专题14 全称量词与存在量词-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

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知识点1：全称量词与全称量词命题
(1)短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．
(2)全称量词命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：∀x∈M，p(x)．
(3)常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义．
知识点2：存在量词与存在量词命题
(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．
(2)存在量词命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为，∃x0∈M，p(x0)．
(3)存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义．
知识点3：命题的否定
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)，全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)，存在量词命题的否定是全称量词命题．
知识点4：常见的命题的否定形式
【题型归纳目录】
题型1：全称量词命题和存在量词命题的判断
题型2：全称量词命题与存在量词命题真假判断
题型3：含有一个量词的命题的否定
题型4：根据命题的真假求参数
【典例例题】
题型1：全称量词命题和存在量词命题的判断
例1．(2023·高一课时练习)下列命题中是存在量词命题的是( )
A．平行四边形的对边相等B．同位角相等
C．任何实数都存在相反数D．存在实数没有倒数
【答案】D
【解析】根据全称量词和存在量词的定义可知，
A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题；
B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题；
C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题；
D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题.
故选：D
例2．(2023·高一课时练习)下列命题是全称量词命题的个数是( )
①任何实数都有平方根;
②所有素数都是奇数;
③有些一元二次方程无实数根;
④三角形的内角和是．
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】根据全称量词命题的定义可得①②④中命题，指的是全体对象具有某种性质，
故①②④是全称量词命题，③中命题指的是部分对象具有某性质，不是全称量词命题，
故选：D．
例3．(2023·福建莆田·高一校考阶段练习)下列命题是全称量词命题的是( )
A．存在一个实数的平方是负数B．每个四边形的内角和都是360°
C．至少有一个整数，使得是质数D．，
【答案】B
【解析】对于ACD，均为存在量词命题，
对于B中的命题是全称量词命题.
故选：B
变式1．(2023·广东揭阳·高一普宁市华侨中学校考阶段练习)下列命题中全称量词命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数；②有的平行四边形也是菱形；③边形的内角和是．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】命题①③为全称量词命题，命题②为存在量词命题.
故选：C.
变式2．(2023·江苏南京·高一江苏省南京市第十二中学校考期中)已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与0相乘，都等于0.其中，其中含存在量词的命题的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】①任何实数的平方都是非负数，含全称量词“任何”，不符；
②有些三角形的三个内角都是锐角，含存在量词“有些”，符合；
③每一个实数都有相反数，含全称量词“每一个”，不符；
④所有数与0相乘，都等于0，含全称量词“所有”，不符；
故选：A
变式3．(2023·高一单元测试)下列命题是存在量词命题的是( )
A．一次函数的图象都是上升的或下降的
B．对任意x∈R，x2＋x＋11；④存在x，y∈R，使|x|＋|y|>0，其中是全称量词命题并且是真命题的是________．(填序号)
【答案】②
【解析】只有①②是全称量词命题，当x＝0时，x2＝0，所以①是假命题．
故答案为：②
15．(2023·高一课时练习)某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“”是假命题，求范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“”是真命题，求范围．你认为，两位同学题中范围是否一致？________(填“是”“否”中的一种)
【答案】是
【解析】因为命题“”的否定是“”，
而命题“”是假命题，与其否定“”为真命题等价，
所以两位同学题中范围是一致的，
故答案为：是
16．(2023·高一课时练习)已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是______________.
【答案】
【解析】已知问题等价于有解，即或，解得.
故答案为：
四、解答题
17．(2023·高一课时练习)写出下列命题的否定：
(1)正方形的四边相等；
(2)能被5整除的整数，末位数字都是0；
(3)有的三角形是直角三角形；
(4)至少存在一个实数x，使；
(5)存在一个四边形，它的对角线互相垂直平分．
【解析】(1)正方形的四边相等的否定为存在一个正方形，它的四边不都相等；
(2)能被5整除的整数，末位数字都是0的否定为能被5整除的整数，末位数字不都是0；
(3)有的三角形是直角三角形的否定为所有的三角形都不是直角三角形；
(4)至少存在一个实数x，使的否定为；
(5)存在一个四边形，它的对角线互相垂直平分的否定为任意四边形的对角线不互相垂直或不互相平分．
18．(2023·高一课时练习)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假．
(1)所有的实数a、b，方程ax＋b＝0恰有唯一解．
(2)存在实数x，使＝.
【解析】(1)该命题是全称量词命题．
当a＝0，b＝0时方程有无数解，
故该命题为假命题．
(2)该命题是存在量词命题．
∵，
∴不存在实数x，使，
故该命题是假命题．
19．(2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第一二二中学校校考阶段练习)已知集合，或.
(1)求、；
(2)若集合，且，为假命题，求的取值范围.
【解析】(1)已知集合，或，
则或，，或.
(2)因为，为假命题，则，为真命题，所以，.
①当时，即当时，，则成立；
②当时，即当时，，由题意可得或，
解得或，此时.
综上所述，或.
20．(2023·高一课时练习)已知集合，，且.
(1)若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围；
(2)若命题q：“，”是真命题，求m的取值范围．
【解析】(1)命题p：“，”是真命题，故，
所以，解得，
故m的取值范围是.
(2)由于命题q为真命题，则，
因为，所以，所以,
当时，一定有，
要想满足，则要满足，解得，
故时，，
故m的取值范围为.
21．(2023·河南周口·高一校考期中)已知命题，为假命题．
(1)求实数a的取值集合A；
(2)设非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值集合．
【解析】(1)命题，为假命题，则命题，为真命题，
显然，否则方程有实根，因此，解得，，
实数a的取值集合.
(2)由非空集合知，，解得，，
因“”是“”的必要不充分条件，则，因此，解得，
所以实数m的取值集合是.
22．(2023·江西宜春·高一江西省樟树中学校考阶段练习)已知命题，，命题，.若p为真命题、q为假命题，求实数m的取值范围.
【解析】由命题p是真命题，则，对恒成立，即对恒成立.
当时，，所以，即；
由命题q是假命题，则，使得为真命题，即关于x的方程有实数根：
①当时，有实数根；
②当时；依题意得，即且，
综上①②，可得.
因为p为真命题、q为假命题，所以实数m的取值范围是.
原语句
是
都是
>
至少有
一个
至多有
一个
对任意x∈A
使p(x)真
否定
形式
不是
不都是
≤
一个也
没有
至少有
两个
存在x∈A
使p(x)假