高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)07利用不等式的性质求范围(原卷版+解析)

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这是一份高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)07利用不等式的性质求范围(原卷版+解析)，共17页。试卷主要包含了一般方法，两点注意等内容，欢迎下载使用。

不等式的基本性质
(1)对称性：a>b⇔b(2)传递性：a>b，b>c→a>c.
(3)可加性：a>b⇒a+c>b+c.
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac(5)加法法则：a>b，c>d→a+c>b+d.
(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.
(7)乘方法则：a>b>0⇒aⁿ>bⁿ(n∈N，n≥2).
(8)开方法则：a>b>0⇒na>nb(n∈N，n≥2).
1.一般方法
(1)借助不等式的性质，转化为同向不等式相加进行解答；
(2)整体使用所给条件，切不可随意拆分所给条件；
(3)结合不等式的传递性进行求解.
2.由a可利用待定系数法解决，即设f(x，y)=mf(x，y)+ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得f(x，y)的取值范围.
3.两点注意：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解范围。
已知，满足的解集为集合，则下列命题为真命题的是（）
A．，B．，
C．，D．，
思路分析：利用整体思想，设，利用待定系数法解出与，
然后根据不等式的基本性质得出的取值范围并判断所给选项的正误。
【变式练习】
1．,,,,设,则下列判断中正确的是( )
A．B．C．D．
2．已知实数满足，，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
3．已知，，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
一、单选题
1．已知，，则的范围是（）
A．B．C．D．
2．已知，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
3．已知实数，满足，，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
4．若实数x，y满足，则的取值范围（）
A．B．C．D．
5．，，，，设，则下列判断中正确的是（）
A．B．C．D．
6．已知满足则的取值范围是
A．B．
C．D．
7．已知，，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
8．已知，，为正整数，，则方程的解得个数为（）
A．8B．10C．11D．12
二、多选题
9．已知实数，满足，，则可能取的值为（）
A．B．C．D．
10．已知，，则下列不等式正确的是（）
A．B．
C．D．
11．已知实数x，y满足，则（）
A．B．C．D．
12．已知a，b，，若，且，则下列结论正确的是（）
A．B．
C．c的最大值为1D．a的最小值为-1
三、填空题
13．若，，，则t的取值范围为______．
14．已知，且，则的取值范围是___________.
15．若实数满足，，则的取值范围为________．
16．设，若时均有，则________．
四、解答题
17．实数，满足，.
(1)求实数的取值范围；
(2)求的取值范围．
18．（1）已知，求的取值范围；
（2）若，求证：；
19．（1）比较与的大小；
（2）已知，且，
①求证：．
②求的取值范围．
20．若实数、、满足，则称比接近.
（1）若比1接近3，求的取值范围；
（2）已知函数定义域，对于任意的，等于与中接近0的那个值，写出函数的解析式，若关于的方程有两个不同的实数根，求的取值范围；
（3）已知，，且，求证：比接近0.
常考题型07 利用不等式的性质求范围
不等式的基本性质
(1)对称性：a>b⇔b(2)传递性：a>b，b>c→a>c.
(3)可加性：a>b⇒a+c>b+c.
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac(5)加法法则：a>b，c>d→a+c>b+d.
(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.
(7)乘方法则：a>b>0⇒aⁿ>bⁿ(n∈N，n≥2).
(8)开方法则：a>b>0⇒na>nb(n∈N，n≥2).
1.一般方法
(1)借助不等式的性质，转化为同向不等式相加进行解答；
(2)整体使用所给条件，切不可随意拆分所给条件；
(3)结合不等式的传递性进行求解.
2.由a可利用待定系数法解决，即设f(x，y)=mf(x，y)+ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得f(x，y)的取值范围.
3.两点注意：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解范围。
已知，满足的解集为集合，则下列命题为真命题的是（）
A．，B．，
C．，D．，
思路分析：利用整体思想，设，利用待定系数法解出与，
然后根据不等式的基本性质得出的取值范围并判断所给选项的正误。
【解析】令，则，
解得，，
故，
又，故，
又，所以.
故选：C.
答案：C
【变式练习】
1．,,,,设,则下列判断中正确的是( )
A．B．C．D．
答案：B
【解析】试题分析：a、b、c、d∈R＋，
2．已知实数满足，，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】解：令，，则，
则，
，
，
又，
，
∴，
故选：B．
3．已知，，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】令，
∴，即，
∴，故.
故选：D
一、单选题
1．已知，，则的范围是（）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】，
故，，得
故选：B
2．已知，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设，
所以，解得：，
因为，所以，
故选：A.
3．已知实数，满足，，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】令，，则，所以．因为，所以．因为，所以，所以.
故选：B
4．若实数x，y满足，则的取值范围（）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】解：设，
则，解得，
故，
又因，
所以，
所以.
故选：A.
5．，，，，设，则下列判断中正确的是（）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】解：，，，，，
；
，
.
故选：D
6．已知满足则的取值范围是
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】设
比较的系数，得从而解得
即，
由题得，
两式相加，得.
故选A.
7．已知，，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】设，，解得，
，
，，，
由不等式的性质可得，即，
因此，的取值范围是，故选D.
8．已知，，为正整数，，则方程的解得个数为（）
A．8B．10C．11D．12
答案：B
【解析】因为，所以，
当时，则，即，
可得可取；
当时，则，
可得可取；
当时，则，解得，或，
进而解得为；
当时，则，可得为；
所以方程的解的个数为，
故选：B.
二、多选题
9．已知实数，满足，，则可能取的值为（）
A．B．C．D．
答案：BC
【解析】由题意，实数，满足，，
令，即，
可得，解得，所以，
则，，
所以.
故选：BC.
10．已知，，则下列不等式正确的是（）
A．B．
C．D．
答案：AC
【解析】，故A正确；
故B不正确；
设，则
，
故C正确、D错误；
故选：AC
11．已知实数x，y满足，则（）
A．B．C．D．
答案：ABD
【解析】对于A：因为，
所以，
则，即，故A正确；
对于B：又，，
所以，即，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：ABD
12．已知a，b，，若，且，则下列结论正确的是（）
A．B．
C．c的最大值为1D．a的最小值为-1
答案：ABC
【解析】由，得，
，
设，则.
，
，解得，即，，故AB正确；
，即.
，即.
由a，知，.
∴，解得，同理可得，故C正确，D错误.
故选：ABC.
三、填空题
13．若，，，则t的取值范围为______．
答案：
【解析】设，则，解得．因为，，所以，即．
故答案为：.
14．已知，且，则的取值范围是___________.
答案：
【解析】由可得：，
令，整理可得：，
所以，解得：，
所以，
将两边同时乘以，可得，①
将两边同时乘以，可得，②
两式相加可得：
，
即，
因为，所以，
所以的取值范围是，
故答案为：.
15．若实数满足，，则的取值范围为________．
答案：
【解析】设，解得，
所以．
又，，，
所以.
故答案为：．
16．设，若时均有，则________．
答案：
【解析】，
当时，，不满足题意；
当时，时，，，不满足题意；
当时，设，，函数均过定点，
函数与轴的交点为，如图当直线绕旋转时，只有当与都交于x轴时才能满足，故过点，即，解得或（舍去）.
故答案为：.
四、解答题
17．实数，满足，.
(1)求实数的取值范围；
(2)求的取值范围．
答案：(1)；(2).
分析：（1）解：由，两式相加得，，∴，
即实数a的取值范围为．
（2）解：设，
则，解得，
∴，
∵，．
∴，，
∴，
即的取值范围为．
18．（1）已知，求的取值范围；
（2）若，求证：；
答案：（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）令，
∴，可得，则，而，
∴.
（2），又，
∴，则，得证.
19．（1）比较与的大小；
（2）已知，且，
①求证：．
②求的取值范围．
答案：（1）当时，，当时，，当时，；（2）①证明详见解析；②.
【解析】解：（1），
当时，，故，
当时，，故，
当时，，故；
（2）①证明：且，
，
，
，两边取倒数得，
又，
，从而得证．
②且，
，
所以，，
因为，所以，即，
所以，即，
综上，.
20．若实数、、满足，则称比接近.
（1）若比1接近3，求的取值范围；
（2）已知函数定义域，对于任意的，等于与中接近0的那个值，写出函数的解析式，若关于的方程有两个不同的实数根，求的取值范围；
（3）已知，，且，求证：比接近0.
答案：（1）；（2）；（3）证明见解析.
【解析】(1)因为比1接近3，所以，即，解得，
所以，的取值范围为；
(2)分类讨论如下：
①当比接近于0时，，即，解得，
②当比接近于0时，，即，解得，
所以，，
画出的图象，如图，
因为方程有两个实根，即函数与有两个交点，根据函数图象得；
(3)对两式，平方作差得，
，
因为，且，所以，恒成立，
所以，即比接近0.

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