江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试卷（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了0分， 计算， 若､是两个不重合的平面， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

1. 计算：的结果是（ ）
A B.
C. D.
2 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 若､是两个不重合的平面：①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；②设､相交于直线，若内有一条直线垂直于，则；③若外一条直线与内的一条直线平行，则．以上说法中成立的有（ ）个
A. 0B. 1C. 2D. 3
5. 如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 一组数据按从大到小顺序排列为8，7，，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是（ ）
A. 6，，5B. 5，5，5C. 5，，6D. 4，5，6
7. 在中，是边的中点，是线段的中点．若，的面积为，则取最小值时，则（ ）
A. 2B. C. 6D. 4
8. 《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本大题共3小题，共18.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. ，
B.
C. 若，，则的最小值为1
D. 若是关于x的方程的根，则
10. 某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：
则下列结论中正确的是（ ）
A. 招商引资后，工资净收入较前一年增加
B. 招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍
C. 招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的
D. 招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍
11. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ）
A. B.
C. 若A与B互斥，则D. 一定有
三､填空题（本大题共3小题，共15.0分）
12. 为获得某中学高一学生的身高（单位：）信息，采用随机抽样方法抽取了样本量为50的样本，其中男女生样本量均为25，计算得到男生样本的均值为176，标准差为10，女生样本的均值为166，标准差为20.则总样本的方差为__________.
13. 设点Q在半径为1的圆P上运动，同时，点P在半径为2的圆O上运动．O为定点，P，Q两点的初始位置如图所示，其中，当点P转过角度时，点Q转过角度，则在运动过程中的取值范围为______．

14. 如图，已知在矩形中，，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，则二面角的余弦值为__________．
四､解答题（本大题共5小题，共77.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图：
（1）估计两组测试的平均成绩，
（2）若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率．
16
11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
17. 龙光塔始建于明朝万历二年，位于无锡市锡山山顶，如图，某学习小组为了在塔外测量龙光塔的高度，在与塔底B水平的C处测量得塔顶A的仰角为.受锡山地形所限，他们沿斜坡从C点下行14米到达D点（与A，B，C共面）后，测量得塔顶A的仰角为.已知C，D两点的海拔高度差为2米.

（1）记斜坡CD与水平方向的夹角为锐角，计算的余弦值；
（2）计算龙光塔的高度.
18. 如图所示，在平行四边形ABCD中，A＝45°，，E为AB中点，将△ADE沿直线DE翻折成△PDE，使平面PDE⊥平面BCD，F为线段PC的中点．
（1）证明：平面PDE；
（2）已知M为线段DE的中点，求直线MF与平面PDE所成的角的正切值．
19. 在棱长均为的正三棱柱中，为的中点．过的截面与棱，分别交于点，．
（1）若为的中点，求三棱柱被截面分成上下两部分的体积比；
（2）若四棱锥的体积为，求截面与底面所成二面角的正弦值；
（3）设截面的面积为，面积为，面积为，当点在棱上变动时，求的取值范围．数学
一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算：的结果是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数代数形式的运算法则计算可得.
【详解】.
故选：D
2. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对给定式子平方，再进行相加得到，最后利用两角和的正弦公式求解即可.
【详解】若，则
若，则，
将两式子相加可得，
化简得，
由两角和的正弦公式得，故C正确.
故选：C
3. 已知向量，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得.
【详解】由，得，
所以在方向上的投影向量为.
故选：A
4. 若､是两个不重合的平面：①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；②设､相交于直线，若内有一条直线垂直于，则；③若外一条直线与内的一条直线平行，则．以上说法中成立的有（ ）个
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】①：根据线面平行和面面平行的判定方法即可判断；②：根据线面垂直和面面垂直的判定放假即可判断；③：根据线面平行判定方法即可判断．
【详解】对①，平面内有两条相交直线分别平行于面内两条直线，可得这两条相交直线均平行于面，由平面与平面平行的判定定理可知①正确；
对②，设､相交于直线，若内有一条直线垂直于，则这条直线不一定垂直于β，故根据平面与平面垂直的判定定理可知α与β不一定垂直；故②错误；
对③，根据直线与平面平行的判定定理可知③正确．
故选：C．
5. 如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加上圆的面积即可.
【详解】解：由题意得，球的半径，圆柱的底面半径，高，
则该几何体的表面积为.
故选：D.
6. 一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是（ ）
A. 6，，5B. 5，5，5C. 5，，6D. 4，5，6
【答案】C
【解析】
【分析】利用中位数与众数的定义得到关于的方程，从而得解.
【详解】依题意，将这组数据从小到大重新排列得，，，，，，
则中位数 ，众数为，
由题意知，解得，
所以这组数据的平均数为，
则这组数据的方差是，
因为，所以这组数据的第百分位数是；
故选：C.
7. 在中，是边的中点，是线段的中点．若，的面积为，则取最小值时，则（ ）
A. 2B. C. 6D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据题中条件，先得到，再由向量数量积的运算，结合基本不等式，得到的最小值，以及取得最小值时与的值，最后根据余弦定理，即可求出结果.
【详解】在中，由，的面积为，得，则，
由是边的中点，是线段的中点，得，
，
则
，
当且仅当，即时取等号，
在中，由余弦定理得：，
所以.
故选：D
【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据平面向量数量积以及平面向量基本定理，确定取得最小值的条件，根据三角形面积公式，以及余弦定理，求解即可.
8. 《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件找出外接球的球心，求出半径，再利用球的体积公式即可求解.
【详解】连接,交于点,取的中点，则平面,,取的中点,连接,作,垂足为，如图所示
由题意可知，，所以,
所以,,所以,又,
所以，即这个几何体的外接球的球心为，半径为，
所以这个几何体的外接球的体积为.
故选：B.
二､多选题（本大题共3小题，共18.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法正确的是（ ）
A ，
B.
C. 若，，则的最小值为1
D. 若是关于x的方程的根，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；设，根据复数的模的计算公式，可得，以及，结合x的范围可判断C；将代入方程，结合复数的相等，求出p，即可判断D.
【详解】对于A，，设复数，则，，
故，A正确；
对于B，由于，故，B错误；
对于C，，设，由于，则，
故，
由，得，则，
故当时，的最小值为1，C正确；
对于D，是关于x的方程的根，
故，即，
故，D正确，
故选：ACD
10. 某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：
则下列结论中正确的是（ ）
A. 招商引资后，工资净收入较前一年增加
B. 招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍
C. 招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的
D. 招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍
【答案】AD
【解析】
【分析】根据已知条件及扇形图的特点即可求解.
【详解】设招商引资前经济收入为，而招商引资后经济收入为，则
对于A，招商引资前工资性收入为，而招商引资后的工资性收入为，所以工资净收入增加了，故A正确；
对于B，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，转移净收入是前一年的倍，故B错误；
对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C错误；
对于D，招商引资前经营净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确.
故选：AD.
11. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ）
A. B.
C. 若A与B互斥，则D. 一定有
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，
又且，则，
所以，即，故B正确；
对于C，因为A与B互斥，所以，
则，故C错误；
对于D，记事件“抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，事件“抛掷一枚骰子，向上的点数为4”，
则满足，，但不成立，故D错误；
故选：AB.
三､填空题（本大题共3小题，共15.0分）
12. 为获得某中学高一学生的身高（单位：）信息，采用随机抽样方法抽取了样本量为50的样本，其中男女生样本量均为25，计算得到男生样本的均值为176，标准差为10，女生样本的均值为166，标准差为20.则总样本的方差为__________.
【答案】275
【解析】
【分析】结合平均值和方差公式,即可求解.
【详解】记男生样本为,均值为,方差为,女生样本为,均值为,方差为,容量为50的样本均值为,方差为，
则，
，
∴，
则

.
故答案为：275.
13. 设点Q在半径为1的圆P上运动，同时，点P在半径为2的圆O上运动．O为定点，P，Q两点的初始位置如图所示，其中，当点P转过角度时，点Q转过角度，则在运动过程中的取值范围为______．

【答案】
【解析】
【分析】建立直角坐标系，由向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设，
则，
，
由于,所以，故，
故的取值范围为，
故答案为：

14. 如图，已知在矩形中，，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，则二面角的余弦值为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】过点在平面内作，垂足为点，连接，证明二面角的平面角为，根据几何关系即可求解．
【详解】在三棱锥中，，
∴，
过点在平面内作，垂足为点，连接．
∵即在矩形ABCD中，AC⊥DE，
∴易得平面又∵平面，
∵平面，平面，
平面，
∴二面角的平面角为，
在中，，
由余弦定理可得，
∴，
∴，
∵平面平面，
∴，故，
∴二面角的余弦值为．
故答案为：.
四､解答题（本大题共5小题，共77.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图：
（1）估计两组测试的平均成绩，
（2）若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率．
【答案】（1）“田径队”平均成绩为73，“足球队”的平均成绩为71
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率和为1计算得到，，再根据平均数公式计算得到答案.
（2）确定抽取的比例为，列举出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.
【小问1详解】
由田径队的频率分布直方图得：，
解得，同理可得．
其中“田径队”的平均成绩为：
，
“足球队”的平均成绩为：
.
【小问2详解】
“田径队”中90分以上的有（人），
“足球队”中90分以上有（人）．
所以抽取的比例为，在“田径队”抽取 （人），记作a，b，c，d；
在“足球队”抽取 （人）．记作A，B，C．
从中任选2人包含的基本事件有：
ab，ac，ad，aA，aB，aC；bc，bd，bA，bB，bc；cd，cA，cB，cC；dA，dB，dC；AB，AC；BC，共21个，
正、副队长都来自“田径队”包含的基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6个，
故正、副队长都来自“田径队”的概率为．
16.
11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
【答案】（1）；（2）0.1
【解析】
【分析】(1)本题首先可以通过题意推导出所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果；
(2)本题首先可以通过题意推导出所包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果．
【详解】(1)由题意可知，所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”
所以
(2)由题意可知，包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”
所以
【点睛】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出以及所包含的事件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题．
17. 龙光塔始建于明朝万历二年，位于无锡市锡山山顶，如图，某学习小组为了在塔外测量龙光塔的高度，在与塔底B水平的C处测量得塔顶A的仰角为.受锡山地形所限，他们沿斜坡从C点下行14米到达D点（与A，B，C共面）后，测量得塔顶A的仰角为.已知C，D两点的海拔高度差为2米.

（1）记斜坡CD与水平方向的夹角为锐角，计算的余弦值；
（2）计算龙光塔的高度.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意结合图形，在中求得，再利用三角函数的平方关系即可得解；
（2）结合图形，分别求得，从而得到关于的方程，解之即可得解.
【小问1详解】
依题意，过作交于，过作，交于，如图，

则，
所以在中，，
又，所以，
所以的余弦值为.
【小问2详解】
由（1）得，，
设龙光塔的高度，则在中，，则，
易知四边形是矩形，则，，
又在中，，则，
所以，即，故.
所以龙光塔的高度为.
18. 如图所示，在平行四边形ABCD中，A＝45°，，E为AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△PDE，使平面PDE⊥平面BCD，F为线段PC的中点．
（1）证明：平面PDE；
（2）已知M为线段DE的中点，求直线MF与平面PDE所成的角的正切值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）取PD的中点H，证明四边形FHEB为平行四边形，由线面平行判定定理即可得证；
（2）由题目条件易得，在由面面垂直的性质定理证得平面⊥平面，连接,即为直线MF与平面PDE所成的角，,代入即可求出答案.
【小问1详解】
取PD的中点,连接,，
∵F，分别为PC，PD的中点，∴
又∵E为AB的中点，∴，
∴，∴FGEB为平行四边形，∴，
又∵面PDE，面PDE，∴平面PDE.
【小问2详解】
在平行四边形中，因为，所以，
又因为A＝45°，可得即，
因为平面PDE⊥平面BCD，平面PDE平面BCD=，
所以平面⊥平面，
由（1）可知，，所以平面，连接,
即为直线MF与平面PDE所成的角，
因为，
所以，
即直线MF与平面PDE所成的角的正切值为.
19. 在棱长均为的正三棱柱中，为的中点．过的截面与棱，分别交于点，．
（1）若为中点，求三棱柱被截面分成上下两部分的体积比；
（2）若四棱锥的体积为，求截面与底面所成二面角的正弦值；
（3）设截面的面积为，面积为，面积为，当点在棱上变动时，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）连接，并延长分别交，于点，，连结交于点，连结，，利用比例关系确定为靠近的三等分点，然后先求出棱柱的体积，连结，，由和进行求解，即可得到答案；
（2）求出点到平面的距离，得到点为靠近的四等分点，通过面面垂直的性质定理可得即为截面与底面所成的二面角，在三角形中利用边角关系求解即可；
（3）设，则，，先求出的关系以及取值范围，然后将转化为，表示，求解取值范围即可．
【详解】解：（1）连接，并延长分别交，延长线于点，，
连接交于点，连接，．
易得．
故为靠近的三等分点．，．
下面求三棱柱被截面分成两部分的体积比．
三棱柱的体积．
连接，．由平面知，为定值．
．
．
．故．
（2）由及得，．
又，所以．
即点到的距离为，为靠近的四等分点．
因为平面平面，
所以截面与平面所成角即为截面与平面所成角，
在中，，，故．
又因平面平面，且平面平面，
所以平面．则即为截面与底面所成的二面角．
在中，，，．
故．
因此，截面与平面所成二面角的正弦值为．
（3）设，则，．
设的面积为，所以．
又因为，所以．
且．令则
故．
令则，所以在上单调递减，所以，，所以，
所以