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第12讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（十大题型）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义
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题型一：不含参数(含参数)的直线与圆的位置关系
题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标
题型三：切线与切线长问题
题型四：弦长问题
题型五：判断圆与圆的位置关系
题型六：由圆的位置关系确定参数
题型七：公共弦与切点弦问题
题型八：公切线问题
题型九：圆中范围与最值问题
题型十：圆系问题
【知识点梳理】
知识点一：直线与圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系：
(1)直线与圆相交，有两个公共点；
(2)直线与圆相切，只有一个公共点；
(3)直线与圆相离，没有公共点．
2、直线与圆的位置关系的判定：
(1)代数法：
判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点．
有两组实数解时，直线与圆C相交；
有一组实数解时，直线与圆C相切；
无实数解时，直线与圆C相离．
(2)几何法：
由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：
当时，直线与圆C相交；
当时，直线与圆C相切；
当时，直线与圆C相离．
知识点诠释：
(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得．
(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理．
(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决．
知识点二：圆的切线方程的求法
1、点在圆上，如图．
法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率
的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
知识点诠释：
因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
常见圆的切线方程：
(1)过圆上一点的切线方程是；
(2)过圆上一点的切线方程是
．
知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法
1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．
2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
知识点四：圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系：
(1)圆与圆相交，有两个公共点；
(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；
(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点．
2、圆与圆的位置关系的判定：
(1)代数法：
判断两圆的方程组成的方程组是否有解．
有两组不同的实数解时，两圆相交；
有一组实数解时，两圆相切；
方程组无解时，两圆相离．
(2)几何法：
设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为．
当时，两圆相交；
当时，两圆外切；
当时，两圆外离；
当时，两圆内切；
当时，两圆内含．
知识点诠释：
判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法．
3、两圆公共弦长的求法有两种：
方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
4、两圆公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
(1)两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；
(2)两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；
(3)两圆相交时，只有2条外公切线；
(4)两圆内切时，只有1条外公切线；
(5)两圆内含时，无公切线．
【典例例题】
题型一：不含参数(含参数)的直线与圆的位置关系
例1．(2023·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中)直线与圆的位置关系是( )
A．相交B．相切C．相离D．无法判断
【答案】A
【解析】圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
则直线与圆相交.
故选：A.
例2．(2023·辽宁·高二校联考期中)圆与直线的位置关系是( )
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【答案】A
【解析】圆的圆心为，半径为1，
所以圆心到直线的距离，
所以直线与圆的位置关系为相交.
故选：A.
例3．(2023·北京顺义·高二北京市顺义区第一中学校考期中)直线与圆的位置关系是( )
A．相交B．相切C．相离D．都有可能
【答案】B
【解析】圆的圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，与半径相等，
所以直线与圆的位置关系是相切，
故选：B
例4．(2023·四川资阳·高二四川省资阳中学校考期中)圆与直线的位置关系为( )
A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能
【答案】C
【解析】因为直线方程为，
所以令，则，即直线过定点，
因为圆的方程为，
故将代入得，
所以点在圆的内部，
故直线与圆相交.
故选：C.
例5．(2023·四川眉山·高二眉山中学校考期末)直线与圆的位置关系为( )
A．相交B．相切C．相离D．与的值有关
【答案】A
【解析】直线，即，因此直线恒过定点，
因，即点A在圆内，
所以直线与圆相交.
故选：A
例6．(2023·北京东城·高二北京市第五中学校考期中)已知直线与圆，则下列说法错误的是( )
A．对，直线恒过一定点
B．，使直线与圆相切
C．对，直线与圆一定相交
D．直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为
【答案】B
【解析】直线，即，
令，解得，即直线恒过定点，故A正确；
圆，即圆，圆心，半径，
则，即点在圆内，所以直线与圆一定相交，故B错误，故C正确，
当时直线与圆相交且直线被圆所截得的弦长最短，最短弦长，故D正确，
故选：B.
例7．(2023·高二课时练习)直线：与圆C：的位置关系为( )
A．相交或相切B．相交或相离C．相切D．相交
【答案】D
【解析】圆C：，圆心为，半径为，
直线：，即，
圆心到直线的距离为，故直线与圆相交.
故选：D
例8．(2023·河北邢台·高二邢台市第二中学校考期末)已知直线和圆，则直线与圆的位置关系为( )
A．相离B．相切C．相交D．不能确定
【答案】C
【解析】直线方程整理为，即直线过定点，
而，所以定点在圆内，
∴直线与圆相交.
故选：C.
题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标
例9．(2023·高二单元测试)直线与圆没有公共点，则的取值范围是( )
A．或B．
C．D．或
【答案】A
【解析】因为圆 的圆心为，半径为，则点到直线的距离大于，
，即或；
故选：A.
例10．(2023·高二课时练习)若直线与圆相交，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由直线，可化为，
因为直线与圆相交，可得，
整理得，所以.
故选：B.
例11．(2023·高二校考课时练习)过点的直线中，被圆截得的弦最长的直线的方程是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】的圆心为，
过点的直线中，被圆截得的弦最长的直线必过圆心，
所以，
所以直线方程为，即.
故选：D.
例12．(2023·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考期中)已知圆与直线相切，则实数( )
A．5B．10C．25D．100
【答案】D
【解析】圆的圆心为，半径，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
解得：.
故选：D
例13．(2023·湖南长沙·高二校考期中)关于的方程有两解，则k的范围为( )
A．B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意可知，表示的直线恒过定点，
对两边同平方并移项得，，
则表示的是圆的上半部分，
若关于的方程有两解，
即直线与上半圆有两个交点，
画出图象如下图所示：
易知，定点，即两点之间的斜率，同理，
当直线从位置绕点沿顺时针方向旋转到位置时满足题意，
所以需满足，即.
故选：C
例14．(2023·江苏宿迁·高二统考期中)直线与曲线的交点个数为( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】联立直线方程和曲线方程可得可得，
即，解得或，故方程组的解为或.
故选：C
例15．(2023·云南昆明·高二校考期中)直线y=0与圆C：x2+y2-2x-4y=0相交于A､B两点，则△ABC的面积是( )
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解析】由x2+y2-2x-4y=0得，
∴，
由得，
所以△ABC的面积为.
故选：C.
题型三：切线与切线长问题
例16．(2023·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习)过点作圆的切线，则切线的方程为__________.
【答案】
【解析】圆的圆心，
∵，则点在圆上，即点为切点，
则圆心到切点连线的斜率，可得切线的斜率，
故切线的方程，即.
故答案为：.
例17．(2023·云南昆明·高二统考期末)圆在点处的切线方程为____________.
【答案】
【解析】设圆的圆心，点
将代入圆的方程成立，所以在圆上，与切线垂直，
所以切线斜率，
切线方程为，即.
故答案为：
例18．(2023·湖北·高二统考期末)直线l过且与圆相切，则直线l的方程为________．
【答案】
【解析】由圆的方程，得，此圆的圆心为，半径为2，
显然点在圆上，因此直线l垂直于经过点、点的直线，
所以直线l的方程为.
故答案为：
例19．(2023·北京·高二北京一七一中校考阶段练习)过点的圆的切线方程为 _________________．
【答案】或
【解析】当切线的斜率不存在时，
切线的方程为，圆心到该直线的距离等于半径1，符合题意，
当切线的斜率存在时，
设过点的切线方程为，即，
∵圆心到直线的距离等于半径，
∴，解得，
∴切线方程为，
综上所述，切线方程为或．
故答案为：或．
例20．(2023·高二单元测试)经过点作圆的切线，则切线的方程为_______.
【答案】或
【解析】圆的半径为，圆心为，
当切线的斜率不存在时，方程，与圆不相切，
所以切线的斜率存在，设切线方程为，即，
圆心到切线的距离，解得或，
所以切线的方程为或.
故答案为：或.
例21．(2023·上海杨浦·高二校考期中)由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为______．
【答案】
【解析】设过点的切线与圆相切于点，连接，则，
圆的圆心为，半径为，则，
当与直线垂直时，取最小值，且最小值为，
所以，，即切线长的最小值为.
故答案为：.
例22．(2023·河北邢台·高二统考期中)过点作圆的一条切线，切点为，则___________.
【答案】
【解析】由圆的方程知：圆心，半径，
，.
故答案为：.
例23．(2023·黑龙江绥化·高二校考期中)已知圆，直线，为直线上的动点，过作圆的切线，切点为，则四边形的面积的最小值为________
【答案】
【解析】
由题知，⊙M：，圆心为，半径，
圆心到直线上的点的最短距离为，
所以切线长，
故四边形的面积的最小值为.
故答案为：.
例24．(2023·高二单元测试)已知圆与直线相切，则___________.
【答案】
【解析】，
圆的圆心为(2，－2)，半径r＝1，
∵圆和直线相切，∴.
故答案为：.
题型四：弦长问题
例25．(2023·江苏扬州·高二统考开学考试)若直线与圆相交于两点，则弦的长为______．
【答案】
【解析】由圆的方程得：圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
.
故答案为：.
例26．(2023·广东深圳·高二深圳中学校考期末)圆的一条弦以点为中点，则该弦的斜率为 __．
【答案】/-0.5
【解析】将配方得，
圆心为，，
，
弦以点为中点，该弦的斜率为．
故答案为：．
例27．(2023·湖南永州·高二统考期末)已知直线与圆交于，两点，则__________．
【答案】
【解析】圆的圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离，
所以.
故答案为：
例28．(2023·云南昆明·高二昆明市第三中学校考阶段练习)设为实数，若直线与圆相交于M，N两点，且，则_________.
【答案】－1或3
【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，直线的一般方程为，所以圆心到直线的距离，因为，所以，化简可得，解得或
故答案为：-1或3.
例29．(2023·新疆乌鲁木齐·高二乌市一中校考期中)设圆的圆心为，直线过，且与圆交于，两点，若，则直线的方程为___________.
【答案】或
【解析】圆，即，
所以圆心为，半径，
又直线被圆截得的弦长，
圆心到直线的距离，
①当直线过且斜率不存在时，
的方程为，满足圆心到的距离为，
，满足题意；
②当直线过且斜率存在时，
设为，即，
圆心到直线的距离，
解得，直线方程为，
综合可得直线的方程为或，
故答案为：或．
例30．(2023·高二课时练习)直线l经过点P(5，5)且和圆C：相交，截得弦长为，则l的方程是______．
【答案】或
【解析】圆的圆心为，半径.
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
直线与圆相切，不符合题意，所以直线的斜率存在，设为，
故直线的方程为，即，
由于直线与圆相交所得弦长为，
所以圆心到直线的距离，
所以，
两边平方得，解得或，
所以直线的方程为或，
即或
故答案为：或
题型五：判断圆与圆的位置关系
例31．(2023·江苏扬州·高二统考开学考试)圆与圆的位置关系为( )．
A．相交B．内切C．外切D．外离
【答案】B
【解析】由题意可得，
故两圆的圆心分别为：，设两圆半径分别为，则，
易知，故两圆内切.
故选：B
例32．(2023·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习)圆与圆的位置关系是( )
A．外离B．外切C．相交D．内切
【答案】C
【解析】两圆化为标准形式，可得与圆，
可知半径，，于是，
而，故两圆相交，
故选：.
例33．(2023·广东深圳·高二统考期末)已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为( )
A．相交B．外切C．外离D．内含
【答案】A
【解析】因为圆圆心为，半径为，圆圆心为，半径为，
所以，易知，，
所以圆与圆相交.
故选：A.
例34．(2023·广东梅州·高二校考期末)两圆和的位置关系是( )
A．内切B．内含C．外切D．外离
【答案】A
【解析】由圆方程知：圆心，半径；由圆方程知：圆心，半径；
，圆与相内切.
故选：A.
例35．(2023·四川成都·高二校考期中)圆与圆的位置关系是( )
A．外切B．内切C．相交D．相离
【答案】B
【解析】圆圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为
故两圆心的距离为正好为两圆半径的差，
故两圆位置关系是内切.
故选：B.
题型六：由圆的位置关系确定参数
例36．(2023·广西·高二校联考期中)已知圆心在原点的单位圆和圆外切，________．
【答案】16
【解析】圆圆心为，半径为1，圆，圆心为，且，半径为，
所以圆心距，因为两圆外切，所以，所以．
故答案为：16
例37．(2023·上海浦东新·高二统考期中)已知圆：和圆：外切，则实数m的值为_________.
【答案】3
【解析】圆的标准方程为.圆：，∴ .
又∵两圆外切，∴，解得m=3.
故答案为：3．
例38．(2023·辽宁沈阳·高二校联考期末)已知圆，以点为圆心，半径为r的圆与圆C有公共点，则r的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题知的圆心为，两圆心的距离．
因为两圆有公共点，即相交或相切，所以，解得．
故答案为：
例39．(2023·广东清远·高二统考期末)已知两圆与外离，则整数m的取值是______．
【答案】
【解析】因为圆的圆心为，半径
圆的标准方程为，所以，即；
圆的圆心为，半径
两圆圆心的距离为，
由两圆外离可得，即，解得
所以，
故整数m的取值为.
故答案为：
例40．(2023·黑龙江佳木斯·高二富锦市第一中学校考阶段练习)圆和圆相切，则a＝______．
【答案】9或/或9
【解析】，即，
圆心为，半径，
，圆心为，半径，，
当两圆外切时，，解得；
当两圆内切时，，解得，或，无解；
综上所述：或.
故答案为：9或
题型七：公共弦与切点弦问题
例41．(2023·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习)已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为______.
【答案】
【解析】圆：的圆心坐标为，
因为圆过圆的圆心，所以，
所以，所以：，
两圆的方程相减可得相交弦方程为.
故答案为：.
例42．(2023·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末)圆与圆的公共弦所在直线方程为___________.
【答案】
【解析】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则，则两圆相交，
故将两圆方程相减可得：，即，
即圆与圆的公共弦所在直线方程为，
故答案为：
例43．(2023·全国·高二合肥市第六中学校联考开学考试)圆与圆的公共弦长为______．
【答案】/
【解析】由题意可知，两圆方程相减可得公共弦方程为，
圆的标准方程为，其圆心，半径；
圆心到公共弦的距离
所以公共弦长为.
故答案为：
例44．(2023·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中)已知圆和圆，则圆与圆的公共弦的弦长__________．
【答案】
【解析】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
所以，满足两圆相交有公共弦，
两圆公共弦所在直线方程为两圆方程作差得：，即，
所以圆心到直线的距离，则公共弦长为.
故答案为：.
例45．(2023·广东广州·高二广州市第六十五中学校考期中)过点作圆的两条切线，设两切点分别为A、B，则直线的方程为_________.
【答案】
【解析】根据题意，过点作圆的两条切线，设两切点分别为、，
则，
则以为圆心，为半径为圆为，即圆，
为两圆的公共弦所在的直线，则有，
变形可得：；
即直线的方程为，
故答案为：
例46．(2023·全国·高二专题练习)过圆O:外一点作圆O的切线，切点分别为A、B，则___________ .
【答案】
【解析】根据题意，圆O:的圆心为，半径，
若，则，
圆O:外一点做圆O的切线，切点分别为A、B，
则，
故点A、B在以为圆心，半径为的圆上，
该圆的方程为，
联立两个圆的方程： ，
两式作差可得，则直线的方程为，
圆O的圆心O到直线的距离，
则.
故答案为：
例47．(2023·重庆北碚·高二西南大学附中校考期中)过点向圆引两条切线，切点为、，则________.
【答案】
【解析】
如图，在，，
所以，设直线与轴交于点
则有,即
所以，所以
故答案为：
题型八：公切线问题
例48．(2023·高二课时练习)到点、的距离分别为和的直线有________条．
【答案】
【解析】到点的距离为3的直线是以为圆心，为半径的圆的切线；
同理，到点的距离为的直线是以为圆心，半径为的圆的切线，
所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，
而这两圆的圆心距，则，
所以圆和圆外离，因此它们的公切线有条，即满足条件的直线有条.
故答案为：.
例49．(2023·四川资阳·高二四川省资阳中学校考期中)已知圆与圆恰有两条公切线，则实数的取值范围________．
【答案】
【解析】由，即，
可知圆的圆心为，半径为；
因为圆与圆恰有两条公切线，所以圆与圆相交，
则，∵，
解得：，即的取值范围是.
故答案为：.
例50．(2023·湖南益阳·高二校联考阶段练习)圆和圆公切线的条数为__________．
【答案】
【解析】圆，，
，因此两圆外离，
则有条公切线．
故答案为：4.
例51．(2023·广东深圳·高二校考阶段练习)圆与圆的公切线方程为__________．
【答案】
【解析】圆，即，
得,
所以
故两圆内切，公切线只有一条，与两圆圆心的连线即x轴垂直，
由得
所以切点为，
故公切线方程为．
故答案为：．
例52．(2023·浙江金华·高二校联考期末)已知圆与圆，则圆与圆的公切线方程是___________________．
【答案】
【解析】圆，即，圆心为，半径.
圆，即，圆心为，半径.
圆心角，所以两圆相内切.
由解得，
所以两圆切点的坐标为，
，所以公切线的斜率为，
所以公切线的方程为.
故答案为：
例53．(2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末)已知圆与圆，则圆与圆的公切线方程是___________.
【答案】
【解析】圆，即，圆心为，半径.
圆，即，圆心为，半径.
圆心角，所以两圆外切，
由解得，
所以两圆切点的坐标为，
，所以公切线的斜率为，
所以公切线的方程为，即
故答案为：
题型九：圆中范围与最值问题
例54．(2023·高二课时练习)圆上恰好有两点到直线的距离为，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】把圆的方程化为标准式为，
所以圆心坐标为，半径
则圆心到直线的距离，
由题意得，即，即
解得：或，即实数的取值范围为 ，
故答案为：.
例55．(2023·江西南昌·高二阶段练习)在平面直角坐标系中，已知圆，直线(其中为常数)．下列有关直线与圆的命题中正确命题的序号是________．
①当时，圆上有四个不同的点到直线的距离为1；
②若圆上有四个不同的点到直线的距离为1，则；
③若圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1，则；
④若圆上恰有两个不同的点到直线的距离为1，则；
⑤当时，圆上只有一个点到直线的距离为1.
【答案】①②⑤
【解析】圆心到直线的距离为，圆的半径为2，
(1)当即时，，
圆上有四个不同点到直线的距离为1；
(2)当时，，
圆上恰有三个不同点到直线的距离为1；
(3)当或时，
圆上恰有两个不同点到直线的距离为1；
(4)当时，，
圆上只有一个点到直线的距离为1．
故①②⑤正确．
故答案为：①②⑤．
例56．(2023·上海静安·高二上海市新中高级中学校考期中)若圆上有四个点到直线的距离为，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】圆的圆心为，半径为，
因为圆上有四个点到直线的距离为，
所以圆心到直线的距离，
所以，解得．
故答案为：．
例57．(2023·高二课时练习)已知圆，直线，点在直线l上．若存在圆C上的点Q，使得(O为坐标原点)，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】过点作圆的切线，设切点为，
因为，所以，
又，，
所以，
所以有：
又 ，所以，，解得： ，
所以的取值范围是.
故答案为：.
例58．(2023·高二校考课时练习)设圆：上有且仅有两个点到直线的距离等于,则圆半径的取值范围是_________.
【答案】
【解析】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离，
因为圆上恰有相异两点到直线的距离等于，
所以，
即，所以.
故答案为：
例59．(2023·上海浦东新·高二华师大二附中校考期中)平面直角坐标系xOy中，已知点，若直线l：上总存在P、Q两点，使得恒成立，则线段PQ长度的取值范围是_______
【答案】
【解析】要使得恒成立，则点M在以PQ为直径的圆的内部，
点P、Q在直线上，
点到直线l：距离，
以PQ为直径的圆半径的最小值为，
所以PQ的最小值为6，则线段PQ长度的取值范围是，
故答案为：.
例60．(2023·安徽阜阳·高二安徽省太和中学校考阶段练习)若直线与圆交于两点，则面积的最大值为____.
【答案】
【解析】圆的圆心，半径，
直线恒过定点，则，
设中点为M，则点M在以为直径的圆上，
设圆心到直线距离为d，
则，，
则的面积为
当即时取得最大值.
则面积的最大值为.
故答案为：
例61．(2023·高二单元测试)若在圆上运动，则的最大值为___.
【答案】
【解析】表示两点所在直线的斜率，
设两点所在直线的方程为，即，
如图，当直线与圆相切时，斜率取得最值，
圆的圆心为，半径为，
当圆与直线相切时，
圆心到直线的距离，解得，
所以的最大值为.
故答案为：.
例62．(2023·全国·高二专题练习)已知实数x，y满足方程，则
(1)的最大值和最小值分别为________和________；
(2)y－x的最大值和最小值分别为________和________；
(3)的最大值和最小值分别为_______和_______．
【答案】 / / / /
【解析】原方程可化为，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx，
当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k＝±.
所以的最大值为，最小值为－.
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b＝－2±，
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为2，所以的最大值是，的最小值是.
故答案为：(1)；(2)；(3)；.
例63．(2023·贵州·高二校联考阶段练习)已知圆： ，为圆上任一点，则的最大值为________.
【答案】
【解析】设，则，即直线方程为，
因为为圆上任一点，
则圆心到直线的距离，
即，解得，
所以的最大值为，
故答案为：.
例64．(2023·辽宁朝阳·高二北票市高级中学校考阶段练习)已知圆和两点若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为______.
【答案】11
【解析】，记中点为，则，
故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
又在圆上，所以两圆有交点，
则，而，得.
故答案为:11.
例65．(2023·广西玉林·高二博白县中学校考期中)若直线与圆交于两点，则面积的最大值为__________
【答案】
【解析】因为直线方程变形为，
所以直线过定点，
由题知圆的圆心为，半径为，
因为
所以，定点在圆内部，
所以，当时，弦取得最小值，此时也最小，
所以，当时，弦的最小值为，的最小值为，
所以，
所以，面积
故答案为：
例66．(2023·四川成都·高二校考阶段练习)若直线与圆相交于两点，则弦长的最小值为_______.
【答案】
【解析】因为，
所以，
令，所以，故直线恒过定点，
又因为，故点在圆内，
设圆心为，半径为，
当时，取得最小，
因为，
所以，
故答案为：
例67．(2023·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中)已知，是曲线上的动点，为直线上的一个动点，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
如图，曲线是以为圆心，以为半径的圆，
则根据圆的性质可知，的最小值为，
设关于直线的对称点为，
则可得，解得，即，
连接，分别交直线与圆于，
则，
当且仅当三点共线时取等号，此时取得最小值，
所以的最小值为.
故答案为:
例68．(2023·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中)已知圆，为过的圆的切线，A为上任一点，过A作圆的切线AP，AQ，切点分别是P和Q，则四边形APNQ的面积最小值是__________．
【答案】/
【解析】依题意，直线的斜率为，则直线的斜率为，
直线的方程为，即，圆的圆心，半径，
因为为圆的切线，则，四边形的面积：
又到的距离，于是，
因此，
所以四边形APNQ的面积最小值为.
故答案为：
题型十：圆系问题
例69．(2023·高二课时练习)求经过点以及圆与交点的圆的方程________.
【答案】.
【解析】方法一：将化为一般式，所求圆经过两圆的交点，则可设所求圆的方程为，整理得：；
此圆经过,代入上述方程得，解得,
所以该圆的方程为，即.
方法二：圆与的交点为，因为圆心在轴上
设所求圆的方程为，则，解得，所求圆的方程为，化为一般式为.
故答案为：.
例70．(2023·全国·高二专题练习)求经过圆与直线的交点且在轴上的弦长为的圆的方程．
【解析】设所求的圆的方程为，且与轴的交点坐标为，
令得，化简得
，
由两边平方得
，化简得
解得或
所求圆的方程为，
或
所求圆的方程为或
例71．(2023·江苏·高二专题练习)已知圆：与：相交于A、B两点．
(1)求公共弦AB所在的直线方程；
(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；
(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．
【解析】(1)将两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即为所求直线方程．
(2)设经过A、B两点的圆的方程为(为常数)，
则圆心坐标为；又圆心在直线y＝－x上，故，
解得，故所求方程为．
(3)由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小．两圆心所在直线方程为2x＋y＋3＝0，
与直线AB方程联立得所求圆心坐标为，由弦长公式可知所求圆的半径为．
故面积最小的圆的方程为．
例72．过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_______．
【答案】
【解析】
设圆的方程为，
则，
即，所以圆心坐标为，
把圆心坐标代入，可得，
所以所求圆的方程为．
故答案为：．
例73．已知圆与圆相交于A、B两点．
(1)求公共弦AB所在直线方程；
(2)求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程．
【解析】(1)，①
，②
①-②得
即公共弦AB所在直线方程为．
(2)设圆的方程为
即
因为圆过原点，所以，
所以圆的方程为
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考期中)直线被圆截得的弦长为1，则半径( )
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】圆心到直线的距离为，
所以，故，
故选：B
2．(2023·高二课时练习)已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】将两个圆的方程相减，得3x－4y＋6＝0.
故选：D.
3．(2023·高二课时练习)两圆外切，则正实数r的值是( )
A．B．C．D．5
【答案】B
【解析】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆外切，则两圆心距离等于两圆的半径之和，
即，解得，
故选：B.
4．(2023·福建宁德·高二统考期中)已知，圆，圆， 若直线过点且与圆相切，则直线被圆所截得的弦长为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设直线的方程为，
由直线与圆相切，则，
解得，即，
即直线的方程为，
又圆的圆心坐标为，半径为，
圆圆心到直线距离为，
则直线被圆所截弦长为.
故选：A
5．(2023·浙江丽水·高二统考期末)若圆与圆外切，则实数( )
A．－1B．1C．1或4D．4
【答案】D
【解析】由条件化简得，即两圆圆心为，
设其半径分别为，，所以有.
故选：D
6．(2023·高二课时练习)若圆与圆外切，则＝( )
A．21B．19C．9D．
【答案】C
【解析】依题意可得圆与圆的圆心分别为，，则，
又，且两圆外切，则，得到，解得．
故选：C.
7．(2023·高二课时练习)已知过圆外一点做圆的两条切线，切点为两点，求所在的直线方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据题意得所在的直线为圆和以的中点为圆心,以为直径的圆的公共弦所在的直线方程，
因为，所以圆，
两圆相减得所在的直线方程为.
故选：A.
8．(2023·河北石家庄·高二石家庄一中校考阶段练习)在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆的半径为3，直线，互相垂直，垂足为，且与圆相交于，两点，与圆相交于，两点，则四边形的面积的最大值为( )
A．10B．12C．13D．15
【答案】B
【解析】设圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，
直线，互相垂直，垂足为，，
，，
．
故选：B．
二、多选题
9．(2023·广西·高二校联考阶段练习)圆心在轴上，半径为2，且与直线相切的圆的方程可能是( )
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】依题可设圆心坐标为，
由题意得圆心到直线的距离为2，
即，解得，
所以圆的方程为：或，
故选：AC．
10．(2023·福建福州·高二福州三中校考期中)已知圆和圆相交于A，B两点，下列说法正确的是( )
A．圆M的圆心为，半径为1
B．直线的方程为
C．线段的长为
D．取圆M上的点，则的最大值为36
【答案】BD
【解析】A选项，变形为，
圆心为，半径为1，A错误；
B选项，圆和圆相减得，
故直线的方程为，B正确；
C选项，由B可知，直线的方程为，
圆心到的距离为，
故线段的长为，C错误；
D选项，由题意得，设，
则
，其中，
故当时，取得最大值，最大值为，D正确.
故选：BD
11．(2023·甘肃兰州·高二兰大附中校考阶段练习)已知圆和圆，则下列结论正确的是( )
A．圆与圆外切
B．直线与圆相切
C．直线被圆所截得的弦长为2
D．若分别为圆和圆上一点，则的最大值为10
【答案】ACD
【解析】圆化为，圆心坐标为，半径为2，
圆化为，圆心坐标为，半径为3.
因为两个圆的圆心距为，等于两个圆半径的和，所以两个圆外切，正确.
圆的圆心到直线的距离为，所以直线与圆不相切，错误.
圆的圆心到直线的距离为，直线被圆所截得的弦长为，C正确.
若分别为圆和圆上一点，则的最大值为，正确.
故选：ACD
12．(2023·山东日照·高二校考阶段练习)实数x，y满足，则的值可能为( )
A．B．
C．D．
【答案】ABCD
【解析】令，可得，
则直线与圆，
将代入方程，
得，
解得，即，
故选：ABCD.
三、填空题
13．(2023·高二课时练习)已知圆C过点且与圆切于点，则圆C的方程为__________.
【答案】
【解析】因为圆C过点且与圆切于点，
可知圆C与的公切线为，且圆C过点，
过点作切线的垂线，即为轴，
可知圆心C在此垂线上，即圆心C在轴上，
设圆C，又圆C过点，且圆C过点，
由圆心到圆上任一点距离相等，且为半径，
所以，可得，从而半径，
所以圆C的方程为.
故答案为：.
14．(2023·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考期中)若直线与圆相切，则实数_________．
【答案】或
【解析】圆可化为.
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即，
解得：或7.
故答案为：或
15．(2023·上海·高二专题练习)已知圆与圆相交，则它们的公共弦所在的直线方程是__．
【答案】
【解析】由题意，圆与圆相交，
两圆的方程作差得，
即公式弦所在直线方程为.
故答案为：.
16．(2023·浙江杭州·高二浙江省杭州第七中学校考期中)若直线与曲线有且只有一个公共点，则实数m的取值范围是______．
【答案】
或
【解析】因为曲线，所以，
解得，，曲线可化为，
两边同时平方有：，即，
所以曲线是以为圆心，为半径的圆的一部分，
而直线，所以是斜率为1的直线，画图象如下：
由于直线与曲线只有一个公共点，当直线过时，即，解得：，
当直线过时，即，解得：，由图象可知，
当直线与圆相切时：，解得或，
而即为在轴上的截距，由图象可知，
综上：或.
故答案为：或
四、解答题
17．(2023·河北张家口·高二张家口市宣化第一中学校考阶段练习)已知一圆的圆心为，且该圆被直线截得的弦长为.
(1)求该圆的方程；
(2)求过点的该圆的切线方程.
【解析】(1)设圆的方程为，
圆心到直线的距离为，
又圆被直线截得的弦长为，，
圆的方程为：.
(2)当切线斜率不存在的时候，切线方程为：，满足题意；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
由得：，切线方程为，即，
综上所述：过点的圆的切线方程为或.
18．(2023·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期中)已知圆C过点，，．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线与圆C交于两点A，B，且，求m的值．
【解析】(1)设圆的一般方程为，
由题意可得：，解得，
故圆的一般方程为，即.
(2)由(1)可得：圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
可得，解得，
所以m的值为.
19．(2023·江西·高二校联考阶段练习)已知圆：，直线恒过点.
(1)若直线与圆相切，求的方程；
(2)若直线的倾斜角为，且与圆相交于，两点，求(点为圆的圆心)的面积.
【解析】(1)圆：的圆心为，半径，
当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线和圆相切．
当直线斜率存在时，设方程为，即，
与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，
即，
解得，直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或．
(2)直线的倾斜角为，则直线的斜率，
所以直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离，，
的面积．
20．(2023·北京·高二北京一七一中校考阶段练习)已知圆的圆心在直线上，且与y轴相切于点．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C直线交于A，B两点，_____，求m的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：；
条件②：．
【解析】(1)设圆心坐标为，半径为.
由圆的圆心在直线上，知：.
又∵圆与轴相切于点，
∴，，则.
∴圆的圆心坐标为，则圆的方程为.
(2)如果选择条件①：，而，
∴圆心到直线的距离，则，解得或.
如果选择条件②：，而，
∴圆心到直线的距离，则，解得或.
21．(2023·湖北·高二校联考阶段练习)已知圆，直线.
(1)证明：直线和圆恒有两个交点；
(2)若直线和圆交于两点，求的最小值及此时直线的方程.
【解析】(1)直线，即，
联立解得所以不论取何值，直线必过定点.
圆，圆心坐标为，半径，
因为，所以点在圆内部，
则直线与圆恒有两个交点.
(2)直线经过圆内定点，圆心，
记圆心到直线的距离为d.
因为，所以当d最大时，取得最小值，
所以当直线时，被圆截得的弦最短，
此时，
因为，所以直线的斜率为，又直线过点，
所以当取得最小值时，直线的方程为，即，
综上：最小值为，此时直线方程为.
22．(2023·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中)已知圆M方程为，直线的方程为，点在直线上，过P作圆M的切线、，切点为A、B．
(1)若P点坐标为，求
(2)经过A、P、M三点的圆是否经过异于点的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．
【解析】(1)因为点坐标为，所以，
又因为，所以,故.
(2)设的中点，因为为圆的切线，
所以经过三点的圆是以为圆心，为半径的圆，
故其方程为
化简得，
由，解得(舍)或
所以经过三点的圆经过异于点的定点.
题型一：不含参数(含参数)的直线与圆的位置关系
题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标
题型三：切线与切线长问题
题型四：弦长问题
题型五：判断圆与圆的位置关系
题型六：由圆的位置关系确定参数
题型七：公共弦与切点弦问题
题型八：公切线问题
题型九：圆中范围与最值问题
题型十：圆系问题
【知识点梳理】
知识点一：直线与圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系：
(1)直线与圆相交，有两个公共点；
(2)直线与圆相切，只有一个公共点；
(3)直线与圆相离，没有公共点．
2、直线与圆的位置关系的判定：
(1)代数法：
判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点．
有两组实数解时，直线与圆C相交；
有一组实数解时，直线与圆C相切；
无实数解时，直线与圆C相离．
(2)几何法：
由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：
当时，直线与圆C相交；
当时，直线与圆C相切；
当时，直线与圆C相离．
知识点诠释：
(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得．
(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理．
(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决．
知识点二：圆的切线方程的求法
1、点在圆上，如图．
法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率
的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
知识点诠释：
因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
常见圆的切线方程：
(1)过圆上一点的切线方程是；
(2)过圆上一点的切线方程是
．
知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法
1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．
2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
知识点四：圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系：
(1)圆与圆相交，有两个公共点；
(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；
(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点．
2、圆与圆的位置关系的判定：
(1)代数法：
判断两圆的方程组成的方程组是否有解．
有两组不同的实数解时，两圆相交；
有一组实数解时，两圆相切；
方程组无解时，两圆相离．
(2)几何法：
设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为．
当时，两圆相交；
当时，两圆外切；
当时，两圆外离；
当时，两圆内切；
当时，两圆内含．
知识点诠释：
判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法．
3、两圆公共弦长的求法有两种：
方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
4、两圆公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
(1)两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；
(2)两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；
(3)两圆相交时，只有2条外公切线；
(4)两圆内切时，只有1条外公切线；
(5)两圆内含时，无公切线．
【典例例题】
题型一：不含参数(含参数)的直线与圆的位置关系
例1．(2023·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中)直线与圆的位置关系是( )
A．相交B．相切C．相离D．无法判断
【答案】A
【解析】圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
则直线与圆相交.
故选：A.
例2．(2023·辽宁·高二校联考期中)圆与直线的位置关系是( )
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【答案】A
【解析】圆的圆心为，半径为1，
所以圆心到直线的距离，
所以直线与圆的位置关系为相交.
故选：A.
例3．(2023·北京顺义·高二北京市顺义区第一中学校考期中)直线与圆的位置关系是( )
A．相交B．相切C．相离D．都有可能
【答案】B
【解析】圆的圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，与半径相等，
所以直线与圆的位置关系是相切，
故选：B
例4．(2023·四川资阳·高二四川省资阳中学校考期中)圆与直线的位置关系为( )
A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能
【答案】C
【解析】因为直线方程为，
所以令，则，即直线过定点，
因为圆的方程为，
故将代入得，
所以点在圆的内部，
故直线与圆相交.
故选：C.
例5．(2023·四川眉山·高二眉山中学校考期末)直线与圆的位置关系为( )
A．相交B．相切C．相离D．与的值有关
【答案】A
【解析】直线，即，因此直线恒过定点，
因，即点A在圆内，
所以直线与圆相交.
故选：A
例6．(2023·北京东城·高二北京市第五中学校考期中)已知直线与圆，则下列说法错误的是( )
A．对，直线恒过一定点
B．，使直线与圆相切
C．对，直线与圆一定相交
D．直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为
【答案】B
【解析】直线，即，
令，解得，即直线恒过定点，故A正确；
圆，即圆，圆心，半径，
则，即点在圆内，所以直线与圆一定相交，故B错误，故C正确，
当时直线与圆相交且直线被圆所截得的弦长最短，最短弦长，故D正确，
故选：B.
例7．(2023·高二课时练习)直线：与圆C：的位置关系为( )
A．相交或相切B．相交或相离C．相切D．相交
【答案】D
【解析】圆C：，圆心为，半径为，
直线：，即，
圆心到直线的距离为，故直线与圆相交.
故选：D
例8．(2023·河北邢台·高二邢台市第二中学校考期末)已知直线和圆，则直线与圆的位置关系为( )
A．相离B．相切C．相交D．不能确定
【答案】C
【解析】直线方程整理为，即直线过定点，
而，所以定点在圆内，
∴直线与圆相交.
故选：C.
题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标
例9．(2023·高二单元测试)直线与圆没有公共点，则的取值范围是( )
A．或B．
C．D．或
【答案】A
【解析】因为圆 的圆心为，半径为，则点到直线的距离大于，
，即或；
故选：A.
例10．(2023·高二课时练习)若直线与圆相交，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由直线，可化为，
因为直线与圆相交，可得，
整理得，所以.
故选：B.
例11．(2023·高二校考课时练习)过点的直线中，被圆截得的弦最长的直线的方程是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】的圆心为，
过点的直线中，被圆截得的弦最长的直线必过圆心，
所以，
所以直线方程为，即.
故选：D.
例12．(2023·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考期中)已知圆与直线相切，则实数( )
A．5B．10C．25D．100
【答案】D
【解析】圆的圆心为，半径，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
解得：.
故选：D
例13．(2023·湖南长沙·高二校考期中)关于的方程有两解，则k的范围为( )
A．B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意可知，表示的直线恒过定点，
对两边同平方并移项得，，
则表示的是圆的上半部分，
若关于的方程有两解，
即直线与上半圆有两个交点，
画出图象如下图所示：
易知，定点，即两点之间的斜率，同理，
当直线从位置绕点沿顺时针方向旋转到位置时满足题意，
所以需满足，即.
故选：C
例14．(2023·江苏宿迁·高二统考期中)直线与曲线的交点个数为( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】联立直线方程和曲线方程可得可得，
即，解得或，故方程组的解为或.
故选：C
例15．(2023·云南昆明·高二校考期中)直线y=0与圆C：x2+y2-2x-4y=0相交于A､B两点，则△ABC的面积是( )
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解析】由x2+y2-2x-4y=0得，
∴，
由得，
所以△ABC的面积为.
故选：C.
题型三：切线与切线长问题
例16．(2023·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习)过点作圆的切线，则切线的方程为__________.
【答案】
【解析】圆的圆心，
∵，则点在圆上，即点为切点，
则圆心到切点连线的斜率，可得切线的斜率，
故切线的方程，即.
故答案为：.
例17．(2023·云南昆明·高二统考期末)圆在点处的切线方程为____________.
【答案】
【解析】设圆的圆心，点
将代入圆的方程成立，所以在圆上，与切线垂直，
所以切线斜率，
切线方程为，即.
故答案为：
例18．(2023·湖北·高二统考期末)直线l过且与圆相切，则直线l的方程为________．
【答案】
【解析】由圆的方程，得，此圆的圆心为，半径为2，
显然点在圆上，因此直线l垂直于经过点、点的直线，
所以直线l的方程为.
故答案为：
例19．(2023·北京·高二北京一七一中校考阶段练习)过点的圆的切线方程为 _________________．
【答案】或
【解析】当切线的斜率不存在时，
切线的方程为，圆心到该直线的距离等于半径1，符合题意，
当切线的斜率存在时，
设过点的切线方程为，即，
∵圆心到直线的距离等于半径，
∴，解得，
∴切线方程为，
综上所述，切线方程为或．
故答案为：或．
例20．(2023·高二单元测试)经过点作圆的切线，则切线的方程为_______.
【答案】或
【解析】圆的半径为，圆心为，
当切线的斜率不存在时，方程，与圆不相切，
所以切线的斜率存在，设切线方程为，即，
圆心到切线的距离，解得或，
所以切线的方程为或.
故答案为：或.
例21．(2023·上海杨浦·高二校考期中)由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为______．
【答案】
【解析】设过点的切线与圆相切于点，连接，则，
圆的圆心为，半径为，则，
当与直线垂直时，取最小值，且最小值为，
所以，，即切线长的最小值为.
故答案为：.
例22．(2023·河北邢台·高二统考期中)过点作圆的一条切线，切点为，则___________.
【答案】
【解析】由圆的方程知：圆心，半径，
，.
故答案为：.
例23．(2023·黑龙江绥化·高二校考期中)已知圆，直线，为直线上的动点，过作圆的切线，切点为，则四边形的面积的最小值为________
【答案】
【解析】
由题知，⊙M：，圆心为，半径，
圆心到直线上的点的最短距离为，
所以切线长，
故四边形的面积的最小值为.
故答案为：.
例24．(2023·高二单元测试)已知圆与直线相切，则___________.
【答案】
【解析】，
圆的圆心为(2，－2)，半径r＝1，
∵圆和直线相切，∴.
故答案为：.
题型四：弦长问题
例25．(2023·江苏扬州·高二统考开学考试)若直线与圆相交于两点，则弦的长为______．
【答案】
【解析】由圆的方程得：圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
.
故答案为：.
例26．(2023·广东深圳·高二深圳中学校考期末)圆的一条弦以点为中点，则该弦的斜率为 __．
【答案】/-0.5
【解析】将配方得，
圆心为，，
，
弦以点为中点，该弦的斜率为．
故答案为：．
例27．(2023·湖南永州·高二统考期末)已知直线与圆交于，两点，则__________．
【答案】
【解析】圆的圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离，
所以.
故答案为：
例28．(2023·云南昆明·高二昆明市第三中学校考阶段练习)设为实数，若直线与圆相交于M，N两点，且，则_________.
【答案】－1或3
【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，直线的一般方程为，所以圆心到直线的距离，因为，所以，化简可得，解得或
故答案为：-1或3.
例29．(2023·新疆乌鲁木齐·高二乌市一中校考期中)设圆的圆心为，直线过，且与圆交于，两点，若，则直线的方程为___________.
【答案】或
【解析】圆，即，
所以圆心为，半径，
又直线被圆截得的弦长，
圆心到直线的距离，
①当直线过且斜率不存在时，
的方程为，满足圆心到的距离为，
，满足题意；
②当直线过且斜率存在时，
设为，即，
圆心到直线的距离，
解得，直线方程为，
综合可得直线的方程为或，
故答案为：或．
例30．(2023·高二课时练习)直线l经过点P(5，5)且和圆C：相交，截得弦长为，则l的方程是______．
【答案】或
【解析】圆的圆心为，半径.
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
直线与圆相切，不符合题意，所以直线的斜率存在，设为，
故直线的方程为，即，
由于直线与圆相交所得弦长为，
所以圆心到直线的距离，
所以，
两边平方得，解得或，
所以直线的方程为或，
即或
故答案为：或
题型五：判断圆与圆的位置关系
例31．(2023·江苏扬州·高二统考开学考试)圆与圆的位置关系为( )．
A．相交B．内切C．外切D．外离
【答案】B
【解析】由题意可得，
故两圆的圆心分别为：，设两圆半径分别为，则，
易知，故两圆内切.
故选：B
例32．(2023·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习)圆与圆的位置关系是( )
A．外离B．外切C．相交D．内切
【答案】C
【解析】两圆化为标准形式，可得与圆，
可知半径，，于是，
而，故两圆相交，
故选：.
例33．(2023·广东深圳·高二统考期末)已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为( )
A．相交B．外切C．外离D．内含
【答案】A
【解析】因为圆圆心为，半径为，圆圆心为，半径为，
所以，易知，，
所以圆与圆相交.
故选：A.
例34．(2023·广东梅州·高二校考期末)两圆和的位置关系是( )
A．内切B．内含C．外切D．外离
【答案】A
【解析】由圆方程知：圆心，半径；由圆方程知：圆心，半径；
，圆与相内切.
故选：A.
例35．(2023·四川成都·高二校考期中)圆与圆的位置关系是( )
A．外切B．内切C．相交D．相离
【答案】B
【解析】圆圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为
故两圆心的距离为正好为两圆半径的差，
故两圆位置关系是内切.
故选：B.
题型六：由圆的位置关系确定参数
例36．(2023·广西·高二校联考期中)已知圆心在原点的单位圆和圆外切，________．
【答案】16
【解析】圆圆心为，半径为1，圆，圆心为，且，半径为，
所以圆心距，因为两圆外切，所以，所以．
故答案为：16
例37．(2023·上海浦东新·高二统考期中)已知圆：和圆：外切，则实数m的值为_________.
【答案】3
【解析】圆的标准方程为.圆：，∴ .
又∵两圆外切，∴，解得m=3.
故答案为：3．
例38．(2023·辽宁沈阳·高二校联考期末)已知圆，以点为圆心，半径为r的圆与圆C有公共点，则r的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题知的圆心为，两圆心的距离．
因为两圆有公共点，即相交或相切，所以，解得．
故答案为：
例39．(2023·广东清远·高二统考期末)已知两圆与外离，则整数m的取值是______．
【答案】
【解析】因为圆的圆心为，半径
圆的标准方程为，所以，即；
圆的圆心为，半径
两圆圆心的距离为，
由两圆外离可得，即，解得
所以，
故整数m的取值为.
故答案为：
例40．(2023·黑龙江佳木斯·高二富锦市第一中学校考阶段练习)圆和圆相切，则a＝______．
【答案】9或/或9
【解析】，即，
圆心为，半径，
，圆心为，半径，，
当两圆外切时，，解得；
当两圆内切时，，解得，或，无解；
综上所述：或.
故答案为：9或
题型七：公共弦与切点弦问题
例41．(2023·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习)已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为______.
【答案】
【解析】圆：的圆心坐标为，
因为圆过圆的圆心，所以，
所以，所以：，
两圆的方程相减可得相交弦方程为.
故答案为：.
例42．(2023·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末)圆与圆的公共弦所在直线方程为___________.
【答案】
【解析】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则，则两圆相交，
故将两圆方程相减可得：，即，
即圆与圆的公共弦所在直线方程为，
故答案为：
例43．(2023·全国·高二合肥市第六中学校联考开学考试)圆与圆的公共弦长为______．
【答案】/
【解析】由题意可知，两圆方程相减可得公共弦方程为，
圆的标准方程为，其圆心，半径；
圆心到公共弦的距离
所以公共弦长为.
故答案为：
例44．(2023·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中)已知圆和圆，则圆与圆的公共弦的弦长__________．
【答案】
【解析】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
所以，满足两圆相交有公共弦，
两圆公共弦所在直线方程为两圆方程作差得：，即，
所以圆心到直线的距离，则公共弦长为.
故答案为：.
例45．(2023·广东广州·高二广州市第六十五中学校考期中)过点作圆的两条切线，设两切点分别为A、B，则直线的方程为_________.
【答案】
【解析】根据题意，过点作圆的两条切线，设两切点分别为、，
则，
则以为圆心，为半径为圆为，即圆，
为两圆的公共弦所在的直线，则有，
变形可得：；
即直线的方程为，
故答案为：
例46．(2023·全国·高二专题练习)过圆O:外一点作圆O的切线，切点分别为A、B，则___________ .
【答案】
【解析】根据题意，圆O:的圆心为，半径，
若，则，
圆O:外一点做圆O的切线，切点分别为A、B，
则，
故点A、B在以为圆心，半径为的圆上，
该圆的方程为，
联立两个圆的方程： ，
两式作差可得，则直线的方程为，
圆O的圆心O到直线的距离，
则.
故答案为：
例47．(2023·重庆北碚·高二西南大学附中校考期中)过点向圆引两条切线，切点为、，则________.
【答案】
【解析】
如图，在，，
所以，设直线与轴交于点
则有,即
所以，所以
故答案为：
题型八：公切线问题
例48．(2023·高二课时练习)到点、的距离分别为和的直线有________条．
【答案】
【解析】到点的距离为3的直线是以为圆心，为半径的圆的切线；
同理，到点的距离为的直线是以为圆心，半径为的圆的切线，
所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，
而这两圆的圆心距，则，
所以圆和圆外离，因此它们的公切线有条，即满足条件的直线有条.
故答案为：.
例49．(2023·四川资阳·高二四川省资阳中学校考期中)已知圆与圆恰有两条公切线，则实数的取值范围________．
【答案】
【解析】由，即，
可知圆的圆心为，半径为；
因为圆与圆恰有两条公切线，所以圆与圆相交，
则，∵，
解得：，即的取值范围是.
故答案为：.
例50．(2023·湖南益阳·高二校联考阶段练习)圆和圆公切线的条数为__________．
【答案】
【解析】圆，，
，因此两圆外离，
则有条公切线．
故答案为：4.
例51．(2023·广东深圳·高二校考阶段练习)圆与圆的公切线方程为__________．
【答案】
【解析】圆，即，
得,
所以
故两圆内切，公切线只有一条，与两圆圆心的连线即x轴垂直，
由得
所以切点为，
故公切线方程为．
故答案为：．
例52．(2023·浙江金华·高二校联考期末)已知圆与圆，则圆与圆的公切线方程是___________________．
【答案】
【解析】圆，即，圆心为，半径.
圆，即，圆心为，半径.
圆心角，所以两圆相内切.
由解得，
所以两圆切点的坐标为，
，所以公切线的斜率为，
所以公切线的方程为.
故答案为：
例53．(2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末)已知圆与圆，则圆与圆的公切线方程是___________.
【答案】
【解析】圆，即，圆心为，半径.
圆，即，圆心为，半径.
圆心角，所以两圆外切，
由解得，
所以两圆切点的坐标为，
，所以公切线的斜率为，
所以公切线的方程为，即
故答案为：
题型九：圆中范围与最值问题
例54．(2023·高二课时练习)圆上恰好有两点到直线的距离为，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】把圆的方程化为标准式为，
所以圆心坐标为，半径
则圆心到直线的距离，
由题意得，即，即
解得：或，即实数的取值范围为 ，
故答案为：.
例55．(2023·江西南昌·高二阶段练习)在平面直角坐标系中，已知圆，直线(其中为常数)．下列有关直线与圆的命题中正确命题的序号是________．
①当时，圆上有四个不同的点到直线的距离为1；
②若圆上有四个不同的点到直线的距离为1，则；
③若圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1，则；
④若圆上恰有两个不同的点到直线的距离为1，则；
⑤当时，圆上只有一个点到直线的距离为1.
【答案】①②⑤
【解析】圆心到直线的距离为，圆的半径为2，
(1)当即时，，
圆上有四个不同点到直线的距离为1；
(2)当时，，
圆上恰有三个不同点到直线的距离为1；
(3)当或时，
圆上恰有两个不同点到直线的距离为1；
(4)当时，，
圆上只有一个点到直线的距离为1．
故①②⑤正确．
故答案为：①②⑤．
例56．(2023·上海静安·高二上海市新中高级中学校考期中)若圆上有四个点到直线的距离为，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】圆的圆心为，半径为，
因为圆上有四个点到直线的距离为，
所以圆心到直线的距离，
所以，解得．
故答案为：．
例57．(2023·高二课时练习)已知圆，直线，点在直线l上．若存在圆C上的点Q，使得(O为坐标原点)，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】过点作圆的切线，设切点为，
因为，所以，
又，，
所以，
所以有：
又 ，所以，，解得： ，
所以的取值范围是.
故答案为：.
例58．(2023·高二校考课时练习)设圆：上有且仅有两个点到直线的距离等于,则圆半径的取值范围是_________.
【答案】
【解析】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离，
因为圆上恰有相异两点到直线的距离等于，
所以，
即，所以.
故答案为：
例59．(2023·上海浦东新·高二华师大二附中校考期中)平面直角坐标系xOy中，已知点，若直线l：上总存在P、Q两点，使得恒成立，则线段PQ长度的取值范围是_______
【答案】
【解析】要使得恒成立，则点M在以PQ为直径的圆的内部，
点P、Q在直线上，
点到直线l：距离，
以PQ为直径的圆半径的最小值为，
所以PQ的最小值为6，则线段PQ长度的取值范围是，
故答案为：.
例60．(2023·安徽阜阳·高二安徽省太和中学校考阶段练习)若直线与圆交于两点，则面积的最大值为____.
【答案】
【解析】圆的圆心，半径，
直线恒过定点，则，
设中点为M，则点M在以为直径的圆上，
设圆心到直线距离为d，
则，，
则的面积为
当即时取得最大值.
则面积的最大值为.
故答案为：
例61．(2023·高二单元测试)若在圆上运动，则的最大值为___.
【答案】
【解析】表示两点所在直线的斜率，
设两点所在直线的方程为，即，
如图，当直线与圆相切时，斜率取得最值，
圆的圆心为，半径为，
当圆与直线相切时，
圆心到直线的距离，解得，
所以的最大值为.
故答案为：.
例62．(2023·全国·高二专题练习)已知实数x，y满足方程，则
(1)的最大值和最小值分别为________和________；
(2)y－x的最大值和最小值分别为________和________；
(3)的最大值和最小值分别为_______和_______．
【答案】 / / / /
【解析】原方程可化为，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx，
当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k＝±.
所以的最大值为，最小值为－.
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b＝－2±，
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为2，所以的最大值是，的最小值是.
故答案为：(1)；(2)；(3)；.
例63．(2023·贵州·高二校联考阶段练习)已知圆： ，为圆上任一点，则的最大值为________.
【答案】
【解析】设，则，即直线方程为，
因为为圆上任一点，
则圆心到直线的距离，
即，解得，
所以的最大值为，
故答案为：.
例64．(2023·辽宁朝阳·高二北票市高级中学校考阶段练习)已知圆和两点若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为______.
【答案】11
【解析】，记中点为，则，
故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
又在圆上，所以两圆有交点，
则，而，得.
故答案为:11.
例65．(2023·广西玉林·高二博白县中学校考期中)若直线与圆交于两点，则面积的最大值为__________
【答案】
【解析】因为直线方程变形为，
所以直线过定点，
由题知圆的圆心为，半径为，
因为
所以，定点在圆内部，
所以，当时，弦取得最小值，此时也最小，
所以，当时，弦的最小值为，的最小值为，
所以，
所以，面积
故答案为：
例66．(2023·四川成都·高二校考阶段练习)若直线与圆相交于两点，则弦长的最小值为_______.
【答案】
【解析】因为，
所以，
令，所以，故直线恒过定点，
又因为，故点在圆内，
设圆心为，半径为，
当时，取得最小，
因为，
所以，
故答案为：
例67．(2023·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中)已知，是曲线上的动点，为直线上的一个动点，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
如图，曲线是以为圆心，以为半径的圆，
则根据圆的性质可知，的最小值为，
设关于直线的对称点为，
则可得，解得，即，
连接，分别交直线与圆于，
则，
当且仅当三点共线时取等号，此时取得最小值，
所以的最小值为.
故答案为:
例68．(2023·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中)已知圆，为过的圆的切线，A为上任一点，过A作圆的切线AP，AQ，切点分别是P和Q，则四边形APNQ的面积最小值是__________．
【答案】/
【解析】依题意，直线的斜率为，则直线的斜率为，
直线的方程为，即，圆的圆心，半径，
因为为圆的切线，则，四边形的面积：
又到的距离，于是，
因此，
所以四边形APNQ的面积最小值为.
故答案为：
题型十：圆系问题
例69．(2023·高二课时练习)求经过点以及圆与交点的圆的方程________.
【答案】.
【解析】方法一：将化为一般式，所求圆经过两圆的交点，则可设所求圆的方程为，整理得：；
此圆经过,代入上述方程得，解得,
所以该圆的方程为，即.
方法二：圆与的交点为，因为圆心在轴上
设所求圆的方程为，则，解得，所求圆的方程为，化为一般式为.
故答案为：.
例70．(2023·全国·高二专题练习)求经过圆与直线的交点且在轴上的弦长为的圆的方程．
【解析】设所求的圆的方程为，且与轴的交点坐标为，
令得，化简得
，
由两边平方得
，化简得
解得或
所求圆的方程为，
或
所求圆的方程为或
例71．(2023·江苏·高二专题练习)已知圆：与：相交于A、B两点．
(1)求公共弦AB所在的直线方程；
(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；
(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．
【解析】(1)将两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即为所求直线方程．
(2)设经过A、B两点的圆的方程为(为常数)，
则圆心坐标为；又圆心在直线y＝－x上，故，
解得，故所求方程为．
(3)由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小．两圆心所在直线方程为2x＋y＋3＝0，
与直线AB方程联立得所求圆心坐标为，由弦长公式可知所求圆的半径为．
故面积最小的圆的方程为．
例72．过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_______．
【答案】
【解析】
设圆的方程为，
则，
即，所以圆心坐标为，
把圆心坐标代入，可得，
所以所求圆的方程为．
故答案为：．
例73．已知圆与圆相交于A、B两点．
(1)求公共弦AB所在直线方程；
(2)求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程．
【解析】(1)，①
，②
①-②得
即公共弦AB所在直线方程为．
(2)设圆的方程为
即
因为圆过原点，所以，
所以圆的方程为
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考期中)直线被圆截得的弦长为1，则半径( )
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】圆心到直线的距离为，
所以，故，
故选：B
2．(2023·高二课时练习)已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】将两个圆的方程相减，得3x－4y＋6＝0.
故选：D.
3．(2023·高二课时练习)两圆外切，则正实数r的值是( )
A．B．C．D．5
【答案】B
【解析】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆外切，则两圆心距离等于两圆的半径之和，
即，解得，
故选：B.
4．(2023·福建宁德·高二统考期中)已知，圆，圆， 若直线过点且与圆相切，则直线被圆所截得的弦长为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设直线的方程为，
由直线与圆相切，则，
解得，即，
即直线的方程为，
又圆的圆心坐标为，半径为，
圆圆心到直线距离为，
则直线被圆所截弦长为.
故选：A
5．(2023·浙江丽水·高二统考期末)若圆与圆外切，则实数( )
A．－1B．1C．1或4D．4
【答案】D
【解析】由条件化简得，即两圆圆心为，
设其半径分别为，，所以有.
故选：D
6．(2023·高二课时练习)若圆与圆外切，则＝( )
A．21B．19C．9D．
【答案】C
【解析】依题意可得圆与圆的圆心分别为，，则，
又，且两圆外切，则，得到，解得．
故选：C.
7．(2023·高二课时练习)已知过圆外一点做圆的两条切线，切点为两点，求所在的直线方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据题意得所在的直线为圆和以的中点为圆心,以为直径的圆的公共弦所在的直线方程，
因为，所以圆，
两圆相减得所在的直线方程为.
故选：A.
8．(2023·河北石家庄·高二石家庄一中校考阶段练习)在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆的半径为3，直线，互相垂直，垂足为，且与圆相交于，两点，与圆相交于，两点，则四边形的面积的最大值为( )
A．10B．12C．13D．15
【答案】B
【解析】设圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，
直线，互相垂直，垂足为，，
，，
．
故选：B．
二、多选题
9．(2023·广西·高二校联考阶段练习)圆心在轴上，半径为2，且与直线相切的圆的方程可能是( )
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】依题可设圆心坐标为，
由题意得圆心到直线的距离为2，
即，解得，
所以圆的方程为：或，
故选：AC．
10．(2023·福建福州·高二福州三中校考期中)已知圆和圆相交于A，B两点，下列说法正确的是( )
A．圆M的圆心为，半径为1
B．直线的方程为
C．线段的长为
D．取圆M上的点，则的最大值为36
【答案】BD
【解析】A选项，变形为，
圆心为，半径为1，A错误；
B选项，圆和圆相减得，
故直线的方程为，B正确；
C选项，由B可知，直线的方程为，
圆心到的距离为，
故线段的长为，C错误；
D选项，由题意得，设，
则
，其中，
故当时，取得最大值，最大值为，D正确.
故选：BD
11．(2023·甘肃兰州·高二兰大附中校考阶段练习)已知圆和圆，则下列结论正确的是( )
A．圆与圆外切
B．直线与圆相切
C．直线被圆所截得的弦长为2
D．若分别为圆和圆上一点，则的最大值为10
【答案】ACD
【解析】圆化为，圆心坐标为，半径为2，
圆化为，圆心坐标为，半径为3.
因为两个圆的圆心距为，等于两个圆半径的和，所以两个圆外切，正确.
圆的圆心到直线的距离为，所以直线与圆不相切，错误.
圆的圆心到直线的距离为，直线被圆所截得的弦长为，C正确.
若分别为圆和圆上一点，则的最大值为，正确.
故选：ACD
12．(2023·山东日照·高二校考阶段练习)实数x，y满足，则的值可能为( )
A．B．
C．D．
【答案】ABCD
【解析】令，可得，
则直线与圆，
将代入方程，
得，
解得，即，
故选：ABCD.
三、填空题
13．(2023·高二课时练习)已知圆C过点且与圆切于点，则圆C的方程为__________.
【答案】
【解析】因为圆C过点且与圆切于点，
可知圆C与的公切线为，且圆C过点，
过点作切线的垂线，即为轴，
可知圆心C在此垂线上，即圆心C在轴上，
设圆C，又圆C过点，且圆C过点，
由圆心到圆上任一点距离相等，且为半径，
所以，可得，从而半径，
所以圆C的方程为.
故答案为：.
14．(2023·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考期中)若直线与圆相切，则实数_________．
【答案】或
【解析】圆可化为.
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即，
解得：或7.
故答案为：或
15．(2023·上海·高二专题练习)已知圆与圆相交，则它们的公共弦所在的直线方程是__．
【答案】
【解析】由题意，圆与圆相交，
两圆的方程作差得，
即公式弦所在直线方程为.
故答案为：.
16．(2023·浙江杭州·高二浙江省杭州第七中学校考期中)若直线与曲线有且只有一个公共点，则实数m的取值范围是______．
【答案】
或
【解析】因为曲线，所以，
解得，，曲线可化为，
两边同时平方有：，即，
所以曲线是以为圆心，为半径的圆的一部分，
而直线，所以是斜率为1的直线，画图象如下：
由于直线与曲线只有一个公共点，当直线过时，即，解得：，
当直线过时，即，解得：，由图象可知，
当直线与圆相切时：，解得或，
而即为在轴上的截距，由图象可知，
综上：或.
故答案为：或
四、解答题
17．(2023·河北张家口·高二张家口市宣化第一中学校考阶段练习)已知一圆的圆心为，且该圆被直线截得的弦长为.
(1)求该圆的方程；
(2)求过点的该圆的切线方程.
【解析】(1)设圆的方程为，
圆心到直线的距离为，
又圆被直线截得的弦长为，，
圆的方程为：.
(2)当切线斜率不存在的时候，切线方程为：，满足题意；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
由得：，切线方程为，即，
综上所述：过点的圆的切线方程为或.
18．(2023·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期中)已知圆C过点，，．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线与圆C交于两点A，B，且，求m的值．
【解析】(1)设圆的一般方程为，
由题意可得：，解得，
故圆的一般方程为，即.
(2)由(1)可得：圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
可得，解得，
所以m的值为.
19．(2023·江西·高二校联考阶段练习)已知圆：，直线恒过点.
(1)若直线与圆相切，求的方程；
(2)若直线的倾斜角为，且与圆相交于，两点，求(点为圆的圆心)的面积.
【解析】(1)圆：的圆心为，半径，
当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线和圆相切．
当直线斜率存在时，设方程为，即，
与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，
即，
解得，直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或．
(2)直线的倾斜角为，则直线的斜率，
所以直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离，，
的面积．
20．(2023·北京·高二北京一七一中校考阶段练习)已知圆的圆心在直线上，且与y轴相切于点．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C直线交于A，B两点，_____，求m的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：；
条件②：．
【解析】(1)设圆心坐标为，半径为.
由圆的圆心在直线上，知：.
又∵圆与轴相切于点，
∴，，则.
∴圆的圆心坐标为，则圆的方程为.
(2)如果选择条件①：，而，
∴圆心到直线的距离，则，解得或.
如果选择条件②：，而，
∴圆心到直线的距离，则，解得或.
21．(2023·湖北·高二校联考阶段练习)已知圆，直线.
(1)证明：直线和圆恒有两个交点；
(2)若直线和圆交于两点，求的最小值及此时直线的方程.
【解析】(1)直线，即，
联立解得所以不论取何值，直线必过定点.
圆，圆心坐标为，半径，
因为，所以点在圆内部，
则直线与圆恒有两个交点.
(2)直线经过圆内定点，圆心，
记圆心到直线的距离为d.
因为，所以当d最大时，取得最小值，
所以当直线时，被圆截得的弦最短，
此时，
因为，所以直线的斜率为，又直线过点，
所以当取得最小值时，直线的方程为，即，
综上：最小值为，此时直线方程为.
22．(2023·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中)已知圆M方程为，直线的方程为，点在直线上，过P作圆M的切线、，切点为A、B．
(1)若P点坐标为，求
(2)经过A、P、M三点的圆是否经过异于点的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．
【解析】(1)因为点坐标为，所以，
又因为，所以,故.
(2)设的中点，因为为圆的切线，
所以经过三点的圆是以为圆心，为半径的圆，
故其方程为
化简得，
由，解得(舍)或
所以经过三点的圆经过异于点的定点.
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