2024河南中考数学复习 全等、相似三角形的性质与判定 强化精练 (含答案)

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1. (2023长春)如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′，BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是( )
A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D. 两点之间线段最短
第1题图
2. (2023凉山州)如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是( )
第2题图
A. ∠A＝∠D
B. ∠AFB＝∠DEC
C. AB＝DC
D. AF＝DE
3. 已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是( )

第3题图
A. 76° B. 60° C. 54° D. 50°
4. (2023重庆B卷)如图，已知△ABC∽△EDC，AC∶EC＝2∶3，若AB的长度为6，则DE的长度为( )
A. 4 B. 9 C. 12 D. 13.5
第4题图
5. (2023河北)在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝30°，AB＝A′B′＝6，AC＝A′C′＝4，已知∠C＝n°，则∠C′＝( )
A. 30° B. n°
C. n°或180°－n° D. 30°或150°
6. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD，BE交于点F，△ADC≌△BDF，若BD＝4，CD＝2，则△ABC的面积为( )
第6题图
A. 24 B. 18 C. 12 D. 8
7. (2023陕西)如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF，连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M，若BC＝6，则线段cm的长为( )
A. eq \f(13,2) B. 7 C. eq \f(15,2) D. 8
第7题图
8. [新考法——条件开放性试题]如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，添加一个条件使△AOB≌△COD，则这个条件可以是________．(写出一个即可)
第8题图
9. (2023成都)如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为________．
第9题图
10. 如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD于点F，交DE于点G.若∠D＝28°，∠E＝115°，∠DAC＝50°，则∠DGB的度数为________．
第10题图
11. (2023江西)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.测得AB＝40 cm，BD＝20 cm，AQ＝12 m，则树高PQ＝________m.
第11题图
12. (2022江西)如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE.
(1)求证：△ABC∽△AEB；
(2)当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．
第12题图
13. (2023山东)如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C.
(1)求证：∠EAD＝∠EDA；
(2)若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．
第13题图
拔高题
14. (2023武汉)如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是________．
第14题图
15. (2023温州)如图，已知矩形ABCD，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连接AF交EH于点G，GE＝GH.
(1)求证：BE＝CF；
(2)当 eq \f(AB,FH) ＝ eq \f(5,6) ，AD＝4时，求EF的长．
第15题图
参考答案与解析
1. A 【解析】∵O为AA′，BB′的中点，∴OA＝OA′，OB＝OB′，由对顶角相等得∠AOB＝∠A′OB′，在△AOB和△A′OB′中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(OA＝OA′,∠AOB＝∠A′OB′,OB＝OB′)) ，∴△AOB≌△A′OB′(SAS)，∴AB＝A′B′，即只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．
2. D 【解析】∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE，∴当∠A＝∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意；当∠AFB＝∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意；当AB＝DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合题意；当AF＝DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意．
3. D 【解析】第一个三角形中b，c之间的夹角为180°－76°－54°＝50°，∠1是b，c之间的夹角．∵两个三角形全等，∴∠1＝50°.
4. B 【解析】∵△ABC∽△EDC，∴ eq \f(AB,ED) ＝ eq \f(AC,EC) ＝ eq \f(2,3) ，∴当AB＝6时，DE＝9.
5. C 【解析】如解图，当点C在C1的位置时，∠B′C1A′＝∠C＝n°，当点C在C′的位置时，∵AC＝AC′，核心A′C′＝A′C1，∴∠C′＝∠1，∵∠B′C1A′＝n°，∴∠1＝180－n°，∴∠C′＝180－n°.
第5题解图
6. C 【解析】∵△ADC≌△BDF，∴AD＝BD＝4，∵DC＝2，∴BC＝BD＋DC＝4＋2＝6，∴S△ABC＝ eq \f(1,2) BC·AD＝ eq \f(1,2) ×6×4＝12.
7. C 【解析】∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝ eq \f(1,2) BC＝ eq \f(1,2) ×6＝3，∴△DEF∽△BMF，∴ eq \f(DE,BM) ＝ eq \f(DF,BF) ＝ eq \f(2BF,BF) ＝2，∴BM＝ eq \f(3,2) ，∴CM＝BC＋BM＝ eq \f(15,2) .
8. OB＝OD(答案不唯一) 【解析】∵OA＝OC，∠AOB＝∠COD，OB＝OD，∴△AOB≌△COD(SAS).
9. 3 【解析】∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝8，∵EC＝5，∴CF＝EF－EC＝8－5＝3.
10. 87° 【解析】∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D＝28°，∠ACB＝∠E＝115°，∴∠ACG＝65°，∵∠DAC＝50°，∴∠GFD＝∠AFC＝65°，∴∠DGF＝180°－∠D－∠DFG＝87°.
11. 6 【解析】由题意得△ABD∽△AQP，∴ eq \f(BD,QP) ＝ eq \f(AB,AQ) ，20 cm＝0.2 m，40 cm＝0.4 m，∴ eq \f(0.2,QP) ＝ eq \f(0.4,12) ，∴PQ＝6 m.
12. (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，AC为对角线，
∴∠ACD＝∠ACB.
∵∠ACD＝∠ABE，
∴∠ACB＝∠ABE.
又∵∠BAC＝∠EAB，
∴△ABC∽△AEB；
(2)解：由(1)知△ABC∽△AEB，
∴ eq \f(AB,AE) ＝ eq \f(AC,AB) ，
∵AB＝6，AC＝4，
∴ eq \f(6,AE) ＝ eq \f(4,6) ，
∴AE＝9.
13. (1)证明：∵∠B＝∠AED，
∴∠BEA＋∠BAE＝∠BEA＋∠CED，
∴∠BAE＝∠CED，
在△BAE和△CED中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠B＝∠C,∠BAE＝∠CED,BE＝CD)) ，
∴△BAE≌△CED(AAS)，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA；
(2)解：如解图，过点E作EF⊥AD于点F，
由(1)知EA＝ED，
∵∠AED＝∠C＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AEF＝∠DEF＝30°，AD＝DE＝4，
∴EF＝DE·cs 30°＝2 eq \r(3) ，
∴S△AED＝ eq \f(1,2) AD·EF＝ eq \f(1,2) ×4×2 eq \r(3) ＝4 eq \r(3) .
第13题解图
14. eq \r(m2＋n2) 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵折叠△BDE得到△FDE，∴△BDE≌△FDE，∴S△BDE＝S△FDE，∠F＝∠B＝60°＝∠A＝∠C，∵DE平分等边△ABC的面积，∴S四边形ACED＝S△BDE＝S△FDE，∴S△FHG＝S△ADG＋S△CHE，∵∠AGD＝∠FGH，∠CHE＝∠FHG，∴△ADG∽△FHG，△CHE∽△FHG，∴ eq \f(S△ADG,S△FHG) ＝( eq \f(DG,GH) )2＝ eq \f(m2,GH2) ， eq \f(S△CHE,S△FHG) ＝( eq \f(EH,GH) )2＝ eq \f(n2,GH2) ，∴ eq \f(S△ADG,S△FHG) ＋ eq \f(S△CHE,S△FHG) ＝ eq \f(m2＋n2,GH2) ＝ eq \f(S△ADG＋S△CHE,S△FHG) ＝1，∴GH2＝m2＋n2，解得GH＝ eq \r(m2＋n2) 或GH＝－ eq \r(m2＋n2) (不合题意舍去).
15. (1)证明：∵FH⊥EF，
∴∠HFE＝90°，
∵GE＝GH，
∴FG＝ eq \f(1,2) EH＝GE＝GH，
∴∠E＝∠GFE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴△ABF≌△DCE(AAS)，
∴BF＝CE，
∴BF－BC＝CE－BC，
即BE＝CF；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC⊥BC，即DC⊥EF，AB＝CD，BC＝AD＝4，
∵FH⊥EF，∴CD∥FH，
∴△ECD∽△EFH，
∴ eq \f(EC,EF) ＝ eq \f(CD,FH) ，
∴ eq \f(EC,EF) ＝ eq \f(AB,FH) ＝ eq \f(5,6) ，
设BE＝CF＝x，
∴EC＝x＋4，EF＝2x＋4，
∴ eq \f(x＋4,2x＋4) ＝ eq \f(5,6) ，
解得x＝1，
∴EF＝6.
【易错警示】
SSA型全等条件是不能证明三角形全等的．
情况一：如图①,AB＝DE,AC＝DF,∠B＝∠E；若∠C＝∠F,则△ABC≌△DEF.
图①
情况二：如图②,AB＝DE,AC＝DF,∠B＝∠E；∠C不等于∠F,则△ABC与△DEF不全等,两个三角形能拼成等腰△ABE.
图②
【解题关键点】
由DE平分等边△ABC的面积,结合折叠的性质得到S△FGH＝S△ADG＋S△CHE,再由相似三角形的性质列方程解题．