高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)09应用基本不等式求最值和证明不等式(原卷版+解析)

这是一份高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)09应用基本不等式求最值和证明不等式(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了几个常用的重要结论等内容，欢迎下载使用。

1.如果a，b都是正数，那么a+b2≥ab，当且仅当a=b时，等号成立。我们称上述不等式为基本不等式，其中a+b2称为a，b的算术平均数，ab称为a，b的几何平均数。因此基本不等式又被称为均值不等式。
2.利用基本不等式求最值时，等号必须取得才能求出最值，若由于定义域或题设的限制使等号不能成立，则要换另一种方法解答，如函数的单调性等。
3.几个常用的重要结论
(1)ba+ab≥2(a与b同号，当且仅当a=b时取等号)；
(2)a+1a≥2(a>0，当且仅当a=1时取等号)，a+1a≤-2(a<0，当且仅当a=-1时取等号)；
(3)ab≤a+b22(a，b∈R，当且仅当a=b时取等号)；
(4)(a，b>0，当且仅当a=b时取等号)。
考法一：求最值
1.直接法：利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等。
(1)各项或各因式均为正；
(2)和或积为定值；
(3)各项或各因式能取得相等的值。
2.配凑法：在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后利用基本不等式.常用方法有：
(1)加项变换；
(2)拆项变换；
(3)统一换元；
(4)平方后利用基本不等式。
3.常数代换法：若不直接满足应用基本不等式的条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，其中常数代换法应用比较广泛，如构造“1”的代换等。
考法二：证明不等式
1.两种常见类型：一是无附加条件的不等式证明；二是有附加条件的不等式证明。
2.要先观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之满足能使用基本不等式的条件。
3.若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，常用常数代换.解题过程中要时刻注意等号能否取到。
探究一：基本不等式求积的最大值
已知，，，则的最大值为___________.
思路分析：
由题知，进而令，，再结合基本不等式求解即可。
【变式练习】
1．已知，，，则的最大值为________．
2．已知对任意，，恒有成立，则实数a的取值范围为______．
探究二：基本不等式求和的最小值
已知，若，则的最小值为___________．
思路分析：
根据条件，化简所给的等式，得到，然后根据积为常数，和有最小值，进行恒等变形，利用基本不等式求的最小值。
【变式练习】
1．设关于x的一元二次方程的两个解分别为，则的最小值为___________．
2．已知正实数m，n满足，则的最小值为__________．
探究三：二次与二次（或一次）的商式的最值
不等式的解集为，则的最大值为____________.
思路分析：
分、两种情况讨论，根据题意可得出、所满足的不等关系式，结合基本不等式可求得的最大值。
【变式练习】
1．是不同时为0的实数，则的最大值为________．
2．已知，则的最大值为______________;
探究四：利用基本不等式证明不等关系
已知a，b，c均为正实数，求证：
(1)；
(2)．
思路分析：
（1）将左边变形为，然后利用基本不等式可证得结论，
（2）利用可证得，同理可得，，3个式相加可证得结论。
【变式练习】
1．已知a，b，c均为正实数.
(1)求证：.
(2)若，求证：.
2．证明下列不等式，并讨论等号成立的条件.
(1)若，则；
(2)若，则.
一、单选题
1．已知，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．5D．6
2．若，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．负实数，满足，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
4．设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知正实数a，b，c，d满足，则最小值为（ ）
A．4B．C．9D．10
6．已知为正实数且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
7．若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知的斜边长为2.则下列关于的说法中，正确的是
A．周长的最大值为B．周长的最小值为
C．面积的最大值为2D．面积的最小值为1
二、多选题
9．以下结论正确的是（ ）
A．函数的最小值是2；
B．若且，则；
C．的最小值是2；
D．函数的最大值为0．
10．下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．已知，则的最小值为
C．若正数x，y为实数，若，则的最大值为3
D．设x，y为实数，若，则的最大值为
11．下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最大值是 -1
B．若，，都是正数，且，则的最小值是3
C．若，，，则的最小值是2
D．若实数，满足，则的最大值是
12．下列命题中真命题有（ ）
A．若，则的最大值为2
B．当，时，
C．若，则的最大值为
D．当且仅当a，b均为正数时，恒成立
三、填空题
13．若实数满足，则的最大值为___________.
14．若，，，则当______时，取得最小值．
15．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________.
16．已知，，下面四个结论:
①；②；③若，则；
④若，则的最小值为；
其中正确结论的序号是______.(把你认为正确的结论的序号都填上)
四、解答题
17．已知x，y都是正实数．
(1)求证：；
(2)若，求的最小值．
18．已知，且满足．
(1)若，求的值；
(2)求：的最大值与最小值．
19．已知，，且．
(1)求的最小值；
(2)是否存在，，使得的值为？并说明理由．
20．（1）当时，求的最小值；
（2）当时，求的最小值．
21．已知均为正实数，且满足证明：
(1)；
(2)．
22．（1）已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值．
（2）已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值．
（3）已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求＋的最小值；
常考题型09 应用基本不等式求最值和证明不等式
1.如果a，b都是正数，那么a+b2≥ab，当且仅当a=b时，等号成立。我们称上述不等式为基本不等式，其中a+b2称为a，b的算术平均数，ab称为a，b的几何平均数。因此基本不等式又被称为均值不等式。
2.利用基本不等式求最值时，等号必须取得才能求出最值，若由于定义域或题设的限制使等号不能成立，则要换另一种方法解答，如函数的单调性等。
3.几个常用的重要结论
(1)ba+ab≥2(a与b同号，当且仅当a=b时取等号)；
(2)a+1a≥2(a>0，当且仅当a=1时取等号)，a+1a≤-2(a<0，当且仅当a=-1时取等号)；
(3)ab≤a+b22(a，b∈R，当且仅当a=b时取等号)；
(4)(a，b>0，当且仅当a=b时取等号)。
考法一：求最值
1.直接法：利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等。
(1)各项或各因式均为正；
(2)和或积为定值；
(3)各项或各因式能取得相等的值。
2.配凑法：在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后利用基本不等式.常用方法有：
(1)加项变换；
(2)拆项变换；
(3)统一换元；
(4)平方后利用基本不等式。
3.常数代换法：若不直接满足应用基本不等式的条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，其中常数代换法应用比较广泛，如构造“1”的代换等。
考法二：证明不等式
1.两种常见类型：一是无附加条件的不等式证明；二是有附加条件的不等式证明。
2.要先观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之满足能使用基本不等式的条件。
3.若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，常用常数代换.解题过程中要时刻注意等号能否取到。
探究一：基本不等式求积的最大值
已知，，，则的最大值为___________.
思路分析：
由题知，进而令，，再结合基本不等式求解即可。
【解析】解：，当时取等，
所以，
故令，则，
所以，
当时，等号成立.
所以的最大值为
故答案为：
答案：
【变式练习】
1．已知，，，则的最大值为________．
答案：
【解析】解：，
，即，当且仅当，即或时，等号成立，
，
，
的最大值为．
故答案为：．
2．已知对任意，，恒有成立，则实数a的取值范围为______．
答案：
【解析】由，得．
∵，，∴．
∵，
∴，当且仅当时，等号成立.
∴，
∴实数a的取值范围是．
故答案为：.
探究二：基本不等式求和的最小值
已知，若，则的最小值为___________．
思路分析：
根据条件，化简所给的等式，得到，然后根据积为常数，和有最小值，进行恒等变形，利用基本不等式求的最小值。
【解析】因为，
所以，
整理可得，
由已知，则，可得，
即，所以，所以，
所以，
当且仅当是取到等号，又，所以取到最小值.
故答案为：.
答案：
【变式练习】
1．设关于x的一元二次方程的两个解分别为，则的最小值为___________．
答案：
【解析】解：因为关于x的一元二次方程的两个解分别为，
所以，解得，
，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
2．已知正实数m，n满足，则的最小值为__________．
答案：17
【解析】因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以．
故答案为：17
探究三：二次与二次（或一次）的商式的最值
不等式的解集为，则的最大值为____________.
思路分析：
分、两种情况讨论，根据题意可得出、所满足的不等关系式，结合基本不等式可求得的最大值。
【解析】当时，即不等式的解集为，则，，
要使得有意义，此时，则；
当时，若不等式的解集为，则，即，
所以，，
因为，则，
当时，则，此时；
当时，则，令，则，
当且仅当时，等号成立.
综上所述，的最大值为.
故答案为：.
答案：
【变式练习】
1．是不同时为0的实数，则的最大值为________．
答案：
【解析】,
，
当且仅当时取等号，所以
的最大值为．
故答案为：．
2．已知，则的最大值为______________;
答案：
【解析】当时，，，当且仅当即时等号成立.
故答案为：.
探究四：利用基本不等式证明不等关系
已知a，b，c均为正实数，求证：
(1)；
(2)．
思路分析：
（1）将左边变形为，然后利用基本不等式可证得结论，
（2）利用可证得，同理可得，，3个式相加可证得结论。
【解析】（1）证明：左边，
当且仅当时取“＝”．
故．
（2）证明：因为，当且仅当时取“＝”，
所以，
所以，所以，①
同理，当且仅当时取取“＝”，②
，当且仅当时取“＝”．③
①+②+③，得，
当且仅当时等号成立．
【变式练习】
1．已知a，b，c均为正实数.
(1)求证：.
(2)若，求证：.
【解析】（1）因为a，b，c都是正数，所以
，当且仅当时，等号成立，
所以；
（2），
当且仅当时等号成立.
∴.
2．证明下列不等式，并讨论等号成立的条件.
(1)若，则；
(2)若，则.
答案：(1)证明见解析，等号成立条件见解析；(2)证明见解析，等号成立条件见解析
【解析】（1）因为，所以，，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
（2）因为，当时，，
当且仅当时等号成立.
当时，，
当且仅当时等号成立.
综上，若，则成立，当且仅当时等号成立.
一、单选题
1．已知，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．5D．6
答案：A
【解析】因为，
所以可得，
则，
当且仅当，即时，上式取得等号，
的最大值为2．
故选：A．
2．若，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案：A
【解析】当时，，
当且仅当，即时等号成立.
故选：A.
3．负实数，满足，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
答案：A
【解析】根据题意有，故，当且仅当，时取等号.
故选：A
4．设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为正实数、、满足，则，
则，当且仅当时取等号.
故的最大值为.
故选：C.
5．已知正实数a，b，c，d满足，则最小值为（ ）
A．4B．C．9D．10
答案：C
【解析】由，则，即当且仅当时，取得等号.
当且仅当，即，也即时等号成立.
所以当且仅当，，时，取得最小值9
故选：C
6．已知为正实数且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
答案：D
【解析】解：因为为正实数且，
所以，
所以，
因为，当且仅当时等号成立；
所以，当且仅当时等号成立；
故选：D
7．若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当，且，即时取等号，
则的最大值为．
故选：A．
8．已知的斜边长为2.则下列关于的说法中，正确的是
A．周长的最大值为B．周长的最小值为
C．面积的最大值为2D．面积的最小值为1
答案：A
【解析】设为斜边，所以，
由基本不等式的推论可得：，
当且仅当时等号成立，
据此可知，
故△ABC的周长，
周长的最大值为，选项A正确，B错误，
由基本不等式可知当且仅当时取等号，
由面积公式，故面积的最大值为1，所以C，D选项错误；
故选：A.
二、多选题
9．以下结论正确的是（ ）
A．函数的最小值是2；
B．若且，则；
C．的最小值是2；
D．函数的最大值为0．
答案：BD
【解析】对于A，当时，结论显然不成立，故错误；
对于B，由知，根据均值不等式可得，故正确；
对于C，令，则单调递增，故最小值为，故C错误；
对于D，由可知，，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：BD
10．下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．已知，则的最小值为
C．若正数x，y为实数，若，则的最大值为3
D．设x，y为实数，若，则的最大值为
答案：BD
【解析】对于A选项，当时，，故A选项错误，
对于B选项，当时，，
则，
当且仅当时，等号成立，故B选项正确，
对于C选项，若正数、满足，则，
，
当且仅当时，等号成立，故C选项错误，
对于D选项，，
所以,当且仅当时，等号成立，可得，
时取最大值，故的最大值为，D选项正确．
故选：BD．
11．下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最大值是 -1
B．若，，都是正数，且，则的最小值是3
C．若，，，则的最小值是2
D．若实数，满足，则的最大值是
答案：ABD
【解析】对于A，因为，所以，所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为-1，故A正确；
对于B，因为，，都是正数，且，所以，
所以
，
当且仅当，即即时等号成立，
所以的最小值为3，故B正确；
对于C，因为，，所以，
即（当且仅当时等号成立），
因为，所以，
所以，所以，
解得(舍去)或，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为4，故C错误；
对于D，令，，则，，
因为，所以，同号，则，同号，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是，故D正确，
故选：ABD．
12．下列命题中真命题有（ ）
A．若，则的最大值为2
B．当，时，
C．若，则的最大值为
D．当且仅当a，b均为正数时，恒成立
答案：ABC
【解析】A选项，，当且仅当时等号成立，A正确.
B选项，，当且仅当时等号成立，B正确.
C选项，则，
，当且仅当时等号成立，C正确.
D选项，当均为负数时，也成立，所以D选项错误.
故选：ABC
三、填空题
13．若实数满足，则的最大值为___________.
答案：
【解析】令，则，即，
所以，
当时，；
当时，，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以.
所以的最大值为.
故答案为：.
14．若，，，则当______时，取得最小值．
答案：
【解析】解：因为，，所以，即．
当时，，
当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值；
当时，，
当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值．
综上所述，当时，取得最小值．
故答案为：
15．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________.
答案：
【解析】由题意，，，
当且仅当时等号成立.
∴此三角形面积的最大值为.
故答案为：
16．已知，，下面四个结论:
①；②；③若，则；
④若，则的最小值为；
其中正确结论的序号是______.(把你认为正确的结论的序号都填上)
答案：①③④
【解析】因为，所以
即
所以，故①正确
因为
所以
所以，故②错误
因为，所以
因为，所以，故③正确
因为
，当且仅当即时
取得最小值
因为，所以
即，故④正确
故答案为：①③④
四、解答题
17．已知x，y都是正实数．
(1)求证：；
(2)若，求的最小值．
答案：(1)证明见解析；(2)9
分析：(1)∵，，∴，，
∴，又，
∴，∴．
即得证.
(2)∵，，，
∴，
当且仅当时，即，时取等号．
故的最小值为9.
18．已知，且满足．
(1)若，求的值；
(2)求：的最大值与最小值．
答案：(1)或，
(2)最大值为，最小值为．
分析：（1），，
，是方程的两根，
或
（2）令，
由已知得：，两边同时乘以，
得，
，
当且仅当时取等号，
，整理得：，
解得，
即的最大值为，最小值为．
19．已知，，且．
(1)求的最小值；
(2)是否存在，，使得的值为？并说明理由．
答案：(1)；(2)不存在，理由见解析
分析：（1）∵，，且，∴，
又（当且仅当即时取等号），
∴，∴，
所以，当且仅当时取等号，
∴的最小值为；
（2）∵，，∴，当且仅当时等号成立，
∵，∴不存在，，使得的值为
20．（1）当时，求的最小值；
（2）当时，求的最小值．
答案：（1）7；（2）5．
【解析】（1），
当且仅当时，等号成立，即．
（2），
当且仅当时，等号成立，即．
21．已知均为正实数，且满足证明：
(1)；
(2)．
答案：(1)证明见解析；(2)证明见解析.
分析：(1)均为正实数，则当且仅当时取“”，
同理可得：，当且仅当，时等号成立，
故当且仅当时取“”，
又，
故.
(2)

当且仅当时取“”，
同理当且仅当时取“”，
当且仅当时取“”．
又由，
可知．
当且仅当时取“”．
所以，
故．
当且仅当时取“”．
22．（1）已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值．
（2）已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值．
（3）已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求＋的最小值；
答案：（1）；（2）-1；（3）.
【解析】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取“=”.则函数的最大值为.
（2）因为x＜3，所以，所以，当且仅当时取“=”.则函数的最大值为-1.
（3）因为x，y∈R＋，且x＋y＝4，所以，当且仅当时取“=”.则函数的最小值为.