高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)考向42四大分布：两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)考向42四大分布：两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布(原卷版+解析)，共123页。试卷主要包含了(2023·青海·模拟预测，(2023·河南·模拟预测等内容，欢迎下载使用。

经典题型一：两点分布
经典题型二：次独立重复试验
经典题型三：二项分布
经典题型四：超几何分布
经典题型五：二项分布与超几何分布的综合应用
经典题型六：正态密度函数与正态曲线的性质
经典题型七：正态曲线概率的计算
经典题型八：根据正态曲线的对称性求参数
经典题型九：正态分布的实际应用
经典题型十：标准正态分布的应用
1．（2023·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
答案：D
【解析】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误.
故选：D.
2．(2023·全国·高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．
答案：
【解析】因为，所以，因此．
故答案为：．
知识点一．两点分布
1、若随机变量服从两点分布，即其分布列为
其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．
注意：
（1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为；
（2）两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛．
2、两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则，．
知识点二．次独立重复试验
1、定义
一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验．
注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
2、特点
（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的；
（2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．
知识点三．二项分布
1、定义
一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，）
于是得到的分布列
由于表中第二行恰好是二项式展开式
各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率．
注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．
2、二项分布的适用范围及本质
（1）适用范围：
①各次试验中的事件是相互独立的；
②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；
③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数．
（2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．
3、二项分布的期望、方差
若，则，．
知识点四．超几何分布
1、定义
在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布．
2、超几何分布的适用范围件及本质
（1）适用范围：
①考察对象分两类；
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布．
（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．
知识点五、正态曲线
1、定义：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．
2、正态曲线的性质
（1）曲线位于轴上方，与轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；
（3）曲线在处达到峰值（最大值）；
（4）曲线与轴之间的面积为1；
（5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示：
（6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：：

甲乙
知识点六、正态分布
1、定义
随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值．
一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为．
其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
2、原则
若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大
特别地，有；；．
由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则．
1、在解决有关问题时，通常认为服从正态分布的随机变量只取之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况．
2、求正态变量在某区间内取值的概率的基本方法：
（1）根据题目中给出的条件确定与的值．
（2）将待求问题向，，这三个区间进行转化；
（3）利用在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．
3、假设检验的思想
（1）统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设．
（2）若随机变量ξ服从正态分布，则ξ落在区间内的概率为，亦即落在区间之外的概率为，此为小概率事件．如果此事件发生了，就说明不服从正态分布．
（3）对于小概率事件要有一个正确的理解：
小概率事件是指发生的概率小于的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有犯错的可能性．
4、超几何分布和二项分布的区别
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；
而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.
经典题型一：两点分布
题型一：两点分布
1．(2023·全国·高三专题练习）.若随机变量的分布列为，其中，则下列结果中正确的是
A．
B．
C．
D．
2．(2023·河北·高三阶段练习）新型冠状病毒肺炎（CrnaVirusDisease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.2019年12月以来，部分医院陆续发现了多例不明原因肺炎病例，证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，为防止该病症的扩散与传染，某检测机构在某地区进行新冠病毒疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病.现有个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：方案一：逐份检验，需要检验n次；方案二：混合检验，将n份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n份血液逐份检验，此时共需要检验次.
(1)若，且其中两人患有该疾病，
①采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率；
②将这10人平均分成两组，则这两患者分在同一组的概率；
(2)已知每个人患该疾病的概率为.
（i）采用方案二，记检验次数为X，求检验次数X的期望；
（ii）若，判断方案一与方案二哪种方案检查的次数更少？并说明理由.
3．(2023·全国·高三专题练习）2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有个人，把这个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这个人的血液全为阴性，因而这个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．核酸检测通常有两种分组方式可以选择：方案一：10人一组；方案二：8人一组．
(1)分别求出采用方案一和方案二中每组的化验次数的分布列和数学期望；
(2)若该社区约有2000人，请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由．
（参考数据：，）
4．(2023·全国·高三专题练习）某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每位职工每年只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金．保险公司把企业的所有岗位分为A、B、C三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图所示，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表所示（并以此估计赔付概率）．
A、B、C工种职工每人每年的保费分别为a元，a元，b元，出险后获得的赔偿金额分别为100万元，200万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．
(1)若保险公司要求利润的期望不低于保费的20%，试确定保费a，b所要满足的条件．
(2)现有如下两个方案供企业选择：方案一、企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险公司赔付金额相同的赔偿金付给出险职工；方案二、企业与保险公司合作，企业负责职工保费的60%，职工个人负责保费的40%，出险后赔偿金由保险公司赔付．若企业选择方案二的支出期望（不包括职工支出）低于选择方案一的，求a，b所要满足的条件，并判断企业是否与保险公司合作（若企业选择方案二的支出期望低于方案一，且与（1）中保险公司所提条件不矛盾，则企业与保险公司合作）．
经典题型二：次独立重复试验
5．(2023·湖北·高三阶段练习）甲，乙，丙三人进行相互传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的一人.
(1)当传球3次后就停止传球，求球在乙手上次数的分布列与期望；
(2)求第次传球后球恰好在甲手上的概率.
6．(2023·湖南·周南中学高三阶段练习）某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：游客投球目标为由近及远设置的A，B，C三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费10元，投进A桶，奖励游客面值20元的景区消费券；投进B桶，奖励游客面值60元的景区消费券；投进C桶，奖励游客面值90元的景区消费券；投不进则没有奖励．游客各次投球是否投进相互独立．
(1)向A桶投球3次，每次投进的概率为p，记投进2次的概率为，求的极大值点；
(2)游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，，，若他投球一次，他应该选择向哪个桶投球更有利？说明理由．
7．(2023·青海·模拟预测（理））“数字华容道”是一款流行的益智游戏．n×n的正方形盘中有个小滑块，对应数字1至．初始状态下，所有滑块打乱位置，并保证第n行第n列为空格．游戏规则如下：玩家经过移动小方块，将“1”归位，即将“1”由初始状态移动至“目标位置”（第一行第一列），如图情况下最少3步即可（“初始”至“移动3”）．假设所有玩家始终用最少的移动步数进行移动．
(1)如图，图1，图2分别为二阶、三阶华容道，数字表示“以该处为‘1’的初始位置，将其移动到‘目标位置’（第一行第一列）所需的最少移动次数”，请在图2三阶华容道的空格里填上相应数字；
(2)对于3阶华容道，从8个可能位置中的某个出发，若最终需要的最少移动次数不超过7，则获得1积分，求甲同学三轮之后不低于2分的概率；
(3)对于3阶华容道，若A、B两人各持一个华容道游戏盘，双方各自独立地从中间列初始位置中随机选取一个开始游戏，设两人的步数之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
8．(2023·河南·模拟预测（理））某中学面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查结果显示，每天睡眠时间少于7小时的学生占到，而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有．现从所有问卷中随机抽取4份问卷进行回访（视频率为概率）．
(1)求抽取到的问卷中至少有两份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率；
(2)记抽取到的问卷中调查结果为少于7小时的份数为，求的概率分布及数学期望．
9．(2023·全国·二模（理））“百年征程波澜壮阔，百年初心历久弥坚”．为庆祝中国建党一百周年，哈市某高中举办了“学党史、知党情、跟党走”的党史知识竞赛．比赛分为初赛和决赛两个环节，通过初赛选出两名同学进行最终决赛．若该高中A，B两名学生通过激烈的竞争，取得了初赛的前两名，现进行决赛．规则如下：设置5轮抢答，每轮抢到答题权并答对则该学生得1分，答错则对方得1分．当分差达到2分或答满5轮时，比赛结束，得分高者获胜．已知A，B每轮均抢答且抢到答题权的概率分别为，，A，B每一轮答对的概率都为，且两人每轮是否回答正确均相互独立．
(1)求经过2轮抢答A赢得比赛的概率；：
(2)设经过抢答了X轮后决赛结束，求随机变量X的分布列和数学期望．
经典题型三：二项分布
10．(2023·河北·石家庄二中模拟预测）食品安全问题越来越受到人们的重视．某超市在进某种蔬菜的货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，该种蔬菜才能在该超市销售．已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测不合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测互不影响．
(1)求每箱这种蔬菜能在该超市销售的概率；
(2)若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利200元，若不能在该超市销售，则每箱亏损100元，现有3箱这种蔬菜，求这3箱蔬菜总收益的分布列和数学期望．
11．(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了所学校进行研究，得到如下数据：
(1)“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数都超过人的学校可以作为“参与冬奥运动积极学校”，现在从这所学校中随机选出所，记为选出“参与冬奥运动积极学校”的学校个数，求的分布列和数学期望；
(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、跳跃、停止”这个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这个动作中至少有个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学“滑行”这个动作达到“优秀”的概率均为，其余每个动作达到“优秀”的概率都为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
12．(2023·福建泉州·模拟预测）随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重要指标——询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨诲该客服后成交的概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为A，B两个等级（见下表）
视A，B等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值，完成下列两个问题的解答；
(1)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，求这4人的询单转化率的中位数不低于70%的概率；
(2)已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人.在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位A等级客服接待的概率为a，被任一位B等级客服接待的概率为b，若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300人，则a应该控制在什么范围？
13．(2023·陕西·安康市教学研究室三模（理））某公司在年会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择.方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得奖金500元，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则需进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1000元；若未中奖，则所获得奖金为0元.方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金500元.
(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金（元）的分布列；
(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？请说明理由.
14．(2023·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．某检测点根据统计发现，该处疑似病例核酸检测呈阳性的概率为．现有4例疑似病例，分别对其取样检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性．若混合样本呈阳性，则再将该组中每一个备份的样本逐一进行化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下两种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验．
在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”．
(1)求4个疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；
(2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二中哪个较“优”？做出判断并说明理由．
15．(2023·河南安阳·模拟预测（理））某省会城市为了积极倡导市民优先乘坐公共交通工具绿色出行，切实改善城市空气质量，缓解城市交通压力，公共交通系统推出“2元换乘畅享公交”“定制公交”“限行日免费乘公交”“绿色出行日免费乘公交”等便民服务措施．为了更好地了解人们对出行工具的选择，交管部门随机抽取了1000人，做出如下统计表：
同时交管部门对某线路公交车统计整理了某一天1200名乘客的年龄数据，得到的频率分布直方图如下图所示：
(1)求m的值和这1200名乘客年龄的中位数；
(2)用样本估计总体，将频率视为概率，从该市所有市民中抽取4人，记X为抽到选择公共交通出行方式的人数，求X的分布列和数学期望．
16．(2023·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用五一假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在范围内，规定分数在80分以上（含80分）的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如下图所示．
(1)根据频率分布直方图计算所得分数的众数及中位数（中位数保留小数点后一位）
(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
17．(2023·云南师大附中模拟预测（理））某校组织“生物多样性”知识竞赛，甲、乙两名同学参加比赛，每一轮比赛，甲、乙各回答一道题，已知每道题得分为1~100的任意整数，60分及以上判定为合格.规定：在一轮比赛中，若两名参赛选手，一名合格一名不合格，记合格者为，不合格者为；若两名参赛选手，同时合格或同时不合格，记两名选手都是.在比赛前，甲、乙分别进行模拟练习.已知某次练习中，甲、乙分别回答了15道题，答题分数的茎叶图如图所示，甲、乙回答每道题得分不相互影响，并以该次练习甲、乙每道题的合格概率估计比赛时每道题的合格概率.
(1)分别求甲、乙两名同学比赛时每道题合格的概率；
(2)设2轮比赛中甲获得的个数为，求的分布列和数学期望；
(3)若甲、乙两名同学共进行了10轮比赛，甲同学获得（，）个的概率为，当最大时，求.
18．(2023·北京·人大附中三模）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
每周课外阅读时间小于小时的学生我们称之为“阅读小白”，大于等于小时且小于小时的学生称之为“阅读新手”，阅读时间大于等于小时的学生称之为“阅读达人”.
(1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的阅读时间大于等于小时，问这名学生是“阅读达人”概率；
(2)从该校学生中选取人，用样本的频率估计概率，记这人中“阅读新手和阅读小白”的人数和为，求的分布列和数学期望；
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.（只需写出结论）
经典题型四：超几何分布
19．(2023·广西河池·模拟预测（理））每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”，为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了1000名高一学生进行在线调查，得到了这1000名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值：
(2)为进一步了解这1000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望.
20．(2023·全国·哈师大附中模拟预测（理））近期，国家出台了减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担“双减”政策．为了坚决落实“双减”政策，提高教学质量，提升课后服务水平，某中心小学计划实行课后看护工作．现随机抽取该中心小学三年级的10个班级并调查了解需要课后看护的学生人数，如下面频数分布表：
已知该中心小学每个班级50人，为了节约资源并保证每个看护教室有两名看护教师，该校计划：若需要课后看护的学生人数超过25人的班级配备1名班主任和1名其他科任教师；若需要课后看护的学生人数不超过25人的班级只配备1名班主任，但需要和另一个人数不超过25人的班级合班看护．
(1)若将上述表格中人数不超过25人的6个班两两组合进行课后看护，求班级代号为1，2的两个班合班看护的概率；
(2)从已抽取的10个班级中随机抽取3个班，记3个班中需要课后看护的学生人数超过25人的班级数为X，求X的分布列及数学期望．
21．(2023·北京·景山学校模拟预测）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率；
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（只需写出结论）
经典题型五：二项分布与超几何分布的综合应用
22．(2023·江苏南通·高三开学考试）某药厂研制了治疗一种疾病的新药，该药的治愈率为.现用此药给位病人治疗，记被治愈的人数为.
(1)若，从这人中随机选人进行用药体验访谈，求被选中的治愈人数的分布列和数学期望；
(2)当为何值时，概率最大？并说明理由.
23．(2023·全国·高三专题练习）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射标志着拥有全部知识产权的北斗卫星导航系统全面建成．据统计，2019年卫星导航与位置服务产业总产值达到亿元，较2018年约增长．从全球应用北斗卫星的城市中选取了个城市进行调研，上图是这个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求产值小于万元的调研城市个数；
(2)在上述抽取的个城市中任取个，设为产值不超过万元的城市个数，求的分布列及期望和方差．
(3)把频率视为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取个城市，求恰有个城市的产值超过万元的概率．
24．(2023·全国·高三专题练习）已知条件①采用无放回抽取：②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分.
问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若___________，从这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X，求随机变量X的分布列和期望.
25．(2023·全国·高三专题练习）甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列；
(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？
经典题型六：正态密度函数与正态曲线的性质
26．(2023·全国·高三专题练习）设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
27．(2023·甘肃·天水市第一中学模拟预测（理））已知连续型随机变量Xi~N(ui，σi2)(i=1，2，3)，其正态曲线如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．P(X1≤μ2)B．P(X2≥μ2)>P(X3≥μ3)
C．P(X1≤μ2)D．P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2)
28．(2023·湖南·长郡中学高三（理））已知正态分布密度函数，，以下关于正态曲线的说法不正确的是
A．曲线与轴之间的面积为1
B．曲线在处达到峰值
C．当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移
D．当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“矮胖”
29．(2023·广东佛山·高三阶段练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
30．(2023·广东·东莞四中高三阶段练习）某地组织普通高中数学竞赛.初赛共有20000名学生参赛，统计得考试成绩（满分150分）服从正态分布.考试成绩140分及以上者可以进入决赛.本次考试可以进入决赛的人数大约为（ ）附：.
A．26B．52C．456D．13
31．(2023·江苏镇江·高三开学考试）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
经典题型七：正态曲线概率的计算
32．(2023·江苏南通·模拟预测）小强对重力加速度做n次实验，若以每次实验结果的平均值作为重力加速度的估值．已知估值的误差，为使误差在内的概率不小于0.6827，至少要实验___________次．（参考数据：若，则）．
33．(2023·云南昆明·模拟预测（理））某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，路途用时（单位：）服从正态分布；第二条路线较长但不拥挤，路途用时（单位：）服从正态分布．若有一天他出发时离上班时间还有，则__________．（精确到）（参考数据：，，，，）
34．(2023·安徽省定远县第三中学模拟预测（理））为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）．根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布．假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为__________．
附：若随机变量X服从正态分布，则．
35．(2023·广东·东莞市东方明珠学校模拟预测）已知某省2020年高考理科数学平均分近似服从正态分布，则_________．
（附：）
36．(2023·全国·模拟预测）在一批零件中抽取个零件，并测量其尺寸，已知这批零件的尺寸规格为，若误差，为使这批零件的尺寸（单位：）在内的概率不小于0.9974，则正整数的最小值为______.（若，则）
37．(2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校模拟预测（理））已知随机变量，且，则______
38．(2023·山东聊城·三模）已知随机变量，，，______.
39．(2023·湖北·襄阳四中模拟预测）已知随机变量服从正态分布，且，则___________.
经典题型八：根据正态曲线的对称性求参数
40．(2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，若，则的最小值为__________.
41．(2023·福建·莆田锦江中学高三阶段练习）已知随机变量X服从正态分布，若，则_________．
42．(2023·全国·高三专题练习）设随机变量，若，则________.
43．（多选题）(2023·重庆南开中学高三阶段练习）已知随机变量，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．函数的最大值为1D．的正态曲线关于对称
经典题型九：正态分布的实际应用
44．(2023·吉林市教育学院模拟预测（理））为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下：
(1)求抽取的100名居民竞赛成绩的平均分和方差（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)以频率估计概率，发现该社区参赛居民竞赛成绩X近似地服从正态分布，其中近似为样本成绩平均分，近似为样本成缋方差，若，参赛居民可获得“参赛纪念证书”；若，参赛居民可获得“反诈先锋证书”，
①若该社区有3000名居民参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的居民人数（结果保留整数）；
②试判断竞赛成绩为96分的居民能否获得“反诈先锋证书”．
附：若，则，，．
45．(2023·全国·模拟预测）天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船搭载着聂海胜、刘伯明和杨洪波三名宇航员升空并顺利“入住”天和核心舱．这是中国人首次进入自己的空间站，这也标志着中国载人航天事业迈入了一个新的台阶．为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为．某学校共有1000名学生，为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立．
(1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；
(2)请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值．
参考数值：，，．
46．(2023·河北张家口·三模）港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨南海伶仃洋水域接珠海和澳门人工岛，止于珠海洪湾立交；桥隧全长55千米，桥面为双向六车道高速公路，设计速度100千米/小时，限制速度为千米/小时，通车后由桥上监控显示每辆车行车和通关时间的频率分布直方图如图所示：
(1)估计车辆通过港珠澳大桥的平均时间（精确到0.1）
(2)以（1）中的平均时间作为，车辆通过港珠澳大桥的时间X近似服从正态分布，任意取通过大桥的1000辆汽车，求所用时间少于39.5分钟的大致车辆数目（精确到整数）.
附：若，则，.
47．(2023·安徽·南陵中学模拟预测（理））从某酒店开车到机场有两条路线，为了解两条路线的通行情况，随机统计了走这两条路线各10次的全程时间（单位：min），数据如下表：
将路线一和路线二的全程时间的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和.
(1)求.
(2)假设路线一的全程时间X服从正态分布，路线二的全程时间Y服从正态分布，分别用作为的估计值.现有甲､乙两人各自从该酒店打车去机场，甲要求路上时间不超过，乙要求路上时间不超过，为尽可能满足客人要求，司机送甲､乙去机场应该分别选哪条路线？
48．(2023·江西南昌·二模（理））国际上常用体重指数作为判断胖瘦的指标，体重指数是体重（单位：千克）与身高（单位：米）的平方的比值．高中学生由于学业压力，缺少体育锻炼等原因，导致体重指数偏高．某市教育局为督促各学校保证学生体育锻炼时间，减轻学生学习压力，准备对各校学生体重指数进行抽查，并制定了体重指数档次及所对应得分如下表：
某校为迎接检查，学期初通过调查统计得到该校高三学生体重指数服从正态分布，并调整教学安排，增加学生体育锻炼时间.4月中旬，教育局聘请第三方机构抽查了该校高三50名学生的体重指数，得到数据如下表：
请你从肥胖率、体重指数学生平均得分两个角度评价学校采取措施的效果
附：参考数据与公式
若，则①；②；③
49．(2023·山东·模拟预测）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2022年5月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告.统计了最近5个月参与竞拍的人数（见表）：
(1)由收集数据的散点图发现可用线性回归模型拟合竞拍人数y（万人）与月份编号t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程：，并预测2022年5月份参与竞拍的人数.
(2)某市场调研机构对200位拟参加2022年5月份车牌竞拍人员的报价进行了一个抽样调查，得到如下的一份频数表：
（i）求这200位竞拍人员报价X的平均数和样本方差（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；
（ii）假设所有参与竞价人员的报价X可视为服从正态分布，且与可分别由（i）中所求的样本平均数及估值.若2022年5月份实际发放车牌数量是5000，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价.
参考公式及数据：①回归方程，其中，；②；③若，令，则，且；④方差.
经典题型十：标准正态分布的应用
50．(2023·河南洛阳·模拟预测（理））“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自己能否被录取?能获得什么样的职位?某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用名，其中个高薪职位和个普薪职位.实际报名人数为名，考试满分为分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布. )考试后考试成绩的部分统计结果如下:
考试平均成绩是分，分及其以上的高分考生名.
(1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)
(2)考生甲的成绩为分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由.
参考资料:(1)当时，令，则.
(2)当时，，，.
51．(2023·安徽合肥·二模（理））为了解市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位）
（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（，约为19.3）.
①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）
②已知市理科考生约有10000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？
（说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，这里,相应于的值是指总体取值小于的概率，即.参考数据：，，）.
52．(2023·甘肃省民乐县第一中学三模（理））已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1．
（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为，求的期望和方差；
（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，当比较大时，二项分布可视为正态分布．此外，如果随机变量，令，则．当时，对于任意实数，记．已知下表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值．例如当时，由于，则先在表的最左列找到数字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字0.06（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是的值．
①求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；
②若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7，则至少需要添加多少个座位？
53．(2023·河南省兰考县第一高级中学模拟预测（理））《山东省高考改革试点方案》规定：年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、，选择科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照（、分别为正态分布的均值和标准差）分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．如果山东省年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩，．
(1)若规定等级、、、、、为合格，、为不合格，需要补考，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少；
(2)现随机抽取了该省名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求的数学期望和方差．
附：当时，，．
1．(2023·湖北·高考真题（理））已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2
2．(2023·全国·高考真题（理））某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为
A．100B．200C．300D．400
3．(2023·广东·高考真题（理））已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________．
4．（2023·北京·高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
5．（2023·天津·高考真题（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
6．(2023·全国·高考真题（理））为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.
7．(2023·四川·高考真题（理））设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(3)记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望．
8．(2023·广东·高考真题（理））为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取件和件，测量产品中微量元素、的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的件产品的测量数据：
(1)已知甲厂生产的产品共件，求乙厂生产的产品数量；
(2)当产品中的微量元素、满足且，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
(3)从乙长抽出的上述件产品中，随机抽取件，求抽取的件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）.
9．(2023·江西·高考真题（理））如图，从这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积）．
(1)求的概率；
(2)求的分布列及数学期望．
经典题型一：两点分布
题型一：两点分布
1．答案：C
【解析】由离散型随机变量的概率关系可知：.则.
2．【解析】（1）①根据题意可得：；
②根据题意可得：；
（2）（i）根据题意：X的取值为1，，
，，
所以；
（ii）当时，方案一：检验的次数为5次，
方案二：检查的次数期望为，
，
记，
因为，所以单调递增，
当时，，
所以当时，，则，
当时，，则，
故当时，选择方案二；
当时，选择方案一；
当时，选择两种方案检查次数一样.
3．【解析】（1）设方案一中每组的化验次数为，则的取值为1，11，
∴，，
∴的分布列为：
．
设方案二中每组的化验次数为，则的取值为1，9，
，，
∴的分布列为：
∴．
（2）根据方案一，该社区化验分组数为200，
方案一的化验总次数的期望值为：次．
根据方案二，该社区化验分组数为250，
方案二的化验总次数的期望为次．
∵，∴方案一工作量更少．故选择方案一．
4．【解析】(1)设工种为职工的每份保单保险公司的收益分别为随机变量，则随机变量的分布列如下：
，
，
，
由题意
，
化简得．
所以每张保单的保费需要满足；
(2)若企业不与保险公司合作，则安全支出即赔偿金的期望值为
，
若企业与保险公司合作，则安全支出即赔偿金的期望值为
，
由，得，结果与（1）不冲突，所以企业有可能与保险公司合作．
经典题型二：次独立重复试验
5．【解析】（1）第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为: 甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，
甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共 8 个结果，它们等可能，
记球在乙手上次数为，则可能为：0，1，2；
；；；
的分布列为：
所以.
（2）n次传球后球恰好在甲手中的事件记为 , 则有 ，
令 ，则 ，
于是得 ，
因此， ，则 ，
而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即 ， 则有 ,
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
, 整理得 ，
所以 次传球后球在甲手中的概率是 .
6．【解析】（1）3次向A桶投球投进2次的概率．
则．令，得．
当时，；当时，．
∴在上单调递增，在单调递减，
∴所以的极大值点．
（2）由（1）得游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，，．
设投进A桶的纯收入为X元，；
设投进B桶的纯收入为Y元．；
设投进C桶的纯收入为Z元，；
因为，所以游客甲选择向B桶投球更有利．
7．【解析】（1）“数字华容道”位置关于中间斜道（正方形的左上角到右下角）对称，则数字填写如图：
（2）由（1）知，3阶华容道，最少移动次数不超过7的概率，即甲同学获得1积分的概率为，
甲同学玩三阶华容道3轮获得的积分为，则，
所以甲同学三轮之后不低于2分的概率为.
（3）A，B各自独立地从3阶华容道中间列随机选取初始位置，概率均为，
3阶华容道中间列的数字从上到下为5，7，9，则X的所有可能值为：10，12，14，16，18，
，，，
，，
所以X的分布列为：
数学期望.
8．【解析】（1）根据题意可知每位学生每天睡眠时间少于7小时的概率为，
每位学生每天睡眠时间不少于7小时的概率为，
所以4份问卷中至少有两份结果为睡眠时间不少于7小时的概率为：
．
（2）根据题意可知，
则，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以．
9．【解析】（1）记事件C为“经过2轮抢答A赢得比赛”
A学生每轮得一分的概率，
B学生每轮得一分的概率，
，所以经过2轮抢答A赢得比赛的概率为．
（2）X的可能取值为2，4，5．
2轮比赛甲赢或乙赢的概率为，
4轮比赛甲赢或乙赢的概率为，
5轮比赛甲赢或乙赢的概率为．
X的分布列为：
，数学期望为．
经典题型三：二项分布
10．【解析】(1)设每箱这种蔬菜能在该超市销售为事件，
则，
即每箱这种蔬菜能在该超市销售的概率为．
(2)的所有可能取值为600，300，0，．
因为，，
，，
所以的分布列为
所以．
11．【解析】（1）“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数超过人的学校共所，的所有可能取值为、、、，
所以，，，，
所以的分布列如下表：
所以．
（2）记“小明同学在一轮测试中要想获得优秀”为事件，
，
由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，
由题意可得，得到，因为，所以的最小值为，故至少要进行27轮测试．
12．【解析】(1)依题意得：A，B等级客服的询单转化率分别为，
设事件C表示“这4人的询单转化率的中位数不低于70%”，
A等级客服的人数为X，则X的可能取值为0,1,2,3,4，
对应每种情况的询单转化率中位数分别为，
故；
(2)设改革前后A等级客服的接待顾客人数分别为Y，Z
改革前，每位进店咨询顾客被A等级客服接待的概率为，
所以，则，
因为A，B等级客服的询单转化率分别为，
所以改革前日均成交人数为，
改革后，每位进店咨询顾客被A等级客服接待的概率为，
所以，则，
故改革后日均成交人数为，
由得：，①
因为每位顾客被一位A等级客服接待的概率为，所以每位顾客被一位B等级客服接待的概率为，
则，解得：，②
由①②得：，所以a应该控制在
13．【解析】（1），，，
所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金（元）的分布列为
（2）由（1）可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金的均值，
若选择方案乙进行抽奖中奖次数，则，
抽奖所获奖金的均值，
故选择方案甲更划算.
综上，方案甲更划算.
14．【解析】（1）用表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则，
由题意可知，设4个疑似病例中至少有1例呈阳性为事件A
；
（2）方案一：逐个检验，检验次数为4．
方案二：每组两个样本检测时，呈阴性的概率为，
设方案二的检测次数为随机变量Y，则Y的可能取值为2，4，6，所以
，
，
，
所以随机变量Y的分布列为：
所以方案二检测次数Y的期望为．
则采取方案二较“优”.
15．【解析】（1）依题意可得，解得，
因为，所以中位数为于，
设中位数为，则，解得，故这1200名乘客年龄的中位数为；
（2）选择公共交通出行方式的频率为，
所以，则的可能取值为、、、、，
所以，，
，，
所以的分布列为：
所以；
16．【解析】（1）由频率分布直方图，众数为65分，
又因为，
所以中位数在之间，为（分）；
（2）由频率分布直方图，抽到“具有很强安全意识”的成年人的概率为，所以，
故X的分布列为
期望
17．【解析】（1）根据茎叶图知，15道题中甲同学合格了5个题，乙同学合格了6个题，
所以甲同学合格的概率为，乙同学合格的概率为.
（2）设一轮比赛中，甲同学获得的个数为，则的可能取值为0，1，
则
由于甲同学2轮比赛可能获得的个数为0，1，2，
故的可能取值为0，1，2，
所以
的分布列为
（3）设10轮比赛中，甲同学获得的个数为，则，
则 (且)．
由于，
因为随着的增大而增大，
所以时，，则有；
时，，则有，
故当时，最大．
18．【解析】（1）从样本中随机选取一名学生，其中阅读时间大于等于小时的学生人数为，
“阅读达人”的学生人数为，故所求概率为.
（2）从该校学生中任选一人，该学生是“阅读小白”或“阅读新人”的概率为，
所以，，则，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
.
（3）样本中的名学生该周课外阅读时间的平均数为
.
因此，样本中的名学生该周课外阅读时间的平均数在第组.
经典题型四：超几何分布
19．【解析】（1）由频率分布直方图得：.解得；
（2）由频率分布直方图得：
这1000名学生中日平均阅读时间在，两组内的学生人数之比为，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在内的学生中抽取（人）
在日平均阅读时间在内的学生中抽取4人，
现从这10人中随机拍取3人，则服从超几何分布，其可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
∴的分布列为：
.
20．【解析】(1)若将上述表各中人数超过25人的6个班两两组合进行课后看护，
共种不同的方法，
其中班级代号为1，2的两个班合班看护共种不同的方法．
记A表示事件“班级代号为1，2的两个班合班看护”，则其概率.
(2)随机变量的可能取值为，
可得，，，，
则的分布列为：
所以数学期望
21．【解析】（1）由频率分布直方图得：
，
解得，，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20；
（2）由频率分布直方图得：
这500名学生中日平均阅读时间在，，，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从日平均阅读时间在，内的学生中抽取：人，
现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：
数学期望.
（3），理由如下：
由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在内的概率为0.50，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列服从二项分布，，由组合数的性质可得时最大.
经典题型五：二项分布与超几何分布的综合应用
22．【解析】（1）由题意可知的可能取值有、、、，
，，，
.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，.
（2）由题意可得，
由题意可得，
即，解得，
因为，故当时，最大.
23．【解析】（1）由频率分布直方图可知产值小于万元的频率为，
所以产值小于万元的调研城市个数为（个）；
（2）由（1）得产值不超过万元的调研城市有个，超过万元的调研城市有（个），
所以随机变量的取值可能为，，，
所以，，，
所以可得分布列
期望；
方差；
（3）由频率分布直方图可知城市的产值超过万元的概率为，
设任取个城市中城市的产值超过万元的城市个数为，
可知随机变量满足，
所以.
24．【解析】若选①，由题意，随机变量的可能值为0，1，2，3
，
，
，
；
所以的分布列为
期望；
若选②，由题意，随机变量的可能值为0，1，2，3，且，
，
，
，
，
的分布列为：
期望.
25．【解析】（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量，
由题意可得的可能取值为：，，
所以，，，
所以的分布列为：
由题意可得，
所以，，
，，
所以的分布列为：
（2），.
，
，
因为，所以甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大.
经典题型六：正态密度函数与正态曲线的性质
26．答案：D
【解析】由正态分布密度函数表达式知，.
故选：D.
27．答案：D
【解析】对于A：P(X1≤μ2)是第一条正态分布密度函数图象在第二条虚线左侧与x轴围成的部分，
P(X2≤μ1)是第二条正态分布密度函数图象在第一条虚线左侧与x轴围成的部分，
故由图象可知P(X1≤μ2)>P(X2≤μ1)，故A错误；
对于B：P(X2≥μ2)=，P(X3≥μ3)=，则P(X2≥μ2)=P(X3≥μ3)，故B错误；
对于C：与A分析同理，P(X1≤μ2)>P(X2≤μ3)，故C错误；
对于D：由于概率表示曲线和x轴围成的部分，与是i还是i+1无关，
故P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2)成立，故D正确.
故选：D.
28．答案：D
【解析】由正太分布的密度函数的解析式可知：曲线与轴之间的面积即为必然事件的概率，其值为，其图像关于直线对称，且当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移；当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“高瘦”．因此答案A，B，C都是正确的，答案D是错误的，应选答案D．
29．答案：C
【解析】对于A中，随机变量服从正态分布，且，
可得随机变量的方差为，即，所以A错误；
对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量，
所以，所以B错误；
对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积，
所以，所以C正确；
对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，，
即，所以D错误.
故选：C.
30．答案：A
【解析】考试成绩（满分150分）服从正态分布，所以，则，
，
所以可进入决赛的人数大约为人.
故选：A．
31．答案：A
【解析】为数据的方差，所以越大，数据在均值附近越分散，所以测量结果落在内的概率越小，故A错误;
由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等，故D正确.
故选：A.
经典题型七：正态曲线概率的计算
32．答案：6
【解析】，∴，∴，至少要实验6次.
故答案为：6.
33．答案：0.0116
【解析】因为，
所以，
因为，
所以，
所以.
故答案为：0.0116.
34．答案：
【解析】质量在之外的概率为，
所以，则，
则，又，故最小.
故答案为：
35．答案：
【解析】依题意可知，，，所以，
所以
.
故答案为：.
36．答案：50
【解析】由题意，这批零件的尺寸在内的概率不小于0.9974，
等价于误差在内的概率不小于0.9974，
则，且，，
所以，解得.
故答案为：.
37．答案：0.1
【解析】由题可知：随机变量，则期望为
所以
故答案为：
38．答案：
【解析】已知随机变量，知，
因为,
所以.
故答案为：.
39．答案：
【解析】因为随机变量服从正态分布，其对称轴方程为
设 ，所以
又

根据题意 ，

故答案为：
经典题型八：根据正态曲线的对称性求参数
40．答案：
【解析】因为随机变量，且，
所以，
所以，
当且仅当，即、时取等号，所以的最小值为.
故答案为：.
41．答案：0.4【解析】由题可知：，
，
所以．
故答案为：0.4
42．答案：0.5
【解析】因为随机变量，，
所以，
所以.
故答案为：0.5.
43．答案：AC
【解析】因为随机变量，
所以的正态曲线关于对称，故D错误；
，
所以，
又，
所以，故A正确，B错误；
，
当时，函数取得最大值1，故C正确.
故选：AC.
经典题型九：正态分布的实际应用
44．【解析】（1）100名居民本次竞赛成绩平均分
，
100名居民本次竞赛成绩方差
，
（2）①由于近似为样本成绩平均分，近似为样本成绩方差，
所以，，
可知，，
由于竞赛成绩X近似地服从正态分布，
因此竞赛居民可获得“参赛纪念证书”的概率
估计获得“参赛纪念证书”的居民人数为2456；
②当时，即时，参赛居民可获得“反诈先锋证书”，
所以竞赛成绩为96分的居民能获得“反诈先峰证书”．
45．【解析】（1）易知学生甲参与的环节数量X的所有可能取值为1，2，3，4，
；；
；，
所以X的分布列为
所以．
（2）因为服从正态分布，
所以．
设1000名学生中该项指标合格的学生人数为Z，则，
所以，所以估计符合该项指标的学生人数约有23人，
且每位同学通过选拔的概率，则通过学校选拔的人数，
故．
46．【解析】（1）由频率分布直方图可得 .
（2）由题知，，
所以，故所用时间少于分钟的大致车辆数目为.
47．【解析】（1），
，
，
.
（2）由（1）知.
因为，且，
所以，
因为，
又，所以，
所以送甲去机场应该选择路线一,送乙去机场应该选择路线二.
48．【解析】增加学生体育锻炼时间后，调查的50人的体重指数频数分布表如下：
其中肥胖率为，
而调整前，肥胖率为．
调整前，低体重的概率为，
体重正常概率为，
超重概率为，
调整前体重指数平均得分为，
调整后体重指数平均得分为，
因此调整后肥胖率减小，体重指数平均得分增加，说明学校采取的措施效果好．
49．【解析】(1)，
∴，.
∴y关于t的线性回归方程为：.
由已知2022年5月份对应的，所以
∴预测2022年5月份参与竞拍的人数为3.73万人.
(2)（i）依题意可得这200人报价的平均值为：
.
这200人报价的方差为：
.
（ii）2022年5月份实际发放车牌数量是5000，设预测竞拍的最低成交价为a万元.
根据竞价规则，报价在最低成交价以上人数占总人数比例为，
根据假设报价X可视为服从正态分布，
令，由于，
∴，
∴，由，解得
∴预测竞拍的最低成交价为4.943万元.
经典题型十：标准正态分布的应用
50．【解析】(1)设考生成绩为，则依题意应服从正态分布，即.
令，则.
由分及其以上的高分考生名可得
即，亦即.
则，解得，
设最低录取分数线为，则
则，
.
即最低录取分数线为分或分.
(2)考生甲的成绩，所以能被录取.
，
表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，
即考生甲大约排在第名，排在名之前，所以他能获得高薪职位.
51．【解析】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：
（分）.
（2）①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为，
根据题意，，
即.
由，得
解得，
所以本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分.
②，
所以理科数学成绩为107分时，大约排在名．
52．【解析】（1）由题意可得，随机变量X服从二项分布，
则，
，
（2）①由于（1）中二项分布的n值增大，
故可以认为随机变量X服从二项分布，
由（1）可得，，
可得，则，
则，
由标准正态分布性质可得，，
故，
故，
在晚自习时间阅览室座位不够用的概率为；
②查表可得，，则，
即，
又，
故座位数至少要1016个，
，
故阅览室座位至少需要添加22个．
53．【解析】(1)由题意可知，学业水平模拟考试物理科目合格的比例为，
由且，可得，
由，可得，
估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分为分.
(2)若，则，，
由题意可知，
，.
1．答案：C
【解析】因为，所以．
由题意知图象（如图）的对称轴为直线，
，
所以．
所以．
故选：C．
2．答案：B
【解析】设没有发芽的种子数为，则，，所以
3．答案：
【解析】随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，
可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为．
4．【解析】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意，可以取20，30，
，，
则的分布列:
所以；
（2）由题意，可以取25，30，
两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，
则.
5．【解析】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，
故，从面.
所以，随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望.
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.
且.
由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
.
6．【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，
从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，
故.
因此.
的数学期望为.
（2）（i）如果生产状态正常，
一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，
一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件
概率只有0.0408，发生的概率很小.
因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程
可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，
可见上述监控生产过程的方法是合理的.
（ii）由，
得的估计值为，的估计值为，
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，
因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除之外的数据，
剩下数据的平均数为，
因此的估计值为.
，
剔除之外的数据，
剩下数据的样本方差为，
因此的估计值为.
7．【解析】（1）令表示进入商场的1位顾客购买甲种商品的事件，表示进入商场的1位顾客购买乙种商品的事件，
令表示进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的事件，则，，
所以.
（2）令表示进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的事件，由（1）知，其对立事件，
，
所以.
（3）的所有可能值为0，1，2，3，由（2）知，，
，，，，
所以的分布列为：
的期望.
8．【解析】（1）设乙厂生产的产品数量为件，则，解得.
因此，若甲厂生产的产品共件，则乙厂生产的产品共件.
（2）乙厂的件产品中，其中优等品共件，
因此，乙厂生产的优等品的数量为件.
（3）由题意可知，随机变量的可能取值有、、，
，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
因此，.
9．【解析】（1）从6个点中随机地选取3个点共有种选法，
选取的3个点与原点在同一个平面上的选法有种，
因此的概率
（2）的所有可能值为，
则，，
,
,
因此的分布列为
由的分布列可得：
=
0
1
…
…
…
…
0
1
…
…
工种类别
A
B
C
赔付频率
等级
A
B
询单转化率
[70%，90%）
[50%，70%）
人数
6
4
出行方式
步行
骑行
自驾
公共交通
比例
5%
25%
30%
40%
组号
分组
频数
1
6
2
8
3
17
4
22
5
25
6
12
7
6
8
2
9
2
合计
100
班级代号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
需看护学生人数
20
18
27
30
24
23
32
35
21
20
成绩（分）
人数
2
4
22
40
28
4
路线一
44
58
66
50
34
42
50
38
62
56
路线二
62
56
68
62
58
61
61
52
61
59
档次
低体重
正常
超重
肥胖
体重指数x（单位：）
学生得分
80
100
80
60
16.3
16.9
17.1
17.5
18.2
18.5
19.0
19.3
19.5
19.8
20.2
20.2
20.5
20.8
21.2
21.4
21.5
21.9
22.3
22.5
22.8
22.9
23.0
23.3
23.3
23.5
23.6
23.8
24.0
24.1
24.1
24.3
24.5
24.6
24.8
24.9
25.2
25.3
25.5
25.7
25.9
26.1
26.4
26.7
27.1
27.6
28.2
28.8
29.1
30.0
月份
2021.12
2022.01
2022.02
2022.03
2022.04
月份编号t
1
2
3
4
5
竞拍人数y（万人）
1.7
2.1
2.5
2.8
3.4
报价区间（万元）
频数
20
60
60
30
20
10
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0
0.5000
0.5040
0.5080
0.5120
0.5160
0.5199
0.5239
0.5279
0.5319
0.5359
0.1
0.5398
0.5438
0.5478
0.5517
0.5557
0.5596
0.5636
0.5675
0.5714
0.5753
0.2
0.5793
0.5832
0.5871
0.5910
0.5948
0.5987
0.6026
0.6064
0.6103
0.6141
0.3
0.6179
0.6217
0.6255
0.6293
0.6331
0.6368
0.6404
0.6443
0.6480
0.6517
0.4
0.6554
0.6591
0.6628
0.6664
0.6700
0.6736
0.6772
0.6808，
0.6844
0.6879
0.5
0.6915
0.6950
0.6985
0.7019
0.7054
0.7088
0.7123
0.7157'
0.7190
0.7224
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
编号
1
11
0.970
0.030
1
9
0.976
0.024
0
1
2
0
5
9
5
7
9
9
9
10
12
14
16
18
0
1
2
3
4
X
2
4
5
P
600
300
0
0
500
1000
Y
2
4
6
P
X
0
1
2
3
4
P
0
1
2
0
1
2
3
0
1
2
3

0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
1
2
3
0
1
2
3
X
1
2
3
4
P
档次
低体重
正常
超重
肥胖
体重指数x（单位：）
人数
3
25
17
5
0
1
2
3
0
1
2
3
0.008
0.096
0.384
0.512
0
考向42 四大分布：两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布
经典题型一：两点分布
经典题型二：次独立重复试验
经典题型三：二项分布
经典题型四：超几何分布
经典题型五：二项分布与超几何分布的综合应用
经典题型六：正态密度函数与正态曲线的性质
经典题型七：正态曲线概率的计算
经典题型八：根据正态曲线的对称性求参数
经典题型九：正态分布的实际应用
经典题型十：标准正态分布的应用
1．（2023·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
答案：D
【解析】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误.
故选：D.
2．(2023·全国·高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．
答案：
【解析】因为，所以，因此．
故答案为：．
知识点一．两点分布
1、若随机变量服从两点分布，即其分布列为
其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．
注意：
（1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为；
（2）两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛．
2、两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则，．
知识点二．次独立重复试验
1、定义
一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验．
注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
2、特点
（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的；
（2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．
知识点三．二项分布
1、定义
一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，）
于是得到的分布列
由于表中第二行恰好是二项式展开式
各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率．
注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．
2、二项分布的适用范围及本质
（1）适用范围：
①各次试验中的事件是相互独立的；
②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；
③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数．
（2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．
3、二项分布的期望、方差
若，则，．
知识点四．超几何分布
1、定义
在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布．
2、超几何分布的适用范围件及本质
（1）适用范围：
①考察对象分两类；
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布．
（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．
知识点五、正态曲线
1、定义：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．
2、正态曲线的性质
（1）曲线位于轴上方，与轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；
（3）曲线在处达到峰值（最大值）；
（4）曲线与轴之间的面积为1；
（5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示：
（6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：：

甲乙
知识点六、正态分布
1、定义
随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值．
一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为．
其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
2、原则
若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大
特别地，有；；．
由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则．
1、在解决有关问题时，通常认为服从正态分布的随机变量只取之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况．
2、求正态变量在某区间内取值的概率的基本方法：
（1）根据题目中给出的条件确定与的值．
（2）将待求问题向，，这三个区间进行转化；
（3）利用在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．
3、假设检验的思想
（1）统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设．
（2）若随机变量ξ服从正态分布，则ξ落在区间内的概率为，亦即落在区间之外的概率为，此为小概率事件．如果此事件发生了，就说明不服从正态分布．
（3）对于小概率事件要有一个正确的理解：
小概率事件是指发生的概率小于的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有犯错的可能性．
4、超几何分布和二项分布的区别
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；
而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.
经典题型一：两点分布
题型一：两点分布
1．(2023·全国·高三专题练习）.若随机变量的分布列为，其中，则下列结果中正确的是
A．
B．
C．
D．
答案：C
【解析】由离散型随机变量的概率关系可知：.则.
2．(2023·河北·高三阶段练习）新型冠状病毒肺炎（CrnaVirusDisease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.2019年12月以来，部分医院陆续发现了多例不明原因肺炎病例，证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，为防止该病症的扩散与传染，某检测机构在某地区进行新冠病毒疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病.现有个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：方案一：逐份检验，需要检验n次；方案二：混合检验，将n份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n份血液逐份检验，此时共需要检验次.
(1)若，且其中两人患有该疾病，
①采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率；
②将这10人平均分成两组，则这两患者分在同一组的概率；
(2)已知每个人患该疾病的概率为.
（i）采用方案二，记检验次数为X，求检验次数X的期望；
（ii）若，判断方案一与方案二哪种方案检查的次数更少？并说明理由.
【解析】（1）①根据题意可得：；
②根据题意可得：；
（2）（i）根据题意：X的取值为1，，
，，
所以；
（ii）当时，方案一：检验的次数为5次，
方案二：检查的次数期望为，
，
记，
因为，所以单调递增，
当时，，
所以当时，，则，
当时，，则，
故当时，选择方案二；
当时，选择方案一；
当时，选择两种方案检查次数一样.
3．(2023·全国·高三专题练习）2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有个人，把这个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这个人的血液全为阴性，因而这个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．核酸检测通常有两种分组方式可以选择：方案一：10人一组；方案二：8人一组．
(1)分别求出采用方案一和方案二中每组的化验次数的分布列和数学期望；
(2)若该社区约有2000人，请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由．
（参考数据：，）
【解析】（1）设方案一中每组的化验次数为，则的取值为1，11，
∴，，
∴的分布列为：
．
设方案二中每组的化验次数为，则的取值为1，9，
，，
∴的分布列为：
∴．
（2）根据方案一，该社区化验分组数为200，
方案一的化验总次数的期望值为：次．
根据方案二，该社区化验分组数为250，
方案二的化验总次数的期望为次．
∵，∴方案一工作量更少．故选择方案一．
4．(2023·全国·高三专题练习）某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每位职工每年只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金．保险公司把企业的所有岗位分为A、B、C三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图所示，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表所示（并以此估计赔付概率）．
A、B、C工种职工每人每年的保费分别为a元，a元，b元，出险后获得的赔偿金额分别为100万元，200万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．
(1)若保险公司要求利润的期望不低于保费的20%，试确定保费a，b所要满足的条件．
(2)现有如下两个方案供企业选择：方案一、企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险公司赔付金额相同的赔偿金付给出险职工；方案二、企业与保险公司合作，企业负责职工保费的60%，职工个人负责保费的40%，出险后赔偿金由保险公司赔付．若企业选择方案二的支出期望（不包括职工支出）低于选择方案一的，求a，b所要满足的条件，并判断企业是否与保险公司合作（若企业选择方案二的支出期望低于方案一，且与（1）中保险公司所提条件不矛盾，则企业与保险公司合作）．
【解析】(1)设工种为职工的每份保单保险公司的收益分别为随机变量，则随机变量的分布列如下：
，
，
，
由题意
，
化简得．
所以每张保单的保费需要满足；
(2)若企业不与保险公司合作，则安全支出即赔偿金的期望值为
，
若企业与保险公司合作，则安全支出即赔偿金的期望值为
，
由，得，结果与（1）不冲突，所以企业有可能与保险公司合作．
经典题型二：次独立重复试验
5．(2023·湖北·高三阶段练习）甲，乙，丙三人进行相互传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的一人.
(1)当传球3次后就停止传球，求球在乙手上次数的分布列与期望；
(2)求第次传球后球恰好在甲手上的概率.
【解析】（1）第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为: 甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，
甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共 8 个结果，它们等可能，
记球在乙手上次数为，则可能为：0，1，2；
；；；
的分布列为：
所以.
（2）n次传球后球恰好在甲手中的事件记为 , 则有 ，
令 ，则 ，
于是得 ，
因此， ，则 ，
而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即 ， 则有 ,
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
, 整理得 ，
所以 次传球后球在甲手中的概率是 .
6．(2023·湖南·周南中学高三阶段练习）某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：游客投球目标为由近及远设置的A，B，C三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费10元，投进A桶，奖励游客面值20元的景区消费券；投进B桶，奖励游客面值60元的景区消费券；投进C桶，奖励游客面值90元的景区消费券；投不进则没有奖励．游客各次投球是否投进相互独立．
(1)向A桶投球3次，每次投进的概率为p，记投进2次的概率为，求的极大值点；
(2)游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，，，若他投球一次，他应该选择向哪个桶投球更有利？说明理由．
【解析】（1）3次向A桶投球投进2次的概率．
则．令，得．
当时，；当时，．
∴在上单调递增，在单调递减，
∴所以的极大值点．
（2）由（1）得游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，，．
设投进A桶的纯收入为X元，；
设投进B桶的纯收入为Y元．；
设投进C桶的纯收入为Z元，；
因为，所以游客甲选择向B桶投球更有利．
7．(2023·青海·模拟预测（理））“数字华容道”是一款流行的益智游戏．n×n的正方形盘中有个小滑块，对应数字1至．初始状态下，所有滑块打乱位置，并保证第n行第n列为空格．游戏规则如下：玩家经过移动小方块，将“1”归位，即将“1”由初始状态移动至“目标位置”（第一行第一列），如图情况下最少3步即可（“初始”至“移动3”）．假设所有玩家始终用最少的移动步数进行移动．
(1)如图，图1，图2分别为二阶、三阶华容道，数字表示“以该处为‘1’的初始位置，将其移动到‘目标位置’（第一行第一列）所需的最少移动次数”，请在图2三阶华容道的空格里填上相应数字；
(2)对于3阶华容道，从8个可能位置中的某个出发，若最终需要的最少移动次数不超过7，则获得1积分，求甲同学三轮之后不低于2分的概率；
(3)对于3阶华容道，若A、B两人各持一个华容道游戏盘，双方各自独立地从中间列初始位置中随机选取一个开始游戏，设两人的步数之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
【解析】（1）“数字华容道”位置关于中间斜道（正方形的左上角到右下角）对称，则数字填写如图：
（2）由（1）知，3阶华容道，最少移动次数不超过7的概率，即甲同学获得1积分的概率为，
甲同学玩三阶华容道3轮获得的积分为，则，
所以甲同学三轮之后不低于2分的概率为.
（3）A，B各自独立地从3阶华容道中间列随机选取初始位置，概率均为，
3阶华容道中间列的数字从上到下为5，7，9，则X的所有可能值为：10，12，14，16，18，
，，，
，，
所以X的分布列为：
数学期望.
8．(2023·河南·模拟预测（理））某中学面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查结果显示，每天睡眠时间少于7小时的学生占到，而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有．现从所有问卷中随机抽取4份问卷进行回访（视频率为概率）．
(1)求抽取到的问卷中至少有两份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率；
(2)记抽取到的问卷中调查结果为少于7小时的份数为，求的概率分布及数学期望．
【解析】（1）根据题意可知每位学生每天睡眠时间少于7小时的概率为，
每位学生每天睡眠时间不少于7小时的概率为，
所以4份问卷中至少有两份结果为睡眠时间不少于7小时的概率为：
．
（2）根据题意可知，
则，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以．
9．(2023·全国·二模（理））“百年征程波澜壮阔，百年初心历久弥坚”．为庆祝中国建党一百周年，哈市某高中举办了“学党史、知党情、跟党走”的党史知识竞赛．比赛分为初赛和决赛两个环节，通过初赛选出两名同学进行最终决赛．若该高中A，B两名学生通过激烈的竞争，取得了初赛的前两名，现进行决赛．规则如下：设置5轮抢答，每轮抢到答题权并答对则该学生得1分，答错则对方得1分．当分差达到2分或答满5轮时，比赛结束，得分高者获胜．已知A，B每轮均抢答且抢到答题权的概率分别为，，A，B每一轮答对的概率都为，且两人每轮是否回答正确均相互独立．
(1)求经过2轮抢答A赢得比赛的概率；：
(2)设经过抢答了X轮后决赛结束，求随机变量X的分布列和数学期望．
【解析】（1）记事件C为“经过2轮抢答A赢得比赛”
A学生每轮得一分的概率，
B学生每轮得一分的概率，
，所以经过2轮抢答A赢得比赛的概率为．
（2）X的可能取值为2，4，5．
2轮比赛甲赢或乙赢的概率为，
4轮比赛甲赢或乙赢的概率为，
5轮比赛甲赢或乙赢的概率为．
X的分布列为：
，数学期望为．
经典题型三：二项分布
10．(2023·河北·石家庄二中模拟预测）食品安全问题越来越受到人们的重视．某超市在进某种蔬菜的货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，该种蔬菜才能在该超市销售．已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测不合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测互不影响．
(1)求每箱这种蔬菜能在该超市销售的概率；
(2)若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利200元，若不能在该超市销售，则每箱亏损100元，现有3箱这种蔬菜，求这3箱蔬菜总收益的分布列和数学期望．
【解析】(1)设每箱这种蔬菜能在该超市销售为事件，
则，
即每箱这种蔬菜能在该超市销售的概率为．
(2)的所有可能取值为600，300，0，．
因为，，
，，
所以的分布列为
所以．
11．(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了所学校进行研究，得到如下数据：
(1)“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数都超过人的学校可以作为“参与冬奥运动积极学校”，现在从这所学校中随机选出所，记为选出“参与冬奥运动积极学校”的学校个数，求的分布列和数学期望；
(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、跳跃、停止”这个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这个动作中至少有个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学“滑行”这个动作达到“优秀”的概率均为，其余每个动作达到“优秀”的概率都为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
【解析】（1）“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数超过人的学校共所，的所有可能取值为、、、，
所以，，，，
所以的分布列如下表：
所以．
（2）记“小明同学在一轮测试中要想获得优秀”为事件，
，
由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，
由题意可得，得到，因为，所以的最小值为，故至少要进行27轮测试．
12．(2023·福建泉州·模拟预测）随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重要指标——询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨诲该客服后成交的概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为A，B两个等级（见下表）
视A，B等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值，完成下列两个问题的解答；
(1)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，求这4人的询单转化率的中位数不低于70%的概率；
(2)已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人.在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位A等级客服接待的概率为a，被任一位B等级客服接待的概率为b，若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300人，则a应该控制在什么范围？
【解析】(1)依题意得：A，B等级客服的询单转化率分别为，
设事件C表示“这4人的询单转化率的中位数不低于70%”，
A等级客服的人数为X，则X的可能取值为0,1,2,3,4，
对应每种情况的询单转化率中位数分别为，
故；
(2)设改革前后A等级客服的接待顾客人数分别为Y，Z
改革前，每位进店咨询顾客被A等级客服接待的概率为，
所以，则，
因为A，B等级客服的询单转化率分别为，
所以改革前日均成交人数为，
改革后，每位进店咨询顾客被A等级客服接待的概率为，
所以，则，
故改革后日均成交人数为，
由得：，①
因为每位顾客被一位A等级客服接待的概率为，所以每位顾客被一位B等级客服接待的概率为，
则，解得：，②
由①②得：，所以a应该控制在
13．(2023·陕西·安康市教学研究室三模（理））某公司在年会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择.方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得奖金500元，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则需进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1000元；若未中奖，则所获得奖金为0元.方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金500元.
(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金（元）的分布列；
(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？请说明理由.
【解析】（1），，，
所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金（元）的分布列为
（2）由（1）可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金的均值，
若选择方案乙进行抽奖中奖次数，则，
抽奖所获奖金的均值，
故选择方案甲更划算.
综上，方案甲更划算.
14．(2023·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．某检测点根据统计发现，该处疑似病例核酸检测呈阳性的概率为．现有4例疑似病例，分别对其取样检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性．若混合样本呈阳性，则再将该组中每一个备份的样本逐一进行化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下两种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验．
在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”．
(1)求4个疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；
(2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二中哪个较“优”？做出判断并说明理由．
【解析】（1）用表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则，
由题意可知，设4个疑似病例中至少有1例呈阳性为事件A
；
（2）方案一：逐个检验，检验次数为4．
方案二：每组两个样本检测时，呈阴性的概率为，
设方案二的检测次数为随机变量Y，则Y的可能取值为2，4，6，所以
，
，
，
所以随机变量Y的分布列为：
所以方案二检测次数Y的期望为．
则采取方案二较“优”.
15．(2023·河南安阳·模拟预测（理））某省会城市为了积极倡导市民优先乘坐公共交通工具绿色出行，切实改善城市空气质量，缓解城市交通压力，公共交通系统推出“2元换乘畅享公交”“定制公交”“限行日免费乘公交”“绿色出行日免费乘公交”等便民服务措施．为了更好地了解人们对出行工具的选择，交管部门随机抽取了1000人，做出如下统计表：
同时交管部门对某线路公交车统计整理了某一天1200名乘客的年龄数据，得到的频率分布直方图如下图所示：
(1)求m的值和这1200名乘客年龄的中位数；
(2)用样本估计总体，将频率视为概率，从该市所有市民中抽取4人，记X为抽到选择公共交通出行方式的人数，求X的分布列和数学期望．
【解析】（1）依题意可得，解得，
因为，所以中位数为于，
设中位数为，则，解得，故这1200名乘客年龄的中位数为；
（2）选择公共交通出行方式的频率为，
所以，则的可能取值为、、、、，
所以，，
，，
所以的分布列为：
所以；
16．(2023·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用五一假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在范围内，规定分数在80分以上（含80分）的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如下图所示．
(1)根据频率分布直方图计算所得分数的众数及中位数（中位数保留小数点后一位）
(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
【解析】（1）由频率分布直方图，众数为65分，
又因为，
所以中位数在之间，为（分）；
（2）由频率分布直方图，抽到“具有很强安全意识”的成年人的概率为，所以，
故X的分布列为
期望
17．(2023·云南师大附中模拟预测（理））某校组织“生物多样性”知识竞赛，甲、乙两名同学参加比赛，每一轮比赛，甲、乙各回答一道题，已知每道题得分为1~100的任意整数，60分及以上判定为合格.规定：在一轮比赛中，若两名参赛选手，一名合格一名不合格，记合格者为，不合格者为；若两名参赛选手，同时合格或同时不合格，记两名选手都是.在比赛前，甲、乙分别进行模拟练习.已知某次练习中，甲、乙分别回答了15道题，答题分数的茎叶图如图所示，甲、乙回答每道题得分不相互影响，并以该次练习甲、乙每道题的合格概率估计比赛时每道题的合格概率.
(1)分别求甲、乙两名同学比赛时每道题合格的概率；
(2)设2轮比赛中甲获得的个数为，求的分布列和数学期望；
(3)若甲、乙两名同学共进行了10轮比赛，甲同学获得（，）个的概率为，当最大时，求.
【解析】（1）根据茎叶图知，15道题中甲同学合格了5个题，乙同学合格了6个题，
所以甲同学合格的概率为，乙同学合格的概率为.
（2）设一轮比赛中，甲同学获得的个数为，则的可能取值为0，1，
则
由于甲同学2轮比赛可能获得的个数为0，1，2，
故的可能取值为0，1，2，
所以
的分布列为
（3）设10轮比赛中，甲同学获得的个数为，则，
则 (且)．
由于，
因为随着的增大而增大，
所以时，，则有；
时，，则有，
故当时，最大．
18．(2023·北京·人大附中三模）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
每周课外阅读时间小于小时的学生我们称之为“阅读小白”，大于等于小时且小于小时的学生称之为“阅读新手”，阅读时间大于等于小时的学生称之为“阅读达人”.
(1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的阅读时间大于等于小时，问这名学生是“阅读达人”概率；
(2)从该校学生中选取人，用样本的频率估计概率，记这人中“阅读新手和阅读小白”的人数和为，求的分布列和数学期望；
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.（只需写出结论）
【解析】（1）从样本中随机选取一名学生，其中阅读时间大于等于小时的学生人数为，
“阅读达人”的学生人数为，故所求概率为.
（2）从该校学生中任选一人，该学生是“阅读小白”或“阅读新人”的概率为，
所以，，则，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
.
（3）样本中的名学生该周课外阅读时间的平均数为
.
因此，样本中的名学生该周课外阅读时间的平均数在第组.
经典题型四：超几何分布
19．(2023·广西河池·模拟预测（理））每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”，为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了1000名高一学生进行在线调查，得到了这1000名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值：
(2)为进一步了解这1000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望.
【解析】（1）由频率分布直方图得：.解得；
（2）由频率分布直方图得：
这1000名学生中日平均阅读时间在，两组内的学生人数之比为，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在内的学生中抽取（人）
在日平均阅读时间在内的学生中抽取4人，
现从这10人中随机拍取3人，则服从超几何分布，其可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
∴的分布列为：
.
20．(2023·全国·哈师大附中模拟预测（理））近期，国家出台了减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担“双减”政策．为了坚决落实“双减”政策，提高教学质量，提升课后服务水平，某中心小学计划实行课后看护工作．现随机抽取该中心小学三年级的10个班级并调查了解需要课后看护的学生人数，如下面频数分布表：
已知该中心小学每个班级50人，为了节约资源并保证每个看护教室有两名看护教师，该校计划：若需要课后看护的学生人数超过25人的班级配备1名班主任和1名其他科任教师；若需要课后看护的学生人数不超过25人的班级只配备1名班主任，但需要和另一个人数不超过25人的班级合班看护．
(1)若将上述表格中人数不超过25人的6个班两两组合进行课后看护，求班级代号为1，2的两个班合班看护的概率；
(2)从已抽取的10个班级中随机抽取3个班，记3个班中需要课后看护的学生人数超过25人的班级数为X，求X的分布列及数学期望．
【解析】(1)若将上述表各中人数超过25人的6个班两两组合进行课后看护，
共种不同的方法，
其中班级代号为1，2的两个班合班看护共种不同的方法．
记A表示事件“班级代号为1，2的两个班合班看护”，则其概率.
(2)随机变量的可能取值为，
可得，，，，
则的分布列为：
所以数学期望
21．(2023·北京·景山学校模拟预测）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率；
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（只需写出结论）
【解析】（1）由频率分布直方图得：
，
解得，，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20；
（2）由频率分布直方图得：
这500名学生中日平均阅读时间在，，，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从日平均阅读时间在，内的学生中抽取：人，
现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：
数学期望.
（3），理由如下：
由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在内的概率为0.50，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列服从二项分布，，由组合数的性质可得时最大.
经典题型五：二项分布与超几何分布的综合应用
22．(2023·江苏南通·高三开学考试）某药厂研制了治疗一种疾病的新药，该药的治愈率为.现用此药给位病人治疗，记被治愈的人数为.
(1)若，从这人中随机选人进行用药体验访谈，求被选中的治愈人数的分布列和数学期望；
(2)当为何值时，概率最大？并说明理由.
【解析】（1）由题意可知的可能取值有、、、，
，，，
.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，.
（2）由题意可得，
由题意可得，
即，解得，
因为，故当时，最大.
23．(2023·全国·高三专题练习）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射标志着拥有全部知识产权的北斗卫星导航系统全面建成．据统计，2019年卫星导航与位置服务产业总产值达到亿元，较2018年约增长．从全球应用北斗卫星的城市中选取了个城市进行调研，上图是这个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求产值小于万元的调研城市个数；
(2)在上述抽取的个城市中任取个，设为产值不超过万元的城市个数，求的分布列及期望和方差．
(3)把频率视为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取个城市，求恰有个城市的产值超过万元的概率．
【解析】（1）由频率分布直方图可知产值小于万元的频率为，
所以产值小于万元的调研城市个数为（个）；
（2）由（1）得产值不超过万元的调研城市有个，超过万元的调研城市有（个），
所以随机变量的取值可能为，，，
所以，，，
所以可得分布列
期望；
方差；
（3）由频率分布直方图可知城市的产值超过万元的概率为，
设任取个城市中城市的产值超过万元的城市个数为，
可知随机变量满足，
所以.
24．(2023·全国·高三专题练习）已知条件①采用无放回抽取：②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分.
问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若___________，从这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X，求随机变量X的分布列和期望.
【解析】若选①，由题意，随机变量的可能值为0，1，2，3
，
，
，
；
所以的分布列为
期望；
若选②，由题意，随机变量的可能值为0，1，2，3，且，
，
，
，
，
的分布列为：
期望.
25．(2023·全国·高三专题练习）甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列；
(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？
【解析】（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量，
由题意可得的可能取值为：，，
所以，，，
所以的分布列为：
由题意可得，
所以，，
，，
所以的分布列为：
（2），.
，
，
因为，所以甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大.
经典题型六：正态密度函数与正态曲线的性质
26．(2023·全国·高三专题练习）设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：D
【解析】由正态分布密度函数表达式知，.
故选：D.
27．(2023·甘肃·天水市第一中学模拟预测（理））已知连续型随机变量Xi~N(ui，σi2)(i=1，2，3)，其正态曲线如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．P(X1≤μ2)B．P(X2≥μ2)>P(X3≥μ3)
C．P(X1≤μ2)D．P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2)
答案：D
【解析】对于A：P(X1≤μ2)是第一条正态分布密度函数图象在第二条虚线左侧与x轴围成的部分，
P(X2≤μ1)是第二条正态分布密度函数图象在第一条虚线左侧与x轴围成的部分，
故由图象可知P(X1≤μ2)>P(X2≤μ1)，故A错误；
对于B：P(X2≥μ2)=，P(X3≥μ3)=，则P(X2≥μ2)=P(X3≥μ3)，故B错误；
对于C：与A分析同理，P(X1≤μ2)>P(X2≤μ3)，故C错误；
对于D：由于概率表示曲线和x轴围成的部分，与是i还是i+1无关，
故P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2)成立，故D正确.
故选：D.
28．(2023·湖南·长郡中学高三（理））已知正态分布密度函数，，以下关于正态曲线的说法不正确的是
A．曲线与轴之间的面积为1
B．曲线在处达到峰值
C．当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移
D．当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“矮胖”
答案：D
【解析】由正太分布的密度函数的解析式可知：曲线与轴之间的面积即为必然事件的概率，其值为，其图像关于直线对称，且当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移；当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“高瘦”．因此答案A，B，C都是正确的，答案D是错误的，应选答案D．
29．(2023·广东佛山·高三阶段练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】对于A中，随机变量服从正态分布，且，
可得随机变量的方差为，即，所以A错误；
对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量，
所以，所以B错误；
对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积，
所以，所以C正确；
对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，，
即，所以D错误.
故选：C.
30．(2023·广东·东莞四中高三阶段练习）某地组织普通高中数学竞赛.初赛共有20000名学生参赛，统计得考试成绩（满分150分）服从正态分布.考试成绩140分及以上者可以进入决赛.本次考试可以进入决赛的人数大约为（ ）附：.
A．26B．52C．456D．13
答案：A
【解析】考试成绩（满分150分）服从正态分布，所以，则，
，
所以可进入决赛的人数大约为人.
故选：A．
31．(2023·江苏镇江·高三开学考试）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
答案：A
【解析】为数据的方差，所以越大，数据在均值附近越分散，所以测量结果落在内的概率越小，故A错误;
由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等，故D正确.
故选：A.
经典题型七：正态曲线概率的计算
32．(2023·江苏南通·模拟预测）小强对重力加速度做n次实验，若以每次实验结果的平均值作为重力加速度的估值．已知估值的误差，为使误差在内的概率不小于0.6827，至少要实验___________次．（参考数据：若，则）．
答案：6
【解析】，∴，∴，至少要实验6次.
故答案为：6.
33．(2023·云南昆明·模拟预测（理））某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，路途用时（单位：）服从正态分布；第二条路线较长但不拥挤，路途用时（单位：）服从正态分布．若有一天他出发时离上班时间还有，则__________．（精确到）（参考数据：，，，，）
答案：0.0116
【解析】因为，
所以，
因为，
所以，
所以.
故答案为：0.0116.
34．(2023·安徽省定远县第三中学模拟预测（理））为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）．根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布．假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为__________．
附：若随机变量X服从正态分布，则．
答案：
【解析】质量在之外的概率为，
所以，则，
则，又，故最小.
故答案为：
35．(2023·广东·东莞市东方明珠学校模拟预测）已知某省2020年高考理科数学平均分近似服从正态分布，则_________．
（附：）
答案：
【解析】依题意可知，，，所以，
所以
.
故答案为：.
36．(2023·全国·模拟预测）在一批零件中抽取个零件，并测量其尺寸，已知这批零件的尺寸规格为，若误差，为使这批零件的尺寸（单位：）在内的概率不小于0.9974，则正整数的最小值为______.（若，则）
答案：50
【解析】由题意，这批零件的尺寸在内的概率不小于0.9974，
等价于误差在内的概率不小于0.9974，
则，且，，
所以，解得.
故答案为：.
37．(2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校模拟预测（理））已知随机变量，且，则______
答案：0.1
【解析】由题可知：随机变量，则期望为
所以
故答案为：
38．(2023·山东聊城·三模）已知随机变量，，，______.
答案：
【解析】已知随机变量，知，
因为,
所以.
故答案为：.
39．(2023·湖北·襄阳四中模拟预测）已知随机变量服从正态分布，且，则___________.
答案：
【解析】因为随机变量服从正态分布，其对称轴方程为
设 ，所以
又

根据题意 ，

故答案为：
经典题型八：根据正态曲线的对称性求参数
40．(2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，若，则的最小值为__________.
答案：
【解析】因为随机变量，且，
所以，
所以，
当且仅当，即、时取等号，所以的最小值为.
故答案为：.
41．(2023·福建·莆田锦江中学高三阶段练习）已知随机变量X服从正态分布，若，则_________．
答案：0.4【解析】由题可知：，
，
所以．
故答案为：0.4
42．(2023·全国·高三专题练习）设随机变量，若，则________.
答案：0.5
【解析】因为随机变量，，
所以，
所以.
故答案为：0.5.
43．（多选题）(2023·重庆南开中学高三阶段练习）已知随机变量，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．函数的最大值为1D．的正态曲线关于对称
答案：AC
【解析】因为随机变量，
所以的正态曲线关于对称，故D错误；
，
所以，
又，
所以，故A正确，B错误；
，
当时，函数取得最大值1，故C正确.
故选：AC.
经典题型九：正态分布的实际应用
44．(2023·吉林市教育学院模拟预测（理））为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下：
(1)求抽取的100名居民竞赛成绩的平均分和方差（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)以频率估计概率，发现该社区参赛居民竞赛成绩X近似地服从正态分布，其中近似为样本成绩平均分，近似为样本成缋方差，若，参赛居民可获得“参赛纪念证书”；若，参赛居民可获得“反诈先锋证书”，
①若该社区有3000名居民参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的居民人数（结果保留整数）；
②试判断竞赛成绩为96分的居民能否获得“反诈先锋证书”．
附：若，则，，．
【解析】（1）100名居民本次竞赛成绩平均分
，
100名居民本次竞赛成绩方差
，
（2）①由于近似为样本成绩平均分，近似为样本成绩方差，
所以，，
可知，，
由于竞赛成绩X近似地服从正态分布，
因此竞赛居民可获得“参赛纪念证书”的概率
估计获得“参赛纪念证书”的居民人数为2456；
②当时，即时，参赛居民可获得“反诈先锋证书”，
所以竞赛成绩为96分的居民能获得“反诈先峰证书”．
45．(2023·全国·模拟预测）天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船搭载着聂海胜、刘伯明和杨洪波三名宇航员升空并顺利“入住”天和核心舱．这是中国人首次进入自己的空间站，这也标志着中国载人航天事业迈入了一个新的台阶．为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为．某学校共有1000名学生，为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立．
(1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；
(2)请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值．
参考数值：，，．
【解析】（1）易知学生甲参与的环节数量X的所有可能取值为1，2，3，4，
；；
；，
所以X的分布列为
所以．
（2）因为服从正态分布，
所以．
设1000名学生中该项指标合格的学生人数为Z，则，
所以，所以估计符合该项指标的学生人数约有23人，
且每位同学通过选拔的概率，则通过学校选拔的人数，
故．
46．(2023·河北张家口·三模）港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨南海伶仃洋水域接珠海和澳门人工岛，止于珠海洪湾立交；桥隧全长55千米，桥面为双向六车道高速公路，设计速度100千米/小时，限制速度为千米/小时，通车后由桥上监控显示每辆车行车和通关时间的频率分布直方图如图所示：
(1)估计车辆通过港珠澳大桥的平均时间（精确到0.1）
(2)以（1）中的平均时间作为，车辆通过港珠澳大桥的时间X近似服从正态分布，任意取通过大桥的1000辆汽车，求所用时间少于39.5分钟的大致车辆数目（精确到整数）.
附：若，则，.
【解析】（1）由频率分布直方图可得 .
（2）由题知，，
所以，故所用时间少于分钟的大致车辆数目为.
47．(2023·安徽·南陵中学模拟预测（理））从某酒店开车到机场有两条路线，为了解两条路线的通行情况，随机统计了走这两条路线各10次的全程时间（单位：min），数据如下表：
将路线一和路线二的全程时间的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和.
(1)求.
(2)假设路线一的全程时间X服从正态分布，路线二的全程时间Y服从正态分布，分别用作为的估计值.现有甲､乙两人各自从该酒店打车去机场，甲要求路上时间不超过，乙要求路上时间不超过，为尽可能满足客人要求，司机送甲､乙去机场应该分别选哪条路线？
【解析】（1），
，
，
.
（2）由（1）知.
因为，且，
所以，
因为，
又，所以，
所以送甲去机场应该选择路线一,送乙去机场应该选择路线二.
48．(2023·江西南昌·二模（理））国际上常用体重指数作为判断胖瘦的指标，体重指数是体重（单位：千克）与身高（单位：米）的平方的比值．高中学生由于学业压力，缺少体育锻炼等原因，导致体重指数偏高．某市教育局为督促各学校保证学生体育锻炼时间，减轻学生学习压力，准备对各校学生体重指数进行抽查，并制定了体重指数档次及所对应得分如下表：
某校为迎接检查，学期初通过调查统计得到该校高三学生体重指数服从正态分布，并调整教学安排，增加学生体育锻炼时间.4月中旬，教育局聘请第三方机构抽查了该校高三50名学生的体重指数，得到数据如下表：
请你从肥胖率、体重指数学生平均得分两个角度评价学校采取措施的效果
附：参考数据与公式
若，则①；②；③
【解析】增加学生体育锻炼时间后，调查的50人的体重指数频数分布表如下：
其中肥胖率为，
而调整前，肥胖率为．
调整前，低体重的概率为，
体重正常概率为，
超重概率为，
调整前体重指数平均得分为，
调整后体重指数平均得分为，
因此调整后肥胖率减小，体重指数平均得分增加，说明学校采取的措施效果好．
49．(2023·山东·模拟预测）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2022年5月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告.统计了最近5个月参与竞拍的人数（见表）：
(1)由收集数据的散点图发现可用线性回归模型拟合竞拍人数y（万人）与月份编号t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程：，并预测2022年5月份参与竞拍的人数.
(2)某市场调研机构对200位拟参加2022年5月份车牌竞拍人员的报价进行了一个抽样调查，得到如下的一份频数表：
（i）求这200位竞拍人员报价X的平均数和样本方差（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；
（ii）假设所有参与竞价人员的报价X可视为服从正态分布，且与可分别由（i）中所求的样本平均数及估值.若2022年5月份实际发放车牌数量是5000，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价.
参考公式及数据：①回归方程，其中，；②；③若，令，则，且；④方差.
【解析】(1)，
∴，.
∴y关于t的线性回归方程为：.
由已知2022年5月份对应的，所以
∴预测2022年5月份参与竞拍的人数为3.73万人.
(2)（i）依题意可得这200人报价的平均值为：
.
这200人报价的方差为：
.
（ii）2022年5月份实际发放车牌数量是5000，设预测竞拍的最低成交价为a万元.
根据竞价规则，报价在最低成交价以上人数占总人数比例为，
根据假设报价X可视为服从正态分布，
令，由于，
∴，
∴，由，解得
∴预测竞拍的最低成交价为4.943万元.
经典题型十：标准正态分布的应用
50．(2023·河南洛阳·模拟预测（理））“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自己能否被录取?能获得什么样的职位?某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用名，其中个高薪职位和个普薪职位.实际报名人数为名，考试满分为分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布. )考试后考试成绩的部分统计结果如下:
考试平均成绩是分，分及其以上的高分考生名.
(1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)
(2)考生甲的成绩为分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由.
参考资料:(1)当时，令，则.
(2)当时，，，.
【解析】(1)设考生成绩为，则依题意应服从正态分布，即.
令，则.
由分及其以上的高分考生名可得
即，亦即.
则，解得，
设最低录取分数线为，则
则，
.
即最低录取分数线为分或分.
(2)考生甲的成绩，所以能被录取.
，
表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，
即考生甲大约排在第名，排在名之前，所以他能获得高薪职位.
51．(2023·安徽合肥·二模（理））为了解市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位）
（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（，约为19.3）.
①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）
②已知市理科考生约有10000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？
（说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，这里,相应于的值是指总体取值小于的概率，即.参考数据：，，）.
【解析】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：
（分）.
（2）①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为，
根据题意，，
即.
由，得
解得，
所以本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分.
②，
所以理科数学成绩为107分时，大约排在名．
52．(2023·甘肃省民乐县第一中学三模（理））已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1．
（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为，求的期望和方差；
（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，当比较大时，二项分布可视为正态分布．此外，如果随机变量，令，则．当时，对于任意实数，记．已知下表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值．例如当时，由于，则先在表的最左列找到数字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字0.06（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是的值．
①求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；
②若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7，则至少需要添加多少个座位？
【解析】（1）由题意可得，随机变量X服从二项分布，
则，
，
（2）①由于（1）中二项分布的n值增大，
故可以认为随机变量X服从二项分布，
由（1）可得，，
可得，则，
则，
由标准正态分布性质可得，，
故，
故，
在晚自习时间阅览室座位不够用的概率为；
②查表可得，，则，
即，
又，
故座位数至少要1016个，
，
故阅览室座位至少需要添加22个．
53．(2023·河南省兰考县第一高级中学模拟预测（理））《山东省高考改革试点方案》规定：年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、，选择科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照（、分别为正态分布的均值和标准差）分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．如果山东省年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩，．
(1)若规定等级、、、、、为合格，、为不合格，需要补考，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少；
(2)现随机抽取了该省名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求的数学期望和方差．
附：当时，，．
【解析】(1)由题意可知，学业水平模拟考试物理科目合格的比例为，
由且，可得，
由，可得，
估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分为分.
(2)若，则，，
由题意可知，
，.
1．(2023·湖北·高考真题（理））已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2
答案：C
【解析】因为，所以．
由题意知图象（如图）的对称轴为直线，
，
所以．
所以．
故选：C．
2．(2023·全国·高考真题（理））某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为
A．100B．200C．300D．400
答案：B
【解析】设没有发芽的种子数为，则，，所以
3．(2023·广东·高考真题（理））已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________．
答案：
【解析】随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，
可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为．
4．（2023·北京·高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
【解析】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意，可以取20，30，
，，
则的分布列:
所以；
（2）由题意，可以取25，30，
两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，
则.
5．（2023·天津·高考真题（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
【解析】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，
故，从面.
所以，随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望.
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.
且.
由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
.
6．(2023·全国·高考真题（理））为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.
【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，
从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，
故.
因此.
的数学期望为.
（2）（i）如果生产状态正常，
一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，
一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件
概率只有0.0408，发生的概率很小.
因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程
可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，
可见上述监控生产过程的方法是合理的.
（ii）由，
得的估计值为，的估计值为，
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，
因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除之外的数据，
剩下数据的平均数为，
因此的估计值为.
，
剔除之外的数据，
剩下数据的样本方差为，
因此的估计值为.
7．(2023·四川·高考真题（理））设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(3)记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望．
【解析】（1）令表示进入商场的1位顾客购买甲种商品的事件，表示进入商场的1位顾客购买乙种商品的事件，
令表示进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的事件，则，，
所以.
（2）令表示进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的事件，由（1）知，其对立事件，
，
所以.
（3）的所有可能值为0，1，2，3，由（2）知，，
，，，，
所以的分布列为：
的期望.
8．(2023·广东·高考真题（理））为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取件和件，测量产品中微量元素、的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的件产品的测量数据：
(1)已知甲厂生产的产品共件，求乙厂生产的产品数量；
(2)当产品中的微量元素、满足且，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
(3)从乙长抽出的上述件产品中，随机抽取件，求抽取的件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）.
【解析】（1）设乙厂生产的产品数量为件，则，解得.
因此，若甲厂生产的产品共件，则乙厂生产的产品共件.
（2）乙厂的件产品中，其中优等品共件，
因此，乙厂生产的优等品的数量为件.
（3）由题意可知，随机变量的可能取值有、、，
，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
因此，.
9．(2023·江西·高考真题（理））如图，从这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积）．
(1)求的概率；
(2)求的分布列及数学期望．
【解析】（1）从6个点中随机地选取3个点共有种选法，
选取的3个点与原点在同一个平面上的选法有种，
因此的概率
（2）的所有可能值为，
则，，
,
,
因此的分布列为
由的分布列可得：
=
0
1
…
…
…
…
0
1
…
…
1
11
0.970
0.030
1
9
0.976
0.024
工种类别
A
B
C
赔付频率
0
1
2
0
5
9
5
7
9
9
9
10
12
14
16
18
0
1
2
3
4
X
2
4
5
P
600
300
0
等级
A
B
询单转化率
[70%，90%）
[50%，70%）
人数
6
4
0
500
1000
Y
2
4
6
P
出行方式
步行
骑行
自驾
公共交通
比例
5%
25%
30%
40%
X
0
1
2
3
4
P
0
1
2
组号
分组
频数
1
6
2
8
3
17
4
22
5
25
6
12
7
6
8
2
9
2
合计
100
0
1
2
3
班级代号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
需看护学生人数
20
18
27
30
24
23
32
35
21
20
0
1
2
3

0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
1
2
3
0
1
2
3
成绩（分）
人数
2
4
22
40
28
4
X
1
2
3
4
P
路线一
44
58
66
50
34
42
50
38
62
56
路线二
62
56
68
62
58
61
61
52
61
59
档次
低体重
正常
超重
肥胖
体重指数x（单位：）
学生得分
80
100
80
60
16.3
16.9
17.1
17.5
18.2
18.5
19.0
19.3
19.5
19.8
20.2
20.2
20.5
20.8
21.2
21.4
21.5
21.9
22.3
22.5
22.8
22.9
23.0
23.3
23.3
23.5
23.6
23.8
24.0
24.1
24.1
24.3
24.5
24.6
24.8
24.9
25.2
25.3
25.5
25.7
25.9
26.1
26.4
26.7
27.1
27.6
28.2
28.8
29.1
30.0
档次
低体重
正常
超重
肥胖
体重指数x（单位：）
人数
3
25
17
5
月份
2021.12
2022.01
2022.02
2022.03
2022.04
月份编号t
1
2
3
4
5
竞拍人数y（万人）
1.7
2.1
2.5
2.8
3.4
报价区间（万元）
频数
20
60
60
30
20
10
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0
0.5000
0.5040
0.5080
0.5120
0.5160
0.5199
0.5239
0.5279
0.5319
0.5359
0.1
0.5398
0.5438
0.5478
0.5517
0.5557
0.5596
0.5636
0.5675
0.5714
0.5753
0.2
0.5793
0.5832
0.5871
0.5910
0.5948
0.5987
0.6026
0.6064
0.6103
0.6141
0.3
0.6179
0.6217
0.6255
0.6293
0.6331
0.6368
0.6404
0.6443
0.6480
0.6517
0.4
0.6554
0.6591
0.6628
0.6664
0.6700
0.6736
0.6772
0.6808，
0.6844
0.6879
0.5
0.6915
0.6950
0.6985
0.7019
0.7054
0.7088
0.7123
0.7157'
0.7190
0.7224
0
1
2
3
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
0
1
2
3
0.008
0.096
0.384
0.512
编号
0