2024河南中考数学复习专题 反比例函数与几何图形结合 强化训练 (含答案)

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1. 如图，△ABC为等边三角形，点B恰好在反比例函数y＝ eq \f(k,x) (k≠0，x＜0)的图象上，且BA⊥x轴于点A.若点C的坐标为(0，1)，则k的值为( )
第1题图
A. －2 eq \r(3) B. 2 eq \r(3) C. －2 D. 2
2. 如图，点A是反比例函数y＝ eq \f(2,x) (x＞0)的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝ eq \f(a,x) 的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C，D在x轴上，则S▱ABCD为( )
第2题图
A. 2－a B. －a C. －2a D. 2＋a
3. (2023广西)如图，过y＝ eq \f(k,x) (x＞0)的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交y＝－ eq \f(1,x) 的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若S2＋S3＋S4＝ eq \f(5,2) ，则k的值为( )
第3题图
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4. (2023绥化)在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，BC＝2，点D在AC上，且其横坐标为1，若反比例函数y＝ eq \f(k,x) (x＞0)的图象经过点B，D，则k的值是( )
第4题图
A. 1 B. 2 C. 3 D. eq \f(3,2)
5. (2023陕西)如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC＝2CD，AB＝3.若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是________．
第5题图
6. 如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的底边BC在x轴的正半轴上，顶点A在反比例函数y＝ eq \f(5,x) (x＞0)的图象上，延长AB交y轴于点D，若OC＝5OB，则△BOD的面积为________．
第6题图
7. (2023河南定心卷)如图，已知反比例函数y＝ eq \f(k,x) (x＞0)的图象经过点A(2，－2)，AB⊥y轴于点B，点C为y轴正半轴上一点，连接AC.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)请用无刻度的直尺和圆规，在x轴正半轴上找一点D，使得∠OBD＝∠BAC(要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图)；
(3)在(2)的条件下，求证：AC＝BD.
第7题图
拔高题
8. (2023贵州)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数y＝ eq \f(k,x) (x＞0)的图象分别与AB，BC交于点D(4，1)和点E，且点D为AB的中点．
(1)求反比例函数的表达式和点E的坐标；
(2)若一次函数y＝x＋m与反比例函数y＝ eq \f(k,x) (x＞0)的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之间的部分时(点M可与点D，E重合)，直接写出m的取值范围．
第8题图
9. 如图，等腰Rt△ABC的直角顶点A在x轴上，点C在y轴上，点B在反比例函数y＝ eq \f(k,x) (x＞0)的图象上，BC与反比例函数y＝ eq \f(k,x) (x＞0)的图象交于点D，已知点A(1，0)，点C(0，3).
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接AD，以AD长为半径画弧，交AC于点E，请直接写出图中阴影部分的面积．
第9题图
参考答案与解析
1. A 【解析】∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵BA⊥x轴于点A，∴∠CAO＝30°，∵点C的坐标为(0，1)，∴OC＝1，∴AC＝2OC＝2，∴AB＝2，∴OA＝ eq \r(AC2－OC2) ＝ eq \r(3) ，∴B(－ eq \r(3) ，2)，∵点B恰好在反比例函数y＝ eq \f(k,x) (k≠0，x＜0)的图象上，∴k＝－ eq \r(3) ×2＝－2 eq \r(3) .
2. A 【解析】如解图，连接OA，OB，设AB交y轴于点E，∵AB∥x轴，∴AB⊥y轴，∴S△OEA＝ eq \f(1,2) ×2＝1，S△OBE＝ eq \f(1,2) |a|＝－ eq \f(1,2) a，∴S△OAB＝1－ eq \f(1,2) a，∵四边形ABCD为平行四边形，∴S四边形ABCD＝2S△OAB＝2－a.
第2题解图
3. C 【解析】设A(m， eq \f(k,m) )，在y＝－ eq \f(1,x) 中，令y＝ eq \f(k,m) ，得x＝－ eq \f(m,k) ，令x＝m，得y＝－ eq \f(1,m) ，∴B(－ eq \f(m,k) ， eq \f(k,m) )，D(m，－ eq \f(1,m) )，∴C(－ eq \f(m,k) ，－ eq \f(1,m) )，∴S2＝S4＝1，S3＝ eq \f(1,k) ，∵S2＋S3＋S4＝ eq \f(5,2) ，∴1＋ eq \f(1,k) ＋1＝ eq \f(5,2) ，解得k＝2，经检验，k＝2是方程的解，且符合题意．
4. C 【解析】∵点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC＝2，点D在AC上，且横坐标为1，∴设B(3，a)，则D(1，a＋2)，∵反比例函数y＝ eq \f(k,x) (x＞0)的图象经过点B，D，∴3a＝a＋2，解得a＝1，∴B(3，1)，∴k＝3×1＝3.
5. y＝ eq \f(18,x) 【解析】设BD＝CD＝x，∵四边形CDEF为正方形，∴CF＝EF＝CD＝x，∠DEF＝90°，由矩形OABC可得，∠ABC＝90°，∴B(3，2x)，E(3＋x，x)，∵点B，E在同一个反比例函数的图象上，∴3×2x＝(3＋x)x，解得x1＝0(舍去)，x2＝3，∴S矩形OABC＝18，即k＝18，∴这个反比例函数的表达式是y＝ eq \f(18,x) .
6. eq \f(5,12) 【解析】如解图，过A作AH⊥x轴于H，连接OA，∵△ABC是等腰三角形，BC为底边，∴BH＝CH，∵OC＝5OB，∴BH＝2OB，∴S△ABH＝2S△AOB，∵点A在反比例函数y＝ eq \f(5,x) (x>0)的图象上，∴S△AOH＝ eq \f(5,2) ，∴S△ABH＝ eq \f(5,2) × eq \f(2,3) ＝ eq \f(5,3) ，∵AH∥OD，∴△BOD∽△BHA，∴ eq \f(S△BOD,S△ABH) ＝( eq \f(OB,BH) )2＝ eq \f(1,4) ，∴S△BOD＝ eq \f(1,4) S△ABH＝ eq \f(5,12) .
第6题解图
7. (1)解：∵反比例函数y＝ eq \f(k,x) (x＞0)的图象经过点A(2，－2)，
∴k＝2×(－2)＝－4.
∴反比例函数的表达式为y＝－ eq \f(4,x) (x＞0)；
(2)解：如解图，点D即为所示作；
第7题解图
(3)证明：∵A(2，－2)，AB⊥y轴于点B，∴∠ABC＝∠BOD＝90°，BO＝AB＝2.
由(2)得∠BAC＝∠OBD，
在△ABC和△BOD中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ABC＝∠BOD,AB＝BO,∠BAC＝∠OBD)) ，
∴△ABC≌△BOD，∴AC＝BD.
8. 解：(1)∵点D(4，1)在反比例函数y＝ eq \f(k,x) 的图象上，∴k＝4×1＝4，∴反比例函数的表达式为y＝ eq \f(4,x) (x>0).
∵四边形OABC为矩形，且点D为AB中点，∴AB＝2，
∴点E的纵坐标为2，
当x＝2时，y＝ eq \f(4,2) ＝2，
∴点E的坐标为(2，2)；
(2)－3≤m≤0.
【解法提示】由题可知，D(4，1)，E(2，2)，当一次函数y＝x＋m的图象经过点D时，则1＝4＋m，解得m＝－3；当一次函数y＝x＋m的图象经过点E时，则2＝2＋m，解得m＝0.∵一次函数与反比例函数图象的交点M在D，E之间，且可与点D，E重合，∴m的取值范围为－3≤m≤0.
9. 解：(1)如解图，过点B作BM⊥x轴于点M，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC＝AB，∠CAB＝90°，
∴∠CAO＋∠BAM＝90°.
∵∠BMA＝90°，
∴∠BAM＋∠ABM＝90°，
∴∠CAO＝∠ABM，
在△COA与△AMB中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠COA＝∠AMB，,∠CAO＝∠ABM，,CA＝AB，))
∴△COA≌△AMB(AAS)，
∴OC＝MA，OA＝MB.
∵A(1，0)，C(0，3)，
∴OM＝4，BM＝1，∴B(4，1).
∵点B在反比例函数y＝ eq \f(k,x) (x＞0)的图象上，∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝ eq \f(4,x) (x＞0)；
第9题解图
(2) eq \f(5,2) － eq \f(5,8) π.
【解法提示】由(1)可知B(4，1)，又∵C(0，3)，设直线BC的解析式为y＝mx＋b(m≠0)，把B，C的坐标代入，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝4m＋b,3＝b)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,2),b＝3)) ，∴直线BC的解析式为y＝－ eq \f(1,2) x＋3，由(1)可知反比例函数的解析式为y＝ eq \f(4,x) ，联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(4,x),y＝－\f(1,2)x＋3)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝2,y1＝2)) ， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝4,y2＝1)) (舍去)，∴D(2，2)，∴AD＝ eq \r(5) ，∵CB＝2 eq \r(5) ，∴AD＝ eq \f(1,2) CB，∴D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠CAD＝45°，∴S阴影＝S△ACD－S扇形EAD＝ eq \f(5,2) － eq \f(5,8) π.
【解题关键点】
设BD＝CD＝x,根据线段关系和矩形的性质用含x的代数式表示出点B,E的坐标是解题的关键．