专题20 幂函数-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

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知识点一：幂函数概念
形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．
知识点诠释：
幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数．
知识点二：幂函数的图象及性质
1、作出下列函数的图象：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．
知识点诠释：
幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；
(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
2、作幂函数图象的步骤如下：
(1)先作出第一象限内的图象；
(2)若幂函数的定义域为或，作图已完成；
若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性
如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；
如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．
3、幂函数解析式的确定
(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．
(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．
(3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．
4、幂函数值大小的比较
(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．
(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．
(3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．
【题型归纳目录】
题型一：幂函数的概念
题型二：幂函数的图象的应用
题型三：幂函数的单调性
题型四：幂函数的奇偶性
题型五：幂值大小的比较
题型六：定点问题
题型七：定义域问题
题型八：值域问题
题型九：解不等式问题
题型十：幂函数综合问题
【典例例题】
题型一：幂函数的概念
例1．(2023·高一课时练习)下列函数为幂函数的是( )
A．B．C．D．
例2．(2023·江西吉安·高一永新中学校考期中)下列函数是幂函数的是( )
A．B．C．D．
例3．(2023·江西赣州·高一校考期中)在函数，中，幂函数的个数为( )
A．0B．1C．2D．3
变式1．(2023·江苏扬州·高一统考期中)已知幂函数的图像经过点，则的值为( )
A．B．C．D．
变式2．(2023·高一课时练习)已知幂函数的图象过点，则等于( )
A．B．0C．D．1
变式3．(2023·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末)已知幂函数在上是减函数，则n的值为( )
A．B．1C．3D．1或
变式4．(2023·黑龙江大庆·高一大庆中学校考期中)函数是幂函数，且在上单调递增，则 ( )
A．B．
C．或D．或
题型二：幂函数的图象的应用
例4．(2023·全国·高一专题练习)如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是( )
A．①，②，③B．①，②，③
C．①，②，③D．①，②，③
例5．(2023·黑龙江哈尔滨·高一统考期末)若点在幂函数的图象上，则的图象大致是( )
A．B．C．D．
例6．(2023·高一课时练习)已知幂函数(且互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则( )
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
变式5．(2023·全国·高一专题练习)已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是( )
A．B．
C．D．
变式6．(2023·湖北十堰·高一统考期末)已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是( )
A．B．
C．D．
题型三：幂函数的单调性
例7．(2023·高一课时练习)下列函数中，在区间上为增函数的是( )
A．B．C．D．
例8．(2023·重庆·高一校联考期中)下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是( )
A．B．C．D．
例9．(2023·辽宁丹东·高一统考期末)已知幂函数的图象经过点，则在定义域内( )
A．单调递增B．单调递减C．有最大值D．有最小值
变式7．(2023·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习)下列函数中，在区间上是增函数的是( )
A．B．C．D．
变式8．(2023·河南郑州·高一郑州市第七中学校考期末)函数的单调递减区间为( )
A．B．C．D．
变式9．(2023·福建·高一厦门一中校考期中)已知函数的增区间为( )
A．B．C．D．
变式10．(2023·高一单元测试)幂函数是奇函数，且在是减函数，则整数a的值是( )
A．0B．0或2C．2D．0或1或2
变式11．(2023·山西大同·高一统考期中)已知幂函数的图像过点，则对的表述正确的有( )
A．是奇函数，在上是减函数B．是奇函数，在上是增函数
C．是偶函数，在上是减函数D．是偶函数，在上是减函数
题型四：幂函数的奇偶性
例10．(2023·山西吕梁·高一统考期中)幂函数的图象过点，则关于该幂函数的下列说法正确的是( )
A．经过第一象限和第三象限B．经过第一象限
C．是奇函数D．是偶函数
例11．(2023·广东清远·高一校联考期中)已知幂函数的图像过点，则( )
A．是奇函数，在上是减函数
B．是偶函数，在上是减函数
C．是奇函数，在上是增函数
D．是偶函数，在上是减函数
例12．(2023·贵州毕节·高一统考期末)若幂函数的图象关于轴对称，则( )
A．或4B．C．4D．2
变式12．(2023·广西贵港·高一统考期末)若幂函数的图象关于y轴对称，解析式的幂的指数为整数, 在上单调递减，则( )
A．B．或C．D．或
变式13．(2023·广东珠海·高一珠海市第一中学校考期中)已知常数在上有最大值，若的最小值为，则( )
A．0B．3C．4D．5
题型五：幂值大小的比较
例13．(2023·广东深圳·高一深圳市罗湖高级中学校考期中)已知幂函数，对任意的且，满足，若，，，则的值( )
A．恒大于0B．恒小于0
C．等于0D．无法判断
例14．(2023·吉林·高一吉林毓文中学校考阶段练习)已知，则下列不等关系中一定成立的是( )
A．B．C．D．
例15．(2023·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中)已知，则( )
A．B．C．D．
变式14．(2023·辽宁葫芦岛·高一校联考期中)设，，，则( )
A．B．C．D．
变式15．(2023·福建南平·高一统考期中)下列比较大小中正确的是( )
A．B．
C．D．
题型六：定点问题
例16．(2023·上海徐汇·高一统考期末)当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为________．
例17．(2023·上海徐汇·高一位育中学校考阶段练习)已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为__．
例18．(2023·高一课时练习)幂函数的图像恒过定点______．
变式16．(2023·高一课时练习)有关幂函数的下列叙述中，错误的序号是______．
①幂函数的图像关于原点对称或者关于轴对称；
②两个幂函数的图像至多有两个交点；
③图像不经过点的幂函数，一定不关于y轴对称；
④如果两个幂函数有三个公共点，那么这两个函数一定相同．
变式17．(2023·陕西渭南·高一渭南市瑞泉中学校考阶段练习)已知函数(为不等于0的常数)的图象恒过定点P，则P点的坐标为_______.
变式18．(2023·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中)不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是___________．
题型七：定义域问题
例19．(2023·浙江·高一校联考期末)已知幂函数，则此函数的定义域为________．
例20．(2023·高一课时练习)幂函数的定义域是______．
例21．(2023·全国·高一专题练习)已知幂函数的定义域为，则实数______．
变式19．(2023·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习)函数的定义域是______．
变式20．(2023·高一课时练习)若有意义，则实数的取值范围是________
变式21．(2023·山东菏泽·高一阶段练习)已知，则的定义域为____________.
题型八：值域问题
例22．(2023·黑龙江鸡西·高一鸡西市第四中学校考期中)函数在区间[－4，－2]上的最小值是____．
例23．(2023·高一课时练习)函数的值域为________.
例24．(2023·河北石家庄·高一石家庄市第九中学校考期中)若幂函数的图象过点，则的值域为____________．
变式22．(2023·全国·高一专题练习)已知，设函数，其定义域为或，则函数的最小值为______.
变式23．(2023·高一课时练习)已知幂函数，该函数的值域为_________.
变式24．(2023·高一课时练习)已知幂函数的图象过，那么在上的最大值为_____________.
题型九：解不等式问题
例25．(2023·重庆·高一校联考期末)已知函数，若，则实数的取值范围是( )
A．B．
C．D．
例26．(2023·甘肃张掖·高一统考期末)已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为( )
A．B．C．D．
例27．(2023·河南洛阳·高一统考期中)已知幂函数过点，则的解集为( )
A．B．C．D．
变式25．(2023·江苏苏州·高一星海实验中学校考期中)不等式的解为( )
A．B．C．D．
变式26．(2023·浙江温州·高一温州中学校考期中)若,则实数的取值范围是( )
A．B．
C．D．
变式27．(2023·福建三明·高一校联考期中)若，则实数a的取值范围是( )
A．[，＋∞)B．(－∞，]C．(，]D．[，]
变式28．(2023·高一课时练习)已知幂函数，若，则的取值范围为( )
A．B．C．D．
变式29．(2023·山东泰安·高一山东省泰安第二中学校考阶段练习)已知幂函数在上单调递增，不等式的解集为( )
A．B．C．D．
题型十：幂函数综合问题
例28．(2023·四川广安·高一校考阶段练习)已知幂函数在上单调递增．
(1)求m的值及函数的解析式；
(2)若函数在上的最大值为3，求实数a的值．
例29．(2023·高一单元测试)已知幂函数为奇函数.
(1)求的值；
(2)若，求实数的取值范围.
例30．(2023·辽宁辽阳·高一校联考期末)已知幂函数为奇函数．
(1)求的解析式；
(2)若正数满足，若不等式恒成立．求的最大值．
变式30．(2023·辽宁葫芦岛·高一统考期末)已知幂函数是偶函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求x的取值范围．
变式31．(2023·福建龙岩·高一统考期末)已知幂函数为偶函数，．
(1)若，求；
(2)已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围．
变式32．(2023·辽宁·高一校联考期末)已知幂函数在上单调递减．
(1)求的解析式；
(2)若，，求a的取值范围．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·高一课时练习)下列命题中正确的是( )
A．当时函数的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过和点
C．若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数
D．幂函数的图象不可能出现在第四象限
2．(2023·浙江·高一校联考期中)记，则( )
A．B．
C．D．
3．(2023·辽宁本溪·高一校考阶段练习)若幂函数在区间上单调递增，则( )
A．B．3C．或3D．1或
4．(2023·云南怒江·高一校考期末)若幂函数的图象经过，则( )
A．B．3C．D．
5．(2023·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考开学考试)下列不等式一定成立的是( )
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
6．(2023·山东枣庄·高一枣庄八中校考阶段练习)下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是( )
A．B．C．D．
7．(2023·辽宁鞍山·高一统考期末)函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，，则的值( )
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断
8．(2023·湖北武汉·高一校联考期末)已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是( )
A．B．
C．D．
二、多选题
9．(2023·全国·高一专题练习)下列函数中，既是偶函数，又在区间内单调递增的有( )
A．B．C．D．
10．(2023·安徽芜湖·高一统考期末)下图为幂函数的大致图象，则的解析式可能为( )
A．B．
C．D．
11．(2023·宁夏银川·高一银川二中校考期末)幂函数，，则下列结论正确的是( )
A．B．函数是偶函数
C．D．函数的值域为
12．(2023·全国·高一专题练习)若函数，则( )
A．的图象经过点和
B．当的图象经过点时，为奇函数
C．当的图象经过点时，为偶函数
D．当时，存在使得
三、填空题
13．(2023·高一课时练习)函数在上是减函数，则的取值范围是__________．
14．(2023·高一课时练习)已知函数：①，②，③，④，既是偶函数，又在上为增函数的是_________．
15．(2023·江苏南京·高一金陵中学校考阶段练习)已知幂函数在上为单调减函数，则实数的值为__________.
16．(2023·上海徐汇·高一上海中学校考期末)不等式的解为______.
四、解答题
17．(2023·四川眉山·高一校考期末)已知幂函数的图象经过点．
(1)求的解析式，并指明函数的定义域；
(2)设函数，用单调性的定义证明在单调递增．
18．(2023·广东广州·高一统考开学考试)已知幂函数经过.
(1)求的值；
(2)若，试判断在的单调性并用定义法证明.
19．(2023·湖南娄底·高一统考期末)已知幂函数为偶函数.
(1)求幂函数的解析式；
(2)若函数，根据定义证明在区间上单调递增.
20．(2023·高一单元测试)已知幂函数在上单调递增.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.
21．(2023·高一校考开学考试)已知幂函数(Z)的图象关于轴对称，且在上是单调递减函数．
(1)求的值；
(2)解不等式．
22．(2023·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考期末)已知幂函数的图象经过点，函数为奇函数.
(1)求幂函数的解析式及实数的值；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用的数单调性定义证明.