高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)考向36直线与圆锥曲线最全归纳(十六大经典题型)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)考向36直线与圆锥曲线最全归纳(十六大经典题型)(原卷版+解析)，共226页。试卷主要包含了(2023·四川达州·二模等内容，欢迎下载使用。

经典题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
经典题型二：中点弦问题之弦中点的轨迹方程问题
经典题型三：中点弦问题之中点弦所在直线方程问题
经典题型四：中点弦问题之对称问题
经典题型五：弦长问题
经典题型六：三角形面积问题
经典题型七：四边形面积问题
经典题型八：定点问题
经典题型九：定值问题
经典题型十：向量与共线问题
经典题型十一：设点设线问题
经典题型十二：四点共圆问题
经典题型十三：极点极线问题
经典题型十四：斜率和差商积问题
经典题型十五：范围与最值问题
经典题型十六：切线问题
(2023·全国·高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
【解析】（1）因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线．
易知直线l的斜率存在，设，，
联立可得，，
所以，，且．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化简得，，即，
所以或，
当时，直线过点，与题意不符，舍去，
故．
（2）［方法一］：【最优解】常规转化
不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，由（1）知，，
当均在双曲线左支时，，所以，
即，解得（负值舍去）
此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；
当均在双曲线右支时，
因为，所以，即，
即，解得（负值舍去），
于是，直线，直线，
联立可得，，
因为方程有一个根为，所以，，
同理可得，，．
所以，，点到直线的距离，
故的面积为．
［方法二］：
设直线AP的倾斜角为，，由，得，
由，得，即，
联立，及得，，
同理，，，故，
而，，
由，得，
故
【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线的斜率，从而联立求出点坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；
法二：前面解答与法一求解点坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．
(2023·全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【解析】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程为：；
（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；
总之，直线的斜率存在且不为零.
设直线的斜率为,直线方程为,
则条件①在上，等价于；
两渐近线的方程合并为,
联立消去y并化简整理得：
设,线段中点为,则,
设,
则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,
∴由,
∴,
所以直线的斜率,
直线,即,
代入双曲线的方程,即中，
得：,
解得的横坐标：,
同理：，
∴
∴,
∴条件②等价于，
综上所述：
条件①在上，等价于；
条件②等价于；
条件③等价于；
选①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.
知识点一、直线和曲线联立
（1）椭圆与直线相交于两点，设，
，
椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：，
注意：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②焦点在轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述．
（2）抛物线与直线相交于两点，设，
联立可得，时，
特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆．
抛物线与直线相交于两点，设，
联立可得，时，
注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析．
总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式．
知识点二、根的判别式和韦达定理
与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记．
同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记．
与C相离；与C相切；与C相交．
注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件．
（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．
（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可．
（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可；
焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可．
（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．
知识点三、弦长公式
设，根据两点距离公式．
（1）若在直线上，代入化简，得；
（2）若所在直线方程为，代入化简，得
（3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角．
注意：（1）上述表达式中，当为，时，；
（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．
（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为，判别式为，时，，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．
（4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单．
（5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式．
1、已知弦的中点，研究的斜率和方程
（1）是椭圆的一条弦，中点，则的斜率为，
运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上，
所以，两式相减得
所以
即，故
（2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线的弦，中点，则；若曲线是抛物线，则．
2、定值问题
解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：
（1）变量----选择适当的量为变量．
（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．
（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．
3、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．
4、求最值问题常用的两种方法
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．
（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．
5、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视”
（1）重视定义在解题中的作用（把定义作为解题的着眼点）．
（2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用．
（3）重视根与系数的关系在解题中的作用（涉及弦长、中点要用根与系数的关系）．
6、求参数的取值范围
据已知条件及题目要求等量或不等量关系，再求参数的范围．
7、在面对有关等角、倍角、共线、垂直等几何特征时，可设法将条件翻译成关于斜率的关系式，然后将斜率公式代入其中，得出参数间的关系式，再根据要求做进一步的推导判断．
8、通过合理的方式，将所需要的坐标、斜率、角度、向量数量积等问题利用参数进行表达，进而构造函数，通过求函数值域解决．涉及向量的数量积，多与坐标有关，最终利用根与系数的关系进行解决．
9、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
10、求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．
11、证明共线的方法：（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；（4）直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上；（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线．（6）面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”．
12、证明四点共圆的方法：
方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆．
方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．
方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为，并且任何一个外角都等于它的内对角）．
方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．
13、（1）若点是圆上的点，则过点的切线方程为．
（2）若点是圆外的点，由点向圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在直线方程为．
（3）若点是椭圆上的点，则过点的切线方程为．
（4）若点是椭圆外的点，由点P向椭圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在直线方程为．
经典题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
1．(2023·四川达州·二模（理））函数的最小值为，则直线与曲线的交点个数为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））直线与双曲线没有公共点，则斜率k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023·全国·高三专题练习）若双曲线的一个顶点为A，过点A的直线与双曲线只有一个公共点，则该双曲线的焦距为( )
A．B．C．D．
4．(2023·全国·高三专题练习）过点作直线l与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．无数条
经典题型二：中点弦问题之弦中点的轨迹方程问题
5．(2023·全国·高三专题练习）椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_________________．
6．(2023·全国·高三课时练习）斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是______．
7．(2023·全国·高三课时练习）已知椭圆．
(1)过椭圆的左焦点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
(2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；
(3)求过点且被平分的弦所在直线的方程．
8．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的弦所在直线过点，求弦中点的轨迹方程.
9．已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，试求弦的中点轨迹方程.
经典题型三：中点弦问题之中点弦所在直线方程问题
10．(2023·全国·高三专题练习）若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在的直线方程为______．
11．(2023·全国·高三开学考试（理））已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（ ）
A．B．C．D．
12．(2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，且的中点的纵坐标为2．求C的方程.
经典题型四：中点弦问题之对称问题
13．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）过点，直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为-0.5.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，椭圆上是否存在，两点，使得，关于直线对称，若存在，求出，的坐标，若不存在，请说明理由．
14．(2023·浙江·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与抛物线C交于A，B两点.
(1)若，求的面积；
(2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围.
15．(2023·四川内江·模拟预测（理））若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为______.
经典题型五：弦长问题
16．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（ ）
A．B．C．D．
17．(2023·陕西·安康市教学研究室三模（文））过抛物线的焦点F的直线交C于A，B两点，若在其准线上的投影长为6，则（ ）
A．B．C．12D．
18．(2023·山东·汶上县第一中学高三开学考试）已知抛物线（）的焦点为F.若直线与C交于A，B两点，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
19．(2023·湖南·高三阶段练习）已知椭圆为右焦点，直线与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段与线段的中垂线交于点Q．
(1)当时，求；
(2)当时，求是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．
20．(2023·四川省巴中中学模拟预测（文））已知椭圆：的左、右顶点分别为、，点在椭圆上，且直线的斜率与直线的斜率之积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若圆的切线与椭圆交于、两点，求的最大值及此时直线的斜率．
21．(2023·全国·高三专题练习）设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求.
经典题型六：三角形面积问题
22．(2023·陕西·安康市教学研究室三模（文））已知椭圆的上顶点E与其左、右焦点构成面积为1的直角三角形．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l交C于两点，P是C上的动点，当时，求面积的最大值．
23．(2023·广东汕头·高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上一动点与左､右焦点构成的三角形面积最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.
①求证：直线恒过定点；
②设和的面积分别为，求的最大值.
24．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上一动点，直线与圆相切于Q点，且Q是线段的中点，三角形的面积为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P（点P不在x轴上）作圆的两条切线、，切点分别为M，N，直线MN交椭圆C于点D、E两点，求三角形ODE的面积的取值范围．
25．(2023·重庆南开中学高三阶段练习）已知双曲线的右焦点为，过右焦点作斜率为正的直线，直线交双曲线的右支于，两点，分别交两条渐近线于两点，点在第一象限，为原点．
(1)求直线斜率的取值范围；
(2)设，，的面积分别是，，，求的范围．
26．(2023·江苏南通·高三阶段练习）已知点在双曲线上，直线l交C于 两点，直线 的斜率之和为.
(1)求l的斜率;
(2)若，求的面积.
27．(2023·全国·模拟预测）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为．点在第一象限的双曲线上，过点作双曲线切线与直线交于点．
(1)证明：；
(2)已知斜率为的直线与双曲线左支交于 两点，若直线，的斜率互为相反数，求的面积．
28．(2023·江苏南通·高三阶段练习）已知椭圆的左，右顶点分别为，右焦点为，点是椭圆上一动点（异于）点关于原点的对称点为，连接并延长交于点连接并延长交椭圆于点，记面积分别为
(1)当点坐标为时，求的值；
(2)是否存在点，使得若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
经典题型七：四边形面积问题
29．(2023·四川·树德中学高三阶段练习（理））在平面直角坐标系xOy中，动圆P与圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心的轨迹为E．
(1)求轨迹E的方程；
(2)过圆心的直线交轨迹E于A，B两个不同的点，过圆心的直线交轨迹E于D，G两个不同的点，且，求四边形ADBG面积的最小值．
30．(2023·全国·模拟预测（文））已知A、B分别为椭圆：）的上、下顶点，F是椭圆的右焦点，C是椭圆上异于A、B的点，点D在坐标平面内．
(1)若，求椭圆的标准方程；
(2)若，且，，求四边形CADB面积S的最大值．
31．(2023·山东青岛·高三开学考试）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.
（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；
（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.
32．(2023·河南·高三阶段练习（理））已知椭圆：的左焦点为，上、下顶点分别为，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆上有三点，，满足，证明：四边形的面积为定值．
经典题型八：定点问题
33．(2023·河南省信阳市第二高级中学高三开学考试（文））在直角坐标系中，已知定点，定直线，动点M到直线l的距离比动点M到点F的距离大2．记动点M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线？
(2)设在C上，不过点P的动直线与C交于A，B两点，若，证明：直线恒过定点．
34．(2023·江苏·盐城中学高三开学考试）已知曲线的焦点为，曲线上有一点满足，过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点.
(1)求证：直线与轴相交于定点；
(2)试探究轴上是否存在定点满足恒成立.若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由.
35．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆经过点，且离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆交于两点，为椭圆上顶点，直线交直线于两点，已知两点纵坐标之和为.求证：直线过定点，并求此定点坐标.
36．(2023·河南·高三阶段练习（文））已知抛物线：，直线，都经过点．当两条直线与抛物线相切时，两切点间的距离为4．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若直线，分别与抛物线依次交于点 E，F 和 G，H，直线 EH，FG 相交于点．若直线，关于 轴对称，则点是否为定点？请说明理由．
经典题型九：定值问题
37．(2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知定点，动点满足.记点的轨迹为.
(1)求曲线的方程；
(2)经过且不垂直于坐标轴的直线与交于两点，轴上点满足，证明：为定值，并求出该值.
38．(2023·全国·高三专题练习）已知，平面内一动点满足．
(1)求点运动轨迹的轨迹方程；
(2)已知直线与曲线交于，两点，当点坐标为时，恒成立，试探究直线的斜率是否为定值？若为定值请求出该定值，若不是定值请说明理由．
39．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上的动点．当点与椭圆的上顶点重合时，．
(1)求的方程；
(2)当点为椭圆的左顶点时，过点的直线（斜率不为0）与椭圆的另外一个交点为，的中点为，过点且平行于的直线与直线交于点．试问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由．
40．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆过点，且点到其两个焦点距离之和为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为原点，点为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点，且直线与轴不重合，直线分别与轴交于两点.求证：为定值.
41．(2023·河北·邢台市第二中学高三阶段练习）如图所示：已知椭圆：的长轴长为4，离心率．是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于，两点，交轴于点，，．记的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的取值范围；
(3)求证：为定值．
42．(2023·江苏省响水中学高三开学考试）已知椭圆：，，过点的动直线与椭圆交于、两点.
(1)求线段的中点的轨迹方程；
(2)是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
经典题型十：向量与共线问题
43．(2023·全国·高三专题练习）已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点.
(1)求证：；
(2)求证：为定值，并求出该定值；
(3)求的最大值.
44．(2023·北京·人大附中高三开学考试）已知椭圆：的焦距为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线，与椭圆交于，两点，与轴交于点.若，，求证：为定值.
45．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆方程为，直线与轴的交点记为，过右焦点的直线与椭圆交于，两点.
（1）设若且交直线于，线段中点为，求证：，，三点共线；
（2）设点的坐标为，直线与直线交于点，试问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由.
46．(2023·湖北十堰·三模）在平面直角坐标系中，，，，，点P是平面内的动点，且以AB为直径的圆O与以PM为直径的圆内切.
(1)证明为定值，并求点P的轨迹的方程.
(2)过点A的直线与轨迹交于另一点Q（异于点B），与直线交于一点G，∠QNB的角平分线与直线交于点H，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
47．(2023·山东·青岛二中高三开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线与C交于两点A，B，与直线交于点N．设，，求证：为定值．
48．(2023·全国·高三专题练习）双曲线：的顶点与椭圆：长轴的两个端点重合，且一条渐近线的方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线右焦点作直线与分别交于左右两支上的点，，又过原点作直线，使，且与双曲线分别交于左右两支上的点，．是否存在定值，使得？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由．
49．(2023·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且三角形的面积为．
(1)求m的值；
(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴的对称点为，F为C的右焦点，若，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点．
50．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知、分别是椭圆的左、右顶点，是直线上不与点重合的任意一点，是坐标原点，与直线垂直的直线与的另一个交点为.求证：、、三点共线.
51．(2023·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率为．
(1)若直线平分线段，求的值；
(2)求面积的最大值，并指出对应的点的坐标；
(3)对任意的，过点作的垂线交椭圆于，求证：，，三点共线．
经典题型十一：设点设线问题
52．(2023·天津·耀华中学高三阶段练习）已知曲线的方程为，曲线是以、为焦点的椭圆，点为曲线与曲线在第一象限的交点，且．
(1)求曲线的标准方程；
(2)直线与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点在曲线上，求直线的斜率的取值范围．
53．(2023·江苏·海安高级中学高三阶段练习）在一张纸上有一个圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为．
(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出此定点的坐标．
54．(2023·全国·模拟预测）已知椭圆，过点作椭圆的两条切线，且两切线垂直.
(1)求；
(2)已知点，若存在过点的直线与椭圆交于，且以为直径的圆过点（不与重合），求直线斜率的取值范围.
55．(2023·福建泉州·模拟预测）已知椭圆过点．右焦点为，纵坐标为的点在上，且．
(1)求的方程：
(2)设过与轴垂直的直线为，纵坐标不为的点为上一动点，过作直线的垂线交于点，证明：直线过定点．
经典题型十二：四点共圆问题
56．(2023·四川泸州·三模（文））已知抛物线上的点到其焦点的距离为．
(1)求和的值；
(2)若直线交抛物线于、两点，线段的垂直平分线交抛物线于、两点，求证：、、、四点共圆．
57．(2023·河北衡水·高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，动点P满足，且.设动点P形成的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)过点的直线l与曲线C交于M，N两点，试判断是否存在直线l，使得A，B，M，N四点共圆.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
58．(2023·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，且过点．
(1)求C的方程；
(2)过原点O且与x轴不重合的直线交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M，，N，四点共圆．
59．(2023·河南洛阳·三模（理））已知抛物线：，是上位于第一象限内的动点，它到点距离的最小值为，直线与交于另一点，线段AD的垂直平分线交于E，F两点.
(1)求的值；
(2)若，证明A，D，E，F四点共圆，并求该圆的方程.
60．(2023·广东·三模）已知椭圆E：的离心率为，且经过点(-1，).
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设椭圆E的右顶点为A，点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左､右顶点的动点，直线l：交x轴于点P，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O､A､M､N四点共圆，求t的值.
经典题型十三：极点极线问题
61．(2023•江西）如图，已知双曲线的右焦点为，点，分别在的两条渐近线上，轴，，为坐标原点）．
（1）求双曲线的方程；
（2）过上一点，的直线与直线相交于点，与直线相交于点．证明：当点在上移动时，恒为定值，并求此定值．
62．(2023•青浦区三模）曲线．
（1）若曲线表示双曲线，求的范围；
（2）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的范围；
（3）设，曲线与轴交点为，在上方），与曲线交于不同两点，，与交于，求证：，，三点共线．
63．(2023春•绍兴校级期末）设椭圆过点，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，满足，证明：点的轨迹与无关．
64．(2023•株洲一模）如图，点、分别是椭圆
的左、右焦点，过点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于点，过点作的垂线交直线于点．
（1）如果点的坐标为，求椭圆的方程；
（2）试判断直线与椭圆的公共点个数，并证明你的结论．
经典题型十四：斜率和差商积问题
65．(2023·四川省南充高级中学模拟预测（理））在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标．
66．(2023·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（文））已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，若，试问直线是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.
67．(2023·陕西·汉中市龙岗学校高三阶段练习（理））已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，、是椭圆的左、右顶点，过点且斜率不为的直线交椭圆于点、，直线与直线交于点．记、、的斜率分别为、、，是否存在实数，使得？
68．(2023·江苏·南京市秦淮中学高三阶段练习）椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，，且的面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.求证：直线恒过定点.
69．(2023·北京市第四十四中学高三阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点.
(1)若线段中点的横坐标为，求直线的方程；
(2)设直线与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值.
经典题型十五：范围与最值问题
70．(2023·上海·华东师范大学第一附属中学高三阶段练习）已知椭圆：的左焦点为，下顶点为，斜率为的直线经过点．
(1)若与直线垂直，求的方程；
(2)若直线与椭圆相交于不同的，，直线，分别与直线交于，且，求的取值范围．
71．(2023·上海市洋泾中学高三阶段练习）已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点，且与坐标轴不垂直的直线
交椭圆于、两个不同的点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围；
(3)当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围．
72．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且．
(1)求椭圆C的方程．
(2)设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线PA，PB与直线分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及的最大值．
73．(2023·全国·高三专题练习）设双曲线，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．
(1)求直线l倾斜角的取值范围；
(2)直线AO（O为坐标原点）与曲线C的另一个交点为D，求面积的最小值，并求此时l的方程．
74．(2023·全国·模拟预测）已知，是双曲线的左、右焦点，且双曲线过点，．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知过点的直线交双曲线左、右两支于，两点，交双曲线的渐近线于，（点位于轴的右侧）两点，求的取值范围．
75．(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C经过点，它的两条渐近线分别为和.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左､右焦点分别为､，过左焦点作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求周长的取值范围.
经典题型十六：切线问题
76．(2023·全国·高三专题练习）已知：如图，抛物线，为其焦点，是过抛物线上一点的切线，是直线上的两点（不同于点），直线平行于轴．求证：．（入射角等于反射角）
77．(2023·广东广州·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最大值为6．
(1)求的方程；
(2)若点在圆上，，是的两条切线，，是切点，求面积的最小值．
78．(2023·全国·高三专题练习）如图，为椭圆上的动点，过作椭圆的切线交圆于、，过、作切线交于，求的轨迹方程．
79．(2023·全国·高三专题练习）抛物线焦点为，过斜率为的直线交抛物线于，两点，且
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过直线上一点作抛物线两条切线，切点为，猜想直线与直线位置关系，并证明猜想.
80．(2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的四个顶点围成的四边形面积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点P是直线上的动点，过点P做椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，问直线MN是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
1．(2023·全国·高考真题（文））设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
2．(2023·全国·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（多选题）(2023·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
4．（多选题）(2023·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．
C．D．
5．(2023·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
6．(2023·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
7．(2023·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
8．(2023·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．
9．(2023·全国·高考真题（文））记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
10．(2023·全国·高考真题（文））已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
11．(2023·全国·高考真题（理））设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
经典题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
1．答案：B
【解析】当时，（当且仅当时取等号），
，即，曲线方程为：；
当，时，曲线为：，
由得：或，即交点为，；
当，时，曲线为：；
由得：，即交点为；
当，时，曲线为：，曲线不存在；
当，时，曲线为：；
由得：，即交点为；
综上所述：直线与曲线的交点为，，共个.
故选：B.
2．答案：A
【解析】联立直线和双曲线：，消去得，
当，即时，此时方程为，解得，此时直线与双曲线有且只有一个交点；
当，此时，
解得或，所以时直线与双曲线无交点；
故选：A
3．答案：D
【解析】斜率为，
过点A的直线与双曲线只有一个公共点，
则该直线与双曲线的渐近线平行，且过双曲线右顶点(a，0)，
故=，且a-3=0，解得a=3，b=1，故c=，故焦距为2c=．
故选：D．
4．答案：B
【解析】由题意，抛物线方程，点恰好再抛物线上，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与抛物线有两个交点，不满足题意；
当直线与轴平行时，此时直线与抛物线只有一个公共点，满足题意；
因为点在抛物线上，过点有且仅有一条切线，满足与抛物线只有一个公共点，
所以与抛物线只有一个公共点的直线只有2条.
故选：B.
经典题型二：中点弦问题之弦中点的轨迹方程问题
5．答案：
【解析】设斜率为的直线方程为，与椭圆的交点为，
设中点坐标为，则，
所以，两式相减可得，
，即，
由于在椭圆内部，由得，
所以时，即直线与椭圆相切，
此时由解得或，
所以，
所求得轨迹方程为．
故答案为：．
6．答案：(或).
【解析】设直线为，与双曲线交点为，
联立双曲线可得：，则，即或，
所以，故，则弦中点为，
所以弦的中点的轨迹方程为(或).
故答案为：(或)
7．【解析】（1）设弦与椭圆两交点坐标分别为、，
设，当时，．
当时，，
两式相减得，即(*)，
因为，，，
所以，代入上式并化简得，显然满足方程.
所以点P的轨迹方程为（在椭圆内部分）．
（2）设，在（1）中式子里，
将，，代入上式并化简得点Q的轨迹方程为（在椭圆内部分）．
所以，点的轨迹方程（在椭圆内部分）.
（3）在（1）中式子里，
将，，代入上式可求得．
所以直线方程为．
8．【解析】设，弦的中点，则，
将代入椭圆方程得，
两式相减得，
所以，
当时，，
因为，所以，则，
整理得；
当时，则直线方程为，代入椭圆方程解得
所以满足上述方程，
故点的轨迹方程.
9．【解析】方法1：设，，弦的中点为，则，
当直线的斜率存在时，.
因为两式相减，得.
所以，即，
即.
当直线斜率不存在，即轴时，的中点为，适合上式，
故所求轨迹方程为.
方法2：当直线的斜率存在时，设直线的方程为（），由得.
所以
所以.
设，，的中点为，
则，.
所以
.
所以
消去参数，得.
当直线的斜率不存在时，即轴时，的中点为，适合上式，
故所求轨迹方程为.
经典题型三：中点弦问题之中点弦所在直线方程问题
10．答案：
【解析】设直线与椭圆的交点为
为的中点， ；
两点在椭圆上，则
两式相减得 ；
则 ； ；
故所求直线的方程为 ，即 ；
故答案为：
11．答案：C
【解析】法一：设，则，
所以，又AB的中点为，
所以，所以，由题意知，
所以，即，则C的离心率.故A，B，D错误.
故选：C.
法二：直线AB过点，斜率为1，所以其方程为，即，
代入并整理得，
因为为线段AB的中点，所以，整理得，
所以C的离心率.故A，B，D错误.
故选：C.
12．【解析】设点，则，所以，
又因为直线AB的斜率为1，所以，
将A、B两点代入抛物线方程中得：，将上述两式相减得，
，即，
所以，即，所以，
因此，抛物线的方程为.
经典题型四：中点弦问题之对称问题
13．【解析】（1）设，，则，
即．
因为，在椭圆上，所以，，
两式相减得，即，
又，所以，即．
又因为椭圆过点，所以，解得，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知，直线的方程为．
假设椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称，
设，，的中点为，所以，，
因为，关于直线对称，所以且点在直线上，即．
又因为，在椭圆上，所以，，
两式相减得，
即，所以，即．
联立，解得，即．
又因为，即点在椭圆外，这与是弦的中点矛盾，
所以椭圆上不存在点，两点，使得，关于直线对称．
14．【解析】（1）抛物线的焦点为，
时，直线，
联立，可得，
设，，，，
则，．
，
点到直线的距离距离，
的面积．
（2）∵点，关于直线对称，∴直线的斜率为，
∴可设直线的方程为，
联立，整理可得，
由，可得，
设，，，，则，
故的中点为，
∵点，关于直线对称，∴的中点，在直线上，
∴，得，∵，∴．
综上，的取值范围为．
15．答案：
【解析】依题意，双曲线上两点，，，，
若点A、B关于直线对称，则
设直线的方程是，代入双曲线方程化简得：
，
则，且，解得，且
又，设的中点是，，
所以，．
因为的中点在直线上，
所以，所以，又
所以，即，所以
所以，整理得，
所以或，
实数的取值范围为：
故答案为：.
经典题型五：弦长问题
16．答案：A
【解析】设直线AB方程为，联立椭圆方程
整理可得：，设，
则，，根据弦长公式有：
=．故B，C，D错误.
故选：A.
17．答案：C
【解析】，当直线的斜率不存在时，不满足题意，
所以直线的斜率存在，设，
将代入直线方程整理得，
所以，，
所以，
所以，
故选：C
18．答案：C
【解析】将代入，解得，
则、，
所以，解得，
则.
故选：C.
19．【解析】（1）设，线段的中点M坐标为，联立得消去y可得：，所以
所以，代入直线方程，求得，
因为Q为三条中垂线的交点，所以，
有，直线方程为.
令，所以.
由椭圆可得右焦点，故．
（2）设，中点M坐标为．
相减得，.
又Q为的外心，故，
所以，直线方程为，
令，所以而,所以，
，同理，，
，所以当t变化时，为定值．
20．【解析】（1）由椭圆可得，所以，解得，
因为椭圆经过点，故得到，解得，
所以椭圆的方程为
（2）当切线垂直轴时，的横坐标为1或-1，由于椭圆的对称性，不妨设的横坐标为1，
代入椭圆得解得，所以；
当切线不垂直轴时，设切线方程为即，
所以圆心到切线的距离，得，
把代入椭圆方程，整理得
设，则，
设，则，则
，
所以，
综上所述，，此时，因为，所以直线的斜率为
21．【解析】（1）抛物线的焦点为，
所以，即，，又点，，是等腰直角三角形的三个顶点，
所以，即，又，所以，
所以双曲线方程为.
（2）依题意设，，
由消去整理得，
由，所以，，
所以
.
经典题型六：三角形面积问题
22．【解析】（1）由题意得，
解得，
椭圆C的方程为．
（2）显然斜率不存在时不满足条件，当斜率存在时，，设，
代入C方程整理得，
，
，
解得，
显然时面积最大值相同，，
当P为与平行的切线的切点时，面积最大，
不妨设与平行的切线方程为，代入C方程整理得，
，
解得，
显然时取得最大值，，
．
23．【解析】（1）由题意，解得，所以椭圆C的方程为．
（2）①依题意，设，
若直线的斜率为0则P，Q关于y轴对称，必有，不合题意．
所以直线斜率必不为0，设其方程为，
与椭圆C联立，整理得：，
所以，且
因为是椭圆上一点，即，
所以，则，即
因为
，
所以，此时，
故直线恒过x轴上一定点．
②由①得：，
所以
，
而，当时的最大值为．
24．【解析】（1）连接OQ，由，且所以OQ为的中位线，
所以且，所以根据椭圆的定义可得：，
所以，解得，所以，
所以，解得，所以，
故椭圆C的方程为：．
（2）设，，则，由几何性质可知P、M、O、N四点共圆，且PO为该圆直径，则以线段OP为直径的圆的方程为，
又圆O的方程为，
两式相减得直线MN的方程为．
由消去y整理得．
因为直线MN交椭圆C于D、E两点，设，
所以，
，，
则
．
又原点到直线DE的距离为，
所以三角形ODE 的面积为
．
设，因为所以，
因为在单调递增，所以
所以．
25．【解析】（1）因为双曲线的右焦点为，故，
由得，所以双曲线的方程为，，
设直线的方程为，联立双曲线方程得，
，解得，
即直线的斜率范围为；
（2）设，渐近线方程为，则到两条渐近线的距离，满足，
而，，
，
所以
由，
，
所以，，
∵，∴.
26．【解析】（1）将点代入中，得，即，
解得 ，故双曲线方程为；
由题意知直线l的斜率存在，设，设，，
则联立直线与双曲线得：，
需满足，
故，，
，
化简得：，
故，
即 ，即，
由题意可知直线l不过A点，即，
故l的斜率
（2）设直线AP的倾斜角为，由，，
得，（负值舍去），
由直线 的斜率之和为,可知，即，
则，得，即，
联立，及得，，
将，代入中，得，
故，，
而，，
由，得，
故
.
27．【解析】（1）因为双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为，
所以，，解得，
所以，双曲线的标准方程为，
因为过点作双曲线切线与直线交于点，故切线的斜率存在，
所以，设，在点的切线方程为，
联立方程得
所以，，即①
因为，代入①式得，解得
所以，在点的切线方程为，
所以点的坐标为，即，
因为，
所以
所以，
（2）由题，设直线的方程为，
与双曲线方程联立得，
设，
所以
因为直线，的斜率互为相反数，所以，
所以，
整理得：②
将代入②整理得：③
结合可知时，③式恒成立，
所以，由（1）可知，，，
所以，
所以的面积.
28．【解析】（1）当时，，，垂直于x轴，，
设左焦点,则轴，
∴，，
，方程：.
由消去x得，
∴，
∴；
（2）设，则，∴直线方程：，
方程：，由得，
方程：，
由消去x得，
∴，
∴，
假设满足题设条件的存在，则，
解得（，与椭圆的范围不符，舍去),
将代入椭圆方程解得，
∴存在满足条件的点，此时.
经典题型七：四边形面积问题
29．【解析】（1）设动圆P的半径为R，圆心P的坐标为，
由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，
动圆P与圆内切，且与圆外切，
，则
动圆P的圆心的轨迹E是以， 为焦点的椭圆，
设其方程为：，
其中，，
，，即轨迹E的方程为：.
（2）当直线AB的斜率不存在，或为0时，
四边形ADBG面积长轴长通径长，
当斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为，，，
由可得：，
，，
，
．
，，
同理可得：，
，
四边形ADBG面积，
则
等号当且仅当时取，
即时，.
30．【解析】（1）由已知是等边三角形，
因为，，所以，
得椭圆的标准方程为．
（2）设，，
因为，，所以，
则,所以，
，
所以，，
两式相减得，
带回原式得，
因为，所以，
（当时取等）
所以四边形CADB面积S的最大值为．
31．【解析】（1）设动圆的半径为，圆心的坐标为
由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.
动圆与圆内切，且与圆外切，
动圆的圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为：，
其中
从而轨迹的方程为：
（2）（i）设直线的方程为，则
由可得：
直线的方程为，
令可得点的横坐标为：
为一个定点，其坐标为
（ii）根据（i）可进一步求得：
.
，
则
，
四边形面积
（法一）
等号当且仅当时取，即时，
（法二）令，
则
当，即时，
32．【解析】（1）依题意，又，所以，
所以，
所以椭圆方程为.
（2）证明：设，，，因为，所以四边形为平行四边形，
且，所以，即，
又，，所以，
若直线的斜率不存在，与左顶点或右顶点重合，
则，所以，
所以，
若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入椭圆方程整理得，
所以，，，
所以
所以，
整理得，
又，
又原点到的距离，
所以，
将代入得，
所以，
综上可得，四边形的面积为定值.
经典题型八：定点问题
33．【解析】（1）因为动点M到直线l 的距离比到F的距离大2，故M到F的距离与
M到直线的距离相等，所以M的轨迹C是以F为焦点
m为准线的抛物线，因此, C是顶点为原点开口向上的抛物线.
（2）因为P在C上故，
设，
联立方程 ，可得，
，
，将(2)代入化简得：
或，以上均可满足(1)式，
所以直线方程为：或，
直线分别过定点或，
又，所以直线恒过定点.
34．【解析】（1）在，即，解得，
所以，
故抛物线为，
易知直线的斜率不为，
故设，，，联立，
故，，所以，
因为，则，
则或（舍，故．
（2）假设存在设，其中，因为，那么，则轴为的角平分线，
若，则垂直于轴，轴平分，
则垂直于轴，则直线的方程为，此时，
而，相异，故，
同理故与的斜率互为相反数，
即
为定值．
故当时，恒成立．
35．【解析】（1）因为椭圆经过点，
所以，
因为离心率，所以，即，
因为，所以解得
所以方程为
（2）设，则，得
，
由，得，
则，
直线为，则，
直线为，则，
所以，
化简得：，
所以
化简得
当，与点重合，不满足条件
当，代入直线方程可得：，
所以过定点.
36．【解析】（1）设经过点的直线为：，由消去y，得，，当直线与抛物线相切时，，∵，∴，所以，解得，∴切点为，又∵两切点间的距离为4，∴，即，∴抛物线的标准方程为；
（2）设点，，：，则，，联立，消去得，则，，∵直线，关于轴对称，∴直线 也关于 轴对称，∴交点在 轴上，∴直线的方程为，令，得，∴，∴，∴点的坐标为定点．
经典题型九：定值问题
37．【解析】（1）由椭圆的定义可知：的轨迹为以为焦点的椭圆，且
则可得，，
所以，
所以的方程为
（2）设直线为：，
则联立得：，
设，则，，
，
则，
中点坐标为，
所以的垂直平分线为，
令得：，
所以，，
38．答案：(1)
(2)是定值；
分析：对于小问1，设点，代入，整理化简得点轨迹方程；
对于小问2，设出直线：，联立曲线的方程，结合韦达定理，代入，整理得到和的关系，进而判断直线是否过定点．
（1）设，则，所以点轨迹方程为：．
（2）显然直线不垂直于轴，
故设：，，
代入并整理得： ，
∴
，
整理得：，
若，此时过，不合题意；
若，即符合题意，
故直线的斜率为．
39．【解析】（1）设椭圆E的半焦距为c，点，而，则，
即有，解得，又离心率，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，显然直线不垂直于坐标轴，设直线：，，
由消去x并整理得：，解得点，则点，
直线，则直线方程为：，点，直线的斜率，
直线的斜率，因此，，
所以是定值.
40．【解析】（1）依题意，解得，所以椭圆方程为；
（2）由（1）可知，
当直线斜率不存在时，直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，
不妨设此时，，
所以直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
所以；
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
由得，
依题意，，
设，，则，，
又直线的方程为，
令，得点的纵坐标为，即，
同理，得，
所以
，
综上可得，为定值，定值为．
41．【解析】（1）令椭圆E的半焦距为c，依题意，，，解得，则，
所以椭圆的标准方程为.
（2）依题意，直线不垂直于坐标轴，设直线：，，设，
由消去x并整理得：，则，，
，
由（1）知，则有，
令，显然函数在上单调递增，，则，
所以的取值范围是.
（3）由（2）知，，由得，即，而，同理，
因此，，
所以为定值.
42．【解析】（1）①当直线存在斜率时，设、、，，
则应用点差法：，两式联立作差得：，
∴，
又∵，
∴，化简得（），
②当直线不存在斜率时，，
综上，无论直线是否有斜率，的轨迹方程为；
（2）①当直线存在斜率时，设直线的方程为：，
联立并化简得：，
∴恒成立，∴，，
又，，，，
∴，
，
若使为定值，
只需，即，其定值为，
②当直线不存在斜率时，直线的方程为：，则有、，
又，，，，
∴，当时，也为定值，
综上，无论直线是否有斜率，一定存在一个常数，
使为定值.
经典题型十：向量与共线问题
43．【解析】（1）联立与得：，
由直线与椭圆有一个公共点可知：，
化简得：；
（2）由题意得：，
因为，所以∥，故，
其中，，
所以，
为定值，该定值为1；
（3），
由题意得：点在直线的同侧，
所以，
，（其中为的夹角），
由此可知：，
当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为4.
44．【解析】（1）因为椭圆的焦距，所以.
又因为椭圆过点，所以.
又因为，所以，.
所以椭圆的标准方程为：.
（2）设点，，，.
由题意可知，直线的斜率存在，可设直线的方程为.
联立，得.
由于点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点，必有.
由韦达定理可得，.
因为，，
得，.
依题意，，，
所以，.
所以.
所以为定值.
45．【解析】（1）由椭圆方程为知，右焦点坐标，
椭圆的右准线方程为，点坐标.
由知，直线的斜率不为0，故设直线的方程为，
从而，直线的方程为，令得，点坐标为，
故直线的方程为.
联立方程组，消去得：，
设，
即，，
从而，线段的中点，.
又线段的中点的坐标满足直线方程，
所以点在直线上，综上可知，，，三点共线；
（2）当直线的斜率为0时，点即为点，从而，故.
直线的斜率不为0时，由（1）知，，，
所以，则，
直线的方程为，又，
令，得，
所以点的坐标为，即，所以.
综上可知，为定值0.
46．【解析】(1)如图，以为直径的圆与以为直径的圆内切，
则.
连接，因为点O和分别是和的中点，所以.
故有，即，
又，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆.
因为，，所以，故的方程为.
(2)存在满足题意.
理由如下：设，，.显然.
依题意，直线AQ不与坐标轴垂直，设直线AQ的方程为，
因为点G在这条直线上，所以，.
联立得的两根分别为和0，
则，，
所以，.
设，则，则，，
所以，整理得，
因为，所以，即.
故存在常数，使得.
47．【解析】(1)设C的焦距为，则，
即，，；
由双曲线的定义，得，即，
所以，故C的方程为．
(2)设，，，显然直线AB的斜率存在，
可设直线AB的方程为，代入，
得．
由过点的直线与C交于两点A，B，得，
由韦达定理，得，； ①
由在直线上，得，即； ②
由在直线AB上，得． ③
由，得，
即解得．同理，由，得，
结合①②③，得
．故是定值．
48．【解析】（1）由椭圆：得到：，
双曲线的渐近线方程为，得到：，解得：.
则双曲线的方程．
（2）若存在定值，使得，∵与同向，∴，
∵，设：，由消去整理得：，∴，由交左右两支于、两点，
有，即，则，
，
由于，可设：，由消去整理得：，∴，
由此，
∴，故存在定值，使得．
49．【解析】（1）双曲线的渐近线方程为，则不妨令点，
，而点O到直线AB的距离为m，因此，解得，
所以．
（2）由（1）知，双曲线C的方程为，右焦点，
因直线l与x轴不垂直且斜率不为0，设直线l与x轴交于点，直线l的方程为，
设，则，由消去y并整理得，
显然有且，化简得且，
则，，
而，F，N三点共线，即，则，
因此，又，有，
整理得，于是得，化简得，
即直线：，过定点，
所以直线l经过x轴上的一个定点．
50．【解析】（1）由题意可得，解得，
因此，椭圆的方程为.
（2）证明：设点的坐标为，其中，易知点、，
，则直线的方程为，
联立，可得，即点，
，，则，
因此，、、三点共线.
51．【解析】（1）由题设知，，，故，，线段中点坐标为．
由于直线平分线段，故直线过线段的中点，又直线过原点，；
（2），，，
设与平行的直线方程为，联立，得．
由，解得：．
由题意可知，当时，直线与直线的距离最大，最大值．
即面积有最大值，等于．
由，解得，，点坐标为；
（3）设，，，，中点，，
则，，
两式作差可得：，，即．
，，即，．
，，，即．
，，故，，三点共线．
经典题型十一：设点设线问题
52．【解析】（1）设椭圆方程为，
依题意，，，利用抛物线的定义可得，解得，
点的坐标为，所以，
由椭圆定义，得．
，
所以曲线的标准方程为；
（2）设直线与椭圆的交点，，，，，的中点的坐标为，，
设直线的方程为，
(当时,弦中点为原点,但原点并不在上,同样弦中点为原点，不适合题意)
与联立，得，
由得①，
由韦达定理得，，，
则，，
将中点，代入曲线的方程为，
整理，得，②
将②代入①得，
令，则，解得，．
所以直线的斜率的取值范围为且．
53．【解析】（1）由题意得，所以，
即的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线，
又，，所以，
所以的方程为；
（2）由已知得：，：，
联立直线方程与双曲线方程，消去整理得，
由韦达定理得，所以，即，
所以，
联立直线方程与圆方程，消去整理得，
由韦达定理得，所以，即，
因为，即，所以，
若直线所过定点，则由对称性得定点在轴上，设定点，
由三点共线得，
即，
所以直线过定点．
54．【解析】（1）由题可知，切线斜率存在，则设切线，
联立得，即，
相切得：，即，所以
由两切线垂直得：
（2）由（1）得，椭圆方程为
由题可知，直线的斜率存在，设，联立得
设，由韦达定理得：
由题意为直径的圆过点，①
又
代入①式得：
或（舍去），所以过定点，
，
，
即直线斜率范围
55．【解析】（1）设点，其中，则，
因为椭圆过点，则，
将点的坐标代入椭圆的方程，可得可得，解得，
因此，椭圆的标准方程为.
（2）证明：由对称性可知，若直线过定点，则点必在轴上，设点，
设点，则，
所以，直线的垂线的斜率为，
故直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
所以，直线的方程为，
因为点在直线上，所以，，
即，①
又因为，所以，，②
将②代入①可得，即，
，则，所以，直线过定点.
经典题型十二：四点共圆问题
56．【解析】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，
点到其焦点的距离为，则，可得，故抛物线的方程为．
将点的坐标代入抛物线方程可得，解得.
（2）由中垂线的性质可得，，，，所以，，
设、，联立消去并整理，得，
则，，且，即，
则．
设线段的中点为，则点的纵坐标为，
所以，点的横坐标为，则．
直线为线段的垂直平分线，所以，直线的方程为．
设、，联立，
消去并整理得，，可得，
则，，
故．
设线段的中点为，则．
，
，，
故，所以，，，
故，故，
所以，点、都在以为直径的圆上，故、、、四点共圆．
57．【解析】（1）设，则，，，
因为，所以，
所以，，所以，，
又，整理得，
即曲线C的标准方程为；
（2）易知当l的斜率不存在时，直线l与曲线C没有两个交点，所以直线l的斜率存在，
设l：，将直线l与曲线C联立，得，
消去y，整理得，
因为且，
所以且，
设，，
则，，
所以MN的中点，
且，
将，代入上式，
整理得，
当时，线段MN的中垂线方程为：，
令y＝0，解得，即与x轴的交点坐标为，
当k＝0时，线段MN的中垂线为y轴，与x轴交于原点，符合Q点坐标，
因为AB的中垂线为x轴，所以若A，B，M，N共圆，则圆心为，
所以，
所以，
整理得，即，
因为且，
所以上述方程无解，即不存在直线l符合题意.
58．【解析】(1)由题意知
解得，，
所以C的方程为．
(2)证明：当直线EF的斜率不存在时，E，F为短轴的两个端点，则，或，所以，，则以MN为直径的圆恒过焦点，即M、，N，四点共圆．
当EF的斜率存在且不为零时，设直线EF的方程为，
设点（不妨设，则点．
由消去y得，所以，，
所以直线AE的方程为．
因为直线AE与y轴交于点M，令得，
即点，
同理可得点．
所以，，
所以，所以，同理．
则以MN为直径的圆恒过焦点，，即M，，N，四点共圆．
综上所述，M，，N，四点共圆．
59．【解析】(1)设，则，
令，则，
对于二次函数，其对称轴为，
当时，，在上单调递增，其最小值为9，即的最小值为3，不满足题意，
当时，，所以当时取得最小值，即
所以，解得或（舍）
所以
(2)由（1）可得，当时，，点，
所以，直线的方程为，
由可得，解得或，所以，
所以的中点为，所以直线的方程为，即，
设，由可得，所以
所以线段的中点为，
因为，所以A，D，E，F四点共圆，圆心为，半径为8，
所以该圆的方程为.
60．【解析】(1)依题意：，解得：，，
故椭圆C的方程为；
(2)设B(，)，C(，)，∵点B为椭圆E上异于左､右顶点的动点，
则直线BC不与x轴重合，则可设BC为，
与椭圆方程联立得，
则，可得，
由韦达定理可得．
直线BA的方程为，令得点M纵坐标
同理可得，点N纵坐标
当O､A､M､N四点共圆时，由割线定理可得，即，
∵
．
由，故，解得．
经典题型十三：极点极线问题
61．【解析】（1）解：依题意知，，设，
，，，，
整理得：，，
双曲线的方程为；
（2）证明：由（1）知，的方程为：，
又，直线与直线相交于点，与直线相交于点．
于是可得，，，
又因为，在上，所以有，
．
62．【解析】解：（1）若曲线表示双曲线，
则：，
解得：，，；
（2）若曲线是焦点在轴上的椭圆，
则：．
解得：，（8分）
证明：（3）当，曲线可化为：，
当时，，
故点坐标为：，
将直线代入椭圆方程得：，
若与曲线交于不同两点，，
则△，解得：，（10分）
由韦达定理得：①，
②（12分）
设，，，，，，
方程为：，则，，（14分）
，，，，
欲证，，三点共线，只需证，共线，
即，
将①②代入可得等式成立，则，，三点共线得证．
63．【解析】解（Ⅰ）由题意解得，，所求椭圆方程为．
（Ⅱ）设点，，，，，由题设．
又，，，四点共线，可得，
于是（1）（2）
由于，，，在椭圆上，将（1），（2）分别代入的方程，
整理得（3）（4）
（4）（3）得，，，
点总在定直线上．即点的轨迹与无关．
64．【解析】解：（1）解方程组得点的坐标为，
，
，
，
将代入上式解得，
；
点的坐标为，，
，，，
；
（2），点的坐标为，
，
，
即
将的方程代入椭圆的方程得，
①
方程①可化为
解得
直线与椭圆只有一个公共点．
经典题型十四：斜率和差商积问题
65．【解析】（1）由题意知，，，，
∵，，
∴，解得，从而，
∴椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，，．
直线不过点，因此．
由 ，得，
时，，，
∴
，
由，可得，即，
故的方程为，恒过定点．
66．【解析】（1）因为椭圆的长轴为双曲线的实轴，
所以，
因为椭圆过点，
所以，，得，
所以椭圆方程为，
（2）①当直线的斜率存在时，设其方程为，
由，得，
，
所以，
所以，
，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
化简得，
即，
所以或，
当时，直线的方程为，
则直线过定点（舍去），
当时，直线的方程为，
所以直线过定点，
②当直线的斜率不存在时，设直线为（），
由，得
所以，
所以，
解得（舍去），或，
所以直线也过定点，
综上，直线恒过定点.
67．【解析】（1）抛物线的焦点为，
由题意可得，，，故，
因此，椭圆的方程为.
（2）设、，设直线的方程为，其中，
联立，得，，
由韦达定理可得，，
所以，
易知点、，，
所以，直线的方程为，
将代入直线的方程可得，即点，
，，
所以，，
所以，.
68．【解析】（1）因为，所以，即，所以，所以
又，，，
所以，即，所以，
所以，
所以椭圆方程为.
（2）依题意，设，
若直线的斜率为0则关于轴对称，必有，不合题意．
所以直线斜率必不为0，设其方程为，
与椭圆C联立，整理得：，
所以，
且，
因为是椭圆上一点，即
所，
则，即，
因为，得
即
因为
，
，
整理得 解得，
所以直线恒过定点 .
69．【解析】（1）若直线的斜率不存在时，线段中点的横坐标为，与已知矛盾；
设，，则，
，，
所以，
记线段中点为，设的纵坐标为，由已知可得点的坐标为，
所以，，
所以，
因为直线过点，，所以，
所以，所以，
当时，，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
因为直线： 与的交点坐标为，点在椭圆内，故直线与椭圆相交，满足条件，
当时，，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，因为直线： 与的交点坐标为，点在椭圆内，故直线与椭圆相交，满足条件，
所以直线
的方程为或；
（2）设直线的方程为，
联立，化简可得，所以，方程的判别式，所以或，
设，，则，，
联立，化简可得，所以点的坐标为，
因为轴，轴，所以点的坐标为，
所以直线的斜率，
直线的斜率，
所以，
又，
所以，
经典题型十五：范围与最值问题
70．【解析】（1）椭圆的左焦点为，下顶点为，
所以直线，若与直线垂直，则直线的斜率为1，
又直线经过点，所以直线的方程为，即；
（2）由题意知直线的斜率存在，
设，由得，
由得或，
，，
所以，
直线的方程为，直线的方程为，
令，可得，，可得，
因为，所以同号，且，
所以，
即，解得，又或，
所以或.
71．【解析】（1）因为，所以；
又点在图像上即，所以，
所以椭圆的方程为；
（2）由（1）可得
设直线，设、，
由得，
解得或①
∵点在以线段为直径的圆的外部，则，
又②
解得或
由①②得
（3）设直线，又直线
的倾斜角为锐角，由（2）可知，
记、，所以直线的方程是：，直线的方程是：.
令，解得，所以点S坐标为；同理点T为.
所以，，.
由，，可得：，，
所以，
由（2）得，，
所以

，
因为，所以，，
故的范围是.
72．【解析】（1）由题意，可得，，得，解得：．
椭圆C的标准方程为．
（2）解法1：设点P的坐标为，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴，直线PA的方程为，同理：直线PB的方程为．
直线PA与直线的交点为；
直线PB与直线的交点为．
∵线段MN的中点坐标为，
∴圆的方程为．
令，则．
∵，
∴，
∴．
∵这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解，
∴，解得．
设交点坐标分别为，，则．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法2：设点P的坐标为，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴，直线PA的方程为，同理：直线PB的方程为．
直线PA与直线的交点为；
直线PB与直线的交点为．
若以MN为直径的圆与x轴相交，则，
即，即．
∵，
∴，代入得到，解得．
该圆的直径为；
圆心到x轴的距离为；
该圆在x轴上截得的弦长为．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法3：设点P的坐标为，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴，直线PA的方程为
同理：直线PB的方程为．
直线PA与直线的交点为；
直线PB与直线的交点为．
∴．
圆心到x轴的距离为．
若该圆与x轴相交，则，即．
∵，
∴，
∴，解得．
该圆在x轴上截得的弦长为．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法4：记点D的坐标为（2，0），点H的坐标为（4，0），设点P的坐标为，点M的坐标为，点N的坐标为．
由已知可得点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴AP的直线方程为，BP的直线方程为．
令，分别可得，．
∴点M的坐标为，点N的坐标为．
若以MN为直径的圆与x轴相交于点E，F，
∵，
∴．
．
∵，
∴，代入得到，
∴．
∴．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法5：设直线OP与交于点T．
∵轴，
∴有，．
∴，，即T是MN的中点．
又设点P的坐标为，则直线OP方程为．
令，得，∴点T的坐标为．
而，若以MN为直径的圆与x轴相交于点E，F，则，即．
∵，
∴，
∴，解得或．
∵，∴，∴．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
73．【解析】（1）由双曲线得，
则右焦点，显然直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为，由得，
因为直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，设，
则，
解得，
当时，直线l倾斜角，当时，直线l的斜率或，
综上，直线l倾斜角的取值范围为
（2）因为O是AB中点，所以
，令，则
，其中，且
又在单调减，所以，
当，即时求得，此时直线l的方程为
74．【解析】(1)设双曲线的半焦距为，
∵，∴．
又，，解得，，
∴双曲线的方程为．
(2)由题意可设直线的方程为，双曲线的渐近线方程为，
联立得，联立得，
∴．
联立得，
设，，则，，
由即，
∴，
∴
．
又，∴，∴，
∴的取值范围为．
75．【解析】（1）设双曲线C的方程为，
代入点，得，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）双曲线C的左焦点为，
设､，
①若直线l的斜率不存在，则，得A､B的坐标分别为和，
此时的周长为.
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
由得，
因为直线l交双曲线的左支于A､B两点，
所以，
得
设的周长为z，
，
设，由，得，
，，
所以，
综上，由①②可得的周长的取值范围.
经典题型十六：切线问题
76．【解析】作抛物线的准线，延长交于点，则；
由得，因此 ，
当时直线的斜率，直线的斜率，
两条直线斜率乘积为，所以直线垂直平分线段，则．
当时，点,此时直线为轴，结论显然成立．
综上所述，结论成立．
77．【解析】（1）抛物线的焦点为，圆，圆心，半径
，所以，与圆上点的距离的最大值为，解得；
所以抛物线的方程为.
（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点，，，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以，点、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以
点到直线的距离为，
所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最小值.
78．【解析】设点，先证明椭圆在点处的切线方程为．
联立，可得，，
故椭圆在点处的切线方程为．
设点，再证圆在点处的切线方程为．
当直线的斜率存在且不为零时，，圆在点处的切线斜率为，
∴圆在点处的切线方程为，即，
当直线的斜率不存在且为零时，在点处的切线满足上式.
设点，则圆在点处的切线方程为，
设点，则，
∴点、的坐标满足方程，
故直线的方程为，
由于直线与直线重合，
即直线与直线重合，
∴，即，
由于点在椭圆上，则，即，
因此，点的轨迹方程为．
79．【解析】（1）由题意知抛物线焦点为，
设直线的方程为，与抛物线交于，，
联立抛物线方程，，
所以，
所以，
又由抛物线的定义知，即，
即，所以抛物线的方程为；
（2）直线与直线垂直，理由如下：
由（1）得，，
设，，，
所以直线方程为：，
又因为点A在抛物线上，即有，
得到直线方程为；同理可得方程为：，
，经过点，则，
由两点可确定一条直线，所以所在直线方程为：，
当时，直线与直线垂直，显然成立，
当时，直线斜率，，
直线所在斜率，
则，
综上，直线与直线垂直.
80．【解析】（1）由题意得解得
所以椭圆C的标准方程为．
（2）当椭圆C的切线斜率存在时，设点，，，，，
切线PM的方程为．
联立消去y整理得．
因为直线PM与椭圆C相切，
故，即，
，，
所以，，则切线PM的方程为，即，
同理，切线PN的方程为．
当椭圆C的切线斜率不存在时，切点或，
当切点为时，切线为，满足方程；
当切点为时，切线为，满足方程．
又切点，，则切线PM方程为，
切线PN方程为．因为直线PM与直线PN相交于点P，
故
由两点确定一条直线有直线MN的方程为，
整理得，
联立解得
故直线MN过定点．
1．答案：B
【解析】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
2．答案：B
【解析】因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
3．答案：BCD
【解析】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
4．答案：ACD
【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
5．答案：
【解析】关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
6．答案：13
【解析】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.

7．答案：
【解析】双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
8．答案：
【解析】[方法一]：弦中点问题：点差法
令的中点为，设，，利用点差法得到，
设直线，，，求出、的坐标，
再根据求出、，即可得解；
令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，
所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，
设，，设直线，，，
则，，，因为，所以
联立直线AB与椭圆方程得消掉y得
其中，
∴AB中点E的横坐标,又，∴
∵，，∴,又，解得m=2
所以直线，即
[方法三]：
令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
故答案为：
9．答案：2（满足皆可）
【解析】，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2（满足皆可）
10．【解析】（1）设椭圆E的方程为，过，
则，解得，，
所以椭圆E的方程为：.
（2），所以，
①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，过点.
②若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
可得，，
且
联立可得
可求得此时，
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
11．【解析】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，
所以抛物线C的方程为；
（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，
若要使最大，则，设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，
，所以，
所以直线.
[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线MN的斜率存在.
设,直线
由 得：，,同理，.
直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，.
代入抛物线方程可得:,所以，同理可得，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.
[方法三]：三点共线
设，
设,若 P、M、N三点共线，由
所以，化简得，
反之，若,可得MN过定点
因此，由M、N、F三点共线，得，
由M、D、A三点共线，得，
由N、D、B三点共线，得，
则，AB过定点（4,0）
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，所以直线.
【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；
法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．
考向36 直线与圆锥曲线最全归纳
经典题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
经典题型二：中点弦问题之弦中点的轨迹方程问题
经典题型三：中点弦问题之中点弦所在直线方程问题
经典题型四：中点弦问题之对称问题
经典题型五：弦长问题
经典题型六：三角形面积问题
经典题型七：四边形面积问题
经典题型八：定点问题
经典题型九：定值问题
经典题型十：向量与共线问题
经典题型十一：设点设线问题
经典题型十二：四点共圆问题
经典题型十三：极点极线问题
经典题型十四：斜率和差商积问题
经典题型十五：范围与最值问题
经典题型十六：切线问题
(2023·全国·高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
【解析】（1）因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线．
易知直线l的斜率存在，设，，
联立可得，，
所以，，且．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化简得，，即，
所以或，
当时，直线过点，与题意不符，舍去，
故．
（2）［方法一］：【最优解】常规转化
不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，由（1）知，，
当均在双曲线左支时，，所以，
即，解得（负值舍去）
此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；
当均在双曲线右支时，
因为，所以，即，
即，解得（负值舍去），
于是，直线，直线，
联立可得，，
因为方程有一个根为，所以，，
同理可得，，．
所以，，点到直线的距离，
故的面积为．
［方法二］：
设直线AP的倾斜角为，，由，得，
由，得，即，
联立，及得，，
同理，，，故，
而，，
由，得，
故
【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线的斜率，从而联立求出点坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；
法二：前面解答与法一求解点坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．
(2023·全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【解析】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程为：；
（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；
总之，直线的斜率存在且不为零.
设直线的斜率为,直线方程为,
则条件①在上，等价于；
两渐近线的方程合并为,
联立消去y并化简整理得：
设,线段中点为,则,
设,
则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,
∴由,
∴,
所以直线的斜率,
直线,即,
代入双曲线的方程,即中，
得：,
解得的横坐标：,
同理：，
∴
∴,
∴条件②等价于，
综上所述：
条件①在上，等价于；
条件②等价于；
条件③等价于；
选①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.
知识点一、直线和曲线联立
（1）椭圆与直线相交于两点，设，
，
椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：，
注意：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②焦点在轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述．
（2）抛物线与直线相交于两点，设，
联立可得，时，
特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆．
抛物线与直线相交于两点，设，
联立可得，时，
注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析．
总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式．
知识点二、根的判别式和韦达定理
与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记．
同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记．
与C相离；与C相切；与C相交．
注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件．
（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．
（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可．
（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可；
焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可．
（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．
知识点三、弦长公式
设，根据两点距离公式．
（1）若在直线上，代入化简，得；
（2）若所在直线方程为，代入化简，得
（3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角．
注意：（1）上述表达式中，当为，时，；
（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．
（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为，判别式为，时，，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．
（4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单．
（5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式．
1、已知弦的中点，研究的斜率和方程
（1）是椭圆的一条弦，中点，则的斜率为，
运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上，
所以，两式相减得
所以
即，故
（2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线的弦，中点，则；若曲线是抛物线，则．
2、定值问题
解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：
（1）变量----选择适当的量为变量．
（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．
（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．
3、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．
4、求最值问题常用的两种方法
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．
（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．
5、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视”
（1）重视定义在解题中的作用（把定义作为解题的着眼点）．
（2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用．
（3）重视根与系数的关系在解题中的作用（涉及弦长、中点要用根与系数的关系）．
6、求参数的取值范围
据已知条件及题目要求等量或不等量关系，再求参数的范围．
7、在面对有关等角、倍角、共线、垂直等几何特征时，可设法将条件翻译成关于斜率的关系式，然后将斜率公式代入其中，得出参数间的关系式，再根据要求做进一步的推导判断．
8、通过合理的方式，将所需要的坐标、斜率、角度、向量数量积等问题利用参数进行表达，进而构造函数，通过求函数值域解决．涉及向量的数量积，多与坐标有关，最终利用根与系数的关系进行解决．
9、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
10、求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．
11、证明共线的方法：（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；（4）直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上；（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线．（6）面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”．
12、证明四点共圆的方法：
方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆．
方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．
方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为，并且任何一个外角都等于它的内对角）．
方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．
13、（1）若点是圆上的点，则过点的切线方程为．
（2）若点是圆外的点，由点向圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在直线方程为．
（3）若点是椭圆上的点，则过点的切线方程为．
（4）若点是椭圆外的点，由点P向椭圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在直线方程为．
经典题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
1．(2023·四川达州·二模（理））函数的最小值为，则直线与曲线的交点个数为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】当时，（当且仅当时取等号），
，即，曲线方程为：；
当，时，曲线为：，
由得：或，即交点为，；
当，时，曲线为：；
由得：，即交点为；
当，时，曲线为：，曲线不存在；
当，时，曲线为：；
由得：，即交点为；
综上所述：直线与曲线的交点为，，共个.
故选：B.
2．(2023·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））直线与双曲线没有公共点，则斜率k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】联立直线和双曲线：，消去得，
当，即时，此时方程为，解得，此时直线与双曲线有且只有一个交点；
当，此时，
解得或，所以时直线与双曲线无交点；
故选：A
3．(2023·全国·高三专题练习）若双曲线的一个顶点为A，过点A的直线与双曲线只有一个公共点，则该双曲线的焦距为( )
A．B．C．D．
答案：D
【解析】斜率为，
过点A的直线与双曲线只有一个公共点，
则该直线与双曲线的渐近线平行，且过双曲线右顶点(a，0)，
故=，且a-3=0，解得a=3，b=1，故c=，故焦距为2c=．
故选：D．
4．(2023·全国·高三专题练习）过点作直线l与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．无数条
答案：B
【解析】由题意，抛物线方程，点恰好再抛物线上，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与抛物线有两个交点，不满足题意；
当直线与轴平行时，此时直线与抛物线只有一个公共点，满足题意；
因为点在抛物线上，过点有且仅有一条切线，满足与抛物线只有一个公共点，
所以与抛物线只有一个公共点的直线只有2条.
故选：B.
经典题型二：中点弦问题之弦中点的轨迹方程问题
5．(2023·全国·高三专题练习）椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_________________．
答案：
【解析】设斜率为的直线方程为，与椭圆的交点为，
设中点坐标为，则，
所以，两式相减可得，
，即，
由于在椭圆内部，由得，
所以时，即直线与椭圆相切，
此时由解得或，
所以，
所求得轨迹方程为．
故答案为：．
6．(2023·全国·高三课时练习）斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是______．
答案：(或).
【解析】设直线为，与双曲线交点为，
联立双曲线可得：，则，即或，
所以，故，则弦中点为，
所以弦的中点的轨迹方程为(或).
故答案为：(或)
7．(2023·全国·高三课时练习）已知椭圆．
(1)过椭圆的左焦点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
(2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；
(3)求过点且被平分的弦所在直线的方程．
【解析】（1）设弦与椭圆两交点坐标分别为、，
设，当时，．
当时，，
两式相减得，即(*)，
因为，，，
所以，代入上式并化简得，显然满足方程.
所以点P的轨迹方程为（在椭圆内部分）．
（2）设，在（1）中式子里，
将，，代入上式并化简得点Q的轨迹方程为（在椭圆内部分）．
所以，点的轨迹方程（在椭圆内部分）.
（3）在（1）中式子里，
将，，代入上式可求得．
所以直线方程为．
8．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的弦所在直线过点，求弦中点的轨迹方程.
【解析】设，弦的中点，则，
将代入椭圆方程得，
两式相减得，
所以，
当时，，
因为，所以，则，
整理得；
当时，则直线方程为，代入椭圆方程解得
所以满足上述方程，
故点的轨迹方程.
9．已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，试求弦的中点轨迹方程.
【解析】方法1：设，，弦的中点为，则，
当直线的斜率存在时，.
因为两式相减，得.
所以，即，
即.
当直线斜率不存在，即轴时，的中点为，适合上式，
故所求轨迹方程为.
方法2：当直线的斜率存在时，设直线的方程为（），由得.
所以
所以.
设，，的中点为，
则，.
所以
.
所以
消去参数，得.
当直线的斜率不存在时，即轴时，的中点为，适合上式，
故所求轨迹方程为.
经典题型三：中点弦问题之中点弦所在直线方程问题
10．(2023·全国·高三专题练习）若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在的直线方程为______．
答案：
【解析】设直线与椭圆的交点为
为的中点， ；
两点在椭圆上，则
两式相减得 ；
则 ； ；
故所求直线的方程为 ，即 ；
故答案为：
11．(2023·全国·高三开学考试（理））已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】法一：设，则，
所以，又AB的中点为，
所以，所以，由题意知，
所以，即，则C的离心率.故A，B，D错误.
故选：C.
法二：直线AB过点，斜率为1，所以其方程为，即，
代入并整理得，
因为为线段AB的中点，所以，整理得，
所以C的离心率.故A，B，D错误.
故选：C.
12．(2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，且的中点的纵坐标为2．求C的方程.
【解析】设点，则，所以，
又因为直线AB的斜率为1，所以，
将A、B两点代入抛物线方程中得：，将上述两式相减得，
，即，
所以，即，所以，
因此，抛物线的方程为.
经典题型四：中点弦问题之对称问题
13．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）过点，直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为-0.5.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，椭圆上是否存在，两点，使得，关于直线对称，若存在，求出，的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设，，则，
即．
因为，在椭圆上，所以，，
两式相减得，即，
又，所以，即．
又因为椭圆过点，所以，解得，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知，直线的方程为．
假设椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称，
设，，的中点为，所以，，
因为，关于直线对称，所以且点在直线上，即．
又因为，在椭圆上，所以，，
两式相减得，
即，所以，即．
联立，解得，即．
又因为，即点在椭圆外，这与是弦的中点矛盾，
所以椭圆上不存在点，两点，使得，关于直线对称．
14．(2023·浙江·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与抛物线C交于A，B两点.
(1)若，求的面积；
(2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围.
【解析】（1）抛物线的焦点为，
时，直线，
联立，可得，
设，，，，
则，．
，
点到直线的距离距离，
的面积．
（2）∵点，关于直线对称，∴直线的斜率为，
∴可设直线的方程为，
联立，整理可得，
由，可得，
设，，，，则，
故的中点为，
∵点，关于直线对称，∴的中点，在直线上，
∴，得，∵，∴．
综上，的取值范围为．
15．(2023·四川内江·模拟预测（理））若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为______.
答案：
【解析】依题意，双曲线上两点，，，，
若点A、B关于直线对称，则
设直线的方程是，代入双曲线方程化简得：
，
则，且，解得，且
又，设的中点是，，
所以，．
因为的中点在直线上，
所以，所以，又
所以，即，所以
所以，整理得，
所以或，
实数的取值范围为：
故答案为：.
经典题型五：弦长问题
16．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设直线AB方程为，联立椭圆方程
整理可得：，设，
则，，根据弦长公式有：
=．故B，C，D错误.
故选：A.
17．(2023·陕西·安康市教学研究室三模（文））过抛物线的焦点F的直线交C于A，B两点，若在其准线上的投影长为6，则（ ）
A．B．C．12D．
答案：C
【解析】，当直线的斜率不存在时，不满足题意，
所以直线的斜率存在，设，
将代入直线方程整理得，
所以，，
所以，
所以，
故选：C
18．(2023·山东·汶上县第一中学高三开学考试）已知抛物线（）的焦点为F.若直线与C交于A，B两点，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：C
【解析】将代入，解得，
则、，
所以，解得，
则.
故选：C.
19．(2023·湖南·高三阶段练习）已知椭圆为右焦点，直线与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段与线段的中垂线交于点Q．
(1)当时，求；
(2)当时，求是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．
【解析】（1）设，线段的中点M坐标为，联立得消去y可得：，所以
所以，代入直线方程，求得，
因为Q为三条中垂线的交点，所以，
有，直线方程为.
令，所以.
由椭圆可得右焦点，故．
（2）设，中点M坐标为．
相减得，.
又Q为的外心，故，
所以，直线方程为，
令，所以而,所以，
，同理，，
，所以当t变化时，为定值．
20．(2023·四川省巴中中学模拟预测（文））已知椭圆：的左、右顶点分别为、，点在椭圆上，且直线的斜率与直线的斜率之积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若圆的切线与椭圆交于、两点，求的最大值及此时直线的斜率．
【解析】（1）由椭圆可得，所以，解得，
因为椭圆经过点，故得到，解得，
所以椭圆的方程为
（2）当切线垂直轴时，的横坐标为1或-1，由于椭圆的对称性，不妨设的横坐标为1，
代入椭圆得解得，所以；
当切线不垂直轴时，设切线方程为即，
所以圆心到切线的距离，得，
把代入椭圆方程，整理得
设，则，
设，则，则
，
所以，
综上所述，，此时，因为，所以直线的斜率为
21．(2023·全国·高三专题练习）设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求.
【解析】（1）抛物线的焦点为，
所以，即，，又点，，是等腰直角三角形的三个顶点，
所以，即，又，所以，
所以双曲线方程为.
（2）依题意设，，
由消去整理得，
由，所以，，
所以
.
经典题型六：三角形面积问题
22．(2023·陕西·安康市教学研究室三模（文））已知椭圆的上顶点E与其左、右焦点构成面积为1的直角三角形．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l交C于两点，P是C上的动点，当时，求面积的最大值．
【解析】（1）由题意得，
解得，
椭圆C的方程为．
（2）显然斜率不存在时不满足条件，当斜率存在时，，设，
代入C方程整理得，
，
，
解得，
显然时面积最大值相同，，
当P为与平行的切线的切点时，面积最大，
不妨设与平行的切线方程为，代入C方程整理得，
，
解得，
显然时取得最大值，，
．
23．(2023·广东汕头·高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上一动点与左､右焦点构成的三角形面积最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.
①求证：直线恒过定点；
②设和的面积分别为，求的最大值.
【解析】（1）由题意，解得，所以椭圆C的方程为．
（2）①依题意，设，
若直线的斜率为0则P，Q关于y轴对称，必有，不合题意．
所以直线斜率必不为0，设其方程为，
与椭圆C联立，整理得：，
所以，且
因为是椭圆上一点，即，
所以，则，即
因为
，
所以，此时，
故直线恒过x轴上一定点．
②由①得：，
所以
，
而，当时的最大值为．
24．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上一动点，直线与圆相切于Q点，且Q是线段的中点，三角形的面积为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P（点P不在x轴上）作圆的两条切线、，切点分别为M，N，直线MN交椭圆C于点D、E两点，求三角形ODE的面积的取值范围．
【解析】（1）连接OQ，由，且所以OQ为的中位线，
所以且，所以根据椭圆的定义可得：，
所以，解得，所以，
所以，解得，所以，
故椭圆C的方程为：．
（2）设，，则，由几何性质可知P、M、O、N四点共圆，且PO为该圆直径，则以线段OP为直径的圆的方程为，
又圆O的方程为，
两式相减得直线MN的方程为．
由消去y整理得．
因为直线MN交椭圆C于D、E两点，设，
所以，
，，
则
．
又原点到直线DE的距离为，
所以三角形ODE 的面积为
．
设，因为所以，
因为在单调递增，所以
所以．
25．(2023·重庆南开中学高三阶段练习）已知双曲线的右焦点为，过右焦点作斜率为正的直线，直线交双曲线的右支于，两点，分别交两条渐近线于两点，点在第一象限，为原点．
(1)求直线斜率的取值范围；
(2)设，，的面积分别是，，，求的范围．
【解析】（1）因为双曲线的右焦点为，故，
由得，所以双曲线的方程为，，
设直线的方程为，联立双曲线方程得，
，解得，
即直线的斜率范围为；
（2）设，渐近线方程为，则到两条渐近线的距离，满足，
而，，
，
所以
由，
，
所以，，
∵，∴.
26．(2023·江苏南通·高三阶段练习）已知点在双曲线上，直线l交C于 两点，直线 的斜率之和为.
(1)求l的斜率;
(2)若，求的面积.
【解析】（1）将点代入中，得，即，
解得 ，故双曲线方程为；
由题意知直线l的斜率存在，设，设，，
则联立直线与双曲线得：，
需满足，
故，，
，
化简得：，
故，
即 ，即，
由题意可知直线l不过A点，即，
故l的斜率
（2）设直线AP的倾斜角为，由，，
得，（负值舍去），
由直线 的斜率之和为,可知，即，
则，得，即，
联立，及得，，
将，代入中，得，
故，，
而，，
由，得，
故
.
27．(2023·全国·模拟预测）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为．点在第一象限的双曲线上，过点作双曲线切线与直线交于点．
(1)证明：；
(2)已知斜率为的直线与双曲线左支交于 两点，若直线，的斜率互为相反数，求的面积．
【解析】（1）因为双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为，
所以，，解得，
所以，双曲线的标准方程为，
因为过点作双曲线切线与直线交于点，故切线的斜率存在，
所以，设，在点的切线方程为，
联立方程得
所以，，即①
因为，代入①式得，解得
所以，在点的切线方程为，
所以点的坐标为，即，
因为，
所以
所以，
（2）由题，设直线的方程为，
与双曲线方程联立得，
设，
所以
因为直线，的斜率互为相反数，所以，
所以，
整理得：②
将代入②整理得：③
结合可知时，③式恒成立，
所以，由（1）可知，，，
所以，
所以的面积.
28．(2023·江苏南通·高三阶段练习）已知椭圆的左，右顶点分别为，右焦点为，点是椭圆上一动点（异于）点关于原点的对称点为，连接并延长交于点连接并延长交椭圆于点，记面积分别为
(1)当点坐标为时，求的值；
(2)是否存在点，使得若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）当时，，，垂直于x轴，，
设左焦点,则轴，
∴，，
，方程：.
由消去x得，
∴，
∴；
（2）设，则，∴直线方程：，
方程：，由得，
方程：，
由消去x得，
∴，
∴，
假设满足题设条件的存在，则，
解得（，与椭圆的范围不符，舍去),
将代入椭圆方程解得，
∴存在满足条件的点，此时.
经典题型七：四边形面积问题
29．(2023·四川·树德中学高三阶段练习（理））在平面直角坐标系xOy中，动圆P与圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心的轨迹为E．
(1)求轨迹E的方程；
(2)过圆心的直线交轨迹E于A，B两个不同的点，过圆心的直线交轨迹E于D，G两个不同的点，且，求四边形ADBG面积的最小值．
【解析】（1）设动圆P的半径为R，圆心P的坐标为，
由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，
动圆P与圆内切，且与圆外切，
，则
动圆P的圆心的轨迹E是以， 为焦点的椭圆，
设其方程为：，
其中，，
，，即轨迹E的方程为：.
（2）当直线AB的斜率不存在，或为0时，
四边形ADBG面积长轴长通径长，
当斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为，，，
由可得：，
，，
，
．
，，
同理可得：，
，
四边形ADBG面积，
则
等号当且仅当时取，
即时，.
30．(2023·全国·模拟预测（文））已知A、B分别为椭圆：）的上、下顶点，F是椭圆的右焦点，C是椭圆上异于A、B的点，点D在坐标平面内．
(1)若，求椭圆的标准方程；
(2)若，且，，求四边形CADB面积S的最大值．
【解析】（1）由已知是等边三角形，
因为，，所以，
得椭圆的标准方程为．
（2）设，，
因为，，所以，
则,所以，
，
所以，，
两式相减得，
带回原式得，
因为，所以，
（当时取等）
所以四边形CADB面积S的最大值为．
31．(2023·山东青岛·高三开学考试）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.
（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；
（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.
【解析】（1）设动圆的半径为，圆心的坐标为
由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.
动圆与圆内切，且与圆外切，
动圆的圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为：，
其中
从而轨迹的方程为：
（2）（i）设直线的方程为，则
由可得：
直线的方程为，
令可得点的横坐标为：
为一个定点，其坐标为
（ii）根据（i）可进一步求得：
.
，
则
，
四边形面积
（法一）
等号当且仅当时取，即时，
（法二）令，
则
当，即时，
32．(2023·河南·高三阶段练习（理））已知椭圆：的左焦点为，上、下顶点分别为，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆上有三点，，满足，证明：四边形的面积为定值．
【解析】（1）依题意，又，所以，
所以，
所以椭圆方程为.
（2）证明：设，，，因为，所以四边形为平行四边形，
且，所以，即，
又，，所以，
若直线的斜率不存在，与左顶点或右顶点重合，
则，所以，
所以，
若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入椭圆方程整理得，
所以，，，
所以
所以，
整理得，
又，
又原点到的距离，
所以，
将代入得，
所以，
综上可得，四边形的面积为定值.
经典题型八：定点问题
33．(2023·河南省信阳市第二高级中学高三开学考试（文））在直角坐标系中，已知定点，定直线，动点M到直线l的距离比动点M到点F的距离大2．记动点M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线？
(2)设在C上，不过点P的动直线与C交于A，B两点，若，证明：直线恒过定点．
【解析】（1）因为动点M到直线l 的距离比到F的距离大2，故M到F的距离与
M到直线的距离相等，所以M的轨迹C是以F为焦点
m为准线的抛物线，因此, C是顶点为原点开口向上的抛物线.
（2）因为P在C上故，
设，
联立方程 ，可得，
，
，将(2)代入化简得：
或，以上均可满足(1)式，
所以直线方程为：或，
直线分别过定点或，
又，所以直线恒过定点.
34．(2023·江苏·盐城中学高三开学考试）已知曲线的焦点为，曲线上有一点满足，过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点.
(1)求证：直线与轴相交于定点；
(2)试探究轴上是否存在定点满足恒成立.若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）在，即，解得，
所以，
故抛物线为，
易知直线的斜率不为，
故设，，，联立，
故，，所以，
因为，则，
则或（舍，故．
（2）假设存在设，其中，因为，那么，则轴为的角平分线，
若，则垂直于轴，轴平分，
则垂直于轴，则直线的方程为，此时，
而，相异，故，
同理故与的斜率互为相反数，
即
为定值．
故当时，恒成立．
35．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆经过点，且离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆交于两点，为椭圆上顶点，直线交直线于两点，已知两点纵坐标之和为.求证：直线过定点，并求此定点坐标.
【解析】（1）因为椭圆经过点，
所以，
因为离心率，所以，即，
因为，所以解得
所以方程为
（2）设，则，得
，
由，得，
则，
直线为，则，
直线为，则，
所以，
化简得：，
所以
化简得
当，与点重合，不满足条件
当，代入直线方程可得：，
所以过定点.
36．(2023·河南·高三阶段练习（文））已知抛物线：，直线，都经过点．当两条直线与抛物线相切时，两切点间的距离为4．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若直线，分别与抛物线依次交于点 E，F 和 G，H，直线 EH，FG 相交于点．若直线，关于 轴对称，则点是否为定点？请说明理由．
【解析】（1）设经过点的直线为：，由消去y，得，，当直线与抛物线相切时，，∵，∴，所以，解得，∴切点为，又∵两切点间的距离为4，∴，即，∴抛物线的标准方程为；
（2）设点，，：，则，，联立，消去得，则，，∵直线，关于轴对称，∴直线 也关于 轴对称，∴交点在 轴上，∴直线的方程为，令，得，∴，∴，∴点的坐标为定点．
经典题型九：定值问题
37．(2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知定点，动点满足.记点的轨迹为.
(1)求曲线的方程；
(2)经过且不垂直于坐标轴的直线与交于两点，轴上点满足，证明：为定值，并求出该值.
【解析】（1）由椭圆的定义可知：的轨迹为以为焦点的椭圆，且
则可得，，
所以，
所以的方程为
（2）设直线为：，
则联立得：，
设，则，，
，
则，
中点坐标为，
所以的垂直平分线为，
令得：，
所以，，
38．(2023·全国·高三专题练习）已知，平面内一动点满足．
(1)求点运动轨迹的轨迹方程；
(2)已知直线与曲线交于，两点，当点坐标为时，恒成立，试探究直线的斜率是否为定值？若为定值请求出该定值，若不是定值请说明理由．
答案：(1)
(2)是定值；
分析：对于小问1，设点，代入，整理化简得点轨迹方程；
对于小问2，设出直线：，联立曲线的方程，结合韦达定理，代入，整理得到和的关系，进而判断直线是否过定点．
（1）设，则，所以点轨迹方程为：．
（2）显然直线不垂直于轴，
故设：，，
代入并整理得： ，
∴
，
整理得：，
若，此时过，不合题意；
若，即符合题意，
故直线的斜率为．
39．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上的动点．当点与椭圆的上顶点重合时，．
(1)求的方程；
(2)当点为椭圆的左顶点时，过点的直线（斜率不为0）与椭圆的另外一个交点为，的中点为，过点且平行于的直线与直线交于点．试问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由．
【解析】（1）设椭圆E的半焦距为c，点，而，则，
即有，解得，又离心率，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，显然直线不垂直于坐标轴，设直线：，，
由消去x并整理得：，解得点，则点，
直线，则直线方程为：，点，直线的斜率，
直线的斜率，因此，，
所以是定值.
40．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆过点，且点到其两个焦点距离之和为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为原点，点为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点，且直线与轴不重合，直线分别与轴交于两点.求证：为定值.
【解析】（1）依题意，解得，所以椭圆方程为；
（2）由（1）可知，
当直线斜率不存在时，直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，
不妨设此时，，
所以直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
所以；
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
由得，
依题意，，
设，，则，，
又直线的方程为，
令，得点的纵坐标为，即，
同理，得，
所以
，
综上可得，为定值，定值为．
41．(2023·河北·邢台市第二中学高三阶段练习）如图所示：已知椭圆：的长轴长为4，离心率．是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于，两点，交轴于点，，．记的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的取值范围；
(3)求证：为定值．
【解析】（1）令椭圆E的半焦距为c，依题意，，，解得，则，
所以椭圆的标准方程为.
（2）依题意，直线不垂直于坐标轴，设直线：，，设，
由消去x并整理得：，则，，
，
由（1）知，则有，
令，显然函数在上单调递增，，则，
所以的取值范围是.
（3）由（2）知，，由得，即，而，同理，
因此，，
所以为定值.
42．(2023·江苏省响水中学高三开学考试）已知椭圆：，，过点的动直线与椭圆交于、两点.
(1)求线段的中点的轨迹方程；
(2)是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）①当直线存在斜率时，设、、，，
则应用点差法：，两式联立作差得：，
∴，
又∵，
∴，化简得（），
②当直线不存在斜率时，，
综上，无论直线是否有斜率，的轨迹方程为；
（2）①当直线存在斜率时，设直线的方程为：，
联立并化简得：，
∴恒成立，∴，，
又，，，，
∴，
，
若使为定值，
只需，即，其定值为，
②当直线不存在斜率时，直线的方程为：，则有、，
又，，，，
∴，当时，也为定值，
综上，无论直线是否有斜率，一定存在一个常数，
使为定值.
经典题型十：向量与共线问题
43．(2023·全国·高三专题练习）已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点.
(1)求证：；
(2)求证：为定值，并求出该定值；
(3)求的最大值.
【解析】（1）联立与得：，
由直线与椭圆有一个公共点可知：，
化简得：；
（2）由题意得：，
因为，所以∥，故，
其中，，
所以，
为定值，该定值为1；
（3），
由题意得：点在直线的同侧，
所以，
，（其中为的夹角），
由此可知：，
当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为4.
44．(2023·北京·人大附中高三开学考试）已知椭圆：的焦距为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线，与椭圆交于，两点，与轴交于点.若，，求证：为定值.
【解析】（1）因为椭圆的焦距，所以.
又因为椭圆过点，所以.
又因为，所以，.
所以椭圆的标准方程为：.
（2）设点，，，.
由题意可知，直线的斜率存在，可设直线的方程为.
联立，得.
由于点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点，必有.
由韦达定理可得，.
因为，，
得，.
依题意，，，
所以，.
所以.
所以为定值.
45．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆方程为，直线与轴的交点记为，过右焦点的直线与椭圆交于，两点.
（1）设若且交直线于，线段中点为，求证：，，三点共线；
（2）设点的坐标为，直线与直线交于点，试问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由.
【解析】（1）由椭圆方程为知，右焦点坐标，
椭圆的右准线方程为，点坐标.
由知，直线的斜率不为0，故设直线的方程为，
从而，直线的方程为，令得，点坐标为，
故直线的方程为.
联立方程组，消去得：，
设，
即，，
从而，线段的中点，.
又线段的中点的坐标满足直线方程，
所以点在直线上，综上可知，，，三点共线；
（2）当直线的斜率为0时，点即为点，从而，故.
直线的斜率不为0时，由（1）知，，，
所以，则，
直线的方程为，又，
令，得，
所以点的坐标为，即，所以.
综上可知，为定值0.
46．(2023·湖北十堰·三模）在平面直角坐标系中，，，，，点P是平面内的动点，且以AB为直径的圆O与以PM为直径的圆内切.
(1)证明为定值，并求点P的轨迹的方程.
(2)过点A的直线与轨迹交于另一点Q（异于点B），与直线交于一点G，∠QNB的角平分线与直线交于点H，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)如图，以为直径的圆与以为直径的圆内切，
则.
连接，因为点O和分别是和的中点，所以.
故有，即，
又，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆.
因为，，所以，故的方程为.
(2)存在满足题意.
理由如下：设，，.显然.
依题意，直线AQ不与坐标轴垂直，设直线AQ的方程为，
因为点G在这条直线上，所以，.
联立得的两根分别为和0，
则，，
所以，.
设，则，则，，
所以，整理得，
因为，所以，即.
故存在常数，使得.
47．(2023·山东·青岛二中高三开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线与C交于两点A，B，与直线交于点N．设，，求证：为定值．
【解析】(1)设C的焦距为，则，
即，，；
由双曲线的定义，得，即，
所以，故C的方程为．
(2)设，，，显然直线AB的斜率存在，
可设直线AB的方程为，代入，
得．
由过点的直线与C交于两点A，B，得，
由韦达定理，得，； ①
由在直线上，得，即； ②
由在直线AB上，得． ③
由，得，
即解得．同理，由，得，
结合①②③，得
．故是定值．
48．(2023·全国·高三专题练习）双曲线：的顶点与椭圆：长轴的两个端点重合，且一条渐近线的方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线右焦点作直线与分别交于左右两支上的点，，又过原点作直线，使，且与双曲线分别交于左右两支上的点，．是否存在定值，使得？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由椭圆：得到：，
双曲线的渐近线方程为，得到：，解得：.
则双曲线的方程．
（2）若存在定值，使得，∵与同向，∴，
∵，设：，由消去整理得：，∴，由交左右两支于、两点，
有，即，则，
，
由于，可设：，由消去整理得：，∴，
由此，
∴，故存在定值，使得．
49．(2023·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且三角形的面积为．
(1)求m的值；
(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴的对称点为，F为C的右焦点，若，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点．
【解析】（1）双曲线的渐近线方程为，则不妨令点，
，而点O到直线AB的距离为m，因此，解得，
所以．
（2）由（1）知，双曲线C的方程为，右焦点，
因直线l与x轴不垂直且斜率不为0，设直线l与x轴交于点，直线l的方程为，
设，则，由消去y并整理得，
显然有且，化简得且，
则，，
而，F，N三点共线，即，则，
因此，又，有，
整理得，于是得，化简得，
即直线：，过定点，
所以直线l经过x轴上的一个定点．
50．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知、分别是椭圆的左、右顶点，是直线上不与点重合的任意一点，是坐标原点，与直线垂直的直线与的另一个交点为.求证：、、三点共线.
【解析】（1）由题意可得，解得，
因此，椭圆的方程为.
（2）证明：设点的坐标为，其中，易知点、，
，则直线的方程为，
联立，可得，即点，
，，则，
因此，、、三点共线.
51．(2023·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率为．
(1)若直线平分线段，求的值；
(2)求面积的最大值，并指出对应的点的坐标；
(3)对任意的，过点作的垂线交椭圆于，求证：，，三点共线．
【解析】（1）由题设知，，，故，，线段中点坐标为．
由于直线平分线段，故直线过线段的中点，又直线过原点，；
（2），，，
设与平行的直线方程为，联立，得．
由，解得：．
由题意可知，当时，直线与直线的距离最大，最大值．
即面积有最大值，等于．
由，解得，，点坐标为；
（3）设，，，，中点，，
则，，
两式作差可得：，，即．
，，即，．
，，，即．
，，故，，三点共线．
经典题型十一：设点设线问题
52．(2023·天津·耀华中学高三阶段练习）已知曲线的方程为，曲线是以、为焦点的椭圆，点为曲线与曲线在第一象限的交点，且．
(1)求曲线的标准方程；
(2)直线与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点在曲线上，求直线的斜率的取值范围．
【解析】（1）设椭圆方程为，
依题意，，，利用抛物线的定义可得，解得，
点的坐标为，所以，
由椭圆定义，得．
，
所以曲线的标准方程为；
（2）设直线与椭圆的交点，，，，，的中点的坐标为，，
设直线的方程为，
(当时,弦中点为原点,但原点并不在上,同样弦中点为原点，不适合题意)
与联立，得，
由得①，
由韦达定理得，，，
则，，
将中点，代入曲线的方程为，
整理，得，②
将②代入①得，
令，则，解得，．
所以直线的斜率的取值范围为且．
53．(2023·江苏·海安高级中学高三阶段练习）在一张纸上有一个圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为．
(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出此定点的坐标．
【解析】（1）由题意得，所以，
即的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线，
又，，所以，
所以的方程为；
（2）由已知得：，：，
联立直线方程与双曲线方程，消去整理得，
由韦达定理得，所以，即，
所以，
联立直线方程与圆方程，消去整理得，
由韦达定理得，所以，即，
因为，即，所以，
若直线所过定点，则由对称性得定点在轴上，设定点，
由三点共线得，
即，
所以直线过定点．
54．(2023·全国·模拟预测）已知椭圆，过点作椭圆的两条切线，且两切线垂直.
(1)求；
(2)已知点，若存在过点的直线与椭圆交于，且以为直径的圆过点（不与重合），求直线斜率的取值范围.
【解析】（1）由题可知，切线斜率存在，则设切线，
联立得，即，
相切得：，即，所以
由两切线垂直得：
（2）由（1）得，椭圆方程为
由题可知，直线的斜率存在，设，联立得
设，由韦达定理得：
由题意为直径的圆过点，①
又
代入①式得：
或（舍去），所以过定点，
，
，
即直线斜率范围
55．(2023·福建泉州·模拟预测）已知椭圆过点．右焦点为，纵坐标为的点在上，且．
(1)求的方程：
(2)设过与轴垂直的直线为，纵坐标不为的点为上一动点，过作直线的垂线交于点，证明：直线过定点．
【解析】（1）设点，其中，则，
因为椭圆过点，则，
将点的坐标代入椭圆的方程，可得可得，解得，
因此，椭圆的标准方程为.
（2）证明：由对称性可知，若直线过定点，则点必在轴上，设点，
设点，则，
所以，直线的垂线的斜率为，
故直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
所以，直线的方程为，
因为点在直线上，所以，，
即，①
又因为，所以，，②
将②代入①可得，即，
，则，所以，直线过定点.
经典题型十二：四点共圆问题
56．(2023·四川泸州·三模（文））已知抛物线上的点到其焦点的距离为．
(1)求和的值；
(2)若直线交抛物线于、两点，线段的垂直平分线交抛物线于、两点，求证：、、、四点共圆．
【解析】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，
点到其焦点的距离为，则，可得，故抛物线的方程为．
将点的坐标代入抛物线方程可得，解得.
（2）由中垂线的性质可得，，，，所以，，
设、，联立消去并整理，得，
则，，且，即，
则．
设线段的中点为，则点的纵坐标为，
所以，点的横坐标为，则．
直线为线段的垂直平分线，所以，直线的方程为．
设、，联立，
消去并整理得，，可得，
则，，
故．
设线段的中点为，则．
，
，，
故，所以，，，
故，故，
所以，点、都在以为直径的圆上，故、、、四点共圆．
57．(2023·河北衡水·高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，动点P满足，且.设动点P形成的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)过点的直线l与曲线C交于M，N两点，试判断是否存在直线l，使得A，B，M，N四点共圆.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
【解析】（1）设，则，，，
因为，所以，
所以，，所以，，
又，整理得，
即曲线C的标准方程为；
（2）易知当l的斜率不存在时，直线l与曲线C没有两个交点，所以直线l的斜率存在，
设l：，将直线l与曲线C联立，得，
消去y，整理得，
因为且，
所以且，
设，，
则，，
所以MN的中点，
且，
将，代入上式，
整理得，
当时，线段MN的中垂线方程为：，
令y＝0，解得，即与x轴的交点坐标为，
当k＝0时，线段MN的中垂线为y轴，与x轴交于原点，符合Q点坐标，
因为AB的中垂线为x轴，所以若A，B，M，N共圆，则圆心为，
所以，
所以，
整理得，即，
因为且，
所以上述方程无解，即不存在直线l符合题意.
58．(2023·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，且过点．
(1)求C的方程；
(2)过原点O且与x轴不重合的直线交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M，，N，四点共圆．
【解析】(1)由题意知
解得，，
所以C的方程为．
(2)证明：当直线EF的斜率不存在时，E，F为短轴的两个端点，则，或，所以，，则以MN为直径的圆恒过焦点，即M、，N，四点共圆．
当EF的斜率存在且不为零时，设直线EF的方程为，
设点（不妨设，则点．
由消去y得，所以，，
所以直线AE的方程为．
因为直线AE与y轴交于点M，令得，
即点，
同理可得点．
所以，，
所以，所以，同理．
则以MN为直径的圆恒过焦点，，即M，，N，四点共圆．
综上所述，M，，N，四点共圆．
59．(2023·河南洛阳·三模（理））已知抛物线：，是上位于第一象限内的动点，它到点距离的最小值为，直线与交于另一点，线段AD的垂直平分线交于E，F两点.
(1)求的值；
(2)若，证明A，D，E，F四点共圆，并求该圆的方程.
【解析】(1)设，则，
令，则，
对于二次函数，其对称轴为，
当时，，在上单调递增，其最小值为9，即的最小值为3，不满足题意，
当时，，所以当时取得最小值，即
所以，解得或（舍）
所以
(2)由（1）可得，当时，，点，
所以，直线的方程为，
由可得，解得或，所以，
所以的中点为，所以直线的方程为，即，
设，由可得，所以
所以线段的中点为，
因为，所以A，D，E，F四点共圆，圆心为，半径为8，
所以该圆的方程为.
60．(2023·广东·三模）已知椭圆E：的离心率为，且经过点(-1，).
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设椭圆E的右顶点为A，点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左､右顶点的动点，直线l：交x轴于点P，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O､A､M､N四点共圆，求t的值.
【解析】(1)依题意：，解得：，，
故椭圆C的方程为；
(2)设B(，)，C(，)，∵点B为椭圆E上异于左､右顶点的动点，
则直线BC不与x轴重合，则可设BC为，
与椭圆方程联立得，
则，可得，
由韦达定理可得．
直线BA的方程为，令得点M纵坐标
同理可得，点N纵坐标
当O､A､M､N四点共圆时，由割线定理可得，即，
∵
．
由，故，解得．
经典题型十三：极点极线问题
61．(2023•江西）如图，已知双曲线的右焦点为，点，分别在的两条渐近线上，轴，，为坐标原点）．
（1）求双曲线的方程；
（2）过上一点，的直线与直线相交于点，与直线相交于点．证明：当点在上移动时，恒为定值，并求此定值．
【解析】（1）解：依题意知，，设，
，，，，
整理得：，，
双曲线的方程为；
（2）证明：由（1）知，的方程为：，
又，直线与直线相交于点，与直线相交于点．
于是可得，，，
又因为，在上，所以有，
．
62．(2023•青浦区三模）曲线．
（1）若曲线表示双曲线，求的范围；
（2）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的范围；
（3）设，曲线与轴交点为，在上方），与曲线交于不同两点，，与交于，求证：，，三点共线．
【解析】解：（1）若曲线表示双曲线，
则：，
解得：，，；
（2）若曲线是焦点在轴上的椭圆，
则：．
解得：，（8分）
证明：（3）当，曲线可化为：，
当时，，
故点坐标为：，
将直线代入椭圆方程得：，
若与曲线交于不同两点，，
则△，解得：，（10分）
由韦达定理得：①，
②（12分）
设，，，，，，
方程为：，则，，（14分）
，，，，
欲证，，三点共线，只需证，共线，
即，
将①②代入可得等式成立，则，，三点共线得证．
63．(2023春•绍兴校级期末）设椭圆过点，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，满足，证明：点的轨迹与无关．
【解析】解（Ⅰ）由题意解得，，所求椭圆方程为．
（Ⅱ）设点，，，，，由题设．
又，，，四点共线，可得，
于是（1）（2）
由于，，，在椭圆上，将（1），（2）分别代入的方程，
整理得（3）（4）
（4）（3）得，，，
点总在定直线上．即点的轨迹与无关．
64．(2023•株洲一模）如图，点、分别是椭圆
的左、右焦点，过点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于点，过点作的垂线交直线于点．
（1）如果点的坐标为，求椭圆的方程；
（2）试判断直线与椭圆的公共点个数，并证明你的结论．
【解析】解：（1）解方程组得点的坐标为，
，
，
，
将代入上式解得，
；
点的坐标为，，
，，，
；
（2），点的坐标为，
，
，
即
将的方程代入椭圆的方程得，
①
方程①可化为
解得
直线与椭圆只有一个公共点．
经典题型十四：斜率和差商积问题
65．(2023·四川省南充高级中学模拟预测（理））在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标．
【解析】（1）由题意知，，，，
∵，，
∴，解得，从而，
∴椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，，．
直线不过点，因此．
由 ，得，
时，，，
∴
，
由，可得，即，
故的方程为，恒过定点．
66．(2023·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（文））已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，若，试问直线是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.
【解析】（1）因为椭圆的长轴为双曲线的实轴，
所以，
因为椭圆过点，
所以，，得，
所以椭圆方程为，
（2）①当直线的斜率存在时，设其方程为，
由，得，
，
所以，
所以，
，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
化简得，
即，
所以或，
当时，直线的方程为，
则直线过定点（舍去），
当时，直线的方程为，
所以直线过定点，
②当直线的斜率不存在时，设直线为（），
由，得
所以，
所以，
解得（舍去），或，
所以直线也过定点，
综上，直线恒过定点.
67．(2023·陕西·汉中市龙岗学校高三阶段练习（理））已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，、是椭圆的左、右顶点，过点且斜率不为的直线交椭圆于点、，直线与直线交于点．记、、的斜率分别为、、，是否存在实数，使得？
【解析】（1）抛物线的焦点为，
由题意可得，，，故，
因此，椭圆的方程为.
（2）设、，设直线的方程为，其中，
联立，得，，
由韦达定理可得，，
所以，
易知点、，，
所以，直线的方程为，
将代入直线的方程可得，即点，
，，
所以，，
所以，.
68．(2023·江苏·南京市秦淮中学高三阶段练习）椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，，且的面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.求证：直线恒过定点.
【解析】（1）因为，所以，即，所以，所以
又，，，
所以，即，所以，
所以，
所以椭圆方程为.
（2）依题意，设，
若直线的斜率为0则关于轴对称，必有，不合题意．
所以直线斜率必不为0，设其方程为，
与椭圆C联立，整理得：，
所以，
且，
因为是椭圆上一点，即
所，
则，即，
因为，得
即
因为
，
，
整理得 解得，
所以直线恒过定点 .
69．(2023·北京市第四十四中学高三阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点.
(1)若线段中点的横坐标为，求直线的方程；
(2)设直线与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值.
【解析】（1）若直线的斜率不存在时，线段中点的横坐标为，与已知矛盾；
设，，则，
，，
所以，
记线段中点为，设的纵坐标为，由已知可得点的坐标为，
所以，，
所以，
因为直线过点，，所以，
所以，所以，
当时，，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
因为直线： 与的交点坐标为，点在椭圆内，故直线与椭圆相交，满足条件，
当时，，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，因为直线： 与的交点坐标为，点在椭圆内，故直线与椭圆相交，满足条件，
所以直线
的方程为或；
（2）设直线的方程为，
联立，化简可得，所以，方程的判别式，所以或，
设，，则，，
联立，化简可得，所以点的坐标为，
因为轴，轴，所以点的坐标为，
所以直线的斜率，
直线的斜率，
所以，
又，
所以，
经典题型十五：范围与最值问题
70．(2023·上海·华东师范大学第一附属中学高三阶段练习）已知椭圆：的左焦点为，下顶点为，斜率为的直线经过点．
(1)若与直线垂直，求的方程；
(2)若直线与椭圆相交于不同的，，直线，分别与直线交于，且，求的取值范围．
【解析】（1）椭圆的左焦点为，下顶点为，
所以直线，若与直线垂直，则直线的斜率为1，
又直线经过点，所以直线的方程为，即；
（2）由题意知直线的斜率存在，
设，由得，
由得或，
，，
所以，
直线的方程为，直线的方程为，
令，可得，，可得，
因为，所以同号，且，
所以，
即，解得，又或，
所以或.
71．(2023·上海市洋泾中学高三阶段练习）已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点，且与坐标轴不垂直的直线
交椭圆于、两个不同的点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围；
(3)当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围．
【解析】（1）因为，所以；
又点在图像上即，所以，
所以椭圆的方程为；
（2）由（1）可得
设直线，设、，
由得，
解得或①
∵点在以线段为直径的圆的外部，则，
又②
解得或
由①②得
（3）设直线，又直线
的倾斜角为锐角，由（2）可知，
记、，所以直线的方程是：，直线的方程是：.
令，解得，所以点S坐标为；同理点T为.
所以，，.
由，，可得：，，
所以，
由（2）得，，
所以

，
因为，所以，，
故的范围是.
72．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且．
(1)求椭圆C的方程．
(2)设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线PA，PB与直线分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及的最大值．
【解析】（1）由题意，可得，，得，解得：．
椭圆C的标准方程为．
（2）解法1：设点P的坐标为，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴，直线PA的方程为，同理：直线PB的方程为．
直线PA与直线的交点为；
直线PB与直线的交点为．
∵线段MN的中点坐标为，
∴圆的方程为．
令，则．
∵，
∴，
∴．
∵这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解，
∴，解得．
设交点坐标分别为，，则．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法2：设点P的坐标为，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴，直线PA的方程为，同理：直线PB的方程为．
直线PA与直线的交点为；
直线PB与直线的交点为．
若以MN为直径的圆与x轴相交，则，
即，即．
∵，
∴，代入得到，解得．
该圆的直径为；
圆心到x轴的距离为；
该圆在x轴上截得的弦长为．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法3：设点P的坐标为，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴，直线PA的方程为
同理：直线PB的方程为．
直线PA与直线的交点为；
直线PB与直线的交点为．
∴．
圆心到x轴的距离为．
若该圆与x轴相交，则，即．
∵，
∴，
∴，解得．
该圆在x轴上截得的弦长为．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法4：记点D的坐标为（2，0），点H的坐标为（4，0），设点P的坐标为，点M的坐标为，点N的坐标为．
由已知可得点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴AP的直线方程为，BP的直线方程为．
令，分别可得，．
∴点M的坐标为，点N的坐标为．
若以MN为直径的圆与x轴相交于点E，F，
∵，
∴．
．
∵，
∴，代入得到，
∴．
∴．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法5：设直线OP与交于点T．
∵轴，
∴有，．
∴，，即T是MN的中点．
又设点P的坐标为，则直线OP方程为．
令，得，∴点T的坐标为．
而，若以MN为直径的圆与x轴相交于点E，F，则，即．
∵，
∴，
∴，解得或．
∵，∴，∴．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
73．(2023·全国·高三专题练习）设双曲线，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．
(1)求直线l倾斜角的取值范围；
(2)直线AO（O为坐标原点）与曲线C的另一个交点为D，求面积的最小值，并求此时l的方程．
【解析】（1）由双曲线得，
则右焦点，显然直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为，由得，
因为直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，设，
则，
解得，
当时，直线l倾斜角，当时，直线l的斜率或，
综上，直线l倾斜角的取值范围为
（2）因为O是AB中点，所以
，令，则
，其中，且
又在单调减，所以，
当，即时求得，此时直线l的方程为
74．(2023·全国·模拟预测）已知，是双曲线的左、右焦点，且双曲线过点，．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知过点的直线交双曲线左、右两支于，两点，交双曲线的渐近线于，（点位于轴的右侧）两点，求的取值范围．
【解析】(1)设双曲线的半焦距为，
∵，∴．
又，，解得，，
∴双曲线的方程为．
(2)由题意可设直线的方程为，双曲线的渐近线方程为，
联立得，联立得，
∴．
联立得，
设，，则，，
由即，
∴，
∴
．
又，∴，∴，
∴的取值范围为．
75．(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C经过点，它的两条渐近线分别为和.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左､右焦点分别为､，过左焦点作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求周长的取值范围.
【解析】（1）设双曲线C的方程为，
代入点，得，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）双曲线C的左焦点为，
设､，
①若直线l的斜率不存在，则，得A､B的坐标分别为和，
此时的周长为.
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
由得，
因为直线l交双曲线的左支于A､B两点，
所以，
得
设的周长为z，
，
设，由，得，
，，
所以，
综上，由①②可得的周长的取值范围.
经典题型十六：切线问题
76．(2023·全国·高三专题练习）已知：如图，抛物线，为其焦点，是过抛物线上一点的切线，是直线上的两点（不同于点），直线平行于轴．求证：．（入射角等于反射角）
【解析】作抛物线的准线，延长交于点，则；
由得，因此 ，
当时直线的斜率，直线的斜率，
两条直线斜率乘积为，所以直线垂直平分线段，则．
当时，点,此时直线为轴，结论显然成立．
综上所述，结论成立．
77．(2023·广东广州·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最大值为6．
(1)求的方程；
(2)若点在圆上，，是的两条切线，，是切点，求面积的最小值．
【解析】（1）抛物线的焦点为，圆，圆心，半径
，所以，与圆上点的距离的最大值为，解得；
所以抛物线的方程为.
（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点，，，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以，点、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以
点到直线的距离为，
所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最小值.
78．(2023·全国·高三专题练习）如图，为椭圆上的动点，过作椭圆的切线交圆于、，过、作切线交于，求的轨迹方程．
【解析】设点，先证明椭圆在点处的切线方程为．
联立，可得，，
故椭圆在点处的切线方程为．
设点，再证圆在点处的切线方程为．
当直线的斜率存在且不为零时，，圆在点处的切线斜率为，
∴圆在点处的切线方程为，即，
当直线的斜率不存在且为零时，在点处的切线满足上式.
设点，则圆在点处的切线方程为，
设点，则，
∴点、的坐标满足方程，
故直线的方程为，
由于直线与直线重合，
即直线与直线重合，
∴，即，
由于点在椭圆上，则，即，
因此，点的轨迹方程为．
79．(2023·全国·高三专题练习）抛物线焦点为，过斜率为的直线交抛物线于，两点，且
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过直线上一点作抛物线两条切线，切点为，猜想直线与直线位置关系，并证明猜想.
【解析】（1）由题意知抛物线焦点为，
设直线的方程为，与抛物线交于，，
联立抛物线方程，，
所以，
所以，
又由抛物线的定义知，即，
即，所以抛物线的方程为；
（2）直线与直线垂直，理由如下：
由（1）得，，
设，，，
所以直线方程为：，
又因为点A在抛物线上，即有，
得到直线方程为；同理可得方程为：，
，经过点，则，
由两点可确定一条直线，所以所在直线方程为：，
当时，直线与直线垂直，显然成立，
当时，直线斜率，，
直线所在斜率，
则，
综上，直线与直线垂直.
80．(2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的四个顶点围成的四边形面积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点P是直线上的动点，过点P做椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，问直线MN是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由题意得解得
所以椭圆C的标准方程为．
（2）当椭圆C的切线斜率存在时，设点，，，，，
切线PM的方程为．
联立消去y整理得．
因为直线PM与椭圆C相切，
故，即，
，，
所以，，则切线PM的方程为，即，
同理，切线PN的方程为．
当椭圆C的切线斜率不存在时，切点或，
当切点为时，切线为，满足方程；
当切点为时，切线为，满足方程．
又切点，，则切线PM方程为，
切线PN方程为．因为直线PM与直线PN相交于点P，
故
由两点确定一条直线有直线MN的方程为，
整理得，
联立解得
故直线MN过定点．
1．(2023·全国·高考真题（文））设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
答案：B
【解析】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
2．(2023·全国·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
3．（多选题）(2023·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
答案：BCD
【解析】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
4．（多选题）(2023·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．
C．D．
答案：ACD
【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
5．(2023·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
答案：
【解析】关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
6．(2023·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
答案：13
【解析】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.

7．(2023·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
答案：
【解析】双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
8．(2023·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．
答案：
【解析】[方法一]：弦中点问题：点差法
令的中点为，设，，利用点差法得到，
设直线，，，求出、的坐标，
再根据求出、，即可得解；
令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，
所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，
设，，设直线，，，
则，，，因为，所以
联立直线AB与椭圆方程得消掉y得
其中，
∴AB中点E的横坐标,又，∴
∵，，∴,又，解得m=2
所以直线，即
[方法三]：
令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
故答案为：
9．(2023·全国·高考真题（文））记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
答案：2（满足皆可）
【解析】，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2（满足皆可）
10．(2023·全国·高考真题（文））已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【解析】（1）设椭圆E的方程为，过，
则，解得，，
所以椭圆E的方程为：.
（2），所以，
①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，过点.
②若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
可得，，
且
联立可得
可求得此时，
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
11．(2023·全国·高考真题（理））设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
【解析】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，
所以抛物线C的方程为；
（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，
若要使最大，则，设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，
，所以，
所以直线.
[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线MN的斜率存在.
设,直线
由 得：，,同理，.
直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，.
代入抛物线方程可得:,所以，同理可得，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.
[方法三]：三点共线
设，
设,若 P、M、N三点共线，由
所以，化简得，
反之，若,可得MN过定点
因此，由M、N、F三点共线，得，
由M、D、A三点共线，得，
由N、D、B三点共线，得，
则，AB过定点（4,0）
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，所以直线.
【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；
法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．