2024年四川省成都市中考数学试卷(解析版)

这是一份2024年四川省成都市中考数学试卷(解析版)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．﹣5的绝对值是（ ）
A．5B．﹣5C．D．﹣
2．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．（3x）2＝3x2B．3x+3y＝6xy
C．（x+y）2＝x2+y2D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
4．在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣4）B．（﹣1，4）C．（1，4）D．（1，﹣4）
5．为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（ ）
A．53B．55C．58D．64
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB＝ADB．AC⊥BDC．AC＝BDD．∠ACB＝∠ACD
7．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买进，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买进石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为x，琎价为y，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
8．在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O；③作射线BO，交AD于点E，交CD延长线于点F．若CD＝3，DE＝2，下列结论错误的是（ ）
A．∠ABE＝∠CBEB．BC＝5C．DE＝DFD．＝
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．若m，n为实数，且（m+4）2+＝0，则（m+n）2的值为 ．
10．分式方程的解是 ．
11．如图，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝120°，则的长为 .
12．盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，2），过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO+PA的最小值为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）计算：+2sin60°﹣（π﹣2024）0+|﹣2|；
（2）解不等式组：．
15．（8分）2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景．在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动慢游线、园艺小清新线）中选择一条．现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的员工共有 人，表中x的值为 ；
（2）在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数；
（3）若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”的员工人数．
16．（8分）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子AB垂直于地面，AB长8尺．在夏至时，杆子AB在太阳光线AC照射下产生的日影为BC；在冬至时，杆子AB在太阳光线AD照射下产生的日影为BD．已知∠ACB＝73.4°，∠ADB＝26.6°，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：sin26.6°≈0.45，cs26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin73.4°≈0.96，cs73.4°≈0.29，tan73.4°≈3.35）
17．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以BD为直径作⊙O，交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF．
（1）求证；BC•DF＝BF•CE；
（2）若∠A＝∠CBF，tan∠BFC＝，AF＝4，求CF的长和⊙O的直径．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m与直线y＝2x相交于点A（2，a），与x轴交于点B（b，0），点C在反比例函数y＝（k＜0）图象上．
（1）求a，b，m的值；
（2）若O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值；
（3）过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，求k的值．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为 ．
20．若m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根，则m+（n﹣2）2的值为 ．
21．在综合实践活动中，数学兴趣小组对1～n这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究．发现：当n＝2时，只有{1，2}一种取法，即k＝1；当n＝3时，有{1，3}和{2，3}两种取法，即k＝2；当n＝4时，可得k＝4；……．若n＝6，则k的值为 ；若n＝24，则k的值为 ．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE．若BE＝BC，CD＝2，则BD＝ ．
23．在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象上三点．若0＜x1＜1，x2＞4，则y1 y2（填“＞”或“＜”）；若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共1500kg进行销售，其中A种水果收购单价10元/kg，B种水果收购单价15元/kg．
（1）求A，B两种水果各购进多少千克；
（2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划A种水果至少要获得20%的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．
（1）求线段AB的长；
（2）当a＝1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD的值；
（3）延长CD交x轴于点E，当AD＝DE时，将△ADB沿DE方向平移得到△A′EB′．将抛物线L平移得到抛物线L′，使得点A′，B′都落在抛物线L′上．试判断抛物线L′与L是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
26．（12分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和ADE中，AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°．
【初步感知】
（1）如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，延长ED交AC于点F，求CF的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由．
2024年四川省成都市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．﹣5的绝对值是（ ）
A．5B．﹣5C．D．﹣
解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|＝5．
故选：A．
2．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：A．
3．下列计算正确的是（ ）
A．（3x）2＝3x2B．3x+3y＝6xy
C．（x+y）2＝x2+y2D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
解：A．∵（3x）2＝9x2，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B．∵3x，3y不是同类项，不能合并，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D．∵（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
4．在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣4）B．（﹣1，4）C．（1，4）D．（1，﹣4）
解：在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，4）．
故选：B．
5．为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（ ）
A．53B．55C．58D．64
解：把这组数据从小到大排序后为50，51，55，55，61，64，
所以这组数据的中位数为＝55．
故选：B．
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB＝ADB．AC⊥BDC．AC＝BDD．∠ACB＝∠ACD
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，∠ADC＝90°，AD＝BC，AD∥BC，，
∴AC⊥BD，∠ACB＝∠ACD不一定成立，AC＝BD，一定成立，AB＝AD一定不成立，
故选：C．
7．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买进，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买进石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为x，琎价为y，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
解：∵每人出钱，会多出4钱，
∴y＝x﹣4；
∵每人出钱，会差3钱，
∴y＝x+3．
∴根据题意可列方程组．
故选：B．
8．在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O；③作射线BO，交AD于点E，交CD延长线于点F．若CD＝3，DE＝2，下列结论错误的是（ ）
A．∠ABE＝∠CBEB．BC＝5C．DE＝DFD．＝
解：由作法得BO平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，所以A选项不符合题意；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝3，BC＝AD，AB∥CD，AD∥BC，
∵AD∥BC，
∴∠CBE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∴AD＝AE+DE＝3+2＝5，
∴BC＝5，所以B选项不符合题意；
∵AB∥CD，
∴∠F＝∠ABE，
∵∠AEB＝∠DEF，
∴∠DEF＝∠F，
∴DE＝DF＝2，所以C选项不符合题意；
∵DE∥BC，
∴＝＝，所以D选项符合题意．
故选：D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．若m，n为实数，且（m+4）2+＝0，则（m+n）2的值为 1 ．
解：∵m，n为实数，且（m+4）2+＝0，
∴m+4＝0，n﹣5＝0，
解得m＝﹣4，n＝5，
∴（m+n）2＝（﹣4+5）2＝12＝1．
故答案为：1．
10．分式方程的解是 x＝3 ．
解：去分母得：x＝3（x﹣2），
去括号得：x＝3x﹣6，
解得：x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解．
故答案为：x＝3．
11．如图，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝120°，则的长为 4π .
解：的长为＝4π．
故答案为：4π．
12．盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ．
解：∵盒中有x枚黑棋和y枚白棋，共有（x+y）个棋，
∵从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，
∴可得关系式＝，
∴8x＝3x+3y，
即5x＝3y，
∴＝．
故答案为：．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，2），过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO+PA的最小值为 5 ．
解：取点O'（0，4），连接O'P，O'A，如图，
∵B（0，2），过点B作y轴的垂线l，
∴点O'（0，4）与点O（0，0）关于直线l对称，
∴PO'＝PO，
∴PO+PA＝PO'+PA≥O'A，
即PO+PA的最小值为O'A的长，
在Rt△O'AO中，
∵OA＝3，OO'＝4，
∴由勾股定理，得O'A＝＝＝5，
∴PO+PA的最小值为5．
故答案为：5．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）计算：+2sin60°﹣（π﹣2024）0+|﹣2|；
（2）解不等式组：．
解：（1）原式＝4+2×﹣1+2﹣
＝4+﹣1+2﹣
＝5；
（2）解不等式①，得x≥﹣2，
解不等式②，得x＜9，
所以不等式组的解集是﹣2≤x＜9．
15．（8分）2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景．在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动慢游线、园艺小清新线）中选择一条．现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的员工共有 160 人，表中x的值为 40 ；
（2）在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数；
（3）若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”的员工人数．
解：（1）本次调查的员工共有48÷30%＝160（人），
表中x的值为160×＝40；
故答案为：160，40；
（2）360°×＝99°，
答：在扇形统计图中，“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数为99°；
（3）2200×＝385（人），
答：估计选择“园艺小清新线”的员工人数为385人．
16．（8分）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子AB垂直于地面，AB长8尺．在夏至时，杆子AB在太阳光线AC照射下产生的日影为BC；在冬至时，杆子AB在太阳光线AD照射下产生的日影为BD．已知∠ACB＝73.4°，∠ADB＝26.6°，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：sin26.6°≈0.45，cs26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin73.4°≈0.96，cs73.4°≈0.29，tan73.4°≈3.35）
解：在Rt△ABC中，AB＝8尺，∠ACB＝73.4°，
∴tan73.4°＝，
∵tan73.4°≈3.35，
∴BC≈≈2.4（尺）；
在Rt△ABD中，AB＝8尺，∠ADB＝26.6°，
∴tan26.6°＝，
∵tan26.6°≈0.50，
∴BD≈16.0（尺）；
∴CD＝BD﹣BC＝16.0﹣2.4＝13.6（尺），
观察可知，春分和秋分时日影顶端为CD的中点，
∵2.4+＝9.2（尺），
∴春分和秋分时日影长度为9.2尺．
17．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以BD为直径作⊙O，交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF．
（1）求证；BC•DF＝BF•CE；
（2）若∠A＝∠CBF，tan∠BFC＝，AF＝4，求CF的长和⊙O的直径．
（1）证明：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BFD＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠BFD＝∠C，
∵＝，
∴∠BEC＝∠BDF，
∴△BCE∽△BDF，
∴＝，
∴BC•DF＝BF•CE；
（2）解：连接DE，过E作EH⊥BD于H，如图：
∵∠C＝90°，tan∠BFC＝，
∴＝，
∴BC＝CF，
∵∠A＝∠CBF，
∴90°﹣∠A＝90°﹣∠CBF，即∠ABC＝∠BFC，
∴tan∠ABC＝tan∠BFC＝，
∴＝，
∴AC＝BC＝×（CF）＝5CF，
∵AC﹣CF＝AF＝4，
∴5CF﹣CF＝4，
∴CF＝，
∴BC＝CF＝5，AC＝5CF＝5，
∴AB＝＝＝5，
由（1）知△BCE∽△BDF，
∴∠CBE＝∠DBF，
∴∠CBE﹣∠FBE＝∠DBF﹣∠FBE，即∠CBF＝∠EBA，
∵∠A＝∠CBF，
∴∠A＝∠EBA，
∴AE＝BE，
∴BH＝AH＝AB＝，
∵∠BEH＝90°﹣∠EBA＝90°﹣∠CBF＝∠BFC，
∴tan∠BEH＝tan∠BFC＝，
∴＝，即＝，
∴EH＝，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BED＝90°，
∴∠EDH＝90°﹣∠DEH＝∠BEH，
∴tan∠EDH＝tan∠BEH＝，
∴＝，即＝，
∴DH＝，
∴BD＝DH+BH＝+＝3，
∴⊙O的直径为3．
答：CF的长为，⊙O的直径为3．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m与直线y＝2x相交于点A（2，a），与x轴交于点B（b，0），点C在反比例函数y＝（k＜0）图象上．
（1）求a，b，m的值；
（2）若O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值；
（3）过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，求k的值．
解：（1）把A（2，a）代入y＝2x得：a＝2×2＝4，
∴A（2，4），
把A（2，4）代入y＝﹣x+m得：4＝﹣2+m，
∴m＝6；
∴直线y＝﹣x+m为y＝﹣x+6，
把B（b，0）代入y＝﹣x+6得：0＝﹣b+6，
∴b＝6，
∴a的值为4，m的值为6，b的值为6；
（2）设C（t，），
由（1）知A（2，4），B（6，0），而O（0，0），
①当AC，BO为对角线时，AC，BO的中点重合，
∴，
解得，
经检验，t＝4，k＝﹣16符合题意，
此时点C的坐标为（4，﹣4）；
②当CB，AO为对角线时，CB，AO的中点重合，
∴，
解得，
经检验，t＝﹣4，k＝﹣16符合题意，
此时点C的坐标为（﹣4，4）；
③当CO，AB为对角线时，CO，AB的中点重合，
∴，
解得，
∵k＝32＞0，
∴这种情况不符合题意；
综上所述，C的坐标为（4，﹣4）或（﹣4，4），k的值为﹣16；
（3）如图：
设直线AC解析式为y＝px+q，把A（2，4）代入得：4＝2p+q，
∴q＝4﹣2p，
∴直线AC解析式为y＝px+4﹣2p，
在y＝px+4﹣2p中，令y＝0得x＝，
∴D（，0），
∵E与点D关于y轴对称，
∴E（，0），
∵B（6，0），
∴BE＝6﹣＝，BD＝6﹣＝，
∵△ABD与△ABE相似，
∴E只能在B左侧，
∴∠ABE＝∠DBA，
故△ABD与△ABE相似，只需＝即可，即BE•BD＝AB2，
∵A（2，4），B（6，0），
∴AB2＝32，
∴×＝32，
解得p＝1，
经检验，p＝1满足题意，
∴直线AC的解析式为y＝x+2，
∵有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，
∴直线AC与反比例函数y＝（k＜0）图象只有一个交点，
∴x+2＝只有一个解，
即x2+2x﹣k＝0有两个相等实数根，
∴Δ＝0，即22+4k＝0，
解得k＝﹣1，
∴k的值为﹣1．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为 100° ．
解：∵△ABC≌△CDE，
∴∠ACB＝∠CED＝45°，
∵∠D＝35°，
∴∠DCE＝180°﹣∠CED﹣∠D＝180°﹣45°﹣35°＝100°，
故答案为：100°．
20．若m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根，则m+（n﹣2）2的值为 7 ．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根，
∴m2﹣5m+2＝0，m+n＝5，
∴m2+5m＝﹣2，n＝5﹣m，
∴m+（n﹣2）2
＝m+（3﹣m）2
＝m2﹣5m+9
＝﹣2+9
＝7．
故答案为：7．
21．在综合实践活动中，数学兴趣小组对1～n这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究．发现：当n＝2时，只有{1，2}一种取法，即k＝1；当n＝3时，有{1，3}和{2，3}两种取法，即k＝2；当n＝4时，可得k＝4；……．若n＝6，则k的值为 9 ；若n＝24，则k的值为 144 ．
解：当n＝6时，从1，2，3，4，5，6中，取两个数的和大于6，这两个数分别是{6，1}，{6，2}，{6，3}，{6，4}，{6，5}，{5，2}，{5，3}，{5，4}，{4，3}，
∴k＝5+3+1＝9；
当n＝24时，从1，2，，23，24中，取两个数的和大于24，这两个数分别是：
{24，1}，{24，2}{24，23}，
{23，2}{23，3}{23，22}，
{22，3}，{22，4}{22，21}，
．
{14，11}，{14，12}，{14，13}，
{13，12}，
∴k＝23+21+19++3+1＝144；
故答案为：9，144．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE．若BE＝BC，CD＝2，则BD＝ ．
解：连接CE，过E作EF⊥BC于F，如图：
设BD＝x，则BC＝BD+CD＝x+2，
∵∠ACB＝90°，E为AD中点，
∴CE＝AE＝DE＝AD，
∴∠CAE＝∠ACE，∠ECD＝∠EDC，
∴∠CED＝2∠CAD，
∵BE＝BC，
∴∠ECD＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠EDC，
∵∠ECD＝∠BCE，
∴△ECD∽△BCE，
∴＝，∠CED＝∠CBE，
∴CE2＝CD•BC＝2（x+2）＝2x+4，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAB＝2∠CAD，
∴∠CAB＝∠CED，
∴∠CAB＝∠CBE，
∵∠ACB＝90°＝∠BFE，
∴△ABC∽△BEF，
∴＝，
∵CE＝DE，EF⊥BC，
∴CF＝DF＝CD＝1，
∵E为AD中点，
∴AC＝2EF，
∴＝，
∴2EF2＝（x+1）（x+2），
∵EF2＝CE2﹣CF2，
∴＝（2x+4）﹣12，
解得x＝或x＝（小于0，舍去），
∴BD＝．
故答案为：．
23．在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象上三点．若0＜x1＜1，x2＞4，则y1 ＞ y2（填“＞”或“＜”）；若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是 ﹣＜m＜1 ．
解：∵y＝﹣x2+4x﹣1＝﹣（x﹣2）2+3，
∴二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象的对称轴为直线x＝2，开口向下，
∵0＜x1＜1，x2＞4，
∴2﹣x1＜x2﹣2，即（x1，y1）比（x2，y2）离对称轴直线的水平距离近，
∴y1＞y2；
∵m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，
∴x1＜x2＜x3，
∵对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，
∴x1＜2，x3＞2，且A（x1，y1）离对称轴最远，B（x2，y2）离对称轴最近，
∴2﹣x1＞x3﹣2＞|x2﹣2|，
∴x1+x3＜4，且 x2+x3＞4，
∵2m+2＜x1+x3＜2m+4，2m+3＜x2+x3＜2m+5，
∴2m+2＜4，且2m+5＞4，
解得﹣＜m＜1，
故答案为：＞，﹣＜m＜1．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共1500kg进行销售，其中A种水果收购单价10元/kg，B种水果收购单价15元/kg．
（1）求A，B两种水果各购进多少千克；
（2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划A种水果至少要获得20%的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价．
解：（1）设A种水果购进x千克，B种水果购进y千克，
根据题意得：，
解得：．
答：A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克；
（2）设A种水果的销售单价为m元/千克，
根据题意得：1000×（1﹣4%）m﹣10×1000≥10×1000×20%，
解得：m≥12.5，
∴m的最小值为12.5．
答：A种水果的最低销售单价为12.5元/千克．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．
（1）求线段AB的长；
（2）当a＝1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD的值；
（3）延长CD交x轴于点E，当AD＝DE时，将△ADB沿DE方向平移得到△A′EB′．将抛物线L平移得到抛物线L′，使得点A′，B′都落在抛物线L′上．试判断抛物线L′与L是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a中，令y＝0得0＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴a（x﹣3）（x+1）＝0，
∵a＞0，
∴x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4；
（2）当a＝1时，过D作DM∥y轴交x轴于M，DN∥x轴交AC于N，如图：
∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴C（1，﹣4），
由A（﹣1，0），C（1，﹣4）得直线AC解析式为y＝﹣2x﹣2，
设 D（n，n2﹣2n﹣3），（0＜n＜3），
在y＝﹣2x﹣2中，令y＝n2﹣2n﹣3得x＝，
∴N（，n2﹣2n﹣3），
∴DN＝n﹣＝，
∴S△ACD＝DN•|yA﹣yC|＝××4＝n2﹣1；
∵△ACD的面积与△ABD的面积相等，
而S△ABD＝AB•|yD|＝×4×（﹣n2+2n+3）＝﹣2n2+4n+6，
∴n2﹣1＝﹣2n2+4n+6，
解得n＝﹣1（舍去）或n＝，
∴D（，﹣），
∴BM＝3﹣＝，DM＝，
∴tan∠ABD＝＝＝；
∴tan∠ABD的值为；
（3）抛物线L′与L交于定点，理由如下：
过D作DM⊥x轴于M，如图：
设D（m，am2﹣2am﹣3a），则AM＝m+1，DM＝﹣am2+2am+3a，
∵AD＝DE，
∴EM＝AM＝m+1，
将△ADB沿DE方向平移得到△A'EB'，相当于将△ADB向右平移（m+1）个单位，再向上平移|m2﹣2am﹣3a|个单位，
又A（﹣1，0），B（3，0），
∴A'（m，﹣am2+2am+3a），B'（m+4，﹣am2+2am+3a），
设抛物线L'解析式为y＝ax2+bx+c（a＞0），
∵点A′，B'都落在抛物线L′上，
∴
解得：，
∴抛物线L'解析式为y＝ax2+（﹣2am﹣4a）x+6am+3a，
由ax2﹣2ax﹣3a＝ax2+（﹣2am﹣4a）x+6am+3a得：
（m+1）x＝3m+3，
解得：x＝3，
∴抛物线L′与L交于定点（3，0）．
26．（12分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和ADE中，AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°．
【初步感知】
（1）如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，延长ED交AC于点F，求CF的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由．
解：（1）∵AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ADE≌△ABC（SAS），AC＝AE＝＝5，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC 即∠CAE＝∠BAD，
∵＝＝1，
∴△ADB∽△AEC，
∴＝，
∵AB＝3，AC＝5，
∴＝；
（2）连接CE，延长BM交CE于点Q，连接AQ交EF于P，延长EF交BC于N，如图：
同（1）得△ADB∽△AEC，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵BM是中线，
∴BM＝AM＝CM＝AC＝，
∴∠MBC＝∠MCB，
∵∠ABD+∠MBC＝90°，
∴∠ACE+∠MCB＝90°，即∠BCE＝90°，
∴AB∥CE，
∴∠BAM＝∠QCM，∠ABM＝∠CQM，
又AM＝CM，
∴△BAM≌△QCM（AAS），
∴BM＝QM，
∴四边形ABCQ是平行四边形，
∵∠ABC＝90°
∴四边形ABCQ矩形，
∴AB＝CQ＝3，BC＝AQ＝4，∠AQC＝90°，PQ∥CN，
∴EQ＝＝＝3，
∴EQ＝CQ，
∴PQ是△CEN的中位线，
∴PQ＝CN，
设PQ＝x，则CN＝2x，AP＝4﹣x，
∵∠EPQ＝∠APD，∠EQP＝90°＝∠ADP，EQ＝AD＝3，
∴△EQP≌△ADP（AAS），
∴EP＝AP＝4﹣x，
∵EP2＝PQ2+EQ2，
∴（4﹣x）2＝x2+32，
解得：x＝，
∴AP＝4﹣x＝，CN＝2x＝，
∵PQ∥CN，
∴△APF∽△CNF，
∴＝，
∴＝＝，
∵AC＝5，
∴＝，
∴CF＝；
（3）C，D，E三点能构成直角三角形，理由如下：
①当AD在AC上时，DE⊥AC，此时△CDE是直角三角形，如图，
∴S△CDE＝CD•DE＝×（5﹣3）×4＝4；
②当AD在CA的延长线上时，DE⊥AC，此时△CDE是直角三角形，如图，
∴S△CDE＝CD•DE＝×（5+3）×4＝16；
③当DE⊥EC时，△CDE是直角三角形，过点A作AQ⊥EC于点Q，如图，
∵AQ⊥EC，DE⊥EC，DE⊥AD，
∴四边形ADEQ是矩形，
∴AD＝EQ＝3，AQ＝DE＝4，
∵AE＝AC＝5，
∴EQ＝CQ＝CE，
∴CE＝3，
∴CE＝6，
∴S△CDE＝AQ•CE＝×4×6＝12；
④当DC⊥EC时，△CDE是直角三角形，过点A作AQ⊥EC于点Q，交DE于点N，如图，
∵DC⊥EC，AQ⊥EC，
∴AQ∥DC，
∵AC＝CE，AQ⊥EC，
∴EQ＝CQ，
∴NQ是△CDE的中位线，
∴ND＝NE＝DE＝2，CD＝2NQ，
∵∠AND＝∠ENQ，∠ADN＝∠EQN＝90°，
∴∠DAN＝∠QEN，
∴tan∠DAN＝tan∠QEN，
∴＝，
∴＝，
∴NQ＝EQ，
∵NQ2+EQ2＝NE2，
∴（EQ）2+EQ2＝22，
解得EQ＝，
∴CE＝2EQ＝，NQ＝EQ＝，
∴CD＝2NQ＝，
∴S△CDE＝CD•CE＝××＝．
综上所述，直角三角形CDE的面积为4或16或12或．
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