2024河南中考数学复习 圆的基本性质 强化精练 (含答案)

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第1题图
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
2. 如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠AOB＝80°，则∠C的度数为( )
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
第2题图
3. (2023杭州)如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝( )
第3题图
A. 23° B. 24° C. 25° D. 26°
4. (2023宜昌)如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D.若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为( )
第4题图
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
5. (2023山西)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O.若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为( )
第5题图
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
6. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC的平分线交⊙O于点D，交AC于点E，若∠C＝36°，则∠CED＝( )
第6题图
A. 54° B. 60° C. 63° D. 72°
7. (2023安徽)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝( )
第7题图
A. 60° B. 54° C. 48° D. 36°
8. (2023吉林省卷)如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点(点P不与点B重合)，连接CP.若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是( )
第8题图
70° B. 105° C. 125° D. 155°
9. (2023绍兴)如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是______．
第9题图
10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，点C是eq \(BD,\s\up8(︵))的中点，延长AD交BC的延长线于点E.
(1)求证：CE＝CD；
(2)若AB＝2，BC＝1，求∠EDC的度数以及AD的长．
第10题图
拔高题
11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(10，0)，直线y＝kx＋8与⊙O交于B，C两点，则弦BC的最小值为( )
第11题图
A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
12. 如图，AC是⊙O的直径，弦BC＝6 cm，AB＝8 cm，若动点M以2 cm/s的速度从C点出发沿着C到A的方向运动，点N以1 cm/s的速度从A点出发沿着A到B的方向运动，当点M到达点A时，点N也随之停止运动，设运动时间为t(s)，当△AMN是直角三角形时，t的值为( )
第12题图
A. eq \f(40,13) s B. 5 s
C. eq \f(25,7) s D. eq \f(40,13) s或eq \f(25,7) s
13. (2023安徽改编)已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．
(1)如图①，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD；
(2)如图②，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB.
①连接BE，DE，证明：△BDE是钝角三角形；
②若BD＝3eq \r(3)，AE＝3，求BC的长．
第13题图
参考答案与解析
1. D 【解析】根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得，经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为6个．
2. B 【解析】∵OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，∠AOB＝80°，∴∠C＝ eq \f(1,2) ∠AOB＝40°.
3. D 【解析】如解图，连接OC，∵∠ABC＝19°，∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，∵半径OA，OB互相垂直，∴∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°－38°＝52°，∴∠BAC＝ eq \f(1,2) ∠BOC＝26°.
第3题解图
4. B 【解析】∵AD＝CD＝8，OA＝OC，∴OB⊥AC，在Rt△AOD中，OA＝ eq \r(AD2＋OD2) ＝ eq \r(82＋62) ＝10，∴OB＝10，∴BD＝OB－OD＝10－6＝4.
5. B 【解析】∵BD经过圆心O，∴∠BCD＝90°，∵∠BDC＝∠BAC＝40°，∴∠DBC＝90°－∠BDC＝50°.
6. C 【解析】∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，又∵∠C＝36°，∴∠ABC＝54°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝ eq \f(1,2) ∠ABC＝27°，∴∠AEB＝63°，∴∠CED＝63°.
7. D 【解析】∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE＝ eq \f(（5－2）×180°,5) ＝108°，∠COD＝ eq \f(360°,5) ＝72°，∴∠BAE－∠COD＝108°－72°＝36°.
8. D 【解析】如解图，连接BC，∵∠BAC＝70°，∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝ eq \f(180°－140°,2) ＝20°，∵点P为OB上任意一点(点P不与点B重合)，∴0°＜∠OCP＜20°，∵∠BPC＝∠BOC＋∠OCP＝140°＋∠OCP，∴140°＜∠BPC＜160°，D选项符合题意．
第8题解图
9. 80° 【解析】∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠B＋∠D＝180°，∵∠D＝100°，∴∠B＝80°.
10. (1)证明：如解图，连接AC，
第10题解图
∵AB为直径，
∴∠ACB＝∠ACE＝90°，
又∵点C是的中点，
∴∠CAE＝∠CAB，CD＝CB，
又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACB(ASA)，
∴CE＝CB，
∴CE＝CD；
(2)解：由(1)得，∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝1，
∴∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，
由(1)得，△ACE≌△ACB，
∴AE＝AB＝2，∠E＝∠ABC＝60°，
由(1)得，CE＝CD＝1，
∴△CDE为等边三角形，
∴DE＝CE，∴AD＝AE－DE＝AE－CE＝1.
11. C 【解析】如解图，连接OB，∵直线y＝kx＋8必过点D(0，8)，∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，∵点D的坐标是(0，8)，∴OD＝8，∵以原点O为圆心的圆过点A(10，0)，∴圆的半径为10，∴OB＝10，∴由勾股定理得BD＝6，∴BC＝2BD＝12，∴弦BC的最小值为12.
第11题解图
12. D 【解析】如解图，∵AC是⊙O的直径，∴∠B＝90°.又∵BC＝6 cm，AB＝8 cm，∴根据勾股定理得AC＝ eq \r(AB2＋BC2) ＝10 cm，则AM＝(10－2t)cm，AN＝t(cm).∵当点M到达点A时，点N也随之停止运动，∴0＜t≤5.①如解图①，当MN⊥AB时，MN∥BC，则△AMN∽△ACB，则 eq \f(AN,AB) ＝ eq \f(AM,AC) ，即 eq \f(t,8) ＝ eq \f(10－2t,10) ，解得t＝ eq \f(40,13) .②如解图②，当MN⊥AC时，易证△AMN∽△ABC，则 eq \f(AM,AB) ＝ eq \f(AN,AC) ，即 eq \f(10－2t,8) ＝ eq \f(t,10) ，解得t＝ eq \f(25,7) .综上所述，当t＝ eq \f(40,13) s或t＝ eq \f(25,7) s时，△AMN为直角三角形．
第12题解图
13. (1)证明：∵OA⊥BD，
∴＝，
∴∠ACB＝∠ACD，
即CA平分∠BCD；
(2)①证明：如解图①，延长BE交⊙O于点F，连接DF，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BFD＝90°，
∴∠DEF＜90°，
∴∠BED＞90°，
∴△BDE是钝角三角形；
第13题解图①
②解：如解图②，延长AE交BC于M，延长CE交AB于N，
∵AE⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AMB＝∠CNB＝90°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠BAD＝∠CNB，∠BCD＝∠AMB，
∴AD∥NC，CD∥AM，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CD＝AE＝3，
∴在Rt△BCD中，由勾股定理得BC＝ eq \r(BD2－CD2) ＝ eq \r(（3\r(3)）2－32) ＝3 eq \r(2) .
第13题解图②
【解题有策略】
与垂径定理有关的解题方法
线——要先找到直径和垂直于直径的弦;
三角形——找出由直径和弦构成的直角三角形，或连接直径和弦的端点构造直角三角形;
解三角形——将已知线段长或角度放到直角三角形中，利用勾股定理或锐角三角函数进行求解.