湖南省娄底市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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（时量：120分钟 满分：120分 责任人：蔡艳芬）
一、单选题．（每小题3分，共10小题，共30分）
1. 中国传统文化博大精深，源远流长．传统文化之剪纸更是闻名中外，巧妙利用轴对称性质进行剪纸会使得操作更加容易，图案更加美观．下列剪纸图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、B、C中的剪纸图案都能找到一条或多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项D中的剪纸图案不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：D．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项．根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A、，故该选项符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：A．
3. 为了贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数（单位：人）分别是：45，47，52，49，52，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 47，49B. 45，49C. 52，52D. 52，49
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
【详解】解：∵52出现了2次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是52；
把这些数从小大排列为45，47，49，52，52，
所以中位数是49，
故选：D．
4. 一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，可列出方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g列方程．
【详解】解：设蛋白质、脂肪的含量分别为，，则碳水化合物含量为，
则：，即，
故选A．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．
5. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做这个多项式的因式分解），牢记因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义，逐项判断即可．
【详解】解：A、，结果不是几个整式的积的形式，不是因式分解，该选项不符合题意；
B、，结果含有分式，不是因式分解，该选项不符合题意；
C、是因式分解，该选项符合题意；
D、，结果不是几个整式的积的形式，是整式乘法运算，该选项不符合题意．
故选：C．
6. 若关于，的方程组的解满足，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，观察两个方程的特点，将两个方程直接相加是解答本题的关键．
把方程组的两个方程相加，得到，结合，即可求出m的值．
【详解】∵
得，
∴
∵关于，的方程组的解满足，
∴．
故选：B．
7. 如图，下面哪个条件不能判断的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平行线的判定定理求解判断即可．
【详解】解：A．由，根据内错角相等，两直线平行可判定，故A不符合题意；
B．由，根据同位角相等，两直线平行可判定，故B不符合题意；
C．由，根据同旁内角互补，两直线平行可判定，不能判定，故C符合题意；
D．由，根据同旁内角互补，两直线平行可判定，故D不符合题意；
故选：C．
本题考查了平行线的判定，熟练掌握“内错角相等，两直线平行”、“同位角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．
8. 如图，将沿方向平移后，到达的位置，若，，则的度数为（ ）

A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
【答案】A
【解析】
【分析】由平移得，根据平角的性质求出．
【详解】解：由平移得，
∵，
∴，
故选：A．
此题考查了平移的性质：平移的前后的图形对应边相等，对应角相等，正确理解平移的性质是解题的关键．
9. 如图，是直线外一点，，，三点在直线上，且于点，，则下列结论：①线段是点到直线的距离；②线段的长是点到直线的距离；③，，三条线段中，最短；④线段的长是点到直线的距离．其中正确的是（ ）
A. ②③B. ①②③C. ③④D. ①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”；“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答．
【详解】解：①线段AP是点A到直线PC的距离，错误；
②线段BP的长是点P到直线l的距离，正确；
③PA，PB，PC三条线段中，PB最短，正确；
④线段PC的长是点P到直线l的距离，错误，
故选：A．
此题主要考查了垂线的两条性质：①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．②从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．
10. 如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义．由大正方形的面积小正方形的面积矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
【详解】解：大正方形的面积小正方形的面积，
矩形的面积，
故．
故选：D．
二、填空题．（共8小题，每题3分，满分24分）
11. 由，得到用含表示的式子为____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程的解，掌握“用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数”是解本题的关键．把x看作是常数，把y看作是未知数，求解y即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
12. 因式分解：__．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用平方差公式分解即可得．
【详解】解：原式．
故答案为：．
点晴】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13. 若，则___________．
【答案】18
【解析】
【分析】此题考查了同底数幂的乘法的逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先得到，然后根据同底数幂的乘法的逆运算求解即可．
【详解】∵
∴
∴．
故答案为：18．
14. 若是一个完全平方式，则_________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据完全平方式的结构特征求解即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
故答案为：1．
本题考查完全平方式，熟知完全平方式的结构特征是解答的关键．
15. 为了测试甲、乙两种电子表正常工作时的误差，做了如下所示统计：甲、乙两种电子表正常工作时误差平均数都是0.36秒，方差分别为0.218和0.025，则两种电子表正常工作时较稳定的是（填“甲”或“乙”）___________．
【答案】乙
【解析】
【分析】此题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．
根据方差的意义即方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，即可得出答案．
【详解】解：∵甲、乙两种电子表正常工作时方差分别为0.218和0.025，
∵
∴两种电子表正常工作时较稳定的是乙．
故答案为：乙．
16. 如图，已知a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1＝65°，那么∠2的度数为_____．
【答案】25°
【解析】
【分析】由AC丄AB，∠1=65°，易求得∠B的度数，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．
【详解】解：∵AC丄AB，
∴∠BAC=90°，
∵∠1=65°，
∴∠B=180°-∠1-∠BAC=25°，
∵a∥b，
∴∠2=∠B=25°．
故答案为: 25°．
此题考查了平行线的性质与垂直的定义．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
17. 如图，将绕着点逆时针旋转得到，使得点的对应点落在边的延长线上，若，，则线段的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质，根据旋转的性质可得，则，即可求解，解题关键在于熟练掌握旋转的性质：1、对应点到旋转中心的距离相等；2、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3、旋转前、后的图形全等．
【详解】解：∵将绕着点逆时针旋转得到，，，
∴，
∴，
故答案为：．
18. 我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非”．如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为，，，…，的长方形彩色纸片（n为大于1的整数），运用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，可计算出__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了数形结合的思想，规律题的探究．可以看做面积为1正方形减去一半的面积，所可以看做面积为1正方形减去的面积， 可以看做面积为1正方形减去的面积，……，可以看做面积为1正方形减去的面积，据此即可求解．
【详解】解：可以看做面积为1正方形减去一半面积，所以；
可以看做面积为1正方形减去的面积，所以；
可以看做面积为1正方形减去的面积，所以；
……，
∴可以看做面积为1正方形减去的面积，所以．
故答案为：
三、作图与说理．（本大题共2道小题，每题6分，满分12分）
19. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有一个，按要求回答下列问题：
（1）的面积为___________；
（2）画出将向右平移6格，再向上平移3格后的；
（3）画出绕点顺时针旋转后的图形．
【答案】（1）的面积为3
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形面积公式，平移变换，以及旋转变换，正确得出对应点的位置是解题关键．
（1）利用三角形面积公式求解，即可解题；
（2）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出；
（3）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出．
【小问1详解】
解：由图知，的面积为；
【小问2详解】
解：所作三角形如图所示：
【小问3详解】
解：所作三角形如图所示：
20. 填空并完成以下证明：如图，已知，，试判断与的大小关系，并说明理由．
解：与的大小关系是．
理由如下：因为（已知）
（______________________）
所以___________
所以（______________________）
所以（______________________）
因为（已知）
所以（等量代换）
所以（______________________）
所以（______________________）
【答案】对顶角相等；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，根据平行线的性质和判定定理求解即可．
【详解】解：与的大小关系是．
理由如下：因为（已知）
（对顶角相等）
所以
所以（同旁内角互补，两直线平行）
所以（两直线平行，内错角相等）
因为（已知）
所以（等量代换）
所以（同位角相等，两直线平行）
所以（两直线平行，同位角相等）．
四、整式与方程．（本大题共2道小题，每题8分，满分6分）
21. 解下列方程组
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
（1）方程组利用加减消元法求解即可；
（2）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可．
【小问1详解】
解：
①②得：
解得：
将代入①式得：
是原方程组的解．
【小问2详解】
解：原方程可变形为
得：
解得：
将代入②式得：
是原方程组的解．
22. 分解因式
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
（1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可；
（2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
五、化简与统计．（每小题9分，满分18分）
23. 求代数式的值：
（1）先化简，后求值：，其中；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】此题考查了平方差公式，单项式乘以多项式和完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先计算平方差公式，单项式乘以多项式和完全平方公式，然后代数求解即可；
（2）利于完全平方公式的变形求解即可．
【小问1详解】
解：
，
因为，
所以原式；
【小问2详解】
因为，
所以
．
24. 家务劳动是劳动教育的一个重要方面，为强化劳动观念，弘扬劳动精神．某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识．提高劳动技能．该学校为了解同学们周末家务劳动时间的大致情况，随机调查了部分学生．并用得到的数据绘制了两幅统计图，请你根据图中信息，解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整，本次抽查的学生周末家务劳动时间的众数是__________小时．中位数是__________小时；
（2）求本次抽查学生周末家务劳动的平均时间；
（3）若该校共有1000名学生．请你估计该校学生周末家务劳动的时间不少于小时的学生有多少名？
【答案】（1）见解析，1，1
（2）本次抽索的学生周末家务劳动的平均时间为1.18小时
（3）该校学生周末家务劳动的时间不少于1.5小时的学生有400名
【解析】
【分析】（1）用条形统计图中小时的人数除以扇形统计图中小时的百分比可得本次调查的人数，求出末劳动时间为小时的人数，补全条形统计图即可；根据众数和中位数的定义可得答案；
（2）根据加权平均数公式计算即可；
（3）用1000乘劳动的时间不少于小时的学生所占的百分比即可．
【小问1详解】
一共调查的人数为（人），
周末劳动时间为小时的人数为（人），
补全条形统计图如图：
由条形统计图可知，本次抽查的学生周末劳动时间的众数是1小时，
将抽查的学生周末劳动时间按照从小到大的顺序排列，排在第25和26位的都为1小时，
∴中位数为（小时）；
故答案为：1，1；
【小问2详解】
（小时）．
答：本次抽索的学生周末家务劳动的平均时间为小时．
【小问3详解】
（名），
答：该校学生周末家务劳动的时间不少于小时的学生有400名．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
六、应用与探究．（每小题10分，满分20分）
25. 近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球，若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元．
（1）篮球、足球的单价各是多少元？
（2）该店在“五四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日期间购买10个篮球和10个足球只需1710元，该店的商品按原价的几折出售？
【答案】（1）篮球的单价为110元，足球的单价为80元
（2）该店的商品按原价的9折出售
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
（1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设该店的商品按原价的折出售，根据题意列出一元一次方程求解即可．
【小问1详解】
设篮球的单价为元，足球的单价为元
由题知：
解得：
答：篮球单价为110元，足球的单价为80元；
【小问2详解】
设该店的商品按原价的折出售
由题知：
解得：
答：该店商品按原价的9折出售．
26. 已知，，点在上，点在上．
（1）如图1中，、、的数量关系为：___________；（不需要证明）
如图2中，、、的数量关系为：___________；（不需要证明）
（2）如图3中，平分，平分，且，求的度数；
（3）如图4中，，平分，平分，且，求的度数（用含的式子表示）．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）过E作，易得，根据平行线的性质可求解；过F作，易得，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得，可求解，进而可求解；
（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知，进而可求解．
【小问1详解】
解：过作，如图1，
，
，
，
，
，
即；
如图2，过作，
，
，
，
，
，
即：．
【小问2详解】
解：由（1）得；．
平分，平分，
，，
，
，
，
即，
解得：，
；
【小问3详解】
解：由（1）知：，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
．