高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)考向34轻松搞定轨迹方程问题(十大经典题型)(原卷版+解析)

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题型一：直接法
题型二：定义法
题型三：相关点法
经典题型四：交轨法
经典题型五：参数法
经典题型六：点差法
经典题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹
经典题型八：复数与圆锥曲线的轨迹
经典题型九：向量与圆锥曲线的轨迹
经典题型十：利用韦达定理求轨迹方程
(2023·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，
且，故.
因为，故，
故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，
而三角形内切圆的圆心为，半径为，
故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为
故选：B
（2023·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A．直线和圆B．直线和椭圆C．直线和双曲线D．直线和抛物线
答案：C
【解析】由题意得，即，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以或，
其中为双曲线，为直线.
故选：C.
方法技巧一．直接法求动点的轨迹方程
利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
（1）建系：建立适当的坐标系
（2）设点：设轨迹上的任一点
（3）列式：列出有限制关系的几何等式
（4）代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简
（5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）．简记为：建设现代化，补充说明．
注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．
方法技巧二．定义法求动点的轨迹方程
回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．
方法技巧三．相关点法求动点的轨迹方程
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程．
方法技巧四．交轨法求动点的轨迹方程
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．
方法技巧五．参数方程法求动点的轨迹方程
动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参.
方法技巧六．点差法求动点的轨迹方程
圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程．
曲线的方程和方程的曲线
在直角坐标系中，如果是某曲线（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（完备性）
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（纯粹性）
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线．事实上，曲线可以看作一个点集，以一个二元方程的解作为坐标的点也组成一个点集，上述定义中
经典题型一：直接法
1．(2023·全国·高二课时练习）动点P与两个定点、的连线的斜率之积等于常数，求动点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状．
2．(2023·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系xOy中，已知M（2，－1），N（0，1），动点P满足，则动点P的轨迹E的方程为______．
3．(2023·全国·高二课时练习）曲线C上任意一点P到点F（2，0）的距离与它到直线x＝4的距离之比等于，则C的方程为______．
4．(2023·江西南昌·三模（理））已知两条直线：，：，有一动圆（圆心和半径都在变动）与，都相交，并且，被截在圆内的两条线段的长度分别是定值，，则动圆圆心的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．直线
5．(2023·江西·新余市第一中学高二开学考试）在平面直角坐标系内，为坐标原点，对于任意两点，，定义它们之间的“欧几里得距离”，“曼哈顿距离”为，则对于平面上任意一点，若，则动点的轨迹长度为______.
6．(2023·全国·高二课时练习）已知点A（－2，0）、B（3，0）．动点P（x，y）满足，则点P的轨迹方程为______．
经典题型二：定义法
7．(2023·全国·高二课时练习）已知的顶点，，且的内切圆的圆心在直线上，求顶点的轨迹方程.
8．(2023·西藏·拉萨中学高二阶段练习）已知动圆M与圆外切与圆内切，则动圆圆心M的轨迹C的方程为___________.
9．(2023·全国·高三专题练习）已知定圆，定圆，动圆圆与定圆都内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
10．(2023·辽宁丹东·高二期末）圆与圆相外切，与圆相内切，则圆的圆心在（ ）
A．一个椭圆上B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上D．一个圆上
11．(2023·全国·高二课时练习）如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式，那么点M的轨迹是______．
12．(2023·全国·高三专题练习（理））设圆的圆心为A，直线过点且与轴不重合，交圆A于两点，过作的平行线交于点．
(1)证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
经典题型三：相关点法
13．(2023·全国·高二课时练习）在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知圆E经过点，且______.
(1)求圆E的一般方程；
(2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.
14．(2023·全国·高二课时练习）已知P是圆O：上任意一点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，延长QP到点M，使．则点M的轨迹E的方程为______．
15．(2023·全国·高二课时练习）在△ABC中，，，点C在直线上，则△ABC的重心G的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
16．(2023·全国·高二课时练习）当点P在圆上变动时，它与定点的连线PQ的中点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
经典题型四：交轨法
17．(2023·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））已知反比例函数的图像C是以x轴与y轴为渐近线的等轴双曲线.
(1)求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；
(2)设､为双曲线C的两个顶点，点､是双曲线C上不同的两个动点.求直线与交点的轨迹E的方程；
(3)设直线l过点，且与双曲线C交于A､B两点，与x轴交于点Q.当，且时，求点Q的坐标.
18．(2023·全国·模拟预测（文））设抛物线C：，过点的直线l与C交于A，B两点，分别过点A，B作抛物线的切线，两切线相交于点P.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)求的最大值.
19．(2023·全国·高三专题练习）设椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C，曲线C的两条切线PA、PB交于点P，且与C分别切于A、B两点，求的最小值．
20．(2023·湖南·长郡中学模拟预测）已知双曲线C：的离心率为2，，为双曲线C的左、右焦点，是双曲线C上的一个点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点且不与渐近线平行的直线l（斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点M，N处的切线分别为，，点P为直线与直线的交点，试求点P的轨迹方程（注：若双曲线的方程为，则该双曲线在点处的切线方程为）
故点的轨迹方程为．
21．(2023·山西·运城市景胜中学高二阶段练习）若双曲线C的方程为，记双曲线C的左、右顶点为A，B．弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB交点为M，其轨迹为曲线T，则曲线T的离心率为________．
经典题型五：参数法
22．(2023·全国·高二课时练习）平面上一动点C的坐标为，则点C的轨迹E的方程为______．
23．(2023·江苏·周市高级中学高二阶段练习）已知直线与坐标轴的交点分别为A，B，则线段的中点C的轨迹与坐标轴围成的图形面积为（ ）
A．B．C．D．
24．(2023·新疆·皮山县高级中学高二期末（文））已知，，当时，线段的中点轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
经典题型六：点差法
25．(2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的弦所在直线过点，求弦中点的轨迹方程.
26．(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆．
(1)过椭圆的左焦点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
(2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；
(3)求过点且被平分的弦所在直线的方程．
经典题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹
27．(2023·重庆十八中高二阶段练习）点O是棱长为3的正方体的内切球心，点P满足且，则动点P所形成的平面图形的面积为________．
28．（多选题）(2023·广东·高二阶段练习）已知正方体的棱长为2，点P为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的有（ ）
A．若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线
B．若点P到直线与到直线DC的距离相等，则点P的轨迹为抛物线
C．若点P到直线的距离与到点C的距离之和为2，则动点P的轨迹是椭圆
D．若与AB所成的角为，则点P的轨迹为双曲线
29．(2023·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知正方体的边长为2，点，分别是为棱，的中点，点为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，则点的轨迹长为（ ）
A．B．2C．D．1
30．(2023·江西·新余市第一中学高二开学考试）如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，是侧面上一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
31．(2023·江苏·南京市中华中学高二开学考试）在长方体中，点在矩形内（包含边线）运动，在运动过程中，始终保持到顶点的距离与到对角线所在直线距离相等，则点的轨迹是（ ）
A．线段B．圆的一部分C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分
经典题型八：复数与圆锥曲线的轨迹
32．(2023·江西·九江一中高二阶段练习（理））满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
33．(2023·河南开封·高二阶段练习（文））已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
34．(2023·全国·高三专题练习）已知复数满足，则的轨迹为（ ）
A．线段B．直线
C．椭圆D．椭圆的一部分
经典题型九：向量与圆锥曲线的轨迹
35．(2023·黑龙江·龙江县第一中学高二开学考试）已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心B．重心C．垂心D．内心
36．(2023·全国·高三专题练习）正三角形OAB的边长为1，动点C满足，且，则点C的轨迹是（ ）
A．线段B．直线C．射线D．圆
37．(2023·湖南·高二期中）已知平面向量，，满足，，，，，为坐标原点，则点的轨迹为（ ）
A．线段B．直线C．圆D．椭圆
38．(2023·全国·高二课时练习）已知，，O为坐标原点，动点满足，其中，且，则动点P的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
经典题型十：利用韦达定理求轨迹方程
39．(2023·全国·高三专题练习）设不同的两点A，B在椭圆上运动，以线段AB为直径的圆过坐标原点O，过O作，M为垂足．求点M的轨迹方程.
40．(2023·浙江·高三开学考试）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴､轴于两点，当点运动时，点的轨迹方程是___________.
41．(2023·全国·高二课时练习）设椭圆的方程为，斜率为1的动直线交椭圆于A，B两点，以线段的中点为圆心，为直径作圆，圆心的轨迹方程为______．
1．(2023·山东·高考真题）关于，的方程，给出以下命题；
①当时，方程表示双曲线；②当时，方程表示抛物线；③当时，方程表示椭圆；④当时，方程表示等轴双曲线；⑤当时，方程表示椭圆．
其中，真命题的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2023·全国·高考真题（文））在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线
3．（2023·北京·高考真题（理））数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A．①B．②C．①②D．①②③
4．(2023·福建·高考真题（文））在平面直角坐标系中，两点间的“L-距离”定义为则平面内与轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·浙江·高考真题（理））如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆
C．一条直线D．两条平行直线
6．(2023·浙江·高考真题（文））如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．直线B．抛物线
C．椭圆D．双曲线的一支
7．(2023·上海·高考真题（文））点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．(2023·江西·高考真题（理））设点在直线 上，过点 作双曲线 的两条切线 ，切点为 ，定点．
（1）求证：三点共线；
（2）过点作直线 的垂线，垂足为 ，试求 的重心所在曲线方程．
经典题型一：直接法
1．【解析】设.则.
因为动点P与两个定点、的连线的斜率之积等于常数，
所以.
当k＝0时，y＝0（x≠±1），表示x轴，除去两点；
当，，它表示焦点在x轴上的双曲线除去两点．
2．答案：
【解析】设P（x，y），则，，．由，
知，化简得，即动点P的轨迹E的方程为．
故答案为：.
3．答案：
【解析】设P（x，y），由题意，
化简得，即C的方程为．
故答案为：.
4．答案：C
【解析】设动圆圆心的坐标为，半径为，
圆心到，的距离分别是，，
则，，
所以，又因为，
，即，
得，即.
所以动圆圆心的轨迹方程为，
由方程可知，动圆圆心的轨迹为双曲线.
故选：C
5．答案：
【解析】设，则①，
当时，①化为：；
当时，①化为：；
当时，①化为：；
当时，①化为：；
由此画出点的轨迹如下图所示，
所以轨迹的长度为.
故答案为：
6．答案：
【解析】设，则，故由得，化简得，
故答案为：
经典题型二：定义法
7．【解析】设内切圆与边相切于点，与边相切于点，与边相切于点，
则易知，
∴点的轨迹是双曲线的右支（除去与轴的交点），且，，
∴，，，
∴顶点的轨迹方程是.
8．答案：
【解析】设动圆圆心，半径为，因为圆M与圆外切与圆内切，圆心，，所以，则，于是点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支.
由题意，，于是，C的方程为：.
故答案为：.
9．答案：A
【解析】由题意，设动圆的圆心为，半径为r，圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为5.
而圆与定圆都内切，所以，，则.于是，动圆的圆心的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支，则，故动圆的圆心的轨迹方程为.
故选：A.
10．答案：A
【解析】设动圆的圆心为P，半径为r, 圆的圆心为, 半径为1；
圆的圆心为,，半径为3.
依题意得， ，则
所以点P的轨迹是椭圆.
故选：A
11．答案：椭圆
【解析】可看作M（x，y）到的距离之和为，由于,所以点M的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.
故答案为：椭圆
12．【解析】（1）由题意可知，故，又，故,故,
所以，故,又圆A标准方程为，从而，所以．由题设得，由椭圆的定义可得点的轨迹方程为，()；
经典题型三：相关点法
13．【解析】（1）方案一：选条件①.
设圆的方程为，
则，解得，
则圆E的方程为.
方案二：选条件②.
直线恒过点.
因为圆E恒被直线平分，所以恒过圆心，
所以圆心坐标为，
又圆E经过点，所以圆的半径r＝1，所以圆E的方程为，即.
方案三：选条件③.
设圆E的方程为.
由题意可得，解得，
则圆E的方程为，即.
（2）设.
因为M为线段AP的中点，所以，
因为点P是圆E上的动点，所以，即，
所以M的轨迹方程为.
14．答案：
【解析】设M（x，y），因为，所以P为QM的中点，又有PQ⊥y轴，所以．
因为P是圆O：上的点，所以，即点M的轨迹E的方程为．
故答案为：.
15．答案：B
【解析】∵△ABC的重心为G，则，
设 ，，
则，
即，
又点C在直线上，则.
故△ABC的重心G的轨迹方程为
故选：B
16．答案：C
【解析】设，PQ的中点M的坐标为，
∵，∴
∴
又∵点P在圆上，
∴，即，
故选：C．
经典题型四：交轨法
17．【解析】(1)根据题意可得，反比例函数的顶点和焦点均在上，联立解得，故双曲线C的顶点坐标，.所以该等轴双曲线的焦距为，所以焦点坐标为，即，
(2)因为点､是双曲线C上不同的两个动点，故.设，，根据，分别共线，且在双曲线C上， ，有，且，两式相乘有，即，化简得.即轨迹E的方程为
(3)设，由题意直线有斜率且不为0，设，联立有，故，又，故，故，即，因为，故，即，代入韦达定理有，解得，故，故
18．【解析】(1)如图，结合图象可知，当直线l的斜率不存在时，直线l与C只有一个交点，不合题意；
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1，
联立，化简可得.
设，，则有，，
由，可得，所以，，
从而结合点A在抛物线C上有，
即①，同理得②，
联立①②可得交点，即，故点P的轨迹方程为y=-1.
(2)结合（1）可得，，
所以.
因为，
所以，故的最大值为-4.
19．【解析】设椭圆的两切线为，．
①当轴或 轴时，对应 轴或轴，可知切点为；
②当与x轴不垂直且不平行时，，设的斜率为k，则，
的斜率为，并设 的交点为 ，
则的方程为，联立，
得： ，
∵直线与椭圆相切，∴，得，
∴，
∴k是方程的一个根，
同理是方程的另一个根，
∴得，其中，
∴交点的轨迹方程为：，∵也满足上式；
综上知：轨迹C方程为；
设 ，，则在与中应用余弦定理知，
，
即 ，即，
，
令，则，
，
当且仅当，即时，取得最小；
综上，的最小为.
20．【解析】(1)据题意，则，
点在双曲线上，则，
又，则，
∴，，，
∴双曲线的方程为．
(2)设，，直线l：，
联立，
，，
由题知，切线：，切线：，
记，则，
两式相加得，
将代入得③；
两式相减得得，
由得④，联立③和④得，
故，又，所以，则，
故点的轨迹方程为．
21．答案：
【解析】设P（，），则Q（，-），
设点M（x，y），又A（-2，0），B（2，0），
所以直线PA的方程为①，
直线QB的方程为②．
由①得，由②得，
上述两个等式相乘可得，
∵P（，）在双曲线上，
∴，可得，∴
∴，化简可得，
即曲线的方程为，其离心率为，
故答案为：.
经典题型五：参数法
22．答案：
【解析】令，所以，故，进而，
故答案为：
23．答案：D
【解析】不妨设为直线与的轴的交点，为直线与的轴的交点，
则，故，
设，则且，
故C的轨迹与坐标轴为，
故选：D.
24．答案：B
【解析】中点坐标为，
即，
，
，
，
．
故选：B
经典题型六：点差法
25．【解析】设，弦的中点，则，
将代入椭圆方程得，
两式相减得，
所以，
当时，，
因为，所以，则，
整理得；
当时，则直线方程为，代入椭圆方程解得
所以满足上述方程，
故点的轨迹方程.
26．【解析】（1）设弦与椭圆两交点坐标分别为、，
设，当时，．
当时，，
两式相减得，即(*)，
因为，，，
所以，代入上式并化简得，显然满足方程.
所以点P的轨迹方程为（在椭圆内部分）．
（2）设，在（1）中式子里，
将，，代入上式并化简得点Q的轨迹方程为（在椭圆内部分）．
所以，点的轨迹方程（在椭圆内部分）.
（3）在（1）中式子里，
将，，代入上式可求得．
所以直线方程为．
经典题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹
27．答案：
【解析】点O是棱长为3的正方体的内切球心，所以O是中点，
点P满足，则点P在平面上，设与平面交于点，
，是平面内两条相交直线，所以平面，
平面，所以，同理可得：，
是平面内两条相交直线，所以平面，
正四棱锥中，易得为三角形的中心，
由等体积法可得：
所以
，
要满足，即，，
是边长为的等边三角形，所以其内切圆半径为
所以P所形成的平面图形是以为圆心为半径的圆及其内部区域，
所以其面积为.
故答案为：
28．答案：ABD
【解析】对于A，在正方体中，，，，
所以平面，而点P在侧面ABCD上运动，且，
所以点P的轨迹就是直线BC，故A正确；
对于B，由正方体性质知，平面ABCD，
由线面垂直的性质定理知，即PB是点P到直线的距离，
在平面ABCD中，点P到定点B的距离与到定直线DC的距离相等，
所以点P的轨迹是以点B为焦点，直线DC为准线的抛物线，故B正确；
对于C，若点P到直线的距离就是点P到点D的距离，
即平面ABCD内的点P满足，
即满足条件的点P的轨迹就是线段DC，不是椭圆，故C不正确；
对于D，如图以D为直角坐标系原点，建立空间直角坐标系，
P（x，y，0），，A（2，0，0），B（2，2，0），
则，，
利用空间向量求夹角知，
化简整理得：，即，
所以P的轨迹为双曲线，故D正确．
故选：ABD．
29．答案：A
【解析】如图，分别作，的中点，，连接，，，，，
由题可知，
∴四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，
∴平面；
又，又平面，平面，
∴平面，又，，平面，
∴平面平面，
由题意知平面，又点为四边形内（包括边界）的一动点，
∴线段，点的轨迹为，
∴.
故选：A．
30．答案：B
【解析】如图所示，分别取棱、的中点、，连接、、、、，
因为、分别为、的中点，则，同理可得，，
平面，平面，平面，
因为且，、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，所以，且，
且，且，
所以，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，
，、平面，所以，平面平面，
当时，平面，则平面，
所以，点的轨迹为线段．
在中，．
在中，．
同理，在中，可得，所以，为等腰三角形．
设的中点为，连接．
当点位于的中点处时，，此时最短；当点位于、处时，最长．
易求得，
因此，线段长度的取值范围是．
故选：B.
31．答案：A
【解析】如图所示，在长方体中，可得平面，
因为平面，所以，所以点到顶点的距离为，
又因为点到顶点的距离与到对角线所在直线距离相等，
所以点到线的距离与到对角线所在直线距离相等，
过点作的角平分线，类比到角平分面，此面与底面的交的是直线，
又由点在矩形内（包含边线）运动，所以点的轨迹是线段.
故选：A.
经典题型八：复数与圆锥曲线的轨迹
32．答案：A
【解析】设，由可得：
，
两边平方得：，
∴复数z在复平面上对应点的轨迹是圆.
故选：A
33．答案：C
【解析】，表示点，
故复数的轨迹是以为圆心，半径为1的圆.
故选：C
34．答案：A
【解析】，根据复数的几何意义知表示点到定点与的距离之和为2，而，故点的轨迹为线段.
故选：A
经典题型九：向量与圆锥曲线的轨迹
35．答案：B
【解析】如图，取的中点，连接，
则．又，
，即．
又，
点在射线上．
故的轨迹过的重心．
故选：B．
36．答案：D
【解析】方法一：由题可知：，
又
所以，即
所以点C的轨迹是圆.
方法二：由题可知：，
如图，以O为原点OB为x轴，过O点与OB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，
所以
设 ，
又
所以
整理得：
所以点C的轨迹是圆.
故选：D.
37．答案：C
【解析】建立平面直角坐标系，设，，
，
，可得，
可知点的轨迹为一个圆.
故选：C
38．答案：B
【解析】由题意得，
∴，，
∴，，
∵，
∴，即．
故选：B
经典题型十：利用韦达定理求轨迹方程
39．【解析】①若直线AB的斜率不存在，由已知得点M的坐标为；
②若直线AB的斜率存在，设直线AB为，联立椭圆，得：，
设，，则，，
以线段AB为直径的圆过原点O，即，
所以，
所以，又，故O到AB的距离．
综合①②，点M的运动轨迹为O以为圆心，以1为半径的圆，轨迹方程为：．
40．答案：
【解析】由得，，
因为与双曲线有唯一的公共点，即相切于点，
所以
化简得，，
所以过点且与垂直的直线为，
所以，
所以
所以点的轨迹是.
故答案为：
41．答案：
【解析】设动直线的方程为，联立消去，得，
则，即,
设，，，由根与系数的关系得，，则，故，即，
∴圆心C的轨迹方程为．
故答案为：.
1．答案：B
【解析】当时，方程表示双曲线；
当时，方程表示两条垂直于轴的直线；
当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；
当时，方程表示圆；
当时，方程表示焦点在轴上的椭圆．
∴①③⑤正确.
故答案为：B
2．答案：A
【解析】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则：，设，可得：，
从而：，
结合题意可得：，
整理可得：，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.
故选：A.
3．答案：C
【解析】由得,,,
所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.
由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.
如图所示,易知,
四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.
故选C.
4．答案：A
【解析】设，再设动点，动点到定点的“L­距离”之和等于，由题意可得：，即，当时，方程化为；当时，方程化为；当时，方程化为；当时，方程化为；当时，方程化为；当时，方程化为；结合题目中给出四个选项可知，选项A中的图象符合要求，故选A．
5．答案：B
【解析】本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题，因为三角形面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P的轨迹为一以AB为轴线的圆柱面，与平面α的交线，且α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆．
6．答案：C
【解析】用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．
此题中平面上的动点满足，可理解为在以为轴的圆锥的侧面上，
再由斜线段与平面所成的角为，可知的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义．
故可知动点的轨迹是椭圆．
故选C.
7．答案：A
【解析】设圆上任一点为，中点为，根据中点坐标公式得，，因为在圆上，所以，即，化为，故选A.
考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.
8．【解析】证明：（1）设，由已知得到，且，，
设切线的方程为：由得
从而,解得
因此的方程为：
同理的方程为：
又在上，所以，
即点都在直线上
又也在直线上,所以三点共线
（2）垂线的方程为：，
由得垂足，
设重心
所以 解得
由 可得即为重心所在曲线方程．
考向34 轻松搞定轨迹方程问题
经典题型一：直接法
经典题型二：定义法
经典题型三：相关点法
经典题型四：交轨法
经典题型五：参数法
经典题型六：点差法
经典题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹
经典题型八：复数与圆锥曲线的轨迹
经典题型九：向量与圆锥曲线的轨迹
经典题型十：利用韦达定理求轨迹方程
(2023·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，
且，故.
因为，故，
故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，
而三角形内切圆的圆心为，半径为，
故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为
故选：B
（2023·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A．直线和圆B．直线和椭圆C．直线和双曲线D．直线和抛物线
答案：C
【解析】由题意得，即，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以或，
其中为双曲线，为直线.
故选：C.
方法技巧一．直接法求动点的轨迹方程
利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
（1）建系：建立适当的坐标系
（2）设点：设轨迹上的任一点
（3）列式：列出有限制关系的几何等式
（4）代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简
（5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）．简记为：建设现代化，补充说明．
注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．
方法技巧二．定义法求动点的轨迹方程
回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．
方法技巧三．相关点法求动点的轨迹方程
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程．
方法技巧四．交轨法求动点的轨迹方程
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．
方法技巧五．参数方程法求动点的轨迹方程
动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参.
方法技巧六．点差法求动点的轨迹方程
圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程．
曲线的方程和方程的曲线
在直角坐标系中，如果是某曲线（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（完备性）
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（纯粹性）
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线．事实上，曲线可以看作一个点集，以一个二元方程的解作为坐标的点也组成一个点集，上述定义中
经典题型一：直接法
1．(2023·全国·高二课时练习）动点P与两个定点、的连线的斜率之积等于常数，求动点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状．
【解析】设.则.
因为动点P与两个定点、的连线的斜率之积等于常数，
所以.
当k＝0时，y＝0（x≠±1），表示x轴，除去两点；
当，，它表示焦点在x轴上的双曲线除去两点．
2．(2023·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系xOy中，已知M（2，－1），N（0，1），动点P满足，则动点P的轨迹E的方程为______．
答案：
【解析】设P（x，y），则，，．由，
知，化简得，即动点P的轨迹E的方程为．
故答案为：.
3．(2023·全国·高二课时练习）曲线C上任意一点P到点F（2，0）的距离与它到直线x＝4的距离之比等于，则C的方程为______．
答案：
【解析】设P（x，y），由题意，
化简得，即C的方程为．
故答案为：.
4．(2023·江西南昌·三模（理））已知两条直线：，：，有一动圆（圆心和半径都在变动）与，都相交，并且，被截在圆内的两条线段的长度分别是定值，，则动圆圆心的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．直线
答案：C
【解析】设动圆圆心的坐标为，半径为，
圆心到，的距离分别是，，
则，，
所以，又因为，
，即，
得，即.
所以动圆圆心的轨迹方程为，
由方程可知，动圆圆心的轨迹为双曲线.
故选：C
5．(2023·江西·新余市第一中学高二开学考试）在平面直角坐标系内，为坐标原点，对于任意两点，，定义它们之间的“欧几里得距离”，“曼哈顿距离”为，则对于平面上任意一点，若，则动点的轨迹长度为______.
答案：
【解析】设，则①，
当时，①化为：；
当时，①化为：；
当时，①化为：；
当时，①化为：；
由此画出点的轨迹如下图所示，
所以轨迹的长度为.
故答案为：
6．(2023·全国·高二课时练习）已知点A（－2，0）、B（3，0）．动点P（x，y）满足，则点P的轨迹方程为______．
答案：
【解析】设，则，故由得，化简得，
故答案为：
经典题型二：定义法
7．(2023·全国·高二课时练习）已知的顶点，，且的内切圆的圆心在直线上，求顶点的轨迹方程.
【解析】设内切圆与边相切于点，与边相切于点，与边相切于点，
则易知，
∴点的轨迹是双曲线的右支（除去与轴的交点），且，，
∴，，，
∴顶点的轨迹方程是.
8．(2023·西藏·拉萨中学高二阶段练习）已知动圆M与圆外切与圆内切，则动圆圆心M的轨迹C的方程为___________.
答案：
【解析】设动圆圆心，半径为，因为圆M与圆外切与圆内切，圆心，，所以，则，于是点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支.
由题意，，于是，C的方程为：.
故答案为：.
9．(2023·全国·高三专题练习）已知定圆，定圆，动圆圆与定圆都内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意，设动圆的圆心为，半径为r，圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为5.
而圆与定圆都内切，所以，，则.于是，动圆的圆心的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支，则，故动圆的圆心的轨迹方程为.
故选：A.
10．(2023·辽宁丹东·高二期末）圆与圆相外切，与圆相内切，则圆的圆心在（ ）
A．一个椭圆上B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上D．一个圆上
答案：A
【解析】设动圆的圆心为P，半径为r, 圆的圆心为, 半径为1；
圆的圆心为,，半径为3.
依题意得， ，则
所以点P的轨迹是椭圆.
故选：A
11．(2023·全国·高二课时练习）如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式，那么点M的轨迹是______．
答案：椭圆
【解析】可看作M（x，y）到的距离之和为，由于,所以点M的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.
故答案为：椭圆
12．(2023·全国·高三专题练习（理））设圆的圆心为A，直线过点且与轴不重合，交圆A于两点，过作的平行线交于点．
(1)证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
【解析】（1）由题意可知，故，又，故,故,
所以，故,又圆A标准方程为，从而，所以．由题设得，由椭圆的定义可得点的轨迹方程为，()；
经典题型三：相关点法
13．(2023·全国·高二课时练习）在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知圆E经过点，且______.
(1)求圆E的一般方程；
(2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.
【解析】（1）方案一：选条件①.
设圆的方程为，
则，解得，
则圆E的方程为.
方案二：选条件②.
直线恒过点.
因为圆E恒被直线平分，所以恒过圆心，
所以圆心坐标为，
又圆E经过点，所以圆的半径r＝1，所以圆E的方程为，即.
方案三：选条件③.
设圆E的方程为.
由题意可得，解得，
则圆E的方程为，即.
（2）设.
因为M为线段AP的中点，所以，
因为点P是圆E上的动点，所以，即，
所以M的轨迹方程为.
14．(2023·全国·高二课时练习）已知P是圆O：上任意一点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，延长QP到点M，使．则点M的轨迹E的方程为______．
答案：
【解析】设M（x，y），因为，所以P为QM的中点，又有PQ⊥y轴，所以．
因为P是圆O：上的点，所以，即点M的轨迹E的方程为．
故答案为：.
15．(2023·全国·高二课时练习）在△ABC中，，，点C在直线上，则△ABC的重心G的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】∵△ABC的重心为G，则，
设 ，，
则，
即，
又点C在直线上，则.
故△ABC的重心G的轨迹方程为
故选：B
16．(2023·全国·高二课时练习）当点P在圆上变动时，它与定点的连线PQ的中点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】设，PQ的中点M的坐标为，
∵，∴
∴
又∵点P在圆上，
∴，即，
故选：C．
经典题型四：交轨法
17．(2023·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））已知反比例函数的图像C是以x轴与y轴为渐近线的等轴双曲线.
(1)求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；
(2)设､为双曲线C的两个顶点，点､是双曲线C上不同的两个动点.求直线与交点的轨迹E的方程；
(3)设直线l过点，且与双曲线C交于A､B两点，与x轴交于点Q.当，且时，求点Q的坐标.
【解析】(1)根据题意可得，反比例函数的顶点和焦点均在上，联立解得，故双曲线C的顶点坐标，.所以该等轴双曲线的焦距为，所以焦点坐标为，即，
(2)因为点､是双曲线C上不同的两个动点，故.设，，根据，分别共线，且在双曲线C上， ，有，且，两式相乘有，即，化简得.即轨迹E的方程为
(3)设，由题意直线有斜率且不为0，设，联立有，故，又，故，故，即，因为，故，即，代入韦达定理有，解得，故，故
18．(2023·全国·模拟预测（文））设抛物线C：，过点的直线l与C交于A，B两点，分别过点A，B作抛物线的切线，两切线相交于点P.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)求的最大值.
【解析】(1)如图，结合图象可知，当直线l的斜率不存在时，直线l与C只有一个交点，不合题意；
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1，
联立，化简可得.
设，，则有，，
由，可得，所以，，
从而结合点A在抛物线C上有，
即①，同理得②，
联立①②可得交点，即，故点P的轨迹方程为y=-1.
(2)结合（1）可得，，
所以.
因为，
所以，故的最大值为-4.
19．(2023·全国·高三专题练习）设椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C，曲线C的两条切线PA、PB交于点P，且与C分别切于A、B两点，求的最小值．
【解析】设椭圆的两切线为，．
①当轴或 轴时，对应 轴或轴，可知切点为；
②当与x轴不垂直且不平行时，，设的斜率为k，则，
的斜率为，并设 的交点为 ，
则的方程为，联立，
得： ，
∵直线与椭圆相切，∴，得，
∴，
∴k是方程的一个根，
同理是方程的另一个根，
∴得，其中，
∴交点的轨迹方程为：，∵也满足上式；
综上知：轨迹C方程为；
设 ，，则在与中应用余弦定理知，
，
即 ，即，
，
令，则，
，
当且仅当，即时，取得最小；
综上，的最小为.
20．(2023·湖南·长郡中学模拟预测）已知双曲线C：的离心率为2，，为双曲线C的左、右焦点，是双曲线C上的一个点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点且不与渐近线平行的直线l（斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点M，N处的切线分别为，，点P为直线与直线的交点，试求点P的轨迹方程（注：若双曲线的方程为，则该双曲线在点处的切线方程为）
【解析】(1)据题意，则，
点在双曲线上，则，
又，则，
∴，，，
∴双曲线的方程为．
(2)设，，直线l：，
联立，
，，
由题知，切线：，切线：，
记，则，
两式相加得，
将代入得③；
两式相减得得，
由得④，联立③和④得，
故，又，所以，则，
故点的轨迹方程为．
21．(2023·山西·运城市景胜中学高二阶段练习）若双曲线C的方程为，记双曲线C的左、右顶点为A，B．弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB交点为M，其轨迹为曲线T，则曲线T的离心率为________．
答案：
【解析】设P（，），则Q（，-），
设点M（x，y），又A（-2，0），B（2，0），
所以直线PA的方程为①，
直线QB的方程为②．
由①得，由②得，
上述两个等式相乘可得，
∵P（，）在双曲线上，
∴，可得，∴
∴，化简可得，
即曲线的方程为，其离心率为，
故答案为：.
经典题型五：参数法
22．(2023·全国·高二课时练习）平面上一动点C的坐标为，则点C的轨迹E的方程为______．
答案：
【解析】令，所以，故，进而，
故答案为：
23．(2023·江苏·周市高级中学高二阶段练习）已知直线与坐标轴的交点分别为A，B，则线段的中点C的轨迹与坐标轴围成的图形面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】不妨设为直线与的轴的交点，为直线与的轴的交点，
则，故，
设，则且，
故C的轨迹与坐标轴为，
故选：D.
24．(2023·新疆·皮山县高级中学高二期末（文））已知，，当时，线段的中点轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】中点坐标为，
即，
，
，
，
．
故选：B
经典题型六：点差法
25．(2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的弦所在直线过点，求弦中点的轨迹方程.
【解析】设，弦的中点，则，
将代入椭圆方程得，
两式相减得，
所以，
当时，，
因为，所以，则，
整理得；
当时，则直线方程为，代入椭圆方程解得
所以满足上述方程，
故点的轨迹方程.
26．(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆．
(1)过椭圆的左焦点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
(2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；
(3)求过点且被平分的弦所在直线的方程．
【解析】（1）设弦与椭圆两交点坐标分别为、，
设，当时，．
当时，，
两式相减得，即(*)，
因为，，，
所以，代入上式并化简得，显然满足方程.
所以点P的轨迹方程为（在椭圆内部分）．
（2）设，在（1）中式子里，
将，，代入上式并化简得点Q的轨迹方程为（在椭圆内部分）．
所以，点的轨迹方程（在椭圆内部分）.
（3）在（1）中式子里，
将，，代入上式可求得．
所以直线方程为．
经典题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹
27．(2023·重庆十八中高二阶段练习）点O是棱长为3的正方体的内切球心，点P满足且，则动点P所形成的平面图形的面积为________．
答案：
【解析】点O是棱长为3的正方体的内切球心，所以O是中点，
点P满足，则点P在平面上，设与平面交于点，
，是平面内两条相交直线，所以平面，
平面，所以，同理可得：，
是平面内两条相交直线，所以平面，
正四棱锥中，易得为三角形的中心，
由等体积法可得：
所以
，
要满足，即，，
是边长为的等边三角形，所以其内切圆半径为
所以P所形成的平面图形是以为圆心为半径的圆及其内部区域，
所以其面积为.
故答案为：
28．（多选题）(2023·广东·高二阶段练习）已知正方体的棱长为2，点P为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的有（ ）
A．若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线
B．若点P到直线与到直线DC的距离相等，则点P的轨迹为抛物线
C．若点P到直线的距离与到点C的距离之和为2，则动点P的轨迹是椭圆
D．若与AB所成的角为，则点P的轨迹为双曲线
答案：ABD
【解析】对于A，在正方体中，，，，
所以平面，而点P在侧面ABCD上运动，且，
所以点P的轨迹就是直线BC，故A正确；
对于B，由正方体性质知，平面ABCD，
由线面垂直的性质定理知，即PB是点P到直线的距离，
在平面ABCD中，点P到定点B的距离与到定直线DC的距离相等，
所以点P的轨迹是以点B为焦点，直线DC为准线的抛物线，故B正确；
对于C，若点P到直线的距离就是点P到点D的距离，
即平面ABCD内的点P满足，
即满足条件的点P的轨迹就是线段DC，不是椭圆，故C不正确；
对于D，如图以D为直角坐标系原点，建立空间直角坐标系，
P（x，y，0），，A（2，0，0），B（2，2，0），
则，，
利用空间向量求夹角知，
化简整理得：，即，
所以P的轨迹为双曲线，故D正确．
故选：ABD．
29．(2023·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知正方体的边长为2，点，分别是为棱，的中点，点为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，则点的轨迹长为（ ）
A．B．2C．D．1
答案：A
【解析】如图，分别作，的中点，，连接，，，，，
由题可知，
∴四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，
∴平面；
又，又平面，平面，
∴平面，又，，平面，
∴平面平面，
由题意知平面，又点为四边形内（包括边界）的一动点，
∴线段，点的轨迹为，
∴.
故选：A．
30．(2023·江西·新余市第一中学高二开学考试）如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，是侧面上一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】如图所示，分别取棱、的中点、，连接、、、、，
因为、分别为、的中点，则，同理可得，，
平面，平面，平面，
因为且，、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，所以，且，
且，且，
所以，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，
，、平面，所以，平面平面，
当时，平面，则平面，
所以，点的轨迹为线段．
在中，．
在中，．
同理，在中，可得，所以，为等腰三角形．
设的中点为，连接．
当点位于的中点处时，，此时最短；当点位于、处时，最长．
易求得，
因此，线段长度的取值范围是．
故选：B.
31．(2023·江苏·南京市中华中学高二开学考试）在长方体中，点在矩形内（包含边线）运动，在运动过程中，始终保持到顶点的距离与到对角线所在直线距离相等，则点的轨迹是（ ）
A．线段B．圆的一部分C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分
答案：A
【解析】如图所示，在长方体中，可得平面，
因为平面，所以，所以点到顶点的距离为，
又因为点到顶点的距离与到对角线所在直线距离相等，
所以点到线的距离与到对角线所在直线距离相等，
过点作的角平分线，类比到角平分面，此面与底面的交的是直线，
又由点在矩形内（包含边线）运动，所以点的轨迹是线段.
故选：A.
经典题型八：复数与圆锥曲线的轨迹
32．(2023·江西·九江一中高二阶段练习（理））满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
答案：A
【解析】设，由可得：
，
两边平方得：，
∴复数z在复平面上对应点的轨迹是圆.
故选：A
33．(2023·河南开封·高二阶段练习（文））已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】，表示点，
故复数的轨迹是以为圆心，半径为1的圆.
故选：C
34．(2023·全国·高三专题练习）已知复数满足，则的轨迹为（ ）
A．线段B．直线
C．椭圆D．椭圆的一部分
答案：A
【解析】，根据复数的几何意义知表示点到定点与的距离之和为2，而，故点的轨迹为线段.
故选：A
经典题型九：向量与圆锥曲线的轨迹
35．(2023·黑龙江·龙江县第一中学高二开学考试）已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心B．重心C．垂心D．内心
答案：B
【解析】如图，取的中点，连接，
则．又，
，即．
又，
点在射线上．
故的轨迹过的重心．
故选：B．
36．(2023·全国·高三专题练习）正三角形OAB的边长为1，动点C满足，且，则点C的轨迹是（ ）
A．线段B．直线C．射线D．圆
答案：D
【解析】方法一：由题可知：，
又
所以，即
所以点C的轨迹是圆.
方法二：由题可知：，
如图，以O为原点OB为x轴，过O点与OB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，
所以
设 ，
又
所以
整理得：
所以点C的轨迹是圆.
故选：D.
37．(2023·湖南·高二期中）已知平面向量，，满足，，，，，为坐标原点，则点的轨迹为（ ）
A．线段B．直线C．圆D．椭圆
答案：C
【解析】建立平面直角坐标系，设，，
，
，可得，
可知点的轨迹为一个圆.
故选：C
38．(2023·全国·高二课时练习）已知，，O为坐标原点，动点满足，其中，且，则动点P的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】由题意得，
∴，，
∴，，
∵，
∴，即．
故选：B
经典题型十：利用韦达定理求轨迹方程
39．(2023·全国·高三专题练习）设不同的两点A，B在椭圆上运动，以线段AB为直径的圆过坐标原点O，过O作，M为垂足．求点M的轨迹方程.
【解析】①若直线AB的斜率不存在，由已知得点M的坐标为；
②若直线AB的斜率存在，设直线AB为，联立椭圆，得：，
设，，则，，
以线段AB为直径的圆过原点O，即，
所以，
所以，又，故O到AB的距离．
综合①②，点M的运动轨迹为O以为圆心，以1为半径的圆，轨迹方程为：．
40．(2023·浙江·高三开学考试）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴､轴于两点，当点运动时，点的轨迹方程是___________.
答案：
【解析】由得，，
因为与双曲线有唯一的公共点，即相切于点，
所以
化简得，，
所以过点且与垂直的直线为，
所以，
所以
所以点的轨迹是.
故答案为：
41．(2023·全国·高二课时练习）设椭圆的方程为，斜率为1的动直线交椭圆于A，B两点，以线段的中点为圆心，为直径作圆，圆心的轨迹方程为______．
答案：
【解析】设动直线的方程为，联立消去，得，
则，即,
设，，，由根与系数的关系得，，则，故，即，
∴圆心C的轨迹方程为．
故答案为：.
1．(2023·山东·高考真题）关于，的方程，给出以下命题；
①当时，方程表示双曲线；②当时，方程表示抛物线；③当时，方程表示椭圆；④当时，方程表示等轴双曲线；⑤当时，方程表示椭圆．
其中，真命题的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案：B
【解析】当时，方程表示双曲线；
当时，方程表示两条垂直于轴的直线；
当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；
当时，方程表示圆；
当时，方程表示焦点在轴上的椭圆．
∴①③⑤正确.
故答案为：B
2．（2023·全国·高考真题（文））在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线
答案：A
【解析】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则：，设，可得：，
从而：，
结合题意可得：，
整理可得：，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.
故选：A.
3．（2023·北京·高考真题（理））数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A．①B．②C．①②D．①②③
答案：C
【解析】由得,,,
所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.
由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.
如图所示,易知,
四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.
故选C.
4．(2023·福建·高考真题（文））在平面直角坐标系中，两点间的“L-距离”定义为则平面内与轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设，再设动点，动点到定点的“L­距离”之和等于，由题意可得：，即，当时，方程化为；当时，方程化为；当时，方程化为；当时，方程化为；当时，方程化为；当时，方程化为；结合题目中给出四个选项可知，选项A中的图象符合要求，故选A．
5．(2023·浙江·高考真题（理））如图，AB是平面
的斜线段，A为斜足，若点P在平面
内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是
A．圆B．椭圆
C．一条直线D．两条平行直线
答案：B
【解析】本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题，因为三角形面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P的轨迹为一以AB为轴线的圆柱面，与平面α的交线，且α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆．
6．(2023·浙江·高考真题（文））如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是
A．直线B．抛物线
C．椭圆D．双曲线的一支
答案：C
【解析】用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．
此题中平面上的动点满足，可理解为在以为轴的圆锥的侧面上，
再由斜线段与平面所成的角为，可知的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义．
故可知动点的轨迹是椭圆．
故选C.
7．(2023·上海·高考真题（文））点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是
A．
B．
C．
D．
答案：A
【解析】设圆上任一点为，中点为，根据中点坐标公式得，，因为在圆上，所以，即，化为，故选A.
考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.
8．(2023·江西·高考真题（理））设点在直线 上，过点 作双曲线 的两条切线 ，切点为 ，定点．
（1）求证：三点共线；
（2）过点作直线 的垂线，垂足为 ，试求 的重心 所在曲线方程．
【解析】证明：（1）设，由已知得到，且，，
设切线的方程为：由得
从而,解得
因此的方程为：
同理的方程为：
又在上，所以，
即点都在直线上
又也在直线上,所以三点共线
（2）垂线的方程为：，
由得垂足，
设重心
所以 解得
由 可得即为重心所在曲线方程．