第16讲 直线和圆锥曲线的位置关系（九大题型）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

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题型一：直线与椭圆的位置关系
题型二：椭圆的弦
题型三：椭圆的综合问题
题型四：直线与双曲线的位置关系
题型五：双曲线的弦
题型六：双曲线的综合问题
题型七：直线与抛物线的位置关系
题型八：抛物线的弦
题型九：抛物线的综合问题
【知识点梳理】
知识点一：直线与椭圆的位置关系
平面内点与椭圆的位置关系
椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M(x，y)，
若点M(x，y)在椭圆上，则有；
若点M(x，y)在椭圆内，则有；
若点M(x，y)在椭圆外，则有.
直线与椭圆的位置关系
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点)；
②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
直线与椭圆的相交弦
设直线交椭圆于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
知识点三、直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系
将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若即，
①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．
直线与双曲线的相交弦
设直线交双曲线于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
双曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；
涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.
解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.
知识点四、直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的位置关系
将直线的方程与抛物线的方程y2=2px(p＞0)联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；
若
①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．
直线与抛物线的相交弦
设直线交抛物线于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
抛物线的焦点弦问题
已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
焦点弦长
②
③，其中|AF|叫做焦半径，
④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。
【典例例题】
题型一：直线与椭圆的位置关系
例1．(2023·全国·高三对口高考)若直线与椭圆有且只有一公共点，那么的值为( )
A．B．C．D．
例2．(2023·全国·高三对口高考)若直线被圆所截的弦长不小于2，则l与下列曲线一定有公共点的是( )
A．B．
C．D．
例3．(2023·高二课时练习)已知直线y=kx-1与焦点在x轴上的椭圆C:总有公共点，则椭圆C的离心率取值范围是( )
A．B．C．D．
例4．(2023·上海浦东新·高二统考期中)已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为( )
A．相交B．相切C．相离D．不确定
例5．(2023·黑龙江绥化·高二海伦市第一中学校考期中)直线：与椭圆的位置关系是( )
A．相交B．相切C．相离D．相切或相交
题型二：椭圆的弦
例6．(2023·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考开学考试)过椭圆：的右焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为______
例7．(2023·内蒙古包头·高二包头市第六中学校考期末)已知椭圆的左焦点为，过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，则__________．
例8．(2023·上海徐汇·高二上海市南洋模范中学校考阶段练习)是过椭圆右焦点的弦，则弦长的最小值为______
例9．(2023·上海金山·高二上海市金山中学校考期末)已知椭圆，斜率为1的直线过点其左焦点，且与椭圆交于、两点，则弦长_____．
例10．(2023·高二课时练习)椭圆的焦点为、，过O作直线交椭圆于A、B两点，若的面积为20，则直线AB的方程为______．
例11．(2023·广西钦州·高二校考阶段练习)已知椭圆中，，离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于、两点，求.
例12．(2023·全国·高二专题练习)椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点且长轴长为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|．
题型三：椭圆的综合问题
例13．(2023·河南洛阳·高二统考期末)已知圆S：，点P是圆S上的动点，T是抛物线的焦点，Q为PT的中点，过Q作交PS于G，设点G的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过的直线l交曲线C于点M，N，若在曲线C上存在点A，使得四边形OMAN为平行四边形(O为坐标原点)，求直线l的方程．
例14．(2023·广西北海·高二统考期末)已知椭圆：()上任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线交椭圆于，两点，点为线段的中点，求直线的方程．
例15．(2023·四川雅安·高二雅安中学校考期中)已知圆：经过椭圆：的两个焦点和两个顶点，点，直线：与椭圆交于两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的值．
例16．(2023·四川广安·高二广安二中校考期中)若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程．
例17．(2023·广东广州·高二广东番禺中学校考期末)已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，，若，求直线的方程．
例18．(2023·江苏南京·高二校考阶段练习)在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值．
题型四：直线与双曲线的位置关系
例19．(2023·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末)已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
例20．(2023·山东聊城·高二校考期末)直线与双曲线相交，有且只有1个交点，则双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
例21．(2023·湖北·高二统考期末)曲线与直线的公共点的个数为( )
A．B．C．D．
例22．(2023·河南信阳·高二统考期末)过点作直线l与双曲线交于点A，B，若P恰为AB的中点，则直线l的条数为( )
A．0B．1C．2D．不能确定
例23．(2023·安徽合肥·高二校考期末)直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的取值范围为( )
A．或B．
C．D．
例24．(2023·四川宜宾·高二校考阶段练习)若直线与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有( )
A．条B．条C．条D．条
题型五：双曲线的弦
例25．(2023·四川乐山·高二统考期末)已知双曲线的左焦点为，过点作倾斜角为的直线交双曲线于两点.
(1)求的值；
(2)求.
例26．(2023·四川遂宁·高二射洪中学校考期中)已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过左焦点作斜率为的弦AB，求AB的长；
(3)求的周长．
例27．(2023·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期末)已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为．
(1)求C的标准方程；
(2)若直线与双曲线C交于A，B两点，求．
例28．(2023·安徽·高二校联考期中)已知双曲线：的左右顶点分别为，，点，在双曲线上．
(1)求直线，的斜率之积；
(2)若直线MN的斜率为2，且过点，求的值．
例29．(2023·高二单元测试)已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为10，且它的一条渐近线方程为
(1)求C的标准方程；
(2)过C的右顶点，斜率为2的直线l交C于A，B两点，求
例30．(2023·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习)双曲线C的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线C的一条准线方程为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若双曲线C的一弦中点为，求此弦所在的直线方程.
题型六：双曲线的综合问题
例31．(2023·福建福州·高二校考期中)已知是双曲线上的两点．
(1)若是坐标原点，直线经过的右焦点，且，求直线的方程；
(2)若线段的中点为，求直线的方程．
例32．(2023·高二单元测试)已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求的方程；
(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.
例33．(2023·福建泉州·高二石狮市第一中学校考期中)已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．
例34．(2023·高二单元测试)已知点在双曲线上．
(1)求正数的值；
(2)求双曲线C上的动点P到定点的距离的最小值．
例35．(2023·江西宜春·高二校联考阶段练习)已知双曲线C1过点(4，-6)且与双曲线C2：共渐近线，点Р在双曲线C1上(不包含顶点).
(1)求双曲线C1的标准方程；
(2)记双曲线C1与坐标轴交于A，B两点，求直线PA，PB的斜率之积.
例36．(2023·辽宁锦州·高二校考期中)已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线与直线平行.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线右支相切(切点不为右顶点)，且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.
例37．(2023·内蒙古包头·高二包头市第四中学校考期末)已知点在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点重合(如图)．
(1)写出该抛物线的方程和焦点的坐标；
(2)求线段中点的坐标．
例38．(2023·海南海口·高二校考期中)已知双曲线(，)中，离心率，实轴长为4
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知直线：与双曲线交于，两点，且在双曲线存在点，使得，求的值.
题型七：直线与抛物线的位置关系
例39．(2023·高二课时练习)已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有( )
A．1条B．2条C．3条
D．1条、2条或3条
例40．(2023·高二校考单元测试)过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )
A．有且只有一条
B．有且只有两条
C．有且只有三条
D．有且只有四条
例41．(2023·广西桂林·高二桂林十八中校考期中)已知直线与抛物线相切，则( )
A．B．C．1D．
例42．(2023·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期末)已知抛物线：，点是经过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，且，则这样的直线( )
A．有且仅有一条B．有且仅有两条
C．有无穷多条D．不存在
题型八：抛物线的弦
例43．(2023·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中)过抛物线焦点且斜率为1的直线与此抛物线相交于两点，则_______.
例44．(2023·云南·高二校联考阶段练习)已知为坐标原点，抛物线的焦点为，直线与交于两点，且的中点到轴的距离为3，则的最大值为__________.
例45．(2023·陕西渭南·高二校考阶段练习)过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，且，则弦的长为______.
例46．(2023·天津宁河·高二校考阶段练习)过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为1，则等于__________.
例47．(2023·浙江宁波·高二效实中学校考期中)已知抛物线的焦点为，过的弦满足，则的值为______．
例48．(2023·湖北·高二赤壁一中校联考期末)已知抛物线的方程为，为抛物线的焦点，倾斜角为的直线过点交抛物线于，两点，则线段的长为______.
例49．(2023·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考阶段练习)已知抛物线的焦点到准线的距离为4，直线过点且与抛物线交于两点，若是线段的中点，则弦长为__________.
例50．(2023·广东广州·高二校考期末)斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则___________.
题型九：抛物线的综合问题
例51．(2023·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中)已知抛物线是抛物线上的点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程.
例52．(2023·四川凉山·高二统考期末)已知抛物线的焦点为F，点F到抛物线准线距离为4．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)已知的三个顶点都在抛物线E上，顶点，重心恰好是抛物线E的焦点F．求所在的直线方程．
例53．(2023·内蒙古呼伦贝尔·高二校考开学考试)已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且被抛物线所截得的弦的长为．
(1)求抛物线的方程；
(2)求以抛物线的准线与轴的交点为圆心，且与直线相切的圆的方程．
例54．(2023·江苏·高二专题练习)已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．
(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；
(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．
例55．(2023·重庆·高二校联考期末)已知抛物线的焦点为、为抛物线上两个不同的动点，当过且与轴平行时的面积为2．
(1)求抛物线的方程；
(2)分别过作垂直于轴，若，求与轴的交点的横轴标的取值范围．
例56．(2023·福建福州·高二校联考期中)在平面直角坐标系中，抛物线上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线交抛物线于A，B两点(位于对称轴异侧)，且，求证：直线l必过定点．
例57．(2023·宁夏银川·高二银川九中校考阶段练习)已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上的点到焦点的距离是5.
(1)求该抛物线的标准方程；
(2)若过点的直线与该抛物线交于，两点，求证：为定值.
例58．(2023·河南濮阳·高二校考阶段练习)已知抛物线的焦点，为坐标原点，、是抛物线上异于的两点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线、的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·河南洛阳·高二统考期末)已知直线与抛物线交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为( )
A．B．C．D．
2．(2023·高二课时练习)过椭圆的中心作直线与椭圆交于A、B两点，为椭圆的左焦点，则面积的最大值为( )
A．6B．12C．24D．48
3．(2023·高二课时练习)椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为，则等于( )
A．B．C．D．
4．(2023·高二课时练习)抛物线与直线交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为，直线与x轴交点的横坐标是，则( )
A．B．
C．D．
5．(2023·四川成都·高二成都七中校考期中)已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线E与椭圆C在第一象限内的交点，直线与抛物线E相切，则椭圆C的长轴长为( )
A．B．C．4D．
6．(2023·湖北孝感·高二统考期中)过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是( )
A．B．
C．D．
7．(2023·四川乐山·高二四川省乐山沫若中学校考阶段练习)已知过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则( )
A．32B．C．D．8
8．(2023·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末)在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆上，且直线，的斜率之积为，则( )
A．1B．3C．2D．
二、多选题
9．(2023·高二课时练习)若直线与抛物线只有一个公共点，则实数k的值可以为( )
A．B．0C．8D．-8
10．(2023·贵州·高二遵义一中校联考阶段练习)已知是椭圆的右焦点，是上的一个动点，则下列说法正确的是( )
A．椭圆的长轴长是4
B．的最大值是2
C．的面积的最大值为，其中为坐标原点
D．直线与椭圆相切时，
11．(2023·安徽滁州·高二校联考期末)已知抛物线：，过点的直线交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的有( )
A．若直线的斜率为2，则的面积为12
B．的最小值为
C．
D．若，则
12．(2023·广东广州·高二广州市从化区从化中学校考期末)已知双曲线过点且渐近线方程为,则下列结论正确的是( )
A．直线与有两个公共点B．的离心率为
C．的方程为D．曲线经过的一个焦点
三、填空题
13．(2023·高二课时练习)设P是双曲线右支上任一点，过点P分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为E、F，则的值为________．
14．(2023·高二课时练习)过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点，则的值是________．
15．(2023·河南平顶山·高二统考期末)已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，其中与抛物线的焦点重合，点P在双曲线C的右支上，若，且，则的面积为_______.
16．(2023·江西·高二临川一中校联考阶段练习)已知椭圆与双曲线，过椭圆上一点作椭圆的切线与轴交于点，与双曲线的两条渐近线分别交于点，且为的中点，则双曲线的离心率为__________.
四、解答题
17．(2023·全国·高二专题练习)设，分别是椭圆：的左，右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为．若直线的斜率为，求的离心率；
18．(2023·四川内江·高二威远中学校校考阶段练习)已知抛物线，其焦点F到准线的距离为2.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若O为坐标原点，斜率为2且过焦点F的直线l交此抛物线于A、B两点，求的面积.
19．(2023·陕西汉中·高二校联考期中)已知曲线上任意一点到点的距离比它到直线的距离大1.
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与曲线交于，两点，求证：.
20．(2023·四川凉山·高二统考期末)已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，为椭圆的左右顶点，直线交椭圆于，两点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
21．(2023·宁夏中卫·高二中卫中学校考阶段练习)已知点在椭圆上，且长轴长为4.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于、两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求点的坐标.
22．(2023·浙江·高二校联考阶段练习)已知双曲线的离心率为，左焦点到双曲线的渐近线的距离为，过点作直线与双曲线的左、右支分别交于点、，过点作直线与双曲线的左、右支分别交于点、，且点、关于原点对称．
(1)求双曲线的方程；
(2)设，试用表示点的横坐标；
(3)求证：直线过定点．