湖北省武汉市东湖高新区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1. 二次根式在实数范围内有意义，则x满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求解即可．
【详解】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得，
故选：B．
2. 下列计算正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的加法、乘法运算，二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则与同类二次根式的概念．
根据同类二次根式的性质与二次根式的加法和乘法逐一判断可得答案．
【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
B．2与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
C．，此选项计算正确；
D，此选项错误．
故选：C．
3. 下列长度的三条线段，不能组成直角三角形的是（ ）
A. 1，，B. 3，4，5C. 13，14，15D. 7，24，25
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、，故能组成直角三角形，不符合题意；
B、，故能组成直角三角形，不符合题意；
C、，故不能组成直角三角形，符合题意；
D、，故能组成直角三角形，不符合题意；
故选：C．
4. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
则这些运动员成绩的众数是（ ）
A. 1.65B. 1.75C. 1.70D. 1.60
【答案】B
【解析】
【分析】根据众数的定义，出现次数最多的数为众数求解即可．
【详解】这组数据中1.75米出现了4次，次数最多，故这组数据的众数是1.75米．故选B．
本题考查了众数的定义，解答本题的关键是掌握众数的定义．
5. 下列各点中，在函数的图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征．根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式，进行计算即可得到答案．
【详解】解：一次函数图象上的点都在函数图象上，
函数图象上的点都满足函数解析式，
A、当时，，故本选项不符合题意；
B、当时，，故本选项不符合题意；
C、当时，，故本选项符合题意；
D、当时，，故本选项不符合题意；
故选：C．
6. 下列关于四边形的说法，错误的是（ ）
A. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
B. 每组邻边都互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 有两边相等的平行四边形是菱形
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键．
根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法正确，故此选项不符合题意；
B、每组邻边都互相垂直且相等的四边形是正方形，说法正确，故此选项不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法错误，故此选项符合题意；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
7. 若点在一次函数（m是常数）的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，再结合，即可得出答案．
【详解】解：，
随的增大而减小，
又点，，在一次函数是常数）的图象上，且，
∴
故选：D．
8. 若一次函数（k，b是常数）的图象不经过第三象限，则一次函数的图象（ ）
A. 经过二、三、四象限B. 不经过第一象限
C. 经过一、二、四象限D. 不经过第三象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图像的分布，熟练掌握图像分布与ｋ，ｂ的关系是解题的关键．
根据图象不经过第三象限，确定，，从而确定，进而求解即可
【详解】∵一次函数的的图象不经过第三象限，
∴，，
∴
∴一次函数的图象不经过第一象限．
故选：B．
9. 已知函数（a为常数且），当时，y有最大值为5，则a的值为（ ）
A. 1B. 2C. 1或2D. 2或3
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，一次函数的性质，分类讨论，当时，，y随x的增大而增大，可得出当时，，求出a的值，当，即，y随x的增大而减小，当时，，求出a的值，最后根据题意选出符合题意的a值即可．
【详解】解：当时，
即，y随x的增大而增大，
∵当时，y有最大值为5，
∴当时，，
解得：，不符合题意舍去．
当，
即，y随x的增大而减小，
∵当时，y有最大值为5，
∴当时，，
解得：，符合题意，
故选：A．
10. 如图，正方形的边长为8，点E在边上，，若点F在正方形的某一边上，满足，且与的交点为G，则的长度为（ ）
A. B. C. 5或D. 5或
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出，然后分两种情况进行讨论，点F在上或点F在上，依据全等三角形的性质以及正方形的性质，即可得到的长．
【详解】∵四边形四边形是正方形
∴
∵，，
∴
分两种情况：
①如图所示，当点F在上时，连接
∵四边形是正方形
∴，
∵，
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是矩形
∴；
②如图所示，当点F在上时，
同理可证，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
综上所述，的长度为5或．
故选：C．
本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．全等三角形的判定与性质是证明线段、角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡指定位置．
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是利用二次根式的性质化简，利用直接可得答案．
【详解】解：，
故答案为：
12. 甲、乙两射击运动员参加射击训练，各射击10次的平均成绩相同，如果他们射击成绩的方差分别是，则两人中射击成绩比较稳定的是_________．
【答案】甲
【解析】
【分析】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【详解】解：，，
，
成绩更稳定运动员是甲，
故答案为：甲．
13. 如图，的两条对角线，相交于点O，是等边三角形，且，则的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查等边三角形和平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，证明四边形为矩形是解题的关键．
由等边三角形的性质和平行四边形的性质，证明四边形是矩形，再根据矩形的性质可和由勾股定理可求解．
【详解】解：是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，．
故答案为：
14. 如图，图中所有的四边形都是正方形，图中的三角形是直角三角形，已知图中所有正方形的面积的和为，则其中最大的正方形A的边长为_______ ．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．
根据勾股定理的几何意义解答即可．
【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知：上面两个正方形的面积之和为下面的正方形的面积，即
∴
∴正方形A的边长为，
故答案为：8．
15. 直线 （k、b是常数，）经过两点，其中，下列四个结论：
①方程的解在和0之间；
②关于x的不等式的解集为；
③；
④关于x的不等式的解集为时，．
其中正确的结论有_________．（只需填写序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，画出图象，利用数形结合思想解答是解题的关键．
根据图象可对①②③进行判断；把，代入，得，解得：，则不等式化为，即可得，再根据不等式的解集为，可得，求解，即可对④进行判断．
【详解】解：如图，
直线、是常数，经过、两点，其中，
直线与轴的交点横坐标在和0之间，故①正确；
由图象可得关于x的不等式的解集为，故②正确；
由图象可知：的图象比的图象平缓，
∴，故③错误；
把，代入，得
，解得：，
不等式化为，
∵的解集为
∴
∴，故④正确．
故答案为：①②④．
16. 如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，M、N是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】取边、的中点F、G，连接交于N，连接，，，根据菱形， F为的中点，G为的中点，得到F与G关于对称，则，所以，此时最小，再证明四边形为平行四边形，得到，所以，所以最小，最小值等于，然后证明，得，从而得出，则，再由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：取边、的中点F、G，连接交于N，连接，，，如图，
∵菱形， F为的中点，G为的中点，
∴F与G关于对称，
∴，
此时最小，
又∵E为的中点，
∴，
∵
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴
∴
∴此时， 最小，最小值等于，
∵菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∵G为的中点，
∴，
∴
∴
∴
∴
∴的最小值为．
故答案为：．
本题考查菱形的性质，利用轴对称的性质求最短距离问题，线段最短，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．根据题意，正确确定出点M、N的位置是解题的关键．
三、解答题（共8大题，共72分）下列各题需要在答题卡指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．
（1）先根据二次根式乘法法则计算，并化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
18. 如图，四边形是平行四边形，平分交于点，平分交于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）请添加一个条件，使四边形为菱形．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质、菱形的判定定理是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得出，，，，，证出，由即可得出，根据全等三角形的性质和平行四边形的判定解答即可．
（2）根据菱形的判定定理，添加即可．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，，，，
平分，平分，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【小问2详解】
解：添加
由（1）知：四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
19. 入夏以来，气温逐渐升高，溺水事故高发，各校积极组织防溺水安全教育．为提升学生防溺水安全意识，某校开展了“防溺水安全知识”竞赛活动，学校1800名学生全部参加了竞赛，结果所有学生成绩都不低于60分（满分100分）．为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计表．根据表中所给信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有____人，_______；
（2）本次竞赛随机抽取的部分学生成绩组成的一组数据的中位数落在_____组，扇形统计图中“B组”所对应的圆心角的度数是________°．
（3）若成绩不小于80分为优秀，请你估计该校有多少名学生获得优秀成绩
【答案】（1）50，20
（2）B，144 （3）估计该校有1080名学生获得优秀成绩
【解析】
【分析】（1）用A组人数除以A组点的百分数，即可得这次被调查的同学总人数，再求出C组人数，最后用总人数减去A、C、D组人数，即可得m值．
（2）根据中位的意义判定即可；再用360度乘以B组点的百分数即可求解；
（3）用全校舍总人数乘以优秀点的百分数妈可求解．
【小问1详解】
解：这次被调查的同学总人数为：(人)；
∵，
∴．
故答案为：50；20．
【小问2详解】
解：这组数据按从小到大排列，中位数应是第25、第26个数据的平均数，第25、第26个数据应落在B组；
扇形统计图中“B组”所对应的圆心角的度数为：．
故答案为：B；144．
【小问3详解】
解：(名)．
答：估计该校有1080名学生获得优秀成绩．
本题考查频数分布睛，扇形统计图，中位数，用样本估计总体．熟练掌握从统计图表中获取信息是解题的关键．
20. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）的面积是________（直接写出结果）；
（2）当时，自变量x的取值范围是______（直接写出结果）；
（3）在坐标轴上有一点C，已知的面积等于10，求点C的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征，求出点A、B的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可；
（2）根据，得，再解不等式组即可求解．
（3）分两种情况：当点C在x轴上时；当点C在y轴上时；分别根据三角形面积公式求解即可．
【小问1详解】
解：令，则，
解得：，
∴，
令，则，
∴，
∴的面积．
【小问2详解】
解：∵
∴
解得：
【小问3详解】
解：当点C在x轴上时，
，
∴，
∵，
∴或．
当点C在y轴上时，，
∴，
∵，
∴或，
综上所述，或或或．
本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，直线与坐标轴围成的三角形的面积，由函数值取值范围求自变量取值范围，坐标与图形．注意第三问，要分类讨论，以免漏解．
21. 如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A，B，C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线．
（1）在图（1）中，画点E、F，使四边形是一个以为边的菱形（不是正方形），点G是上一点，在上画点H，使点；
（2）如图（2），在上找到点P，使，在直线上找一点Q，使得C、Q关于直线对称、
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）先作，再连接、相交 于O，连接，然后延长交于H即可．
（2）如图，取格点Q，连接交于P即可．
【小问1详解】
解：如图，四边形和点H即为所求．
∵
∴四边形为菱形，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：如图所示，点P即为所求．
由图可得：，，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴
∴
∴．
本题考查利用网格作图，平行四边形的性质与判定，矩形的判定．全等三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性和矩形的判定是解题的关键．
22. 今年春节假期以来，武汉旅游市场加速回暖，强势复苏，各种旅游纪念品的销量也逐步提升．某礼品店同时购进A，B两款纪念品共500件，已知A、B两款纪念品每件的进价分别为80元和100元，每件的售价分别为120元和150元，设购进A款纪念品x件（x为正整数），该礼品店售完全部A，B两款纪念品获得的总利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该礼品店计划最多投入4.6万元购进这两款纪念品，则至少购进多少件A款纪念品？若A，B两款纪念品全部售完，则该礼品店可获得的最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，该礼品店进行降价促销，B款纪念品的售价降低a元（其中），A款纪念品的售价不变，且最多购进300套A款纪念品．若保持这两款纪念品的进价不变，该礼品店如何进货使得全部售完A，B两款纪念品获得的利润最大？
【答案】（1）
（2）至少购进200件A款纪念品，最大利润是23000元
（3）当时，购进A款纪念品200件，B款纪念品300件，利润最大；当时，A、B两款纪念品共500件时，利润都一样；当时，购进A款纪念品300件，B款纪念品20件，利润最大
【解析】
【分析】（1）根据总利润款的售价款的进价）购进款的数量款的售价款的进价）购进款的数量代入列关系式，并化简；
（2）根据总成本列不等式即可求出的取值，再根据函数的增减性确定其最值问题；
（3）把分三种情况讨论：一次项的系数大于0、等于0、小于0，根据函数的增减性得出结论．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：依题意知
∴
由（1），
∵
∴y随x增大而减小
∴当时，可获最大利润为23000元
答：至少购进200件A款纪念品，最大利润是23000元
【小问3详解】
解：设降价后的利润为W元，则

依题意知：
当时，，W随x增大而减小
∴当时，W最大
当时，，W不变
当时，，W随x增大而增大
∴当时，W最大
综上所述，当时，购进A款纪念品200件，B款纪念品300件，利润最大
当时，A、B两款纪念品共500件时，利润都一样
当时，购进A款纪念品300件，B款纪念品20件，利润最大
本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意表示出函数关系式是解题的关键．
23. （1）如图（1），四边形是正方形，点E，F分别是、上的点，已知，连接，则线段与的关系是______﹔
（2）如图（2），将绕着点A逆时针旋转角，连接，．
①（1）的结论是否成立？请判断，并说明理由；
②延长交于点P，连接，请求出的角度．
（3）如图（3），在（2）的条件下，当，直接写出线段的长．
【答案】（1）且；（2）①上述结论成立，理由见解析；②45°；（3）
【解析】
【分析】（1）直接由正方形的性质和线段和差即可得出结论；
（2）①设交于Q，证明，利用全等三角形的性质可得出结论；
②过C作于M，于N，先证明四边形为矩形，得到，从而证明，得到，利用角平分线判定定理可求解；
（3）在上取，连，过C作于M，证明为等边三角形，得到，从而得出，则，由勾股定理得，再由②，则，然后由勾股定理可求解．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∴
∵，
∴
∴，
∴且，
（2）①上述结论成立，且，理由如下：
设交于Q，如图，
∵四边形为正方形
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴且，
②过C作于M，于N，
由①，
∴四边形为矩形，
∴，
∴
又∵
∴
∴，
∴平分，
∴
（3）在上取，连，过C作于M，如图，
∵
∴为等边三角形，
∴
∴，
∴，
∴，
由②，
∴，
∴
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，勾股定理，直角三角形的性质．此题属四边形综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
24. 如图（1），在平面直角坐标系中，直线（k是常数，）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为．
（1）求点A的坐标；
（2）P是x轴上一点，已知，求点P的坐标；
（3）如图（2），已知AC平分，D为的中点．
①请直接写出直线的解析式；
②点M在直线上，在x轴上取点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）①；②或或
【解析】
【分析】（1）把点代入，求出k值，从而得到一次函数解析式，再令，求出x值，即可求得点A坐标；
（2）分两种情况：①当点P在点A右侧时，②当点P在点A右侧时，分别求解艰险可；
（3）①过点C作于E，证明，得到，，从而求得点，再用待定系数法求得直线解析式为，然后令，求出x的值，即可得点P坐标；
②分两种情况：a)当为四边形对角线时，有平行四边形；b)当为四边形的边时，i)当点M、N在左侧时，则有平行四边形；ii)当点M、N在右侧时，则有平行四边形；分别 求解即可．
【小问1详解】
解：把点代入，得
解得：，
∴
令，则，
解得：，
∴．
【小问2详解】
解：由得，
由得，
分两种情况：①当点P在点A右侧时，过点A作于D，且，连接与x轴交于点P，过点D作轴于E，
则，
∴
∴
又∵
∴
∴，，
∴
∴，
设直线解析式为，
把，代入，得
，解得，
∴直线解析式为，
令，则
解得：，
∴；
②当点P在点A右侧时，过点A作，且，连接，则与x轴交于点p，
同理可得，
同样用待定系数法可求得直线解析式为；
令，则，
解得：，
∴，
综上，点P的坐标为或．
【小问3详解】
解：①过点C作于E，如图，
∵，，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∵AC平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理，得
即
解得：，
∴，
设直线解析式为：，
把，代入，得
，解得：，
∴直线解析式为；
②分两种情况：a)当为四边形对角线时，有平行四边形，如图，
∵
∴与互相平分，
∵D为的中点，
∴D为的中点，
∴此时，点N是直线与x轴的交点，
∵直线解析式；
令，则，
∴；
b)当为四边形的边时，i)当点M、N在左侧时，则有平行四边形，
∴，
∴点M的纵坐标与点B纵坐标相等，为8，
把代入，解得：，
∴
∴
∴，
ii)当点M、N右侧时，则有平行四边形，
∴，
则，，
∴，
∴
∴
∴
∴此时；
综上，以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标为或或．
本题考查待定系数法求一次函数解析式，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质．此题属函数与几何综合题目，熟练掌握相关性质与判定是银题的关键．注意分类讨论思想的应用．
成绩m
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
2
3
2
3
4
1
组别
成绩
人数

A
10
B
m
C
n
D
5