高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)12求函数的解析式(原卷版+解析)

这是一份高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)12求函数的解析式(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了待定系数法求函数解析式，配凑法和换元法求函数解析式，解方程组法求函数解析式，分类讨论求函数解析式等内容，欢迎下载使用。

一、待定系数法求函数解析式
已知函数的类型（如一次函数、二次函数等）求解析式时，先设出含有待定系数的解析式，将已知条件代入，再利用恒等式的性质建立关于待定系数的方程（组），通过解方程（组）求出相应的系数.
二、配凑法和换元法求函数解析式
已知复合函数的解析式，求的解析式，可采用“配凑法”，即从的解析式中凑出，再将解析式两边的换成x，便得的解析式.
已知复合函数的解析式，求的解析式，可采用“换元法”，令=t，用t表示出x，代入的解析式，得到的解析式，再将t换成x，便得的解析式.
三、解方程组法求函数解析式
在已知中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时可根据两个变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标函数的解析式，这种方法叫做解方程组法或消元法.
四、分类讨论求函数解析式
给定分段函数的图象求解析式时，要根据函数在各个区间上的函数类型，结合待定系数法求解，注意结果要写成分段函数的形式.
探究一：已知求函数解析式
已知，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
思路分析：
令，利用换元法求出函数，从而直接代入即可求出的解析式。
【变式练习】
1．已知且函数的图象过点，则a的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．已知，则有（ ）
A． B．
C． D．
探究二：求抽象函数解析式
设函数满足，且对任意、都有，则（ ）
A．B．C．D．
思路分析：
令得出，再令可得出，即可求出的值。
【变式练习】
1．已知满足，则等于（ ）
A．B．
C．D．
2．若对于定义域内的任意实数都有，则
A．B．C．D．
探究三：函数方程组法求函数解析式
若对于任意实数x恒有，则＝（ ）
A．x－1B．x＋1C．2x＋1D．3x＋3
思路分析：
以换，构造方程组即可解出的解析式。
【变式练习】
1．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且，则f（x）＝（ ）
A．B．
C．D．
2．若函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
一、单选题
1．已知，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知函数，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知是一次函数，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数为一次函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．若函数，且，则实数的值为（ ）
A．B．或C．D．3
6．已知f（ x-1）=2x-5，且f（a）=6，则a等于（ ）
A．B．C．D．
7．已知定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值是（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义在上的函数为减函数，对任意的，均有，则函数的最小值是（ ）
A．2B．5C．D．3
二、多选题
9．若函数，则（ ）
A．B．
C．D．
10．某公司计划定制一批精美小礼品，准备在公司年终庆典大会上发给各位嘉宾，现有两个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取固定的设计费，再按礼品数量收取加工费，乙厂直接按礼品数量收取加工费，甲厂的总费用（千元），乙厂的总费用（千元）与礼品数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲､乙所示，则（ ）
A．甲厂的费用与礼品数量x之间的函数关系式为
B．当礼品数量不超过2千个时，乙厂的加工费平均每个为1.5元
C．当礼品数量超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为
D．若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更节省费用
11．下列命题中，正确的有（ ）
A．函数与函数表示同一函数
B．已知函数，若，则
C．若函数，则
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
三、填空题
12．函数满足，则________．
13．若函数，则__________.
14．若，则_____．
15．已知函数，，，，则________.
四、解答题
16．在①，②，且，③恒成立，且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数的图像经过点（1，2），______.
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域.
17．（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（4）已知，求的解析式．
18．已知函数.
(1)求与，与；
(2)由（1）中求得的结果，你能发现与有什么关系吗？证明你的发现；
(3)求的值．
19．若二次函数满足，.
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域；
(3)若在上恒成立，求m的取值范围.
常考题型12 求函数的解析式
一、待定系数法求函数解析式
已知函数的类型（如一次函数、二次函数等）求解析式时，先设出含有待定系数的解析式，将已知条件代入，再利用恒等式的性质建立关于待定系数的方程（组），通过解方程（组）求出相应的系数.
二、配凑法和换元法求函数解析式
已知复合函数的解析式，求的解析式，可采用“配凑法”，即从的解析式中凑出，再将解析式两边的换成x，便得的解析式.
已知复合函数的解析式，求的解析式，可采用“换元法”，令=t，用t表示出x，代入的解析式，得到的解析式，再将t换成x，便得的解析式.
三、解方程组法求函数解析式
在已知中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时可根据两个变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标函数的解析式，这种方法叫做解方程组法或消元法.
四、分类讨论求函数解析式
给定分段函数的图象求解析式时，要根据函数在各个区间上的函数类型，结合待定系数法求解，注意结果要写成分段函数的形式.
探究一：已知求函数解析式
已知，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
思路分析：
令，利用换元法求出函数，从而直接代入即可求出的解析式。
【解析】因为，所以令，则，
所以，
所以，
因为，所以，即，
所以.
故选：D.
答案：D
【变式练习】
1．已知且函数的图象过点，则a的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：C
【解析】，
，
又函数的图象过点，
所以，解得：.
故选：C
2．已知，则有（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
【解析】设，，则，
，，
所以函数的解析式为，．
故选：B.
探究二：求抽象函数解析式
设函数满足，且对任意、都有，则（ ）
A．B．C．D．
思路分析：
令得出，再令可得出，即可求出的值。
【解析】对任意、都有，且，
令，得，
令，可得，，
因此，.
故选：A.
答案：A
【变式练习】
1．已知满足，则等于（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】把①中的换成，得②
由①②得.
故选：D
2．若对于定义域内的任意实数都有，则
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题意可得：，解得：，
故.
故选D.
探究三：函数方程组法求函数解析式
若对于任意实数x恒有，则＝（ ）
A．x－1B．x＋1C．2x＋1D．3x＋3
思路分析：
以换，构造方程组即可解出的解析式。
【解析】解：对于任意实数x恒有①，
②，
由①、②解得：.
故选:B.
答案：B
【变式练习】
1．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且，则f（x）＝（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】∵，①，
∴，②
①②联立方程组可解得（）．
故选：B．
2．若函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为函数满足 ---①
所以 ---②
联立①②，得，解得，
∴
故选：A
一、单选题
1．已知，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】因为
令，所以
所以
故选：C.
2．已知函数，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】解：方法一（配凑法）∵，
∴.
方法二（换元法）令，则，∴，
∴.
故选：A
3．已知是一次函数，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】依题意，设，则有，解得，
所以.
故选：D
4．已知函数为一次函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设，则，解得，
，．
故选：A
5．若函数，且，则实数的值为（ ）
A．B．或C．D．3
答案：B
【解析】令（或），，，，.
故选；B
6．已知f（ x-1）=2x-5，且f（a）=6，则a等于（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】令，则，可得，即，由题知，解得.
故选：B
7．已知定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】解：由题意得，，又，
∴，
.
∵，∴，
∴，
故当时，取得最小值.
综上，当时，的最小值是.
故选:C.
8．已知定义在上的函数为减函数，对任意的，均有，则函数的最小值是（ ）
A．2B．5C．D．3
答案：D
【解析】由任意的，均有，
由带入可得：
，
所以
所以，
由为减函数，所以
所以
即
由，
所以，
化简整理可得，
所以或，
由为减函数所以，
故当时，
，
当且仅当时，等号成立.
故选：D.
二、多选题
9．若函数，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：AD
【解析】令，则，所以，则，故C错误；
，故A正确；，故B错误；
（且），故D正确．
故选：AD．
10．某公司计划定制一批精美小礼品，准备在公司年终庆典大会上发给各位嘉宾，现有两个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取固定的设计费，再按礼品数量收取加工费，乙厂直接按礼品数量收取加工费，甲厂的总费用（千元），乙厂的总费用（千元）与礼品数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲､乙所示，则（ ）
A．甲厂的费用与礼品数量x之间的函数关系式为
B．当礼品数量不超过2千个时，乙厂的加工费平均每个为1.5元
C．当礼品数量超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为
D．若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更节省费用
答案：ABC
【解析】根据图像甲厂的费用与礼品数量满足的函数为一次函数，且过（0,1），（8,5）两点，所以甲厂的费用与礼品数量满足的函数关系为，故A正确；
当定制礼品数量不超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为，所以乙厂的加工费平均每个为元，故B正确；
易知当时，与之间的函数为一次函数，且过（2,3），（8,5），所以函数关系式为，故C正确；
当时，，，因为，所以定制礼品数量为6千个时，选择甲厂更节省费用，故D不正确.
故选：ABC.
11．下列命题中，正确的有（ ）
A．函数与函数表示同一函数
B．已知函数，若，则
C．若函数，则
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
答案：BC
【解析】解：的定义域是， 的定义域是或，两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误;
函数，若，则所以，故B正确；
若函数，则，故C正确；
若函数的定义域为，则函数中，，所以，即函数的定义域为，故D错误.故选：BC
三、填空题
12．函数满足，则________．
答案：
【解析】由，
得到，令 ，
得 ，；
故答案为：．
13．若函数，则__________.
答案：
【解析】令，则，，函数的解析式为.
故答案为：.
14．若，则_____．
答案：
【解析】设，则
所以，即，，
.
故答案为：
15．已知函数，，，，则________.
答案：
【解析】解：因为函数，
又，，，
所以的根为，
即方程的根为，
所以，
所以，
所以，
故答案为：
四、解答题
16．在①，②，且，③恒成立，且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数的图像经过点（1，2），______.
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域.
答案：(1)；(2)
【解析】（1）选条件①.
设，
则.
因为，所以，
所以，解得.因为函数的图像经过点（1，2），
所以，得.故.
选条件②.
设，
则函数图像的对称轴为直线.
由题意可得，解得.故.
选条件③
设.
因为，所以.
因为恒成立，所以，解得，
故.
（2）由（1）可知.因为，所以，
所以.所以在上的值域为.
17．（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（4）已知，求的解析式．
答案：（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）因为，所以．
（2）方法一 设，则，，即，
所以，所以．
方法二 因为，所以．
（3）因为是二次函数，所以设．由，得c＝1．
由，得，
整理得，
所以，所以，所以．
（4）用－x替换中的x，得，
由，
解得．
18．已知函数.
(1)求与，与；
(2)由（1）中求得的结果，你能发现与有什么关系吗？证明你的发现；
(3)求的值．
答案：(1)，，，.
(2)，证明见解析.
(3).
【解析】(1)解 (1)由，
所以，
；
，
.
(2)由(1)中求得的结果发现.
证明如下：
.
(3)由(2)知，
所以.
19．若二次函数满足，.
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域；
(3)若在上恒成立，求m的取值范围.
答案：(1)；(2)；(3)
【解析】(1)解：由题意，设二次函数，
因为，可得，即，
又因为，可得，
即，可得，解得，
所以.
(2)解：由函数，
当时，函数取得最小值；
当时，函数取得最大值；
所以函数在上的值域为；
(3)解：由函数，不等式，即为，
因为在上恒成立，即在上恒成立，
令，
根据二次函数的性质，可得函数在上单调递减，所以，
所以，所以实数的取值范围.