广东省江门市广雅中学2022-2023学年高二上学期期中B数学试题(原卷版+解析)

这是一份广东省江门市广雅中学2022-2023学年高二上学期期中B数学试题(原卷版+解析)，共27页。

试卷类型：B
（时间120分钟，满分150分）命题人：代鹏审题人：吴春尧
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
2. 若直线与平行，则与间距离为（ ）
A. 2B. C. D.
3. 设向量不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 与直线切于点，且经过点的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知椭圆焦距是2，则离心率e的值是（ ）
A. B. 或C. 或D. 或
6. 如图所示，在棱长为1的正方形中，点P是的中点，点M，N是矩形内（包括边界）的任意两点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（ ）
A. B.
C. D.
8. 设抛物线的焦点为F，准线为，为C上一动点，，则下列结论错误的是（ ）
A. 当时，的值为6
B. 当时，抛物线C在点P处的切线方程为
C. 最小值为3
D. 的最大值为
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知空间中三点，则下列结论正确的有（ ）
A. 与共线单位向量是
B.
C. 与夹角余弦值是
D. 平面的一个法向量是
10. 已知为4，为8或，则下列对曲线描述正确的是（ ）
A. 曲线可表示为焦点在轴的椭圆B. 曲线可表示焦距是4的双曲线
C. 曲线可表示为离心率是的椭圆D. 曲线可表示渐近线方程是的双曲线
11. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 圆：与圆：恰有三条公切线
C. 两圆与的公共弦所在的直线方程为
D. 已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中为切点，则的最小值为
12. 如图，正三棱柱中，底面ABC是边长为2的等边三角形，，D为BC中点，则（ ）
A. 直线平面
B. 点到平面的距离为
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 设P，Q分别在线段，上，且，则PQ的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. ，，，若，，三向量共面，则实数_________.
14. 已知过点且倾斜角为的直线与圆相交于两点，则线段的长为__________．
15. 已知双曲线C：的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线C的标准方程为______.
16. 阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为_______.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1）已知，，且，求，的值；
（2）已知，，若与（为坐标原点）的夹角为，求的值.
18. 已知直线的方程为，，且与轴交于点．
（1）求直线和的交点坐标；
（2）与轴、轴分别交于，两点，点关于直线的对称点为，求的面积．
19. 已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4．
（1）求p的值；
（2）过焦点F且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，求．
20. 已知圆经过，，三点.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆相交于不同的两点，，且线段的垂直平分线在两坐标轴上截距之和为，求实数的值.
21. 如图，在四棱锥中，平面，且，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
22. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上，点F是椭圆C的右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，则在x轴上是否存在一点P，使得直线l绕点F无论怎样转动都有？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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江门广雅学校中学2022－2023学年第一学期期中教学质量检测
高二年级数学试卷
试卷类型：B
（时间120分钟，满分150分）命题人：代鹏审题人：吴春尧
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
【解析】
分析：根据向量数量积列出方程，求出x＝1，利用向量夹角公式计算出答案.
【详解】∵
∴x＝1，
∴，
∴，
又∵，
∴向量与的夹角为
故选：D.
2. 若直线与平行，则与间的距离为（ ）
A. 2B. C. D.
答案：B
【解析】
分析：先由两直线平行，列方程求出，再利用两平行线间的距离公式可求得结果.
【详解】因为直线与平行，
所以，且，
解得，
所以直线，，
所以，，
所以与间的距离为，
故选：B
3. 设向量不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
【解析】
分析：由题意，根据平面向量基本定理，列方程，逐个检验，可得答案.
【详解】对于A，设，则，即，该方程组无解，故A符合题意；
对于B，设，则，即，解得，故B不符合题意；
对于C，设，则，即，解得，故C不符合题意；
对于D，设，则，即，解得，故D不符合题意；
故选：A.
4. 与直线切于点，且经过点的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
【解析】
分析：设圆的方程为，根据题意列出方程组，求得，即可得出答案.
【详解】解：设圆的方程为，
根据题意可得，
解得，
所以该圆的方程为.
故选：D.
5. 已知椭圆的焦距是2，则离心率e的值是（ ）
A. B. 或C. 或D. 或
答案：B
【解析】
分析：对焦点所在位置进行分类讨论，利用、进行求解.
【详解】因为椭圆的焦距是2，所以，
当椭圆焦点在轴上，，所以，
当椭圆焦点在轴上，，所以，故A，C，D错误.
故选：B.
6. 如图所示，在棱长为1的正方形中，点P是的中点，点M，N是矩形内（包括边界）的任意两点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
【解析】
分析：设正方体的中心为O，连接OP，OM，ON，根据向量的线性运算可得，再分析的范围求解即可.
【详解】设正方体的中心为O，连接OP，OM，ON．由正方体的性质可知，，，那么，又，所以.
当与反向，且时，有最小值，此时；
当与同向，且时，有最大值，此时，即的取值范围为．
故选：B
7. 我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
【解析】
分析：设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为，根据椭圆的性质以及离心率得出“嫦娥四号”到月球表面最远的距离.
【详解】椭圆的离心率，设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为
则
故选：B
8. 设抛物线的焦点为F，准线为，为C上一动点，，则下列结论错误的是（ ）
A. 当时，值为6
B. 当时，抛物线C在点P处的切线方程为
C. 的最小值为3
D. 的最大值为
答案：B
【解析】
分析：由焦半径求出的值判断A，利用导数的几何意义可得切线方程判断B，利用抛物线定义结合图象可判断CD.
【详解】当时，，故，故A正确；
当时，，由可得，所以，
所以抛物线C在点P处的切线方程为，整理得：，故B错误；
如图，过点P作PB⊥准线于点B，则由抛物线定义可知：，
则，当A、P、B三点共线时，和最小，最小值为1+2=3，故C正确；
由题意得：，连接AF并延长，交抛物线于点P，
此点即为取最大值的点，此时，
其他位置的点，由三角形两边之差小于第三边得：，
故的最大值为，故D正确.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知空间中三点，则下列结论正确的有（ ）
A. 与共线的单位向量是
B.
C. 与夹角的余弦值是
D. 平面的一个法向量是
答案：BD
【解析】
分析：根据共线向量的定义判定A选项；向量垂直，则其点乘为0，判定B选项；
利用向量夹角公式判定C选项；D选项，将代入计算，即可.
【详解】解：，与不共线，故A错误；
，，
，故，故B正确；
，C错误；
设，则，
，
所以，又，且平面，
所以平面的一个法向量是，D正确.
故选：BD.
10. 已知为4，为8或，则下列对曲线描述正确的是（ ）
A. 曲线可表示为焦点在轴椭圆B. 曲线可表示焦距是4的双曲线
C. 曲线可表示为离心率是的椭圆D. 曲线可表示渐近线方程是的双曲线
答案：ACD
【解析】
分析：利用椭圆、双曲线的定义及标准方程即可判断.
【详解】由题意得，当时，方程表示焦点在轴的椭圆，
所以A选项正确;
当时，方程表示焦点在轴的双曲线，
此时，则，，则焦距，
所以B选项错误;
当时，方程表示焦点在轴的椭圆，
此时，则，，
则离心率为，
所以C选项正确;
当时，方程表示焦点在轴的双曲线，
此时，则，
则，，则渐近线方程为，
即，
所以D选项正确;
故选:ACD.
11. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 圆：与圆：恰有三条公切线
C. 两圆与的公共弦所在的直线方程为
D. 已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中为切点，则的最小值为
答案：AB
【解析】
分析：利用求定点的方法即可判断A选项；判断两个圆的位置关系即可判断B选项；两圆方程联立作差可判断C选项；利用切线长可判断D选项.
【详解】令，则，解得，
所以直线过定点，所以A正确；
圆的圆心为半径，
圆的圆心为半径，
圆心距,所以，
所以圆与圆外切，则有3条公切线，
所以B正确；
两圆方程联立 ，
作差整理得，所以C错误；
设圆心到直线的距离为，半径,
则，所以，
根据切线长，
当取最小值时，有最小值，
所以,
所以D错误.
故选:AB.
12. 如图，正三棱柱中，底面ABC是边长为2的等边三角形，，D为BC中点，则（ ）
A. 直线平面
B. 点到平面的距离为
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 设P，Q分别在线段，上，且，则PQ的最小值为
答案：ABD
【解析】
分析：建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；
【详解】解：在正三棱柱中，为的中点，所以，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，因为，即，又平面，所以平面，故A正确；
因为，所以，则点到平面的距离为，故B正确；
因为，，设直线与所成角为，则，所以异面直线与所成角的余弦值为，故C错误；
设，则、，因为，，所以，，则，，所以，所以当时有最小值，所以，所以，故D正确；
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. ，，，若，，三向量共面，则实数_________.
答案：
【解析】
分析：根据空间向量共面列出方程组，求出.
【详解】，，，若，，三向量共面，
设，
即，
所以，解得:，所以.
故答案为：5
14. 已知过点且倾斜角为的直线与圆相交于两点，则线段的长为__________．
答案：
【解析】
分析：根据直线的点斜式方程求出直线的一般式方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合垂径定理计算即可得出结果.
【详解】由题意可知，直线方程为，即．
则圆心到直线的距离．
所以弦长．
故答案为：.
15. 已知双曲线C：的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线C的标准方程为______.
答案：
【解析】
分析：依题意可得，，即可求出、的值，从而得解.
【详解】解：双曲线的渐近线方程为，
可得，其右焦点为，可得，又，
解得，，
则双曲线的方程为：．
故答案为：．
16. 阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为_______.
答案：
【解析】
分析：先由阿波罗尼斯圆的定义求出定点坐标，再由结合三点共线求出最小值即可.
【详解】设，，所以，又，所以.
因为且，所以，整理可得，又动点M的轨迹是，
所以，解得，所以，又，所以，
因为，所以的最小值为，当且仅当三点共线时取等.
故答案为：.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1）已知，，且，求，的值；
（2）已知，，若与（为坐标原点）的夹角为，求的值.
答案：（1）；（2）
【解析】
分析：（1）利用空间向量的坐标运算，结合空间向量共线的坐标表示计算作答；
（2）先算出，，然后利用数量积的坐标运算得到，再利用夹角公式即可得到答案
【详解】（1）因为，，
所以，，
因为，
所以，解得，
所以；
（2）因为，，
所以，，
所以，
因为与的夹角为，
所以，因为解得
18. 已知直线的方程为，，且与轴交于点．
（1）求直线和的交点坐标；
（2）与轴、轴分别交于，两点，点关于直线的对称点为，求的面积．
答案：（1）;
（2）.
【解析】
分析：（1）求出直线的方程，联立直线的方程，可解得直线和的交点坐标；
（2）求出，两点坐标，计算的值，根据对称性列方程解得点坐标，求出点到直线的距离，代入三角形的面积公式计算得答案.
【小问1详解】
因为直线的方程为，，
所以，又与轴交于点，
所以的方程为，，
由解得交点坐标为；
【小问2详解】
设关于的对称点为，
由题意得解得，
则到：的距离,
由：，令得，令得，，
所以的面积.
19. 已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4．
（1）求p值；
（2）过焦点F且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，求．
答案：（1）；
（2）
【解析】
分析：（1）利用抛物线方程得到焦点坐标和准线方程，即可得到答案；
（2）通过题意得到焦点坐标，然后得到直线的方程，与抛物线进行联立可得，利用韦达定理可得，即可得到答案
【小问1详解】
由抛物线可得焦点，准线方程为，
又因为抛物线的焦点到其准线的距离为，
所以；
【小问2详解】
由（1）可得抛物线的方程为，所以焦点，
则直线的方程为设，
联立，整理可得，所以，
由抛物线的性质可得．
20. 已知圆经过，，三点.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆相交于不同的两点，，且线段的垂直平分线在两坐标轴上截距之和为，求实数的值.
答案：（1）
（2）
【解析】
分析：（1）由圆的一般方程利用待定系数法，代入点得到方程，解之即可.
（2）先判断得，进而求出线段的垂直平分的方程，根据题意可求得的值，再由与圆相交，得到的取值范围，进一步确定的值.
【小问1详解】
设圆的方程为，
因为圆经过，，三点，
所以解得，
所以圆方程为，即，
所以圆的标准方程为：.
【小问2详解】
若，直线：为，与圆相切，只有一个交点，不合题意，故；
又弦的垂直平分线必过圆心，且的斜率为，
所以线段的垂直平分线方程为，
当时，当时，所以，即，
解得：或.
因为圆的方程为：，所以，半径，
又直线与圆相交，所以，即，得或，
∴符合题意，即.
21. 如图，在四棱锥中，平面，且，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
答案：（1）见解析 （2）
（3）存在，且.
【解析】
分析：（1）过作于，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的向量，从而可证明线面平行.
（2）求出平面的法向量，利用向量求夹角公式解得.
（3）令，，设，求出，结合已知条件可列出关于的方程，从而可求出的值.
【小问1详解】
过作，垂足为，则，
如图，以为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，
则，，， ，，，
为的中点，，则，
设平面的一个法向量为，，，
则，令，解得：.
，即，
又平面，所以平面．
【小问2详解】
设平面的一个法向量为，，，
所以，令，解得.
所以.
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【小问3详解】
假设线段上存在一点，设，，.
，，则
又直线与平面所成角的正弦值为，平面的一个法向量
，
化简得，即，
，，故存在，且.
22. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上，点F是椭圆C的右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，则在x轴上是否存在一点P，使得直线l绕点F无论怎样转动都有？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）；
（2）存，.
【解析】
分析：（1）由题给条件列出关于a、b、c的方程组，解得a、b即可求得椭圆C的方程；
（2）由题意可知在x轴上存在一点，使成立，据此结合根与系数的关系可求解.
【小问1详解】
由题意得，解得：．
所以椭圆C方程为．
【小问2详解】
由题意可知．
若直线l斜率存在，设直线l的方程为，
联立得，整理得．
由题意可知恒成立，所以，
假设在x轴上存在一点，使得x轴平分，则，
所以，整理得，
即，
整理得，，
则，
即，解之得．
若直线l斜率不存在时，则M，N两点关于x轴对称，当点P坐标为时，x轴平分．
综上所述，在x轴上存在一点，使得x轴平分．