高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)04充分条件与必要条件的求解问题(原卷版+解析)

这是一份高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)04充分条件与必要条件的求解问题(原卷版+解析)，共24页。试卷主要包含了充分，命题成立的充分，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、充分、必要条件与充要条件的含义
(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；
(3)若p⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；
(4)若p⇏q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
(5)若p⇏q且q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件.
二、命题成立的充分、必要、充要条件的探求
(1)充分条件：寻求q的充分条件，即p⇒q.
(2)必要条件：寻求q的必要条件，即q⇒p.
(3)充要条件: p⟺q.
②变换结论为等价命题，使每一步都可逆，直接得到使命题成立的充要条件。
考法一：充分、必要条件的判定
1.定义法：定义法是判断充分、必要条件最基本的方法，步骤如下：
①分清条件与结论(p与q)；
②找推式：即判断p⇒q及q⇒p是否成立，当p，q中有一方较难(如p)、一方较易(如q)时，我们可先找p的等价条件p'，再看p'与q的关系；
③下结论：p⇒qp⇍q⟺p是q的充分不必要条件，p⇏qp⇍q⟺p是q的既不充分也不必要条件。
2.集合法
设p={x|p(x)}，q={x|q(x)}，则
①若p⊆q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
②若 P⫋Q,则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
③若p=q，则p是q的充要条件(q也是p的充要条件)；
④若 P⊈Q且 Q⊈P,则p是q的既不充分也不必要条件。
3.等价法
¬q是 ¬p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；
¬q是 ¬p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；
¬q是 ¬p的充要条件⇔p是q的充要条件；
¬q是 ¬p的既不充分也不必要条件⇔p是q的既不充分也不必要条件。
考法二：充要条件的证明
1.证明“p是q的充要条件”时，要分别从“p⇒q”和“q⇒p”两个方面验证，即要分别证明充分性和必要性两个方面，但是，在表述中要注意充分性与必要性对应的关系；
2.要分清命题中的条件和结论，防止充分性和必要性弄颠倒，由“条件⇒结论”是证明充分性，由“结论⇒条件”是证明必要性.如证“p是q的充要条件”时，充分性是指“p⇒q”成立，必要性是指“q⇒p”成立；而
证“p成立的充要条件是q”时，充分性是指“q⇒p”成立，必要性是指“p⇒q”成立。
考法三：根据充分、必要条件求参数的取值范围
1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系。
2.根据集合关系画数轴或Venn图，由图写出关于参数的不等式(组)，然后求解。
3.求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式能否取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解。
探究一：充分、必要条件的判断
已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
思路分析：求出命题为真时对应的的范围，然后由集合包含关系得结论。
【变式练习】
1．已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知，，则“”是“”成立的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
探究二：充要条件的证明
设集合，，命题p：，命题q：．
(1)若p是q的充要条件，求正实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求正实数a的取值范围．
思路分析：（1）通过解不等式可得，由p是q的充要条件，得，即，从而即可求出实数a的取值范围；
（2）根据p是q的必要不充分条件，得，从而即可求出实数a的取值范围。
【变式练习】
1．中，角，，所对的边分别为，，，求证：的充要条件是．
2．请选择“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”填入下面空格处.并完成第二个问的证明.
（1）是的 条件
（2）已知，求证：的 条件是
探究二：根据充分、必要条件求参数的取值范围
方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A．B．C．D．或
思路分析：按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答
【变式练习】
1．若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
一、单选题
1．“”是“”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件
C．既不是充分条件，也不是必要条件D．既是充分条件，也是必要条件
2．设x，y都是实数，则“且”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知下列四组陈述句：
①：集合；：集合．
②：集合；：集合．
③： ；： ．
④：某中学高一全体学生中的一员；：某中学全体学生中的一员．
其中p是q的必要而不充分条件的有（ ）
A．①②B．③④C．②④D．①③
4．若、是全集的真子集，则下列五个命题：①； ②；③；④；⑤是的必要不充分条件.其中与命题等价的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
5．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
6．已知，，则“使得”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
7．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
8．已知x∈R，则“成立”是“成立”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．“，”是“”的必要条件
B．“”是“”的充要条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“x或y为有理数”是“为有理数”的既不充分又不必要条件
10．下列叙述中不正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．命题“，”的否定是“，”
D．已知，则“”是“”的必要不充分条件
11．下列命题中是真命题的为（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“或”是“”的充要条件
D．“集合”是“”的充分不必要条件
12．下列叙述中正确的是（ ）
A．，若二次方程无实根，则
B．若，则“”的充要条件是“”
C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
D．“”是“”的充分不必要条件
三、填空题
13．已知.若是的必要条件，则实数的取值范围是___________.
14．已知函数．写出满足“”的一个必要不充分条件为________．(注：写出一个满足条件的即可)
15．已知集合，,“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是_______.
16．已知条件；条件函数的图像与轴只有一个交点；条件.若条件是条件的充分不必要条件，则实数 ____；若条件是条件的必要不充分条件，则实数的取值范围是_____.
四、解答题
17．设命题：，：．
(1)若，判断是的充分条件还是必要条件；
(2)若是的______，求的取值集合．
从①充分不必要条件，②必要不充分条件，这两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上，并给予解答．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18．设集合，集合，其中.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
19．设集合或，或.
(1)设，，且是的充分而不必要条件，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.
20．已知a≥1，y=a2x2-2ax+b，其中a，b均为实数.证明：对于任意的，均有y≥1成立的充要条件是b≥2.
21．已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得．
(1)若，求；
(2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．
22．已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
常考题型04 充分条件与必要条件的求解问题
一、充分、必要条件与充要条件的含义
(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；
(3)若p⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；
(4)若p⇏q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
(5)若p⇏q且q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件.
二、命题成立的充分、必要、充要条件的探求
(1)充分条件：寻求q的充分条件，即p⇒q.
(2)必要条件：寻求q的必要条件，即q⇒p.
(3)充要条件: p⟺q.
②变换结论为等价命题，使每一步都可逆，直接得到使命题成立的充要条件。
考法一：充分、必要条件的判定
1.定义法：定义法是判断充分、必要条件最基本的方法，步骤如下：
①分清条件与结论(p与q)；
②找推式：即判断p⇒q及q⇒p是否成立，当p，q中有一方较难(如p)、一方较易(如q)时，我们可先找p的等价条件p'，再看p'与q的关系；
③下结论：p⇒qp⇍q⟺p是q的充分不必要条件，p⇏qp⇍q⟺p是q的既不充分也不必要条件。
2.集合法
设p={x|p(x)}，q={x|q(x)}，则
①若p⊆q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
②若 P⫋Q,则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
③若p=q，则p是q的充要条件(q也是p的充要条件)；
④若 P⊈Q且 Q⊈P,则p是q的既不充分也不必要条件。
3.等价法
¬q是 ¬p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；
¬q是 ¬p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；
¬q是 ¬p的充要条件⇔p是q的充要条件；
¬q是 ¬p的既不充分也不必要条件⇔p是q的既不充分也不必要条件。
考法二：充要条件的证明
1.证明“p是q的充要条件”时，要分别从“p⇒q”和“q⇒p”两个方面验证，即要分别证明充分性和必要性两个方面，但是，在表述中要注意充分性与必要性对应的关系；
2.要分清命题中的条件和结论，防止充分性和必要性弄颠倒，由“条件⇒结论”是证明充分性，由“结论⇒条件”是证明必要性.如证“p是q的充要条件”时，充分性是指“p⇒q”成立，必要性是指“q⇒p”成立；而
证“p成立的充要条件是q”时，充分性是指“q⇒p”成立，必要性是指“p⇒q”成立。
考法三：根据充分、必要条件求参数的取值范围
1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系。
2.根据集合关系画数轴或Venn图，由图写出关于参数的不等式(组)，然后求解。
3.求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式能否取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解。
探究一：充分、必要条件的判断
已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
思路分析：求出命题为真时对应的的范围，然后由集合包含关系得结论。
【解析】，则或，即命题为真对应集合或，
，则，命题为真对应集合，对应集合，
易知是的真子集，∴是的充分不必要条件．
故选：A．
答案：A
【变式练习】
1．已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】当时，集合，满足，
故“”可以证得“”， “”是“”的充分条件，
若，则的值为、都可，
故“”不是“”的必要条件，
综上所述，“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
2．已知，，则“”是“”成立的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】不妨令，，故不能推出，
若，故，同号，
若，都大于0，则，从而；
若，都小于0，则，从而，
故能推出，
从而“”是“”成立的必要不充分条件.
故选：B.
探究二：充要条件的证明
设集合，，命题p：，命题q：．
(1)若p是q的充要条件，求正实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求正实数a的取值范围．
思路分析：（1）通过解不等式可得，由p是q的充要条件，得，即，从而即可求出实数a的取值范围；
（2）根据p是q的必要不充分条件，得，从而即可求出实数a的取值范围。
【解析】(1)由，得，
解得，所以，
由p是q的充要条件，得，即，解得，
所以实数a的取值范围是；
(2)由p是q的必要不充分条件，得，
又，则，所以，解得，
综上实数a的取值范围是．
答案：(1)；(2)
【变式练习】
1．中，角，，所对的边分别为，，，求证：的充要条件是．
【解析】（1）先证充分性：若，则，∴成立
（2）再证必要性：若成立，∵，∴，又因为中，，∴，∴，∴．
综上可知，的充要条件是．
2．请选择“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”填入下面空格处.并完成第二个问的证明.
（1）是的 条件
（2）已知，求证：的 条件是
答案：（1）必要不充分，（2）充要，证明见解析
【解析】（1）当时，或，此时不一定成立，如满足，而不满足，当时，可得且，所以，
所以是的必要不充分条件，
（2）的充要条件是，
证明：必要性：因为，所以，，
所以 ，
充分性：因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以的充要条件是，
探究二：根据充分、必要条件求参数的取值范围
方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A．B．C．D．或
思路分析：按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答
【解析】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得；
当时，，
若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负，
反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得，
若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数，
反之，方程两根都为负，则，解得，于是得，
综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有.
所以方程至少有一个负实根的充要条件是.
故选：C
答案：C
【变式练习】
1．若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】解：不等式成立的充分条件是，
设不等式的解集为A，则，
当时，，不满足要求；
当时，，
若，则，解得.
故选：A.
2．已知命题，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】解：命题，即: ，
是的必要不充分条件，
，
，解得．实数的取值范围为．
故选：．
一、单选题
1．“”是“”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件
C．既不是充分条件，也不是必要条件D．既是充分条件，也是必要条件
答案：B
【解析】解：由，解得或，
由推不出，故充分性不成立，
由推得出，故必要性成立，
故“”是“”的必要条件但不是充分条件；
故选：B
2．设x，y都是实数，则“且”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】由且，必有且；
当且时，如，不满足，故不一定有且．
所以“且”是“且”的充分不必要条件．
故选：A．
3．已知下列四组陈述句：
①：集合；：集合．
②：集合；：集合．
③： ；： ．
④：某中学高一全体学生中的一员；：某中学全体学生中的一员．
其中p是q的必要而不充分条件的有（ ）
A．①②B．③④C．②④D．①③
答案：D
【解析】①若，，，则满足，
但此时，故充分性不成立；若，则成立，故必要性成立，
因此是的必要而不充分条件．
②若，则根据子集的性质可得，故充分性成立，反之，若，则成立，故必要性成立，因此是的充要条件；
③对于,当时，，
故 ，∴是的必要而不充分条件；
④是的充分而不必要条件；
综上，是的必要而不充分条件的有①③．
故选：D．
4．若、是全集的真子集，则下列五个命题：①； ②；③；④；⑤是的必要不充分条件.其中与命题等价的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
答案：B
【解析】对于①，即为，故符合；
对于②，即为，故不符合；
对于③，结合图可得即为，故符合；
对于④，即为，故可得，但得不到，
故不符合；
对于⑤，因为是的必要不充分条件，故是的真子集，
这与不等价，
故五个命题中，与等价的有2个，
故选:B.
5．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
答案：D
【解析】设，则该函数的定义域为，
且，故函数为上的奇函数，
当时，，故在上为增函数，
故为上的增函数，
又时，有，故，
而当时，由为上的增函数可得即，
故“”是“”的充要条件，
故选：D.
6．已知，，则“使得”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
答案：C
【解析】若使得，则有成立；
若，则有使得成立.
则“使得”是“”的充要条件
故选：C
7．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
答案：B
【解析】当时，若，不能推出，不满足充分性；
当，则，有，满足必要性；
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B
8．已知x∈R，则“成立”是“成立”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
答案：C
【解析】充分性：若，则2≤x≤3，
，
必要性：若，又，
，
由绝对值的性质：若ab≤0，则，
∴，
所以“成立”是“成立”的充要条件，
故选：C．
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．“，”是“”的必要条件
B．“”是“”的充要条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“x或y为有理数”是“为有理数”的既不充分又不必要条件
答案：CD
【解析】对于A，当，时，成立，而当时，，不一定成立，如满足，而不成立，所以“，”是“”的充分条件，所以A错误，
对于B，若时，，所以由不能得到，所以B错误，
对于C，当时，，而当时，不一定属于，所以“”是“”的充分不必要条件，所以C正确，
对于D，若，则为无理数，而当时，为有理数，而为无理数，所以“x或y为有理数”是“为有理数”的既不充分又不必要条件，所以D正确，
故选：CD
10．下列叙述中不正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．命题“，”的否定是“，”
D．已知，则“”是“”的必要不充分条件
答案：AC
【解析】对于A，应为，A错误；
对于B，时，则，B正确；
对于C，否定应为，，C错误；
对于 D，，当时，，所以，但是，不一定成立，可能，所以D正确；
故选：AC.
11．下列命题中是真命题的为（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“或”是“”的充要条件
D．“集合”是“”的充分不必要条件
答案：BD
【解析】解：对于A选项，当时，，但反之，不能得到，故错误；
对于B 选项，不能得到，反之能够得到，故正确；
对于C选项，“且”是“”的充要条件，故错误；
对于D选项，由得，所以能够推出，反之，不一定成立，故正确.
故选：BD
12．下列叙述中正确的是（ ）
A．，若二次方程无实根，则
B．若，则“”的充要条件是“”
C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
D．“”是“”的充分不必要条件
答案：ACD
【解析】对于A，若二次方程无实根，则，即，则成立，A正确；
对于B，当时，若，则，必要性不成立，B错误；
对于C，若方程有一个正根和一个负根，则，解得：，
，，“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，C正确；
对于D，由得：或，或，或，
“”是“”的充分不必要条件，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知.若是的必要条件，则实数的取值范围是___________.
答案：[0，1]
【解析】设集合
由是的必要条件，则，即
所以 ，解得
故答案为：[0，1]
14．已知函数．写出满足“”的一个必要不充分条件为________．(注：写出一个满足条件的即可)
答案：（答案不唯一）
【解析】若可理解为始终在上方或恰好重合，已知，当且仅当时取到等号，对称轴为，当，即时，，显然恒成立，如图：
不妨取“”的一个必要不充分条件为，即，但.
故答案为：（答案不唯一）
15．已知集合，,“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是_______.
答案：
【解析】因为“”是“”的充分条件，
所以,
所以，
故答案为：
16．已知条件；条件函数的图像与轴只有一个交点；条件.若条件是条件的充分不必要条件，则实数 ____；若条件是条件的必要不充分条件，则实数的取值范围是_____.
答案： 或
【解析】当时，，其图像与轴只有一个交点，符合题意；
当时，的图像与轴只有一个交点，则，符合题意；
条件或
条件是条件的充分不必要条件，则或实数为或
当时，由得，；
当时，由得，；
条件是条件的必要不充分条件，且条件或，条件
，即
故答案为：或；实数的取值范围是.
四、解答题
17．设命题：，：．
(1)若，判断是的充分条件还是必要条件；
(2)若是的______，求的取值集合．
从①充分不必要条件，②必要不充分条件，这两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上，并给予解答．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
答案：(1)是的充分条件；(2)答案见解析
分析：（1）记集合，
．
当时，，由于，
是的充分条件．
（2）选①，若是的充分不必要条件，等价于是的充分不必要条件，则．
，
①当时，，不成立；
②当时，，由，得．
（2）选②，若是的必要不充分条件，等价于是的充分不必要条件，则．
①当时，，不可能；
②当时，，由，得．
综上，的取值集合为．
18．设集合，集合，其中.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
答案：(1)；(2)
分析：(1)由题意得：
当时，
故
(2)由“”是“”的必要不充分条件
可得：
当时，得
解得：；
当时，，解得.
综上，的取值范围为：
19．设集合或，或.
(1)设，，且是的充分而不必要条件，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.
答案：(1)；(2)不存在，理由见解析
分析：(1)因集合或，或，且，，
则中的取值构成的集合为，中的取值构成的集合为，
又是的充分而不必要条件，于是得，则有，解得：，
所以实数的取值范围为.
(2)根据充要条件的定义知，“”是“”的充要条件当且仅当，
而集合A中可以取到端点值-2，3，集合B中不能取到端点值2a，-a，
于是得无论取何值，都有，
所以不存在实数，使得“”是“”的充要条件.
20．已知a≥1，y=a2x2-2ax+b，其中a，b均为实数.证明：对于任意的，均有y≥1成立的充要条件是b≥2.
答案：证明过程见解析
【解析】证明：因为函数y=a2x2-2ax+b的图像的对称轴方程为x=，
所以a≥1，且0