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高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)05全称量词与存在量词的求解问题(原卷版+解析)
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这是一份高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)05全称量词与存在量词的求解问题(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了全称量词命题p，常用否定词，其中真命题为等内容，欢迎下载使用。
(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题。
2.(1)“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示。
(2)含有存在量词的命题叫做存在量词命题。
3.全称量词命题p:∀x∈M,p(x)(¬p(x)).存在量词命题p:∃x∈M,p(x)(¬p(x))。
4.常用否定词
一般地，写一个命题的否定时，往往需要对正面叙述的词语进行否定，一些常用的词语和它的否定词语对照列表如下：
考法一：判断全称量词命题与存在量词命题的真假
1.全称量词命题真假的判断
(1)要证明“∀x∈M，p(x)”为真.
①定义法：对给定的集合内的每一个元素x，p(x)都为真，则全称量词命题为真.
②间接法：证明‘ “∃x0∈M,¬px0”为假.
(2)要证明“∀x∈M，p(x)”为假.
①特值法：在给定的集合内找到一个元素x0，使p(x0)为假，则全称量词命题为假；
②间接法：证明 “∃x0∈M,¬px0”为真。
2.存在量词命题真假的判断
(1)要证明“∃x0∈M，p(x0)”为真。
①特值法：在给定的集合内找到一个元素x0，使p(x0)为真，则存在量词命题为真；
②间接法：证明‘ “∀x∈M,¬px”为假.
(2)要证明“∃x0∈M，p(x0)”为假，需证明 “∀x∈M,¬px”为真。
考法二：全称量词命题和存在量词命题的否定
(1)全称量词命题“∀x∈M，p(x)”的否定为 “∃x0∈M,¬px0”;存在量词命题“∃x0∈M，p(x0)”的否定为 “∀x∈M,¬px”.
(2)对含有存在(全称)量词的命题进行否定需要两步操作：
①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词；
②将结论加以否定.可简记为“前变后否”.
考法三：与全称量词命题或存在量词命题有关的参数取值范围问题
与全称量词命题或存在量词命题有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题，主要方法是分离参数法，最终转化为最值问题.分离过程中，把题目中所求范围的量放在左边，其余的放在右边，再求右边式子的相应最值，变形必须是恒等的。
探究一：判断全称、存在量词命题的真假
对三个正实数、、，下列说法正确的是
A．存在（、、）的一组值，使得、、均小于2
B．存在（、、）的一组值，使得、、中恰有两个小于2
C．对（、、）任意值，、、都不小于2
D．对（、、）任意值，、、中至多有两个不小于2
思路分析：假设，，可根据正实数的条件确定，根据不等关系可得，利用函数思想可求得，即恒成立，从而排除；通过特殊值可验证出正确，错误.
【变式练习】
1．在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．已知，则对于任意的，都有
2．设非空集合P，Q满足，则下列命题正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
探究二：全称量词命题的否定及其真假的判断
下列命题中，假命题是（ ）
A．的充要条件是
B．，是的充分条件
C．命题“，使得”的否定是“都有”
D．命题“，”的否定是“，”
思路分析：A. 利用特殊值法判断； B. 利用不等式的基本性质判断； C.由含有一个量词的命题的否定的定义判断；D. 由含有一个量词的命题的否定的定义判断；
【变式练习】
1．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
2．设命题p：任一实数的平方都不小于0，则命题p的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
探究三：存在量词命题的否定及其真假的判断
下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“”是全称量词命题；
③命题“”的否定为“”；
④命题“是的必要条件”是真命题；
A．0B．1C．2D．3
思路分析：根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案。
【变式练习】
1．已知命题：，，使得，则为（ ）
A．，，使得B．，，使得
C．，，使得D．，，使得
2．已知，函数，若m满足关于x的方程，当时的函数值记为M，则下列选项中的命题为假命题的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
探究四：与全称量词命题或存在量词命题有关的参数取值范围问题
若命题“，使得”是真命题，则实数的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
思路分析：讨论时是否符合题意，当时，不等式恒成立的等价条件为且即可求解。
【变式练习】
1．设命题p：，x若是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．(-D．(-
2．已知命题P：若命题P是假命题，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
一、单选题
1．若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（ ）
A．B．
C．D．
2．命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
3．下列命题不是存在量词命题的是（ ）
A．有些实数没有平方根
B．能被5整除的数也能被2整除
C．存在x∈{x|x＞3}，使x2﹣5x+6＜0
D．有一个m，使2﹣m与|m|﹣3异号
4．已知命题，，则（ ）
A．命题，为假命题
B．命题，为真命题
C．命题，为假命题
D．命题，为真命题
5．若命题p：“，”是假命题，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．命题“，”为真命题的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
7．设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0.其中真命题为（ ）
A．p1B．p2C．p3D．p4
8．已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．或B．或C．D．
二、多选题
9．下列命题中，真命题是（ ）
A．若且，则至少有一个大于1
B．
C．的充要条件是
D．命题“”的否定形式是“”
10．若“，或”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（ ）
A．B．C．D．
11．下列全称量词命题与存在量词命题中，是真命题的为（ ）
A．设A，B为两个集合，若，则对任意，都有
B．设A，B为两个集合，若A不包含于B，则存在，使得
C．{是无理数}，是有理数
D．{是无理数}，是无理数
12．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”；
B．命题“，”的否定是“，”；
C．，使得；
D．若集合是全集的子集，则命题“”与“”同时成立；
三、填空题
13．已知命题“，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是______.
14．若命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则实数的取值范围是_________．
15．已知命题：“，”，命题：“，”，的否定是假命题，是真命题，则实数的取值范围是___________.
16．已知“”是假命题,则实数的取值范围为________.
四、解答题
17．在①，，②存在区间，，使得这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题．
问题：求实数a满足的条件，使得命题，，命题q：______，都是真命题．
18．已知，.，.
(1)若为真命题，求的取值范围；
(2)若，一个是真命题，一个是假命题，求的取值范围．
19．已知命题p:，，命题q：，一次函数的图象在x轴下方．
(1)若命题P的否定为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题为真命题，命题的否定也为真命题，求实数的取值范围．
20．已知命题“，”为真命题.
（1）求实数的取值的集合；
（2）若，使得成立，记实数的范围为集合，若中只有一个整数，求实数的范围.
原词语
等于
大于（＞）
小于（＜）
是
都是
至多有一个
至少有一个
至多有n个
任意的
任意两个
所有的
能
否定词语
不等于
不大于
(≤)
不小于
(≥)
不是
不都是
至少有两个
一个也没有
至少有n+1个
某个
某两个
某些
不能
常考题型05 全称量词与存在量词的求解问题
1.(1)“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示。
(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题。
2.(1)“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示。
(2)含有存在量词的命题叫做存在量词命题。
3.全称量词命题p:∀x∈M,p(x)(¬p(x)).存在量词命题p:∃x∈M,p(x)(¬p(x))。
4.常用否定词
一般地，写一个命题的否定时，往往需要对正面叙述的词语进行否定，一些常用的词语和它的否定词语对照列表如下：
考法一：判断全称量词命题与存在量词命题的真假
1.全称量词命题真假的判断
(1)要证明“∀x∈M，p(x)”为真.
①定义法：对给定的集合内的每一个元素x，p(x)都为真，则全称量词命题为真.
②间接法：证明‘ “∃x0∈M,¬px0”为假.
(2)要证明“∀x∈M，p(x)”为假.
①特值法：在给定的集合内找到一个元素x0，使p(x0)为假，则全称量词命题为假；
②间接法：证明 “∃x0∈M,¬px0”为真。
2.存在量词命题真假的判断
(1)要证明“∃x0∈M，p(x0)”为真。
①特值法：在给定的集合内找到一个元素x0，使p(x0)为真，则存在量词命题为真；
②间接法：证明‘ “∀x∈M,¬px”为假.
(2)要证明“∃x0∈M，p(x0)”为假，需证明 “∀x∈M,¬px”为真。
考法二：全称量词命题和存在量词命题的否定
(1)全称量词命题“∀x∈M，p(x)”的否定为 “∃x0∈M,¬px0”;存在量词命题“∃x0∈M，p(x0)”的否定为 “∀x∈M,¬px”.
(2)对含有存在(全称)量词的命题进行否定需要两步操作：
①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词；
②将结论加以否定.可简记为“前变后否”.
考法三：与全称量词命题或存在量词命题有关的参数取值范围问题
与全称量词命题或存在量词命题有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题，主要方法是分离参数法，最终转化为最值问题.分离过程中，把题目中所求范围的量放在左边，其余的放在右边，再求右边式子的相应最值，变形必须是恒等的。
探究一：判断全称、存在量词命题的真假
对三个正实数、、，下列说法正确的是
A．存在（、、）的一组值，使得、、均小于2
B．存在（、、）的一组值，使得、、中恰有两个小于2
C．对（、、）任意值，、、都不小于2
D．对（、、）任意值，、、中至多有两个不小于2
思路分析：假设，，可根据正实数的条件确定，根据不等关系可得，利用函数思想可求得，即恒成立，从而排除；通过特殊值可验证出正确，错误.
【解析】若、、均小于，则，
但由基本不等式可得
、、不能均小于，则错误
当，，时
，，
存在的一组值，使得、、中恰有两个小于，则正确
当，时
，，
存在的一组值，使得、、中有小于的值，则错误
当时，
存在的一组值，使得、、均不小于，则错误
本题正确选项：
答案：B
【变式练习】
1．在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．已知，则对于任意的，都有
答案：B
【解析】选项A，，即有实数解，所以，显然此方程无实数解，故排除；
选项B，，，故该选项正确；
选项C，，而当，不成立，故该选项错误，排除；
选项D，，当时，当取得6的正整数倍时，，所以，该选项错误，排除.
故选：B.
2．设非空集合P，Q满足，则下列命题正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：A
【解析】因为非空集合P，Q满足，所以，
对于AC，由子集的定义知P中任意一个元素都是Q中的元素，即，，故A正确，C错误；
对于BD，由，分类讨论：若P是Q的真子集，则，；若，则，；故 BD错误．
故选：A．
探究二：全称量词命题的否定及其真假的判断
下列命题中，假命题是（ ）
A．的充要条件是
B．，是的充分条件
C．命题“，使得”的否定是“都有”
D．命题“，”的否定是“，”
思路分析：A. 利用特殊值法判断； B. 利用不等式的基本性质判断； C.由含有一个量词的命题的否定的定义判断；D. 由含有一个量词的命题的否定的定义判断；
【解析】A. 当时，不成立，故不充分；当可推出，故必要，故错误；
B. 由不等式的基本性质知，可推出，故充分，故正确；
C.存在量词命题的否定是全称量词命题，故正确；
D. 全称量词命题的否定是存在量词命题，故正确；
故选：A
答案：A
【变式练习】
1．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】命题的否定是
故选：A
2．设命题p：任一实数的平方都不小于0，则命题p的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：C
【解析】命题p：任一实数的平方都不小于0，即，为全称量词命题，
又全称量词命题的否定为存在量词命题，故命题p的否定是，
故选：C
探究三：存在量词命题的否定及其真假的判断
下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“”是全称量词命题；
③命题“”的否定为“”；
④命题“是的必要条件”是真命题；
A．0B．1C．2D．3
思路分析：根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案。
【解析】对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；
对于②：命题“”是全称量词命题；故②正确；
对于③：命题，则，故③错误；
对于④：可以推出，所以是的必要条件，故④正确；
所以正确的命题为②④，
故选：C
答案：C
【变式练习】
1．已知命题：，，使得，则为（ ）
A．，，使得B．，，使得
C．，，使得D．，，使得
答案：C
【解析】由全称量词命题和存在量词命题的否定形式，可得命题：，，使得的否定
为：，，使得
故选：C
2．已知，函数，若m满足关于x的方程，当时的函数值记为M，则下列选项中的命题为假命题的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：C
【解析】方程的解为.由当时的函数记为M知A、B为真命题；
∵，∴函数在处取得最小值.
∴M是函数的最小值，因此D为真命题，C为假命题.
故选：C.
探究四：与全称量词命题或存在量词命题有关的参数取值范围问题
若命题“，使得”是真命题，则实数的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
思路分析：讨论时是否符合题意，当时，不等式恒成立的等价条件为且即可求解。
【解析】当时，等价于不满足对于恒成立，不符合题意；
当时，若对于恒成立，
则即可得：，
综上所述：实数的取值集合是，
故选：B.
答案：B
【变式练习】
1．设命题p：，x若是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．(-D．(-
答案：B
【解析】命题p：，x
所以：，，
由是真命题可得，，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，
故选：B
2．已知命题P：若命题P是假命题，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】由题：命题P是假命题，其否定:为真命题，
即，解得.
故选：B
一、单选题
1．若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】若“，”为假命题，所以“”， ，为真命题，
所以A，B，D不正确 ，排除A，B，D．
故选：C．
2．命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】命题为假命题，即命题为真命题.
首先，时，恒成立，符合题意；
其次时，则且，即，
综上可知，.
结合选项可得，，即：是的一个充分不必要条件.
故选：C
3．下列命题不是存在量词命题的是（ ）
A．有些实数没有平方根
B．能被5整除的数也能被2整除
C．存在x∈{x|x＞3}，使x2﹣5x+6＜0
D．有一个m，使2﹣m与|m|﹣3异号
答案：B
【解析】解：对于A，有些实数没有平方根，有存在量词“有些”，是存在量词命题；
对于B，“能被5整除的数也能被2整除”省略了“所有”，是全称量词命题；
对于C，存在x∈{x|x＞3}，使x2﹣5x+6＜0，有存在量词“存在”，是存在量词命题；
对于D，有一个m，使2﹣m与|m|﹣3异号，有存在量词“有一个”，是存在量词命题.
故选：B.
4．已知命题，，则（ ）
A．命题，为假命题
B．命题，为真命题
C．命题，为假命题
D．命题，为真命题
答案：C
【解析】有题意知，命题，，又因为方程的，所以命题为假命题.故选：C.
5．若命题p：“，”是假命题，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】解：命题“，”是假命题，
则命题“，”是真命题，
当时，恒成立．
当时，不恒成立．
当时，则，解得．
故的取值范围为：，即．
故选：B．
6．命题“，”为真命题的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】原命题可写为“，”，
当时，随x增大而增大，所以取 最大值为3，
所以．
故选：D
7．设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0.其中真命题为（ ）
A．p1B．p2C．p3D．p4
答案：C
【解析】对于p1：由于，故∃x∈R，x2+1＜0不成立，故该命题为假命题；
p2：∀x∈R，当x＜0时，x+|x|＝0，故该命题为假命题；
p3：∀x∈Z，|x|是非负整数，故|x|∈N，该命题为真命题；
p4：∃x∈R，由于x2﹣2x+3＝0中△＝4﹣12＝﹣8＜0，故不存在实根，故该命题为假命题；
故选：C
8．已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．或B．或C．D．
答案：D
【解析】若，，则，
∴．
若，，
则，
解得或．
∵命题和命题q都是真命题，
∴或，
∴．
故选D．
二、多选题
9．下列命题中，真命题是（ ）
A．若且，则至少有一个大于1
B．
C．的充要条件是
D．命题“”的否定形式是“”
答案：AD
【解析】对于A中，若实数都小于等于1，那么可以推出，所以A正确；
对于B中，当时，，所以B错误；
对于C中，当时，满足，但不成立，所以C错误；
对于D中，由含有一个量词的否定的概念，可得命题“”的否定形式是“”，所以D是正确的.
故选：AD.
10．若“，或”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（ ）
A．B．C．D．
答案：ABD
【解析】命题“，”为假命题，则命题“，”为真命题，
可得，
命题“，或”为真命题，则或，
或或，
显然，A，B，D选项中的区间为的子集．
故选：ABD．
11．下列全称量词命题与存在量词命题中，是真命题的为（ ）
A．设A，B为两个集合，若，则对任意，都有
B．设A，B为两个集合，若A不包含于B，则存在，使得
C．{是无理数}，是有理数
D．{是无理数}，是无理数
答案：AB
【解析】根据集合间的基本关系，可以判断A，B是真命题；
对于C，显然{是无理数}，也是无理数，故C是假命题；
对于D，显然{是无理数}，却是有理数，故D是假命题．
故选：AB.
12．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”；
B．命题“，”的否定是“，”；
C．，使得；
D．若集合是全集的子集，则命题“”与“”同时成立；
答案：BD
【解析】A. 命题“，”的否定是“，”，所以该选项错误；
B. 命题“，”的否定是“，”，所以该选项正确；
C. 当时，不存在实数，使得，所以该选项错误；
D. 若集合是全集的子集，则命题“”与“”同时成立,所以该选项正确.
故选：BD
三、填空题
13．已知命题“，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是______.
答案：
【解析】若原命题为真命题，则，使得成立，则；
若原命题为假命题，则实数的取值范围为.
故答案为：.
14．若命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则实数的取值范围是_________．
答案：；
【解析】“存在整数使不等式成立”是假命题，即不存在整数使不等式成立．
设不等式的解集为，
当时，得，不合题意；
当且时，原不等式化为，
，，要使不存在整数使不等式成立，
须，解得：且；
当时，，合题意，
当时，原不等式化为，，不合题意，
综上所述，．
故答案为：
15．已知命题：“，”，命题：“，”，的否定是假命题，是真命题，则实数的取值范围是___________.
答案：
【解析】由，得，，因的否定是假命题，则是真命题，于是得，
因，，即方程有实根，则，解得，
又是真命题，则，
因此，由是真命题，也是真命题，可得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
16．已知“”是假命题,则实数的取值范围为________.
答案：
【解析】解：由题意可知，是真命题
对恒成立，
令
令则；令则；
即在上单调递减，上单调递增；
故答案为：
四、解答题
17．在①，，②存在区间，，使得这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题．
问题：求实数a满足的条件，使得命题，，命题q：______，都是真命题．
答案：选择条件①：；选择条件②：
【解析】选择条件①．
由命题p为真，可得不等式在上恒成立．
因为，所以，所以．
若命题q为真，则方程有解，
所以，解得或．
又p，q都是真命题，所以或，
所以实数a的取值范围是．
选择条件②，
由命题p为真，可得不等式在上恒成立．
困为，所以，所以．
因为区间，则，故，
由，得或，即或．
又p，q都是真命题，所以，得，
所以实数a的取值范围是
18．已知，.，.
(1)若为真命题，求的取值范围；
(2)若，一个是真命题，一个是假命题，求的取值范围．
答案：(1)；(2)
分析：（1）解：由，，
若为真命题，
则，解得或，
所以的取值范围为；
（2）解：若为真命题时，
则对恒成立，
所以，
若，一个是真命题，一个是假命题，
当是真命题，是假命题时，
则或，解得，
当是假命题，是真命题时，
则，解得，
综上所述.
19．已知命题p:，，命题q：，一次函数的图象在x轴下方．
(1)若命题P的否定为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题为真命题，命题的否定也为真命题，求实数的取值范围．
答案：(1)；(2)
分析：（1）∵命题p的否定为真命题，
命题的否定为：，，
∴，
∴．
（2）若命题p为真命题，则，即或．
∵命题q的否定为真命题，
∴“，一次函数的图象在x轴及x轴上方”为真命题．
∴，即．
∴实数a的取值范围为．
20．已知命题“，”为真命题.
（1）求实数的取值的集合；
（2）若，使得成立，记实数的范围为集合，若中只有一个整数，求实数的范围.
答案：（1）；（2）.
【解析】（1）由条件知，恒成立，
只需的.
解得，也即.
（2）若，使得成立，
也即,,
当，只需，此时.
当，只需，此时.
因此，当时，若使得只有一个整数，则只需
解得.
当，由于，
因此必有整数，与条件不符，矛盾.
综上所述，实数的取值范围是.
原词语
等于
大于（＞）
小于（＜）
是
都是
至多有一个
至少有一个
至多有n个
任意的
任意两个
所有的
能
否定词语
不等于
不大于
(≤)
不小于
(≥)
不是
不都是
至少有两个
一个也没有
至少有n+1个
某个
某两个
某些
不能
(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题。
2.(1)“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示。
(2)含有存在量词的命题叫做存在量词命题。
3.全称量词命题p:∀x∈M,p(x)(¬p(x)).存在量词命题p:∃x∈M,p(x)(¬p(x))。
4.常用否定词
一般地，写一个命题的否定时，往往需要对正面叙述的词语进行否定，一些常用的词语和它的否定词语对照列表如下：
考法一：判断全称量词命题与存在量词命题的真假
1.全称量词命题真假的判断
(1)要证明“∀x∈M，p(x)”为真.
①定义法：对给定的集合内的每一个元素x，p(x)都为真，则全称量词命题为真.
②间接法：证明‘ “∃x0∈M,¬px0”为假.
(2)要证明“∀x∈M，p(x)”为假.
①特值法：在给定的集合内找到一个元素x0，使p(x0)为假，则全称量词命题为假；
②间接法：证明 “∃x0∈M,¬px0”为真。
2.存在量词命题真假的判断
(1)要证明“∃x0∈M，p(x0)”为真。
①特值法：在给定的集合内找到一个元素x0，使p(x0)为真，则存在量词命题为真；
②间接法：证明‘ “∀x∈M,¬px”为假.
(2)要证明“∃x0∈M，p(x0)”为假，需证明 “∀x∈M,¬px”为真。
考法二：全称量词命题和存在量词命题的否定
(1)全称量词命题“∀x∈M，p(x)”的否定为 “∃x0∈M,¬px0”;存在量词命题“∃x0∈M，p(x0)”的否定为 “∀x∈M,¬px”.
(2)对含有存在(全称)量词的命题进行否定需要两步操作：
①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词；
②将结论加以否定.可简记为“前变后否”.
考法三：与全称量词命题或存在量词命题有关的参数取值范围问题
与全称量词命题或存在量词命题有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题，主要方法是分离参数法，最终转化为最值问题.分离过程中，把题目中所求范围的量放在左边，其余的放在右边，再求右边式子的相应最值，变形必须是恒等的。
探究一：判断全称、存在量词命题的真假
对三个正实数、、，下列说法正确的是
A．存在（、、）的一组值，使得、、均小于2
B．存在（、、）的一组值，使得、、中恰有两个小于2
C．对（、、）任意值，、、都不小于2
D．对（、、）任意值，、、中至多有两个不小于2
思路分析：假设，，可根据正实数的条件确定，根据不等关系可得，利用函数思想可求得，即恒成立，从而排除；通过特殊值可验证出正确，错误.
【变式练习】
1．在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．已知，则对于任意的，都有
2．设非空集合P，Q满足，则下列命题正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
探究二：全称量词命题的否定及其真假的判断
下列命题中，假命题是（ ）
A．的充要条件是
B．，是的充分条件
C．命题“，使得”的否定是“都有”
D．命题“，”的否定是“，”
思路分析：A. 利用特殊值法判断； B. 利用不等式的基本性质判断； C.由含有一个量词的命题的否定的定义判断；D. 由含有一个量词的命题的否定的定义判断；
【变式练习】
1．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
2．设命题p：任一实数的平方都不小于0，则命题p的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
探究三：存在量词命题的否定及其真假的判断
下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“”是全称量词命题；
③命题“”的否定为“”；
④命题“是的必要条件”是真命题；
A．0B．1C．2D．3
思路分析：根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案。
【变式练习】
1．已知命题：，，使得，则为（ ）
A．，，使得B．，，使得
C．，，使得D．，，使得
2．已知，函数，若m满足关于x的方程，当时的函数值记为M，则下列选项中的命题为假命题的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
探究四：与全称量词命题或存在量词命题有关的参数取值范围问题
若命题“，使得”是真命题，则实数的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
思路分析：讨论时是否符合题意，当时，不等式恒成立的等价条件为且即可求解。
【变式练习】
1．设命题p：，x若是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．(-D．(-
2．已知命题P：若命题P是假命题，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
一、单选题
1．若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（ ）
A．B．
C．D．
2．命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
3．下列命题不是存在量词命题的是（ ）
A．有些实数没有平方根
B．能被5整除的数也能被2整除
C．存在x∈{x|x＞3}，使x2﹣5x+6＜0
D．有一个m，使2﹣m与|m|﹣3异号
4．已知命题，，则（ ）
A．命题，为假命题
B．命题，为真命题
C．命题，为假命题
D．命题，为真命题
5．若命题p：“，”是假命题，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．命题“，”为真命题的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
7．设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0.其中真命题为（ ）
A．p1B．p2C．p3D．p4
8．已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．或B．或C．D．
二、多选题
9．下列命题中，真命题是（ ）
A．若且，则至少有一个大于1
B．
C．的充要条件是
D．命题“”的否定形式是“”
10．若“，或”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（ ）
A．B．C．D．
11．下列全称量词命题与存在量词命题中，是真命题的为（ ）
A．设A，B为两个集合，若，则对任意，都有
B．设A，B为两个集合，若A不包含于B，则存在，使得
C．{是无理数}，是有理数
D．{是无理数}，是无理数
12．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”；
B．命题“，”的否定是“，”；
C．，使得；
D．若集合是全集的子集，则命题“”与“”同时成立；
三、填空题
13．已知命题“，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是______.
14．若命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则实数的取值范围是_________．
15．已知命题：“，”，命题：“，”，的否定是假命题，是真命题，则实数的取值范围是___________.
16．已知“”是假命题,则实数的取值范围为________.
四、解答题
17．在①，，②存在区间，，使得这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题．
问题：求实数a满足的条件，使得命题，，命题q：______，都是真命题．
18．已知，.，.
(1)若为真命题，求的取值范围；
(2)若，一个是真命题，一个是假命题，求的取值范围．
19．已知命题p:，，命题q：，一次函数的图象在x轴下方．
(1)若命题P的否定为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题为真命题，命题的否定也为真命题，求实数的取值范围．
20．已知命题“，”为真命题.
（1）求实数的取值的集合；
（2）若，使得成立，记实数的范围为集合，若中只有一个整数，求实数的范围.
原词语
等于
大于（＞）
小于（＜）
是
都是
至多有一个
至少有一个
至多有n个
任意的
任意两个
所有的
能
否定词语
不等于
不大于
(≤)
不小于
(≥)
不是
不都是
至少有两个
一个也没有
至少有n+1个
某个
某两个
某些
不能
常考题型05 全称量词与存在量词的求解问题
1.(1)“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示。
(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题。
2.(1)“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示。
(2)含有存在量词的命题叫做存在量词命题。
3.全称量词命题p:∀x∈M,p(x)(¬p(x)).存在量词命题p:∃x∈M,p(x)(¬p(x))。
4.常用否定词
一般地，写一个命题的否定时，往往需要对正面叙述的词语进行否定，一些常用的词语和它的否定词语对照列表如下：
考法一：判断全称量词命题与存在量词命题的真假
1.全称量词命题真假的判断
(1)要证明“∀x∈M，p(x)”为真.
①定义法：对给定的集合内的每一个元素x，p(x)都为真，则全称量词命题为真.
②间接法：证明‘ “∃x0∈M,¬px0”为假.
(2)要证明“∀x∈M，p(x)”为假.
①特值法：在给定的集合内找到一个元素x0，使p(x0)为假，则全称量词命题为假；
②间接法：证明 “∃x0∈M,¬px0”为真。
2.存在量词命题真假的判断
(1)要证明“∃x0∈M，p(x0)”为真。
①特值法：在给定的集合内找到一个元素x0，使p(x0)为真，则存在量词命题为真；
②间接法：证明‘ “∀x∈M,¬px”为假.
(2)要证明“∃x0∈M，p(x0)”为假，需证明 “∀x∈M,¬px”为真。
考法二：全称量词命题和存在量词命题的否定
(1)全称量词命题“∀x∈M，p(x)”的否定为 “∃x0∈M,¬px0”;存在量词命题“∃x0∈M，p(x0)”的否定为 “∀x∈M,¬px”.
(2)对含有存在(全称)量词的命题进行否定需要两步操作：
①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词；
②将结论加以否定.可简记为“前变后否”.
考法三：与全称量词命题或存在量词命题有关的参数取值范围问题
与全称量词命题或存在量词命题有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题，主要方法是分离参数法，最终转化为最值问题.分离过程中，把题目中所求范围的量放在左边，其余的放在右边，再求右边式子的相应最值，变形必须是恒等的。
探究一：判断全称、存在量词命题的真假
对三个正实数、、，下列说法正确的是
A．存在（、、）的一组值，使得、、均小于2
B．存在（、、）的一组值，使得、、中恰有两个小于2
C．对（、、）任意值，、、都不小于2
D．对（、、）任意值，、、中至多有两个不小于2
思路分析：假设，，可根据正实数的条件确定，根据不等关系可得，利用函数思想可求得，即恒成立，从而排除；通过特殊值可验证出正确，错误.
【解析】若、、均小于，则，
但由基本不等式可得
、、不能均小于，则错误
当，，时
，，
存在的一组值，使得、、中恰有两个小于，则正确
当，时
，，
存在的一组值，使得、、中有小于的值，则错误
当时，
存在的一组值，使得、、均不小于，则错误
本题正确选项：
答案：B
【变式练习】
1．在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．已知，则对于任意的，都有
答案：B
【解析】选项A，，即有实数解，所以，显然此方程无实数解，故排除；
选项B，，，故该选项正确；
选项C，，而当，不成立，故该选项错误，排除；
选项D，，当时，当取得6的正整数倍时，，所以，该选项错误，排除.
故选：B.
2．设非空集合P，Q满足，则下列命题正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：A
【解析】因为非空集合P，Q满足，所以，
对于AC，由子集的定义知P中任意一个元素都是Q中的元素，即，，故A正确，C错误；
对于BD，由，分类讨论：若P是Q的真子集，则，；若，则，；故 BD错误．
故选：A．
探究二：全称量词命题的否定及其真假的判断
下列命题中，假命题是（ ）
A．的充要条件是
B．，是的充分条件
C．命题“，使得”的否定是“都有”
D．命题“，”的否定是“，”
思路分析：A. 利用特殊值法判断； B. 利用不等式的基本性质判断； C.由含有一个量词的命题的否定的定义判断；D. 由含有一个量词的命题的否定的定义判断；
【解析】A. 当时，不成立，故不充分；当可推出，故必要，故错误；
B. 由不等式的基本性质知，可推出，故充分，故正确；
C.存在量词命题的否定是全称量词命题，故正确；
D. 全称量词命题的否定是存在量词命题，故正确；
故选：A
答案：A
【变式练习】
1．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】命题的否定是
故选：A
2．设命题p：任一实数的平方都不小于0，则命题p的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：C
【解析】命题p：任一实数的平方都不小于0，即，为全称量词命题，
又全称量词命题的否定为存在量词命题，故命题p的否定是，
故选：C
探究三：存在量词命题的否定及其真假的判断
下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“”是全称量词命题；
③命题“”的否定为“”；
④命题“是的必要条件”是真命题；
A．0B．1C．2D．3
思路分析：根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案。
【解析】对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；
对于②：命题“”是全称量词命题；故②正确；
对于③：命题，则，故③错误；
对于④：可以推出，所以是的必要条件，故④正确；
所以正确的命题为②④，
故选：C
答案：C
【变式练习】
1．已知命题：，，使得，则为（ ）
A．，，使得B．，，使得
C．，，使得D．，，使得
答案：C
【解析】由全称量词命题和存在量词命题的否定形式，可得命题：，，使得的否定
为：，，使得
故选：C
2．已知，函数，若m满足关于x的方程，当时的函数值记为M，则下列选项中的命题为假命题的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：C
【解析】方程的解为.由当时的函数记为M知A、B为真命题；
∵，∴函数在处取得最小值.
∴M是函数的最小值，因此D为真命题，C为假命题.
故选：C.
探究四：与全称量词命题或存在量词命题有关的参数取值范围问题
若命题“，使得”是真命题，则实数的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
思路分析：讨论时是否符合题意，当时，不等式恒成立的等价条件为且即可求解。
【解析】当时，等价于不满足对于恒成立，不符合题意；
当时，若对于恒成立，
则即可得：，
综上所述：实数的取值集合是，
故选：B.
答案：B
【变式练习】
1．设命题p：，x若是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．(-D．(-
答案：B
【解析】命题p：，x
所以：，，
由是真命题可得，，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，
故选：B
2．已知命题P：若命题P是假命题，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】由题：命题P是假命题，其否定:为真命题，
即，解得.
故选：B
一、单选题
1．若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】若“，”为假命题，所以“”， ，为真命题，
所以A，B，D不正确 ，排除A，B，D．
故选：C．
2．命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】命题为假命题，即命题为真命题.
首先，时，恒成立，符合题意；
其次时，则且，即，
综上可知，.
结合选项可得，，即：是的一个充分不必要条件.
故选：C
3．下列命题不是存在量词命题的是（ ）
A．有些实数没有平方根
B．能被5整除的数也能被2整除
C．存在x∈{x|x＞3}，使x2﹣5x+6＜0
D．有一个m，使2﹣m与|m|﹣3异号
答案：B
【解析】解：对于A，有些实数没有平方根，有存在量词“有些”，是存在量词命题；
对于B，“能被5整除的数也能被2整除”省略了“所有”，是全称量词命题；
对于C，存在x∈{x|x＞3}，使x2﹣5x+6＜0，有存在量词“存在”，是存在量词命题；
对于D，有一个m，使2﹣m与|m|﹣3异号，有存在量词“有一个”，是存在量词命题.
故选：B.
4．已知命题，，则（ ）
A．命题，为假命题
B．命题，为真命题
C．命题，为假命题
D．命题，为真命题
答案：C
【解析】有题意知，命题，，又因为方程的，所以命题为假命题.故选：C.
5．若命题p：“，”是假命题，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】解：命题“，”是假命题，
则命题“，”是真命题，
当时，恒成立．
当时，不恒成立．
当时，则，解得．
故的取值范围为：，即．
故选：B．
6．命题“，”为真命题的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】原命题可写为“，”，
当时，随x增大而增大，所以取 最大值为3，
所以．
故选：D
7．设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0.其中真命题为（ ）
A．p1B．p2C．p3D．p4
答案：C
【解析】对于p1：由于，故∃x∈R，x2+1＜0不成立，故该命题为假命题；
p2：∀x∈R，当x＜0时，x+|x|＝0，故该命题为假命题；
p3：∀x∈Z，|x|是非负整数，故|x|∈N，该命题为真命题；
p4：∃x∈R，由于x2﹣2x+3＝0中△＝4﹣12＝﹣8＜0，故不存在实根，故该命题为假命题；
故选：C
8．已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．或B．或C．D．
答案：D
【解析】若，，则，
∴．
若，，
则，
解得或．
∵命题和命题q都是真命题，
∴或，
∴．
故选D．
二、多选题
9．下列命题中，真命题是（ ）
A．若且，则至少有一个大于1
B．
C．的充要条件是
D．命题“”的否定形式是“”
答案：AD
【解析】对于A中，若实数都小于等于1，那么可以推出，所以A正确；
对于B中，当时，，所以B错误；
对于C中，当时，满足，但不成立，所以C错误；
对于D中，由含有一个量词的否定的概念，可得命题“”的否定形式是“”，所以D是正确的.
故选：AD.
10．若“，或”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（ ）
A．B．C．D．
答案：ABD
【解析】命题“，”为假命题，则命题“，”为真命题，
可得，
命题“，或”为真命题，则或，
或或，
显然，A，B，D选项中的区间为的子集．
故选：ABD．
11．下列全称量词命题与存在量词命题中，是真命题的为（ ）
A．设A，B为两个集合，若，则对任意，都有
B．设A，B为两个集合，若A不包含于B，则存在，使得
C．{是无理数}，是有理数
D．{是无理数}，是无理数
答案：AB
【解析】根据集合间的基本关系，可以判断A，B是真命题；
对于C，显然{是无理数}，也是无理数，故C是假命题；
对于D，显然{是无理数}，却是有理数，故D是假命题．
故选：AB.
12．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”；
B．命题“，”的否定是“，”；
C．，使得；
D．若集合是全集的子集，则命题“”与“”同时成立；
答案：BD
【解析】A. 命题“，”的否定是“，”，所以该选项错误；
B. 命题“，”的否定是“，”，所以该选项正确；
C. 当时，不存在实数，使得，所以该选项错误；
D. 若集合是全集的子集，则命题“”与“”同时成立,所以该选项正确.
故选：BD
三、填空题
13．已知命题“，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是______.
答案：
【解析】若原命题为真命题，则，使得成立，则；
若原命题为假命题，则实数的取值范围为.
故答案为：.
14．若命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则实数的取值范围是_________．
答案：；
【解析】“存在整数使不等式成立”是假命题，即不存在整数使不等式成立．
设不等式的解集为，
当时，得，不合题意；
当且时，原不等式化为，
，，要使不存在整数使不等式成立，
须，解得：且；
当时，，合题意，
当时，原不等式化为，，不合题意，
综上所述，．
故答案为：
15．已知命题：“，”，命题：“，”，的否定是假命题，是真命题，则实数的取值范围是___________.
答案：
【解析】由，得，，因的否定是假命题，则是真命题，于是得，
因，，即方程有实根，则，解得，
又是真命题，则，
因此，由是真命题，也是真命题，可得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
16．已知“”是假命题,则实数的取值范围为________.
答案：
【解析】解：由题意可知，是真命题
对恒成立，
令
令则；令则；
即在上单调递减，上单调递增；
故答案为：
四、解答题
17．在①，，②存在区间，，使得这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题．
问题：求实数a满足的条件，使得命题，，命题q：______，都是真命题．
答案：选择条件①：；选择条件②：
【解析】选择条件①．
由命题p为真，可得不等式在上恒成立．
因为，所以，所以．
若命题q为真，则方程有解，
所以，解得或．
又p，q都是真命题，所以或，
所以实数a的取值范围是．
选择条件②，
由命题p为真，可得不等式在上恒成立．
困为，所以，所以．
因为区间，则，故，
由，得或，即或．
又p，q都是真命题，所以，得，
所以实数a的取值范围是
18．已知，.，.
(1)若为真命题，求的取值范围；
(2)若，一个是真命题，一个是假命题，求的取值范围．
答案：(1)；(2)
分析：（1）解：由，，
若为真命题，
则，解得或，
所以的取值范围为；
（2）解：若为真命题时，
则对恒成立，
所以，
若，一个是真命题，一个是假命题，
当是真命题，是假命题时，
则或，解得，
当是假命题，是真命题时，
则，解得，
综上所述.
19．已知命题p:，，命题q：，一次函数的图象在x轴下方．
(1)若命题P的否定为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题为真命题，命题的否定也为真命题，求实数的取值范围．
答案：(1)；(2)
分析：（1）∵命题p的否定为真命题，
命题的否定为：，，
∴，
∴．
（2）若命题p为真命题，则，即或．
∵命题q的否定为真命题，
∴“，一次函数的图象在x轴及x轴上方”为真命题．
∴，即．
∴实数a的取值范围为．
20．已知命题“，”为真命题.
（1）求实数的取值的集合；
（2）若，使得成立，记实数的范围为集合，若中只有一个整数，求实数的范围.
答案：（1）；（2）.
【解析】（1）由条件知，恒成立，
只需的.
解得，也即.
（2）若，使得成立，
也即,,
当，只需，此时.
当，只需，此时.
因此，当时，若使得只有一个整数，则只需
解得.
当，由于，
因此必有整数，与条件不符，矛盾.
综上所述，实数的取值范围是.
原词语
等于
大于（＞）
小于（＜）
是
都是
至多有一个
至少有一个
至多有n个
任意的
任意两个
所有的
能
否定词语
不等于
不大于
(≤)
不小于
(≥)
不是
不都是
至少有两个
一个也没有
至少有n+1个
某个
某两个
某些
不能
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