
直线过定点．
(2)直线，，，
直线的方程为，
即直线的方程为．
(3)解法：设，
直线过得：，
，当且仅当，即取等号，
，
，当时，最小值为，
此时，直线的方程为，即．
解法：由直线的方程得：，，由题设得：．
当且仅当时取等号．
取最小值时，直线的方程为．
名称
方程的形式
常数的几何意义
适用范围
点斜式
是直线上一定点，是斜率
不垂直于轴
斜截式
是斜率，是直线在y轴上的截距
不垂直于轴
两点式
，是直线上两定点
不垂直于轴和轴
截距式
是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距
不垂直于轴和轴，且不过原点
一般式
、、为系数
任何位置的直线