第11讲 圆的方程（六大题型）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

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题型一：圆的标准方程
题型二：圆的一般方程
题型三：点与圆的位置关系
题型四：二元二次曲线与圆的关系
题型五：圆过定点问题
题型六：轨迹问题
【知识点梳理】
知识点一：圆的标准方程
，其中为圆心，为半径．
知识点诠释：
(1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：
(2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点．
(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法．
知识点二：点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有
(1)若点在圆上
(2)若点在圆外
(3)若点在圆内
知识点三：圆的一般方程
当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径．
知识点诠释：
由方程得
(1)当时，方程只有实数解．它表示一个点．
(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆．
知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤
求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．
(2)根据已知条件，建立关于或的方程组．
(3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．
知识点五：轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．
1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法)．
2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．
3、求轨迹方程的步骤：
(1)建立适当的直角坐标系，用表示轨迹(曲线)上任一点的坐标；
(2)列出关于的方程；
(3)把方程化为最简形式；
(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；
(5)作答．
【典例例题】
题型一：圆的标准方程
例1．(2023·高二课时练习)圆心在原点，半径是的圆的标准方程为( )
A．B．
C．D．
例2．(2023·高二单元测试)圆关于直线对称的圆是( )
A．B．
C．D．
例3．(2023·新疆昌吉·高二校考期末)已知圆C的圆心在直线2x－y－7＝0上，且圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y－3)2＝5B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5
例4．(2023·高二课时练习)已知圆C：，O为原点，则以为直径的圆方程为( )
A．B．
C．D．
例5．(2023·福建漳州·高二统考期末)若过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为( )
A．B．
C．D．
例6．(2023·福建福州·高二校联考期末)若一圆与两坐标轴都相切，且圆心在第一象限，则圆心到直线的距离为( )
A．B．C．5D．3
例7．(2023·全国·高二专题练习)三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是( )
A．B．
C．D．
例8．(2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习)已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的标准方程为( )
A．B．
C．D．
例9．(2023·四川眉山·高二仁寿一中统考期中)与直线切于点，且经过点的圆的方程为( )
A．B．
C．D．
例10．(2023·高二课时练习)已知圆的圆心在轴上，半径长为，且过点的圆的标准方程为( )
A．B．
C．D．
题型二：圆的一般方程
例11．(2023·高二课时练习)圆的半径为( )
A．2B．4C．8D．16
例12．(2023·山东临沂·高二统考期末)已知圆，则圆心及半径分别为( )
A．B．C．D．
例13．(2023·高二课时练习)求以为圆心，且经过点的圆的一般方程( )
A．B．
C．D．
例14．(2023·天津和平·高二统考期末)三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是( )
A．B．
C．D．
例15．(2023·天津武清·高二天津市武清区杨村第一中学校考开学考试)已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为( )
A．B．
C．D．
例16．(2023·高二课时练习)若不同的四点，，，共圆，则a的值为( )
A．1B．3C．D．7
例17．(2023·全国·高二专题练习)与圆同圆心，且过点的圆的方程是( )
A．B．
C．D．
题型三：点与圆的位置关系
例18．(2023·高二课时练习)点与圆的位置关系是( )
A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定
例19．(2023·全国·高二专题练习)点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为( )
A．点在圆外B．点在圆内C．点在圆上D．与m的值有关
例20．(2023·重庆巴南·高二巴南中学校校考期中)点与圆的位置关系是( )．
A．在圆内B．在圆外C．在圆上D．不确定
例21．(2023·河南周口·高二校考阶段练习)已知圆的方程是，则点( )
A．在圆心B．在圆上
C．在圆内D．在圆外
题型四：二元二次曲线与圆的关系
例22．(多选题)(2023·高二课时练习)下列方程不是圆的一般方程的有( )
A．B．
C．D．
例23．(多选题)(2023·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期中)方程表示圆，则实数a的可能取值为( )
A．4B．2C．0D．
例24．(多选题)(2023·广西柳州·高二校联考期中)已知方程，下列叙述正确的是( )
A．方程表示的是圆.
B．当时，方程表示过原点的圆.
C．方程表示的圆的圆心在轴上.
D．方程表示的圆的圆心在轴上.
例25．(多选题)(2023·广东揭阳·高二统考期末)已知方程表示一个圆，则实数可能的取值为( )
A．B．0C．D．
例26．(多选题)(2023·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习)方程表示圆的充分不必要条件可以是( )
A．B．或
C．D．
例27．(多选题)(2023·高二单元测试)使方程表示圆的实数a的可能取值为( )
A．B．0C．D．
题型五：圆过定点问题
例28．(2023·上海徐汇·高二上海中学校考期中)对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__．
例29．(2023·全国·高二专题练习)若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为_______
例30．(2023·全国·高二专题练习)已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为_______(其坐标与无关)
例31．(2023·上海普陀·高二曹杨二中校考阶段练习)对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为______.
例32．(2023·高二课时练习)已知方程表示圆，其中，且a≠1，则不论a取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是________________.
题型六：轨迹问题
例33．(2023·高二课时练习)已知线段AB的端点B的坐标为，端点A在圆C：上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
例34．(2023·高二课时练习)如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.

例35．(2023·江西宜春·高二校考阶段练习)已知方程表示圆，其圆心为.
(1)求圆心坐标以及该圆半径的取值范围；
(2)若，线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程.
例36．(2023·河南南阳·高二校考阶段练习)已知圆经过，，三点.
(1)求圆的方程；
(2)设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为，求的方程.
例37．(2023·北京通州·高二统考期中)已知圆的圆心在直线上，且圆经过点.
(1)求圆的标准方程；
(2)若动点与点的距离等于2，求点的轨迹方程.
例38．(2023·江苏扬州·高二邵伯高级中学校考阶段练习)(1)已知两定点，若动点P满足，则P的轨迹方程．
(2)已知线段的中点C的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的端点B的轨迹方程．
例39．(2023·高二课时练习)设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.
例40．(2023·高二课时练习)已知，动点P满足，求动点P的轨迹．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·重庆·高二统考学业考试)已知圆C的一条直径的两个端点是分别是和，则圆的标准方程是( )
A．
B．
C．
D．
2．(2023·高二课时练习)若圆的圆心到直线的距离为，则实数a的值为( )
A．0或2B．0或-2
C．0或D．-2或2
3．(2023·高二课时练习)已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是( )
A．B．
C．D．
4．(2023·高二课时练习)已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为( )
A．B．
C．D．
5．(2023·高二课时练习)过三点的圆的一般方程为( )
A．B．
C．D．
6．(2023·高二课时练习)若点是圆的弦的中点，则弦所在的直线方程为( )
A．B．
C．D．
7．(2023·高二校考课时练习)若点在圆的内部，则a的取值范围是( ).
A．B．C．D．
8．(2023·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习)动直线平分圆的周长，则的最小值( )
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·湖南郴州·高二校考期中)圆( )
A．关于点对称B．半径为
C．关于直线对称D．关于直线对称
10．(2023·广东揭阳·高二统考期末)已知方程表示一个圆，则实数可能的取值为( )
A．B．0C．D．
11．(2023·甘肃酒泉·高二敦煌中学校考期中)已知点在圆的外部，则的取值可能是( )
A．B．C．D．
12．(2023·高二课时练习)已知圆关于直线对称，则下列结论正确的是( )
A．圆的圆心是
B．圆的半径是2
C．
D．的取值范围是
三、填空题
13．(2023·高二课时练习)若l是经过点和圆的圆心的直线，则l在y轴上的截距是________．
14．(2023·高二课时练习)圆过点、，求面积最小的圆的一般方程为________________．
15．(2023·高二课时练习)过圆外一点作圆的两条切线，切点A、B，则的外接圆的方程是________．
16．(2023·浙江丽水·高二统考期末)在平面直角坐标系中，已知点，点在圆上运动，则线段AP的中点的轨迹方程是______．
四、解答题
17．(2023·高二课时练习)已知圆C的半径为，圆心在直线上，且过点，求圆C的标准方程.
18．(2023·山东日照·高二校考阶段练习)已知圆C经过点且圆心C在直线上.
(1)求圆C方程；
(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.
19．(2023·广东深圳·高二统考期末)已知，．
(1)求线段的垂直平分线所在直线的方程；
(2)若一圆的圆心在直线上，且经过点，求该圆的方程．
20．(2023·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中)求适合下列条件的圆的方程：
(1)圆心在直线上，且过点的圆；
(2)过三点的圆.
21．(2023·高二课时练习)如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.

22．(2023·广西防城港·高二统考期末)已知圆经过两点，圆心在直线上.
(1)求出这个圆的标准方程；
(2)当点到直线的距离最大时，求的值.