高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)01确定集合中的元素(原卷版+解析)

这是一份高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)01确定集合中的元素(原卷版+解析)，共17页。试卷主要包含了集合中元素的三个特性，元素与集合的关系，分类讨论思想，方程思想等内容，欢迎下载使用。
1.集合中元素的三个特性
确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；
互异性：给定集合中的元素是互不相同的；
无序性：集合中的元素是没有次序的。
2.元素与集合的关系：元素a与集合A只有两种关系：a∈A，a∉A。
1.元素分析法：分析元素是解决集合问题的基础，求解这类问题时，要确定集合中的元素是数、点还是其他，确定这些元素所满足的条件是什么，是否满足元素的三个特性，并牢固掌握集合的文字、符号、图形语言之间的转换方法。
2.元素性质法：涉及元素与集合间的关系判断或根据集合元素的特性确定元素个数的题目，要利用元素的确定性与互异性求解。
3.分类讨论思想：与集合的含义和表示有关的含参数问题，往往要进行分类讨论，分类时，应注意标准统一、不重不漏。
4.方程思想：涉及元素与集合的关系及集合相等的题目，可利用集合中元素间的相等关系，列出方程或方程组求解。
探究一：利用元素的性质求元素的个数
已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．B．C．D．
思路分析：由已知，可得的值，进而得出集合中元素的个数
【变式练习】
1．已知集合，，则集合B中元素的个数是（ ）
A．6B．3C．4D．5
2．已知集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
探究二：列举法求元素的个数
集合的元素个数是
A．2B．4C．6D．8
思路分析：根据题中给出的条件,分别从最小的自然数0开始给代值,求出相应的的值,直到得出的为止,求出的个数。
【变式练习】
1．集合，则中元素的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．设集合，，，则集合中元素的个数为（ ）
A．B．C．D．
探究三：根据元素的个数求参数
若集合中只有一个元素，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．或
思路分析：分和两种情况讨论，结合集合中只有一个元素可求得实数的值。
【变式练习】
1．如果集合中只有一个元素，则a的值是（ ）
A．0B．C．0或1D．0或
2．已知集合，若中只有一个元素，则的值是（ ）
A．B．0或C．1D．0或1
一、单选题
1．若集合中有且仅有一个元素，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．集合中的元素个数是（ ）
A．0B．4C．5D．6
4．若方程和方程的所有实数根组成的集合为M，则M中的元素个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知集合中所含元素的个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
6．若集合至多含有一个元素，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
7．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是（ ）
A．10B．9C．8D．7
8．定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知集合，则的值可能为（ ）
A．0B．-C．1D．2
10．已知集合中有且只有一个元素，那么实数的取值可能是（ ）
A．B．1C．0D．
11．下列四个命题：其中不正确的命题为（ ）
A．{0}是空集B．若，则
C．集合有两个元素D．集合是有限集
12．下列四个命题：其中不正确的命题为（ ）
A．是空集B．若，则；C．集合有一个元素D．集合是有限集.
三、填空题
13．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合中元素的个数为______个．
14．已知集合，记集合中的元素个数为，若，则实数______.
15．集合的元素个数为_________．
16．已知集合，，则集合B中元素的个数为______.
四、解答题
17．（1）已知，，求实数的值；
（2）已知集合，若中有两个元素，求实数的取值范围．
18．已知，集合.
(1)若A是空集，求实数a的取值范围；
(2)若集合A中只有一个元素，求集合A；
(3)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围.
19．已知集合A是方程的解集．
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A是单元素集（集合中只有一个元素），求a的值；
(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
20．设数集由实数构成，且满足：若（且），则.
(1)若，试证明中还有另外两个元素；
(2)集合是否为双元素集合，并说明理由；
(3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.
常考题型01 确定集合中的元素
1.集合中元素的三个特性
确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；
互异性：给定集合中的元素是互不相同的；
无序性：集合中的元素是没有次序的。
2.元素与集合的关系：元素a与集合A只有两种关系：a∈A，a∉A。
1.元素分析法：分析元素是解决集合问题的基础，求解这类问题时，要确定集合中的元素是数、点还是其他，确定这些元素所满足的条件是什么，是否满足元素的三个特性，并牢固掌握集合的文字、符号、图形语言之间的转换方法。
2.元素性质法：涉及元素与集合间的关系判断或根据集合元素的特性确定元素个数的题目，要利用元素的确定性与互异性求解。
3.分类讨论思想：与集合的含义和表示有关的含参数问题，往往要进行分类讨论，分类时，应注意标准统一、不重不漏。
4.方程思想：涉及元素与集合的关系及集合相等的题目，可利用集合中元素间的相等关系，列出方程或方程组求解。
探究一：利用元素的性质求元素的个数
已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．B．C．D．
思路分析：由已知，可得的值，进而得出集合中元素的个数
【解析】集合
则集合中元素的个数是个
故选：C
答案：C
【变式练习】
1．已知集合，，则集合B中元素的个数是（ ）
A．6B．3C．4D．5
答案：C
【解析】集合中的元素有，，，共4个，故选：C.
2．已知集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题，当时最小为，最大为，且可得，故集合
故选：D
探究二：列举法求元素的个数
集合的元素个数是
A．2B．4C．6D．8
思路分析：根据题中给出的条件,分别从最小的自然数0开始给代值,求出相应的的值,直到得出的为止,求出的个数。
【解析】因为,
所以：当时,;
当时,;
当时,;
当时,;
当时,;
当时,;
当时,,且，所以.
综上,,元素个数是2个.
故选A.
答案：A
【变式练习】
1．集合，则中元素的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：C
【解析】由已知得，又，所以中元素的个数为个．
故选：C.
2．设集合，，，则集合中元素的个数为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】当，时，；当，时，；当，或时，；当，时，；当，或，时，；当，时，；，故中元素的个数为个.
故选：B.
探究三：根据元素的个数求参数
若集合中只有一个元素，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．或
思路分析：分和两种情况讨论，结合集合中只有一个元素可求得实数的值。
【解析】当时，，合乎题意；当时，关于的方程有两个相等的实根，则，解得.
综上所述，或.
故选：D.
答案：D
【变式练习】
1．如果集合中只有一个元素，则a的值是（ ）
A．0B．C．0或1D．0或
答案：D
【解析】时，，满足题意，
时，，，此时，
综上或，
故选：D．
2．已知集合，若中只有一个元素，则的值是（ ）
A．B．0或C．1D．0或1
答案：B
【解析】集合中只含有一个元素，也就意味着方程只有一个解；（1）当时，方程化为，只有一个解；（2）当时，若只有一个解，只需，即；综上所述，可知的值为或.
故选：B
一、单选题
1．若集合中有且仅有一个元素，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】当时，，符合题意；当时，有一实根，所以，符合题意；所以实数的值为或；故选：C
2．已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】由题意可知，可得.故选：D
3．集合中的元素个数是（ ）
A．0B．4C．5D．6
答案：B
【解析】，
所以集合中的元素个数有4个，
故选：B.
4．若方程和方程的所有实数根组成的集合为M，则M中的元素个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：C
【解析】解：方程和方程的实数根分别是2，3和2，-1，
又集合中的元素具有互异性，所以集合M中的元素个数为3个.
故选：C
5．已知集合中所含元素的个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
答案：C
【解析】解：因为，
所以中含6个元素．
故选：C.
6．若集合至多含有一个元素，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为集合至多含有一个元素，
所以时，，此时满足题意；当时，要满足题意，需方程无实根或两相等实根，
即，所以.
综上知，的取值范围是.
故选：B.
7．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是（ ）
A．10B．9C．8D．7
答案：B
【解析】（1）m，n都是正偶数时：
m从2，4，6任取一个有3种取法，而对应的n有一种取法；
∴有3种取法，即这种情况下集合M有3个元素；
（2）m，n都为正奇数时：
m从1，3，5，7任取一个有4种取法，而对应的n有一种取法；
∴有4种取法，即这种情况下集合M有4个元素；
（3）当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时：
当m=8，n=1，和m=1，n=8，即这种情况下集合M有两个元素；∴集合M的元素个数是3+4+2=9．
故选：B．
8．定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为，，，
所以，
故集合中的元素个数为3，
故选：C.
二、多选题
9．已知集合，则的值可能为（ ）
A．0B．-C．1D．2
答案：AB
【解析】当时，，故
当时，由题意可知，方程只有一个根，即，
此时方程的根为，故
故选：AB
10．已知集合中有且只有一个元素，那么实数的取值可能是（ ）
A．B．1C．0D．
答案：AC
【解析】当时，，符合题意.
当时，，符合题意.
故选：AC
11．下列四个命题：其中不正确的命题为（ ）
A．{0}是空集B．若，则
C．集合有两个元素D．集合是有限集
答案：ABC
【解析】解：A. {0}中有元素0，不是空集，错误；B. 若，则，错误；C.，集合中只有一个元素，错误；D.集合是有限集，正确.故选：ABC.
12．下列四个命题：其中不正确的命题为（ ）
A．是空集B．若，则；C．集合有一个元素D．集合是有限集.
答案：ABD
【解析】对于A：含有一个元素，所以不是空集，故选项A不正确；对于B：当时，，则，故选项B不正确；对于C：只有一个元素，故选项C正确；对于D：表示有理数，包括整数和分数，比如为正整数的倒数时，都有，所以集合是无限集，故选项D不正确；
故选：ABD.
三、填空题
13．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合中元素的个数为______个．
答案：3
【解析】由题意，得当时，；当且时，；当且时，；当且时，；所以含有的元素有：1、2、，
即中元素个数为3个.
故答案为：3.
14．已知集合，记集合中的元素个数为，若，则实数______.
答案：或或
【解析】因为，，解得或者，
时，即只有一个元素，
当只有一个解而无解时，
即，解得，
当只有一个解而无解时，
即，不存在，
时，有三个元素，
当只有一个解而有2个不同解时，
即，不存在，
当只有一个解而有2个不同解时，
即，解得或者，
综上所述， 或或.
故答案为：或或.
15．集合的元素个数为_________．
答案：
【解析】由可知， 是12的因数，故 ，进而可得可取，
故答案为：
16．已知集合，，则集合B中元素的个数为______.
答案：6
【解析】因为，，，所以时，；时，或，时，或3或4.，所以集合B中元素的个数为6.故答案为：6.
四、解答题
17．（1）已知，，求实数的值；
（2）已知集合，若中有两个元素，求实数的取值范围．
答案：（1）；（2）或．
【解析】（1）因为，故，
因为，则或.
①当时，即当时，此时，集合中的元素不满足互异性；②当时，即，解得或（舍），
此时，，集合中的元素满足互异性.
综上所述，；（2）因为集合中有两个元素，则，
解得且，
因此，实数的取值范围是或.
18．已知，集合.
(1)若A是空集，求实数a的取值范围；
(2)若集合A中只有一个元素，求集合A；
(3)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围.
答案：(1)；(2)当时，；当时，；(3).
【解析】（1）若A是空集，则关于x的方程无解，
此时，且，
所以，即实数a的取值范围是.
（2）当时，，符合题意；当时，关于x的方程应有两个相等的实数根，
则，得，此时，符合题意.
综上，当时；当时.
（3）当时，，符合题意；当时，要使关于x的方程有实数根，则，得.
综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为.
19．已知集合A是方程的解集．
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A是单元素集（集合中只有一个元素），求a的值；
(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
答案：(1)
(2)1
(3)
【解析】（1）若，则或，当时，方程为，
其解为，所以A是单元素集．
当时，方程为，无实数解，所以A为空集．
所以，若A是空集，
则或
即，所以a的取值范围为；
（2）由（1）可知，若A是单元素集，则或即；
（3）由（1）（2）知，若A中至多只有一个元素，即A为空集或单元素集，则a的取值范围为.
20．设数集由实数构成，且满足：若（且），则.
(1)若，试证明中还有另外两个元素；
(2)集合是否为双元素集合，并说明理由；
(3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.
答案：(1)证明见解析；(2)不是，理由见解析；(3).
【解析】（1）由题意得若，则；又因为，所以；即集合中还有另外两个元素和.
（2）由题意，若（且），则，则，若则；所以集合中应包含，故集合不是双元素集合.
（3）由（2）得集合中的元素个数应为3或6，
因为且中有一个元素的平方等于所有元素的积，
所以中应有6个元素，且其中一个元素为，
由结合条件可得，
又因为，所以剩余三个元素和为，即，
解得，
故.