2024河南中考数学复习 二次函数与线段、面积问题 强化精练 (含答案)

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1. (一题多设问)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2(a≠0)与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)两点，与y轴交于C点，连接直线BC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求BC的长；
(3)若点P为直线BC上方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点Q，交直线BC于点M.
①求PM的最大值；
②当PQ＝2QM时，连接CQ，求△QBC的面积．
第1题图
2.(一题多设问)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c过M(0，5)，N(4，5)两点，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧).
(1)求b，c的值；
(2)若抛物线对称轴上有一点C，连接AC，MC，求AC＋MC的最小值，并求出此时点C坐标；
(3)连接BM，在线段BM上方的抛物线上有一点D，连接DM，BD，设点D的横坐标为t，请求出S△BDM关于t的函数解析式，并求出S△BDM的最大值；
(4)在(3)的条件下，连接AM，请判断是否存在点D，使得S△ABM＝S△BDM，并说明理由．
第2题图
参考答案与解析
1. 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋2(a≠0)与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)两点，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a－2b＋2＝0,16a＋4b＋2＝0)) ，
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,4),b＝\f(1,2))) ，
∴抛物线的解析式为y＝－ eq \f(1,4) x2＋ eq \f(1,2) x＋2；
(2)∵抛物线的解析式为y＝－ eq \f(1,4) x2＋ eq \f(1,2) x＋2，
∴C(0，2)，
∴BC＝ eq \r(42＋（0－2）2) ＝2 eq \r(5) ；
(3)①设直线BC的解析式为y＝kx＋m(k≠0)，
将B，C两点的坐标代入直线BC的解析式得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4k＋m＝0,m＝2)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,2),m＝2)) ，
∴直线BC的解析式为y＝－ eq \f(1,2) x＋2，
设P(x，－ eq \f(1,4) x2＋ eq \f(1,2) x＋2)，则M(x，－ eq \f(1,2) x＋2)，
∴PM＝－ eq \f(1,4) x2＋ eq \f(1,2) x＋2－(－ eq \f(1,2) x＋2)＝－ eq \f(1,4) x2＋x＝－ eq \f(1,4) (x－2)2＋1，
∵－ eq \f(1,4)