高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)02确定集合间的关系(原卷版+解析)

这是一份高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)02确定集合间的关系(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了列举观察法，元素特征法，数形结合法等内容，欢迎下载使用。


常用结论：含n个元素的集合的子集个数为2ⁿ ，真子集个数为2n-1，非空子集个数为2n-1，非空真子集个数为2n-2。
考法一：判断集合间的关系
1.列举观察法：当集合中元素较少时，可分别列出两个集合中的全部元素，根据定义，通过比较两个集合中的元素即可判断两集合之间的关系.
2.元素特征法：当两集合的代表元素一样（集合属性相同，同为数集、同为点集或同为其他集合）时，可利用集合元素的特征判断关系.
一般地，设A={x|p(x)}，B={x|q(x)}.
(1)若p(x)⇒q(x)，则A⊆B；
(2)若q(x)⇒p(x)，则B⊆A；
(3)若p(x)⇔q(x)，则A=B；
(4)若p(x) 不能推出q(x)，且q(x)不能推出p(x)，则集合A，B无包含关系。
3.数形结合法
利用数轴或Venn图.不等式解集之间的关系，适合用数轴法.若A⊆B和A真包含于B同时成立，则A真包含于B更能准确表达集合A，B之间的关系。
考法二：确定集合的子集
1.列举法：当一个集合的元素个数较少时，可列出其全部子集.
用列举法确定集合的子集时，要注意
(1)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；
(2)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.
2.公式法：已知集合中的元素有n(n∈N)个，那么这个集合的子集有2ⁿ 个，它的真子集有(2ⁿ-1)个。
探究一：判断两个集合的包含关系
给出下列关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
思路分析：①空集中不含任何元素，由此可判断①；
②是整数，故可判断②正确；③通过解方程，可得出，故可判断③；④根据为正整数集可判断④；⑤通过解方程，得，从而可判断⑤.
【变式练习】
1．已知集合则的关系为（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，，则A，B，C之间的关系是（ ）
A．A=BCB．AB=C
C．ABCD．BC=A
探究二：根据集合的包含关系求参数
已知，，若且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
思路分析：集合A的的取值范围是确定的，集合B中，二次函数开口向上，要先考虑恒成立的情况；若不恒成立，再结合的条件进行讨论，从而得到的取值范围。
【变式练习】
1．若集合，，则能使成立的所有a组成的集合为（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，若，则实数的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
探究三：判断两个集合是否相等及根据集合相等求参数
已知集合，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
思路分析：根据集合，分，，依次讨论两个集合是否相等，即可。
【变式练习】
1．若集合，，则集合之间的关系为（ ）
A．ABB．BA
C．D．
2．已知，，若，则（ ）
A．0B．1C．D．
探究四：判断集合的子集（真子集）的个数
已知集合．若，且，则满足条件的C的个数为（ ）
A．479B．480C．511D．512
思路分析：先求出集合A的所有子集，再求出A中含有，B中不含有的元素为5，6，7，8，9，求出对应集合的子集，从而可求出满足条件的集合C的个数。
【变式练习】
1．已知集合，，则满足条件 的集合的个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
2．集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则集合B的真子集的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
探究五：求集合的子集（真子集）
若,则就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）
A．15B．16C．32D．256
思路分析：按具有伙伴关系的集合中的元素的性质依次写出来再统计即可。
【变式练习】
1．若，则，就称是和美集合，集合的所有非空子集中是和美集合的个数为（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则满足的集合C的个数为（ ）
A．4B．7C．8D．15
一、单选题
1．已知集合，，，则集合P的真子集的个数是（ ）
A．4B．64C．15D．63
2．已知集合，，非空集合满足：，，则符合条件的集合的个数为（ ）
A．B．C．D．
3．已知集合，，，则集合，，的关系为（ ）
A．B．C．D．，
4．已知集合菱形，正方形，则有（ ）
A．B．C．D．
5．设集合，集合，若集合是集合的真子集，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．①，②，③，④，其中正确的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
7．设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（ ）
A．{5}B．{1}C．{0，5}D．{0，1}
8．已知集合A＝{0，1}，B＝{x|x⊆A}，则下列关于集合A与B的关系正确的是（ ）
A．A⊆BB．AB
C．BAD．A∈B
二、多选题
9．下列表述正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
10．设，．若，则实数的值可以为（ ）
A．1B．2C．0D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．由所有实数组成集合，由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合.均不存在.
B．，由5个2组成的集合.则
C．，FE，则可能有4个.
D．， 用列举法表示集合E为.
12．设全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．集合的真子集个数为8
三、填空题
13．已知，.若，则______.
14．已知集合M满足，则满足条件的集合有________个.
15．设均为实数，若集合的所有非空真子集的元素之和为，则__________
16．下列说法中，正确的有________
（1）空集是任何集合的真子集
（2）若，，则
（3）任何一个集合必有两个或两个以上的真子集
（4）若不属于的元素一定不属于，则
四、解答题
17．已知集合．
（1）若，且中至少有一个偶数，则这样的集合有多少个？
（2）若，且，求实数的取值集合．
18．设集合，．
(1)当时，求A的非空真子集个数；
(2)当时，求m的取值范围．
19．已知集合.
(1)判断是否属于集合A；
(2)若正整数能表示为某个整数的平方，，证明：；
(3)若集合，证明：.
20．已知.
(1)若是的子集，求实数的值；
(2)若是的子集，求实数的取值范围.
子集
如果集合A的元素都是集合B的元素，那么称集合A为集合B的子集，记为A⊆B。
真子集
如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A为集合B的真子集。
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
常考题型02 确定集合间的关系
常用结论：含n个元素的集合的子集个数为2ⁿ ，真子集个数为2n-1，非空子集个数为2n-1，非空真子集个数为2n-2。
考法一：判断集合间的关系
1.列举观察法：当集合中元素较少时，可分别列出两个集合中的全部元素，根据定义，通过比较两个集合中的元素即可判断两集合之间的关系.
2.元素特征法：当两集合的代表元素一样（集合属性相同，同为数集、同为点集或同为其他集合）时，可利用集合元素的特征判断关系.
一般地，设A={x|p(x)}，B={x|q(x)}.
(1)若p(x)⇒q(x)，则A⊆B；
(2)若q(x)⇒p(x)，则B⊆A；
(3)若p(x)⇔q(x)，则A=B；
(4)若p(x) 不能推出q(x)，且q(x)不能推出p(x)，则集合A，B无包含关系。
3.数形结合法
利用数轴或Venn图.不等式解集之间的关系，适合用数轴法.若A⊆B和A真包含于B同时成立，则A真包含于B更能准确表达集合A，B之间的关系。
考法二：确定集合的子集
1.列举法：当一个集合的元素个数较少时，可列出其全部子集.
用列举法确定集合的子集时，要注意
(1)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；
(2)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.
2.公式法：已知集合中的元素有n(n∈N)个，那么这个集合的子集有2ⁿ 个，它的真子集有(2ⁿ-1)个。
探究一：判断两个集合的包含关系
给出下列关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
思路分析：①空集中不含任何元素，由此可判断①；
②是整数，故可判断②正确；③通过解方程，可得出，故可判断③；④根据为正整数集可判断④；⑤通过解方程，得，从而可判断⑤.
【解析】①，故①错误；②是整数，所以，故②正确；③由，得或，所以，所以正确；④为正整数集，所以错误；⑤由，得，所以，所以错误.
所以正确的个数有2个.
故选：B.
答案：B
【变式练习】
1．已知集合则的关系为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】解：因为，，
所以.
故选：C．
2．已知集合，，，则A，B，C之间的关系是（ ）
A．A=BCB．AB=C
C．ABCD．BC=A
答案：B
【解析】解：集合，，，
集合，，，
集合，，，
时，表示被6除余1的数；时，表示被3除余1的数；时，表示被3除余1的数；所以，
故选：B．
探究二：根据集合的包含关系求参数
已知，，若且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
思路分析：集合A的的取值范围是确定的，集合B中，二次函数开口向上，要先考虑恒成立的情况；若不恒成立，再结合的条件进行讨论，从而得到的取值范围。
【解析】集合A中，由得，当时，，（舍）；当时，，，所以集合；集合B中，若，，则，符合要求；若，根据二次函数对称轴为，若，则，，综上可得：
故选：B
答案：B
【变式练习】
1．若集合，，则能使成立的所有a组成的集合为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】当时，即，时成立；当时，满足，解得；综上所述：.
故选：C.
2．已知集合，，若，则实数的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题得，
因为，
所以
当时，
当时，；当时，；故实数的取值集合是.
故选：C
探究三：判断两个集合是否相等及根据集合相等求参数
已知集合，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
思路分析：根据集合，分，，依次讨论两个集合是否相等，即可。
【解析】由题意，集合，即
（1）若，则，此时，成立；故
（2）若，则，此时两个集合不可能相等，不成立；（3）若，即或
当时，，此时两个集合不可能相等，不成立；当时，，集合A中有两个相同的元素，不成立
综上：，，
故选：A
答案：A
【变式练习】
1．若集合，，则集合之间的关系为（ ）
A．ABB．BA
C．D．
答案：C
【解析】设任意，则，当时，
所以；当时，
，所以．所以
又设任意，则
因为，，
且表示所有的偶数，表示所有的奇数．
所以与都表示所有的奇数．所以．
所以故．
故选：C.
2．已知，，若，则（ ）
A．0B．1C．D．
答案：C
【解析】因为，所以或，解得或或，
又集合中的元素需满足互异性，所以，
则．
故选：C.
探究四：判断集合的子集（真子集）的个数
已知集合．若，且，则满足条件的C的个数为（ ）
A．479B．480C．511D．512
思路分析：先求出集合A的所有子集，再求出A中含有，B中不含有的元素为5，6，7，8，9，求出对应集合的子集，从而可求出满足条件的集合C的个数。
【解析】因为，所以，
因为，，，
所以此条件的集合C有，
因为A中含有，B中不含有的元素为5，6，7，8，9，而的非空子集有，
所以满足，且的集合的个数有,
故选：B
答案：B
【变式练习】
1．已知集合，，则满足条件 的集合的个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
答案：C
【解析】因为，,
且
所以集合C的个数为
故选：C
2．集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则集合B的真子集的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
答案：C
【解析】由题得B＝{（1，1），（1，2），（2，1）}.
所以集合的真子集如下：
∴集合的真子集个数7个.
故选：C
探究五：求集合的子集（真子集）
若,则就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）
A．15B．16C．32D．256
思路分析：按具有伙伴关系的集合中的元素的性质依次写出来再统计即可。
【解析】具有伙伴关系的集合中有1个元素时：、共2个
具有伙伴关系的集合中有2个元素时：、、共3个
具有伙伴关系的集合中有3个元素时：、、共4个
具有伙伴关系的集合中有4个元素时：、、共3个
具有伙伴关系的集合中有5个元素时：、共2个
具有伙伴关系的集合中有6个元素时：共1个
则共有个
故选A
答案：A
【变式练习】
1．若，则，就称是和美集合，集合的所有非空子集中是和美集合的个数为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】先考虑含一个元素的子集，并且其倒数是其本身，有
再考虑 含有两个元素的和美集合，有，
含有三个元素的子集且为和美集合的是
含有四个元素的子集且为和美集合的是.
2．已知集合，，则满足的集合C的个数为（ ）
A．4B．7C．8D．15
答案：B
【解析】解：由题知，,
所以满足的集合有，
故集合C的个数为7个.
故选：B
一、单选题
1．已知集合，，，则集合P的真子集的个数是（ ）
A．4B．64C．15D．63
答案：D
【解析】由已知得，所以集合P的真子集的个数为．
故选：D
2．已知集合，，非空集合满足：，，则符合条件的集合的个数为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意可知，满足条件的非空集合有：、、，共个.故选：A.
3．已知集合，，，则集合，，的关系为（ ）
A．B．C．D．，
答案：B
【解析】因为，，，
其中均表示全体整数，表示全体奇数，
所以．
故选：B．
4．已知集合菱形，正方形，则有（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为正方形是特殊的菱形，集合菱形，正方形，
所以，故选：C
5．设集合，集合，若集合是集合的真子集，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】解：因为集合，集合，且，
所以；故选：A
6．①，②，③，④，其中正确的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
答案：B
【解析】正确；正确；不正确，左边是数集，右边是点集；不正确，左边是点集，右边是点集，但点不相同.
故正确的有①②，共2个.
故选：B.
7．设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（ ）
A．{5}B．{1}C．{0，5}D．{0，1}
答案：C
【解析】解：因为，
所以，
解得或，
的取值集合为，
故选：C
8．已知集合A＝{0，1}，B＝{x|x⊆A}，则下列关于集合A与B的关系正确的是（ ）
A．A⊆BB．AB
C．BAD．A∈B
答案：D
【解析】因为x⊆A，所以B＝{∅，{0}，{1}，{0，1}}，
则集合A＝{0，1}是集合B中的元素，
所以A∈B，
故选：D.
二、多选题
9．下列表述正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
答案：BC
【解析】A中，两个集合之间是包含关系，故A错误；B中，，是相等的集合，所以，故B正确；C中，空集是任何集合的子集，故C正确；D中，空集与一个非空集合不相等，故D错误．故选：BC．
10．设，．若，则实数的值可以为（ ）
A．1B．2C．0D．
答案：ACD
【解析】由得：,
当时，,符合题意；当时，，若，则；若，则；由于B中至多有一个元素，故,
所以实数的值可以为，
故选：ACD
11．下列说法正确的是（ ）
A．由所有实数组成集合，由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合.均不存在.
B．，由5个2组成的集合.则
C．，FE，则可能有4个.
D．， 用列举法表示集合E为.
答案：BC
【解析】对A：由所有实数组成的集合是空集，
由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合是，都存在，故错误；对：，由5个2组成的集合，根据集合中元素的互异性，
故，故正确；对：，因为FE，
故为含有且是的子集，
共有4个，故正确；对：，故错误.
故选：.
12．设全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．集合的真子集个数为8
答案：AC
【解析】因为全集，集合，，
所以，，，
因此选项A、C正确，选项B不正确，
因为集合的元素共有3个，所以它的真子集个数为：，因此选项D不正确，
故选：AC。
三、填空题
13．已知，.若，则______.
答案：
【解析】因为
所以解之得：
故答案为：
14．已知集合M满足，则满足条件的集合有________个.
答案：15
【解析】因为，
所以中含有元素1，2，且M是真子集，
所以M可以是集合与集合的子集的并集，且不能为，
所以M共有个，
故答案为：15.
15．设均为实数，若集合的所有非空真子集的元素之和为，则__________
答案：
【解析】集合的所有非空真子集为：、、、、、，
由题意可得，解得.
故答案为：.
16．下列说法中，正确的有________
（1）空集是任何集合的真子集
（2）若，，则
（3）任何一个集合必有两个或两个以上的真子集
（4）若不属于的元素一定不属于，则
答案：（2）（4）
【解析】对于（1）：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故（1）错误；
对于（2）：子集具有传递性，若，，则，故（2）正确；
对于（3）：若一个集合是空集，则它没有真子集，故（3）错误；
对于（4）：任何不属于的元素一定不属于，则由韦恩图可知（4）正确；
故答案为：（2）（4）.
四、解答题
17．已知集合．
（1）若，且中至少有一个偶数，则这样的集合有多少个？
（2）若，且，求实数的取值集合．
答案：（1）12个；（2）
【解析】解：（1）因为，由，且中至少有一个偶数，得满足条件的集合为，，，，，，，，，，，共12个．
（2）因为，
所以集合有两种可能：，，
当时，显然；当时，，可得，则有，或，或，或，
解得，或，或，或，
综上，实数的取值集合是．
18．设集合，．
(1)当时，求A的非空真子集个数；
(2)当时，求m的取值范围．
答案：(1)62
(2)
【解析】（1）∵，
∴，
∴A的非空真子集的个数为．
（2）分两种情况讨论：①当时，，则；②当时，解得．
综上可得，m的取值范围为．
19．已知集合.
(1)判断是否属于集合A；
(2)若正整数能表示为某个整数的平方，，证明：；
(3)若集合，证明：.
答案：(1)属于集合A；
(2)证明见解析；(3)证明见解析.
【解析】(1)由，可知属于集合A；
(2)由题可设，
又由，设，
有，
由，有，故有；
(3)①当都为偶数时，不妨设，
有，此时为4的倍数，而偶数，此时；②当都为奇数时，不妨设，
有，
此时为2的倍数，而偶数，此时；③当一奇一偶时，不妨设，
有，
此时被4整除余1，而集合中的元素被4整除余3，此时.
由①②③可知，.
20．已知.
(1)若是的子集，求实数的值；
(2)若是的子集，求实数的取值范围.
答案：(1)；(2)或.
【解析】（1）解：由题得.
若是的子集，则，
所以.
（2）解：若是的子集，则.
①若为空集，则，解得；②若为单元素集合，则，解得.
将代入方程，
得，即，符合要求；③若为双元素集合，，则.
综上所述，或.
子集
如果集合A的元素都是集合B的元素，那么称集合A为集合B的子集，记为A⊆B。
真子集
如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A为集合B的真子集。
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。