专题16 基本不等式-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

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知识点一：基本不等式
1、对公式及的理解.
(1)成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
(2)取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.
2、由公式和可以引申出常用的常用结论
①(同号)；
②(异号)；
③或
知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：.
知识点二：基本不等式的证明
方法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.
得到结论：如果，那么(当且仅当时取等号“=”)
特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：
如果，，则，(当且仅当时取等号“=”).
通常我们把上式写作：如果，，，(当且仅当时取等号“=”)
方法二：代数法
∵，
当时，；
当时，.
所以，(当且仅当时取等号“=”).
知识点诠释：
特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：
如果，，则，(当且仅当时取等号“=”).
通常我们把上式写作：
如果，，，(当且仅当时取等号“=”).
知识点三：基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
知识点诠释：
1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
知识点四：用基本不等式求最大(小)值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
①一正：函数的解析式中，各项均为正数；
②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
知识点诠释：
1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.
2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.
3、基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.
4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和(或积)为定值；
③各项能取得相等的值.
5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：
①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大或最小值；
④写出正确答案.
【题型归纳目录】
题型一：对基本不等式的理解及简单应用
题型二：利用基本不等式比较大小
题型三：利用基本不等式证明不等式
题型四：利用基本不等式求最值
题型五：利用基本不等式求解恒成立问题
题型六：基本不等式在实际问题中的应用
【典例例题】
题型一：对基本不等式的理解及简单应用
例1．(2023·上海静安·高一校考期中)给出下列命题中，真命题的个数为( )
①已知，则成立；
②已知且，则成立；
③已知，则的最小值为2；
④已知，，则成立．
A．1个B．2个C．3个D．4个
例2．(2023·四川绵阳·高一校考开学考试)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为( )
A．B．
C．D．
例3．(2023·高一课时练习)现有以下结论：
①函数的最小值是；
②若、且，则；
③的最小值是；
④函数的最小值为.
其中，正确的有( )个
A．B．C．D．
变式1．(多选题)(2023·全国·高三专题练习)下列推导过程，正确的为( )
A．因为、为正实数，所以
B．因为，所以
C．，所以
D．因为、，，所以
变式2．(多选题)(2023·湖北武汉·高一湖北省武昌实验中学校考阶段练习)下列推导过程，正确的为( )
A．因为a，b为正实数，所以≥2＝2
B．因为x∈R，所以1
C．因为a＜0，所以+a≥2＝4
D．因为，所以
题型二：利用基本不等式比较大小
例4．(2023·湖南张家界·高一张家界市民族中学校考阶段练习)设，则下列不等式成立的是( )
A．B．
C．D．
例5．(2023·河南郑州·高一校考阶段练习)若，则下列不等式成立的是( )
A．B．
C．D．
例6．(2023·浙江宁波·高一镇海中学校考期中)已知，则( )
A．B．
C．D．
变式3．(2023·山东青岛·高一青岛二中校考期中)设正实数a、b满足，则下列结论正确的是( )
A．B．C．D．
变式4．(2023·北京·高一北京四中校考阶段练习)对于实数有下列命题：
①若，则
②若，则；
③若，则；
④若，则.
则其中真命题的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
变式5．(2023·高一课时练习)已知a、b为正实数，，则( )
A．B．
C．D．
题型三：利用基本不等式证明不等式
例7．(2023·全国·高一专题练习)已知，，且，求证：.
例8．(2023·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考期末)已知是正实数.
(1)若，证明：；
(2)证明：.
例9．(2023·安徽芜湖·高一校考阶段练习)已知，，，求证：.
变式6．(2023·陕西榆林·高一统考期末)已知，.
(1)若，求的最大值；
(2)若，证明：.
题型四：利用基本不等式求最值
例10．(2023·广东惠州·高一统考期末)已知，，且，则ab的最大值为___________．
例11．(2023·陕西汉中·高一校联考期末)若满足，则的最大值是______.
例12．(2023·北京·高一校考阶段练习)已知x，y都为正数，且2x＋y＝1，则
①2xy的最大值为 ②的最小值为
③的最大值为 ④的最小值为
所有正确的序号是______．
变式7．(2023·广东汕头·高一金山中学校考期中)已知正实数满足，则的最小值为__________.
变式8．(2023·全国·高一专题练习)已知，，若，则的最小值为______.
变式9．(2023·湖南邵阳·高一统考开学考试)若，，且，则的最小值为________．
变式10．(2023·高一校考课时练习)正实数满足，则的最小值为_______.
变式11．(2023·高一课时练习)若，且，则的最小值为______.
变式12．(2023·全国·高一专题练习)若，且，则的最小值为______.
变式13．(2023·云南保山·高一校联考阶段练习)若，则的最小值为__________.
变式14．(2023·浙江杭州·高一杭师大附中校考期末)已知，且，则的最小值为_________.
变式15．(2023·陕西咸阳·高一校考阶段练习)已知，且，则的最小值为__________．
变式16．(2023·云南昆明·高一统考期末)，，且，则ab的最小值为________．
变式17．(2023·四川眉山·高一校考期末)已知，则的最小值是________；
变式18．(2023·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考阶段练习)若，则的最小值为_________.
变式19．(2023·天津·高一统考期末)若，则的最小值为______．
变式20．(2023·云南昆明·高一统考期末)已知，，若，则的最小值为______．
变式21．(2023·全国·高一专题练习)函数的最小值为_________．
变式22．(2023·安徽滁州·高一校考期中)已知，的最小值为____________.
变式23．(2023·全国·高一专题练习)函数 的最小值为______．
变式24．(2023·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考开学考试)已知实数且，则的最小值为______.
变式25．(2023·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习)已知a、，且，则ab的最大值是____________.
变式26．(2023·江苏常州·高一华罗庚中学校考阶段练习)已知，且，，则的最小值为______.
题型五：利用基本不等式求解恒成立问题
例13．(2023·广东深圳·高一校考阶段练习)为加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为32平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，某公司给出的报价为：应急室正面和侧面报价均为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为米，公司整体报价为元.
(1)试求关于的函数解析式；
(2)公司应如何设计应急室正面和两侧的长度，可以使学校的建造费用最低，并求出此最低费用.
例14．(2023·四川成都·高一中和中学校考开学考试)为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为米.
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；
(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.
例15．(2023·全国·高一专题练习)为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用为万元与总座椅数千套，两者满足关系式：．15年的总维修费用为80万元，记为15年的总费用．(总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用)．请问当设置多少套座椅时，15年的总费用最小，并求出最小值．
变式27．(2023·山西太原·高一校联考阶段练习)某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米(池壁厚忽略不计)，设泳池的长为x米，写出泳池的总造价，问泳池的长为多少米时，可使总造价最低，并求出泳池的最低造价．
题型六：基本不等式在实际问题中的应用
例16．(2023·辽宁沈阳·高一统考期末)已知实数a，b满足，若对于，恒成立，则实数m的取值范围是______．
例17．(2023·安徽·高一淮北一中校联考开学考试)已知正数x，y满足，若不等式对任意正数x，y恒成立，则实数m的取值范围为__________．
例18．(2023·广东广州·高一校考期末)已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____________．
变式28．(2023·北京·高一校考阶段练习)对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．
变式29．(2023·全国·高一假期作业)已知，若恒成立，则实数m的取值范围是____________．
变式30．(2023·上海宝山·高一校考期中)已知，若不等式对一切实数、恒成立，则实数的取值范围是__________．
变式31．(2023·江苏徐州·高一徐州市第七中学校考阶段练习)若对任意，，不等式恒成立，则的取值范围是__________.
变式32．(2023·湖南邵阳·高一湖南省邵东市第一中学校考阶段练习)对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________.
变式33．(2023·辽宁沈阳·高一沈阳市第十一中学校考期中)已知，，若不等式恒成立，则实数m的最大值为______．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·高一课时练习)若，则的最值情况是( )
A．有最大值B．有最小值6C．有最大值D．有最小值2
2．(2023·高一课时练习)函数的最小值为( )
A．2B．C．3D．4
3．(2023·高一课时练习)已知，那么c的最大值为( )
A．1B．C．D．
4．(2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中)的最小值等于( )
A．3B．C．2D．无最小值
5．(2023·高一课时练习)已知，则当取最大值时，的值为( )
A．B．C．D．
6．(2023·高一课时练习)若对任意，恒成立，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
7．(2023·高一课时练习)已知，则的最小值为( )
A．4B．C．D．
8．(2023·高一课时练习)下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是( )
A．若，则
B．若，则由知，的最小值为1
C．若，则
D．若，则
二、多选题
9．(2023·江苏扬州·高一校考阶段练习)以下四个命题，其中是真命题的有( )
A．若，则
B．若，则
C．若，则函数的最小值为
D．若，，，则的最小值为4
10．(2023·高一平湖市当湖高级中学校联考期中)设，且，则( )
A．B．
C．的最小值为0D．的最小值为
11．(2023·湖南邵阳·高一武冈市第二中学校考阶段练习)已知正数满足，则下列选项正确的是( )
A．的最小值是2B．的最大值是1
C．的最小值是4D．的最大值是2
12．(2023·福建泉州·高一石狮市第一中学校考期中)下列说法正确的是( )
A．若，则
B．若正数a、b满足，则的最小值为4
C．若，，则的范围为
D．若，则函数的最大值为
三、填空题
13．(2023·江苏扬州·高一统考期中)如图，一份印刷品的排版面积(矩形)为，它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白，若，则纸张的用纸面积最少为__________cm2．

14．(2023·高一单元测试)设，且，则的最小值为__________．
15．(2023·高一课时练习)己知，则ab的取值范围是__________．
16．(2023·高一课时练习)已知，求的最大值_________.
四、解答题
17．(2023·江苏扬州·高一统考期中)(1)若正数 满足，求的最小值；
(2)若正数 满足，求的最小值．
18．(2023·全国·高一专题练习)已知.
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，求的最小值.
19．(2023·高一课时练习)某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图所示.已知处理池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价每米250元，池底建造单价为每平方米80元.(隔墙与池底的厚度忽略不计，且池无盖)试设计处理池的长与宽，使总造价最低，并求出最低造价；
20．(2023·高一课时练习)(1)已知，且满足.求的最小值；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的最大值；
(3)已知，求的最大值.
21．(2023·湖南张家界·高一张家界市民族中学校考阶段练习)已知x，y都是正数．
(1)若，求的最大值；
(2)若，且，求的最小值．
22．(2023·河南洛阳·高一校考阶段练习)(1)已知，，，求证：；
(2)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：.