高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)06不等式中比较数(式)的大小问题(原卷版+解析)

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这是一份高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)06不等式中比较数(式)的大小问题(原卷版+解析)，共19页。试卷主要包含了作差法，作商法，特值法等内容，欢迎下载使用。

a-b>0⇔a>b；
a-b=0⇔a=b；
a-b<0⇔a1.作差法：一般步骤是①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.
2.作商法：一般步骤是①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论.
3.特值法：若是选择题、填空题，可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特殊值探究思路，再用作差法或作商法判断。
探究一：作差法比较代数式的大小
设a，bR，，则（）
A．B．C．D．
思路分析：利用不等式的基本性质及作差法，对结论逐一分析，选出正确结论即可。
【变式练习】
1．若，则下列命题正确的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．给出下列命题：
（1）若，，则
（2）若，，则
（3）若，且若，则
（4）若，，，则
其中正确的命题是（）
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）
探究二：作商法比较代数式的大小
设，，且，试比较，，三者的大小
思路分析：
先分为和两种情形，利用作商法，结合，的符号，将其结果和1比较，综合即可得结果。
【变式练习】
1．已知，试比较与的大小.
2．已知，，试比较与的大小；
一、单选题
1．若，则下列不等式一定成立的是（）
A．B．C．D．
2．已知，则下述一定正确的是（）
A．B．
C．D．
3．若，则下列不等式一定成立的是（）
A．B．
C．D．
4．设，，则（）．
A．B．C．D．
5．若，则下列命题正确的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
6．对于任意实数a，b，c，d，下列命题中的假命题是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7．下列不等式：
①；
②；
③；
④
其中恒成立的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
8．实数，，满足且，则下列关系成立的是（）
A．B．C．D．
二、多选题
9．设，则下列不等式中一定成立的是（）
A．B．C．D．
10．对于实数，，，正确的命题是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则，D．若，，则
11．已知，，则下列不等式一定成立的是（）
A．B．C．D．
12．下列说法正确的是（）
A．若，则B．若，，则
C．，则D．若，则
三、填空题
13．，则的大小关系为_______．
14．给出以下四个命题：①；②；③；④．其中真命题的序号是________．
15．已知x＞0，y＞0且x≠y，M＝x3+y3，N＝xy2+x2y，则M与N的大小关系为______．
16．设a＞b＞0，若x，y则x，y的大小关系是__（用”＜”号连接）
四、解答题
17．试比较下列组式子的大小：
(1)与，其中；
(2)与，其中，；
(3)与，．
18．（1）已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
（2）已知a，b，c是两两不等的实数，p＝a2＋b2＋c2，q＝ab＋bc＋ca，试比较p与q的大小．
19．对于四个正数，如果，那么称是的“下位序对”．
（1）对于，试求的“下位序对”；
（2）设均为正数，且是的“下位序对”，试判断之间的大小关系.
20．已知，试比较与的大小，并给出你的证明．
常考题型06 不等式中比较数（式）的大小问题
实数大小与运算性质之间的关系
a-b>0⇔a>b；
a-b=0⇔a=b；
a-b<0⇔a1.作差法：一般步骤是①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.
2.作商法：一般步骤是①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论.
3.特值法：若是选择题、填空题，可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特殊值探究思路，再用作差法或作商法判断。
探究一：作差法比较代数式的大小
设a，bR，，则（）
A．B．C．D．
思路分析：利用不等式的基本性质及作差法，对结论逐一分析，选出正确结论即可。
【解析】因为，则，所以，即，故A错误；
因为，所以，则，
所以，即，
∴，，即，故B错误；
∵由，因为，所以，又因为，所以，即，故C错误；
由可得，，故D正确.
故选：D.
答案：D
【变式练习】
1．若，则下列命题正确的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
答案：C
【解析】对于A选项：当时，，，则，故A选项不正确；
对于B选项：当时，，故B选项不正确；
对于C选项：当时，，，又，，
故C选项正确；
对于D选项：，
，，，，故D选项不正确；
故选：C
2．给出下列命题：
（1）若，，则
（2）若，，则
（3）若，且若，则
（4）若，，，则
其中正确的命题是（）
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）
答案：C
【解析】（1）取，显然不成立，故错误；
（2）因为，所以成立，故正确；
（3）取，则不成立，故错误；
（4）因为，所以，所以，即，故正确.
故选：C
探究二：作商法比较代数式的大小
设，，且，试比较，，三者的大小
思路分析：
先分为和两种情形，利用作商法，结合，的符号，将其结果和1比较，综合即可得结果。
【解析】由题知，，且.
当时，，，，
∴，
∴；
当时，，，,
∴，
∴
∴，且时，总有.
同理可得，，且时，
综上所述，.
答案：
【变式练习】
1．已知，试比较与的大小.
答案：
【解析】，
，.
两数作商
，
.
2．已知，，试比较与的大小；
答案：（当且仅当时取等号）
【解析】方法一：由题意
，
因为，，所以，，，
所以，当且仅当时等号成立，
所以（当且仅当时取等号）.
方法二：由
，当且仅当时等号成立，
所以（当且仅当时取等号）.
一、单选题
1．若，则下列不等式一定成立的是（）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】选项A：因为，所以，
所以，故A错误；
选项B：因为，则，
所以，即，
又，所以不等式
两侧同时乘以，则，故B错误；
选项C：当时，此时，
，，
，故C错误；
选项D：因为，所以，
则，故D正确.
故选：D.
2．已知，则下述一定正确的是（）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】解：因为，
所以，，故AB错误；
，所以，
所以，所以，
即，故C正确；
对于D，若时，
则，故D错误.
故选：C.
3．若，则下列不等式一定成立的是（）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】对于A，因为，故，即，故A错误；
对于B，，无法判断，故B错误；
对于C，因为，，故C正确；
对于D，因为，故，即，故D错误．
故选：C．
4．设，，则（）．
A．B．C．D．
答案：D
【解析】，
，
则
.
故，当且仅当时，取等号，
故选：D
5．若，则下列命题正确的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
答案：A
【解析】对于A，若，则，
故A正确；
对于B，当时，，故B不正确；
对于C，不妨取，则，故C错误；
对于D，若，，不妨取，则，D错误，
故选：A
6．对于任意实数a，b，c，d，下列命题中的假命题是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
答案：C
【解析】对于A：若，则，所以，故A正确；
对于B：若，，则，化为，可得，故B正确；
对于C：若，所以，，则，故，故C错误；
对于D：若，，则，所以，所以，，故D正确；
故选：C
7．下列不等式：
①；
②；
③；
④
其中恒成立的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
答案：B
【解析】对于①，∵，∴，又，，故①恒成立；
对于②，，，，但符号不确定，当时，，故②不恒成立；
对于③，，∴，故③恒成立；
对于④，由③知，，，两边同时开方，可得，故④恒成立；
故恒成立的结论是①③④
故选：B．
8．实数，，满足且，则下列关系成立的是（）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由可得，则，
由可得，利用完全平方可得
所以，
，
，
综上，
故选：D
二、多选题
9．设，则下列不等式中一定成立的是（）
A．B．C．D．
答案：ACD
【解析】对于A，因为，所以，对两边同乘，则有，故选项A一定成立；
对于B，当时，选项B不成立；
对于C，，故选项C一定成立；
对于D，由，可得，故选项D成立.
故选:ACD.
10．对于实数，，，正确的命题是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则，D．若，，则
答案：ABD
【解析】对选项A，因为，所以，，
所以，故A正确；
对选项B，，，所以，
因为，所以，即，故B正确；
对选项C，令，，满足，不满足，.
对选项D，因为，，
所以，故D正确.
故选：ABD
11．已知，，则下列不等式一定成立的是（）
A．B．C．D．
答案：BC
【解析】对于A项：因为，所以，又，所以，A错；
对于B项：因为，所以，B对；
对于C项：，因为，，所以，又因为，所以，C对；
对于D项：，所以，D错.
故选：BC．
12．下列说法正确的是（）
A．若，则B．若，，则
C．，则D．若，则
答案：ABC
【解析】解：对于A选项，因为，故，故，正确；
对于B选项，由于，，故，，故，即，正确；
对于C选项，由于，故，故，即，正确；
对于D选项，当时，，故错误.
故选：ABC
三、填空题
13．，则的大小关系为_______．
答案：≥
【解析】因为，则
由
所以
故答案为：
14．给出以下四个命题：①；②；③；④．其中真命题的序号是________．
答案：②③
【解析】解：①当，，时，满足，当时，所以①不正确；
②因为，所以，所以②正确；
③；所以③正确；
④．反例，，满足条件但是结论不成立．所以④不正确；
故答案为：②③．
15．已知x＞0，y＞0且x≠y，M＝x3+y3，N＝xy2+x2y，则M与N的大小关系为______．
答案：
【解析】
，
由x＞0，y＞0且x≠y知，，
,
即
故答案为：
16．设a＞b＞0，若x，y则x，y的大小关系是__（用”＜”号连接）
答案：x＜y．
【解析】因为a＞b＞0，所以，a-b＞0，
所以x＞0，y＞0，
，

＝＝
＝＝
∵a＞b＞0，∴＜0，
∴x2﹣y2＜0，所以x＜y，
故答案为：x＜y．
四、解答题
17．试比较下列组式子的大小：
(1)与，其中；
(2)与，其中，；
(3)与，．
答案：(1)；(2)；(3).
分析：（1）解：，，
因为，
所以，
即；
（2）解：
．
因为，，所以，，
所以，
即；
（3）方法一（作差法）
．
因为，所以，，，．
所以，
所以．
方法二（作商法）因为，所以，，，
所以，
所以．
18．（1）已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
（2）已知a，b，c是两两不等的实数，p＝a2＋b2＋c2，q＝ab＋bc＋ca，试比较p与q的大小．
答案：（1）3x3≤3x2－x＋1；（2）p>q.
【解析】（1） 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
因为x≤1，所以x－1≤0，而3x2＋1>0，
所以(3x2＋1)(x－1)≤0，
即3x3≤3x2－x＋1.
（2）因为a， b， c互不相等，所以a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，
即a2＋b2>2ab.
同理b2＋c2>2ac， a2＋c2>2ac.
所以2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，亦即p>q.
19．对于四个正数，如果，那么称是的“下位序对”．
（1）对于，试求的“下位序对”；
（2）设均为正数，且是的“下位序对”，试判断之间的大小关系.
答案：（1）（2）
【解析】（1），
的“下位序对”是.
（2）是的“下位序对”,
,
均为正数,
,即，
，
同理可得，
综上所述，
20．已知，试比较与的大小，并给出你的证明．
答案：，证明见解析.
【解析】
证明如下：
因为，
所以，
即
因为，所以，
所以，
即，
因为，所以，
，
即证得。