高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)03集合间的运算问题(原卷版+解析)

这是一份高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)03集合间的运算问题(原卷版+解析)，共17页。试卷主要包含了先“简”后“算”，遵“规”守“矩”，活“性”减“量”，借“形”助“数”等内容，欢迎下载使用。


考法一：集合的交、并、补运算
1.先“简”后“算”：进行集合的基本运算之前，要先对其进行化简，化简时要准确把握元素的特性，区分数集与点集等.
2.遵“规”守“矩”：定义是进行集合基本运算的依据，交集的运算要抓住“公共元素”，补集的运算要关注“你有我无的元素”.
3.活“性”减“量”：灵活运用交集与并集以及补集的运算性质，特别是摩根定律，即
，等简化运算，减少运算量。
4.借“形”助“数”：在进行集合的运算时，要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，用数轴表示时，要注意端点值的取舍。
考法二：已知集合间的关系求参数
已知两个集合之间的关系求参数时，要注意：
(1)根据集合之间的关系来确定相应元素之间的关系；
(2)当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组求解；
(3)当集合为连续型无限集时，往往要借助数轴列出不等式或不等式组求解。
考法三：利用补集思想求参数
当从正面考虑情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想.其解法步骤为：
(1)否定已知条件，考虑反面问题；
(2)求解反面问题对应的参数范围；
(3)取反面问题对应的参数范围的补集。
探究一：交并补混合运算
已知集合，集合，则下列关系式正确的是（ ）
A．B．
C．或D．
思路分析：由绝对值的几何意义化简集合，再利用交、并、补集的运算性质逐一分析四个选项得答案。
【变式练习】
1．设是全集，若，则下列关系式一定正确的是（ ）
A．B．
2．设全集，或，，则集合是（ ）
A．B．
C．D．
探究二：根据交并补混合运算求集合或参数
已知全集，集合或，.若，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
思路分析：根据补集的运算，求得，再结合，即可求解。
【变式练习】
1．已知全集，集合，，则满足条件的集合共有（ ）
A．4个B．6个C．8个D．16个
2．集合，，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
探究三：根据补集运算确定集合或参数
设集合，，若，则p的值为（ ）
A．-4B．4C．-6D．6
思路分析：转化条件得，所以方程的两根分别为2和3，即可得解
【变式练习】
1．设全集，，则的值为( )
A．2B．8
C．2或8D．－2或8
2．已知全集，集合，若的元素的个数为4，则的取值范围为
A．B．C．D．
一、单选题
1．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知全集，集合，那么下列等式错误的是（ ）
A．B．
C．D．
3．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有1440名学生喜欢足球或游泳，900名学生喜欢足球，1230名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为（ ）
A．630B．690C．840D．936
4．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．或
6．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
7．设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知集合，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，一共有28人参加比赛，其中有16人参加跳远比赛，有8人参加球类比赛，有14人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有3人，同时参加球类和跑步比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则（ ）
A．同时参加跳远和跑步比赛的有4人
B．仅参加跳远比赛的有8人
C．仅参加跑步比赛的有7人
D．同时参加两项比赛的有10人
10．设集合，，且，则满足条件的实数的值是（ ）
A．－2B．3C．1D．0
11．设集合，，则下列选项中，满足的实数a的取值范围可以是（ ）
A．{a|0≤a≤6}B．{a|a≤2或a≥4}
C．{a|a≤0}D．{a|a≥8}
12．我们知道，如果集合，那么的子集的补集为．类似地，对于集合、，我们把集合叫作集合与的差集，记作．例如，，，则有，，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若是高一（1）班全体同学的集合，是高一（1）班全体女同学的集合，则
D．若，则2一定是集合的元素
三、填空题
13．已知集合，，若，则实数a的值为___________.
14．已知集合，，若，则实数a的取值范围是__________．
15．已知全集，集合，则________
16．已知为实数，全集，集合，若，则的值为______;
四、解答题
17．已知集合，，其中．
(1)若，求，的值；
(2)若对，有，求，的取值范围．
18．已知全集，集合，．
(1)若且，求实数的值；
(2)设集合，若的真子集共有个，求实数的值．
19．已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
20．已知为实数，，.
(1)当肘，求的取值集合；
(2)当时，求的取值集合.
文字语言
符号语言
交集
属于集合A且属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A且x∈B}
并集
属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A或x∈B}
补集
全集U中不属于集合A的元素组成的集合
{x|x∈U且x∉A}
常考题型03 集合间的运算问题
考法一：集合的交、并、补运算
1.先“简”后“算”：进行集合的基本运算之前，要先对其进行化简，化简时要准确把握元素的特性，区分数集与点集等.
2.遵“规”守“矩”：定义是进行集合基本运算的依据，交集的运算要抓住“公共元素”，补集的运算要关注“你有我无的元素”.
3.活“性”减“量”：灵活运用交集与并集以及补集的运算性质，特别是摩根定律，即
，等简化运算，减少运算量。
4.借“形”助“数”：在进行集合的运算时，要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，用数轴表示时，要注意端点值的取舍。
考法二：已知集合间的关系求参数
已知两个集合之间的关系求参数时，要注意：
(1)根据集合之间的关系来确定相应元素之间的关系；
(2)当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组求解；
(3)当集合为连续型无限集时，往往要借助数轴列出不等式或不等式组求解。
考法三：利用补集思想求参数
当从正面考虑情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想.其解法步骤为：
(1)否定已知条件，考虑反面问题；
(2)求解反面问题对应的参数范围；
(3)取反面问题对应的参数范围的补集。
探究一：交并补混合运算
已知集合，集合，则下列关系式正确的是（ ）
A．B．
C．或D．
思路分析：由绝对值的几何意义化简集合，再利用交、并、补集的运算性质逐一分析四个选项得答案。
【解析】解：，，
，故A不正确；
，故B不正确；
或，
或或，故C不正确；
或，故D正确．
正确的是D．
故选：D．
答案：D
【变式练习】
1．设是全集，若，则下列关系式一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】如图，，此时
∅，A错，
B，B错，
，D错，
故选：C
2．设全集，或，，则集合是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由题意，全集，或，，
可得，则.
故选：C.
探究二：根据交并补混合运算求集合或参数
已知全集，集合或，.若，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
思路分析：根据补集的运算，求得，再结合，即可求解。
【解析】因为集合或，可得，
又因为且，所以，
即实数a的取值范围为.
故选：A.
答案：A
【变式练习】
1．已知全集，集合，，则满足条件的集合共有（ ）
A．4个B．6个C．8个D．16个
答案：C
【解析】∵，，
∴，，
∴，，，
而全集中的1，2，4不能确定，
故满足条件的集合有(个)，
故选：C
2．集合，，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题得，
因为，所以.
故选：B.
探究三：根据补集运算确定集合或参数
设集合，，若，则p的值为（ ）
A．-4B．4C．-6D．6
思路分析：转化条件得，所以方程的两根分别为2和3，即可得解
【解析】集合，若，
，
方程的两根分别为2和3，
.
故选：D.
答案：D
【变式练习】
1．设全集，，则的值为( )
A．2B．8
C．2或8D．－2或8
答案：C
【解析】全集，，则，
故选C
2．已知全集，集合，若的元素的个数为4，则的取值范围为
A．B．C．D．
答案：A
【解析】若的元素的个数为4，则
故选：A.
一、单选题
1．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】解：因为，
又，，
所以，所以；
故选：C
2．已知全集，集合，那么下列等式错误的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】如图，
已知全集，集合，
所以，，，
则.
故选：C.
3．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有1440名学生喜欢足球或游泳，900名学生喜欢足球，1230名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为（ ）
A．630B．690C．840D．936
答案：B
【解析】解：喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别记为，
依题意，集合，中元素个数分别为：，
则，
所以中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有名.
故选：B
4．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】解：因为，
所以，
故选：D
5．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．或
答案：C
【解析】，或或；
当时，，不符合集合中元素的互异性；
当时，，此时，，则，满足题意；
当时，或，不符合集合中元素的互异性；
综上所述：.
故选：C.
6．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题意知：图中阴影部分表示，而 ，
故，
故选：D．
7．设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为，
所以，
故选：C
8．已知集合，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】解：由补集的定义可得：，，
所以.
故选：A.
二、多选题
9．某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，一共有28人参加比赛，其中有16人参加跳远比赛，有8人参加球类比赛，有14人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有3人，同时参加球类和跑步比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则（ ）
A．同时参加跳远和跑步比赛的有4人
B．仅参加跳远比赛的有8人
C．仅参加跑步比赛的有7人
D．同时参加两项比赛的有10人
答案：ACD
【解析】设同时参加跳远和跑步比赛的有x人，由题意画出韦恩图，如图，
则，解得，故A正确；
仅参加跳远比赛的人数为，故B错误；
仅参加跑步比赛的人数为，故C正确；
同时参加两项比赛的人数为，故D正确；
故选：ACD
10．设集合，，且，则满足条件的实数的值是（ ）
A．－2B．3C．1D．0
答案：AD
【解析】解：，4，，，，且，4，，
或，
解得，或或或，
经检验，，，0时成立，时与集合元素的互异性矛盾，所以时不成立.
故或或．
故选：AD．
11．设集合，，则下列选项中，满足的实数a的取值范围可以是（ ）
A．{a|0≤a≤6}B．{a|a≤2或a≥4}
C．{a|a≤0}D．{a|a≥8}
答案：CD
【解析】∵集合，满足，
∴或，解得或．
∴实数a的取值范围可以是{a|a≤0}或{a|a≥8}．
故选：CD．
12．我们知道，如果集合，那么的子集的补集为．类似地，对于集合、，我们把集合叫作集合与的差集，记作．例如，，，则有，，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若是高一（1）班全体同学的集合，是高一（1）班全体女同学的集合，则
D．若，则2一定是集合的元素
答案：AC
【解析】选项A：，，则.判断正确；
选项B：令，，则，但.判断错误；
选项C： 表示高一（1）班全体同学中去除全体女同学后剩下的全体同学的集合，即为高一（1）班全体男同学的集合，则必有.判断正确；
选项D：令，，则，，此时.判断错误；
故选：AC
三、填空题
13．已知集合，，若，则实数a的值为___________.
答案：或
【解析】，
当时，为，满足；
当时，，若则，即，解得.
综上所述，或
故答案为：或
14．已知集合，，若，则实数a的取值范围是__________．
答案：
【解析】解：∵，∴，∴．
故答案为：.
15．已知全集，集合，则________
答案：
【解析】因为全集，集合，
所以.
故答案为：.
16．已知为实数，全集，集合，若，则的值为______;
答案：2
【解析】因为全集，集合， ，
所以，解得，
故答案为：2
四、解答题
17．已知集合，，其中．
(1)若，求，的值；
(2)若对，有，求，的取值范围．
答案：(1)，，或，
(2)或或或
分析：（1）解：集合，
，其中．
解得：或．
若，则，
将代入得：，
则．
则，则，
当时，，解得，
综上，，或，．
（2）解: 若对，有，则，
当时，，，，，
或时，，，；
当，即，或时，则，由（1）得：，；
当时，即时，，对，故成立，
综上，或或或．
18．已知全集，集合，．
(1)若且，求实数的值；
(2)设集合，若的真子集共有个，求实数的值．
答案：(1)；(2)
分析：（1）因为，，
因此，．若，则或，解得或．
又，所以．
（2），，
当时，，此时集合共有个真子集，不符合题意，
当时，，此时集合共有个真子集，符合题意，
综上所述，．
19．已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
答案：(1)；(2)
分析：（1）当时，，则或，
故；
（2）由可知，，
当时，，符合题意；
当时，即；
综上，实数的取值范围为
20．已知为实数，，.
(1)当肘，求的取值集合；
(2)当时，求的取值集合.
答案：(1)；(2)
分析：（1）解：因为，且，则，所以，，
由题意可知，，解得.
因此，实数的取值集合为.
（2）解：，则.
当时，，合乎题意；
当时，则，若，则，解得.
综上所述，的取值集合为.
文字语言
符号语言
交集
属于集合A且属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A且x∈B}
并集
属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A或x∈B}
补集
全集U中不属于集合A的元素组成的集合
{x|x∈U且x∉A}