2024河南中考数学全国真题分类卷 第十三讲 三角形(含答案)

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1. (2023永州)下列多边形具有稳定性的是( )
2. (2023邵阳)下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是( )
A. 1 cm，2 cm，3 cm B. 3 cm，4 cm，5 cm
C. 4 cm，5 cm，10 cm D. 6 cm，9 cm，2 cm
3. (2023河北)平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形(如图所示)，则d可能是( )
第3题图
A. 1 B. 2 C. 7 D. 8
4. (2023德阳)八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是 5 km和 3 km.那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是( )
A. 1 km B. 2 km C. 3 km D. 8 km
5. (2022盐城)将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为( )
第5题图
A. 45° B. 60° C. 75° D. 105°
6. (2022陕西)如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE.若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为( )
第6题图
A. 60° B. 70° C. 75° D. 85°
7. (2023湘潭)如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB，OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，则∠AEF＝________．
第7题图
8. (新趋势)·注重学习过程 (2023北京)下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
源自人教八上P12例题
命题点2 三角形中的重要线段
类型一 与中点有关的问题
9. (2023眉山)在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，点 D，E，F分别为边 AB，BC，AC的中点，则△DEF的周长为( )
A. 9 B. 12 C. 14 D. 16
10. (2023南充)数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在AB外选择一点C，测得AC，BC两边中点的距离DE为10 m(如图)，则A，B两点的距离是________m.
第10题图
11. (2023常州)如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是________．
第11题图
类型二 与角平分线有关的问题
12. (新考法)·结合折叠考查角平分线的概念 (2023河北)如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的( )
第12题图
A. 中线 B. 中位线 C. 高线 D. 角平分线
13. (2023北京)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝________．
第13题图
14. (2023温州)如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E.
(1)求证：∠EBD＝∠EDB；
(2)当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
第14题图
类型三 与高线有关的问题
15. (2023杭州)如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则( )
第15题图
A. 线段CD是△ABC的AC边上的高线
B. 线段CD是△ABC的AB边上的高线
C. 线段AD是△ABC的BC边上的高线
D. 线段AD是△ABC的AC边上的高线
16. (2023玉林)请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是( )
第16题图
A. 0.5 cm B. 0.7 cm C. 1.5 cm D. 2 cm
17. (2022聊城)如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE∶AD∶BF值为________．
第17题图
命题点3 等腰三角形
18. (2023宿迁)若等腰三角形的两边长分别为3 cm和5 cm，则这个等腰三角形的周长是( )
A. 8 cm B. 13 cm
C. 8 cm或13 cm D. 11 cm或13 cm
19. (2023嘉兴)如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是( )
第19题图
A. 32 B. 24 C. 16 D. 8
20. (2023天津)如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是( )
第20题图
A. (5，4) B. (3，4) C. (5，3) D. (4，3)
21. (2023海南)如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于 eq \f(1,2) MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，画射线BP，交AC于点D，若AD＝BD，则∠A的度数是( )
第21题图
A. 36° B. 54° C. 72° D. 108°
22. (2023梧州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是( )
第22题图
A. ∠ADC＝90° B. DE＝DF
C. AD＝BC D. BD＝CD
23. (2023湖州)如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连接EB，EC.若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是( )
第23题图
A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 eq \r(2)
24. (2022宜宾)如图，在△ABC中，点O是角平分线AD，BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan ∠OBD的值是( )
第24题图
A. eq \f(1,2) B. 2 C. eq \f(\r(6),3) D. eq \f(\r(6),4)
25. (2023云南)已知△ABC是等腰三角形. 若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是________．
26. (2023苏州)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为________．
27. (2022南京)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD.设∠ABC＝α，则∠ADC＝________(用含α的代数式表示).
第27题图
28. (2022长沙)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE.
(1)求证：∠B＝∠ACB；
(2)若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．
第28题图
29. (挑战题) (2020天水)性质探究
如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为________；
理解运用
(1)若顶角为120°的等腰三角形的周长为4＋2 eq \r(3) ，则它的面积为________；
(2)如图②，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH.在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN.若∠FGH＝120°，EF＝20，求线段MN的长；
类比拓展
顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为________(用含α的式子表示).
第29题图
命题点4 等边三角形
30. (2020铜仁)已知等边三角形一边上的高为2 eq \r(3) ，则它的边长为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 4 eq \r(3)
31. (2020福建)如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是( )
A. 1 B. eq \f(1,2) C. eq \f(1,3) D. eq \f(1,4)
第31题图
32. (2023张家界)如图，点O是等边三角形 ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝ eq \r(3) ，则△AOB与 △BOC的面积之和为( )
第32题图
A. eq \f(\r(3),4) B. eq \f(\r(3),2) C. eq \f(3\r(3),4) D. eq \r(3)
33. (2020台州)如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是________．
第33题图
34. (挑战题) (2023朝阳)等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE，若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为________．
35. (2023怀化)如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H.
(1)求证：MP＝NP；
(2)若AB＝a，求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).
第35题图
命题点5 直角三角形
类型一 勾股定理及其应用
36. (2023遵义)如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为( )
A. eq \f(\r(5),5) B. eq \f(2\r(5),5) C. 1 D. 2
第36题图
37. (2022成都)如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为________．
第37题图
38. (2023扬州)在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为________．
39. (新趋势)·数学文化 (2022宿迁)《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C′处(如图)，水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是________尺．
第39题图
类型二 直角三角形的性质及计算
40. (2023沈阳)如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，点D，E分别是直角边AC，BC的中点，连接DE，则∠CED的度数是( )
第40题图
A. 70° B. 60° C. 30° D. 20°
41. (2023宁波)如图，在Rt△ABC中， D为斜边AC的中点， E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为( )
第41题图
A. 2 eq \r(2) B. 3 C. 2 eq \r(3) D. 4
42. (2023南充)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是( )
第42题图
A. BF＝1 B. DC＝3 C. AE＝5 D. AC＝9
43. (2023梧州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，AC边上的中点，连接CD，DE.如果AB＝5 m，BC＝3 m．那么CD＋DE的长是________m.
第43题图
44. (2022海南)如图， △ABC的顶点B，C的坐标分别是(1, 0)、(0， eq \r(3) )，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是________．
第44题图
45. (2022苏州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF，若∠CFE＝72°，则∠B＝________°.
第45题图
46. (2023德阳)如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的中点，连接CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB. 若CB＝1，那么CE＝________．
第46题图
47. (2023杭州)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE.已知∠A＝50°，∠ACE＝30°.
(1)求证：CE＝CM；
(2)若AB＝4，求线段FC的长．
第47题图
命题点6 等腰直角三角形
48. (2022宁波)如图，在△ABC中，∠B＝45°， ∠C＝60°，AD⊥BC于点D, BD＝ eq \r(3) .若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为( )
A. eq \f(\r(3),3) B. eq \f(\r(3),2) C. 1 D. eq \f(\r(6),2)
第48题图
49. (2023桂林)如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若 AC＝2，则 △ABC的面积是( )
第49题图
A. eq \f(3＋\r(2),2) B. 1＋ eq \r(2) C. 2 eq \r(2) D. 2＋ eq \r(2)
50. (2022枣庄)如图，三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕EF交BC于点F.已知EF＝ eq \f(3,2) ，则BC的长是( )
第50题图
A. eq \f(3\r(2),2) B. 3 C. 3 eq \r(2) D. 3 eq \r(3)
51. (2022扬州)如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是( )
第51题图
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
参考答案与解析
1. D 【解析】三角形具有稳定性．
2. B 【解析】A.∵1＋2＝3，∴这三条线段不能构成三角形；B.∵3＋4>5，4－3＜5，∴这三条线段能构成三角形；C.∵4＋5