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高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)13函数单调性的判断、证明与应用(原卷版+解析)
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这是一份高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)13函数单调性的判断、证明与应用(原卷版+解析)，共35页。试卷主要包含了增函数与减函数的定义，函数的单调区间，利用已知结论，性质法，复合函数单调性的判断方法，抽象函数单调性的判断方法等内容，欢迎下载使用。
1.增函数与减函数的定义
2.函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
考法一：函数单调性的判断或证明
1.定义法
(1)利用定义法证明函数单调性的步骤
①取值，即设，是给定区间内的任意两个值，且<.
②作差，即-(或-).
③变形，即通过因式分解、配方、通分、有理化等方法使其转化为易于判断正负的式子.
④判号，即确定-(或-)的符号，当符号不确定时，要进行分类讨论.
⑤定论，即根据定义得出结论.
其中第③步是关键，在变形中一般尽量将式子化为几个最简因式乘积或商的形式，且其中一定有因式-(或-).
(2)常用的变形技巧:
①因式分解：当原函数是多项式函数时，通常作差后进行因式分解.②通分：当原函数是分式函数时，作差后往往先进行通分，然后对分子进行因式分解.
③配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方.
④分子有理化：当原函数是含根式的函数时，作差后往往考虑分子有理化.
(3)利用定义法证明函数的单调性还可以用作商法.
2.图象法
(1)如果给出函数图象(或函数的图象能画出)求单调区间，那么只需观察函数的图象，根据函数图象的升降趋势，便可直接写出函数的单调区间.
(2)在探究函数的单调性并求单调区间问题时，常需要作出函数的大致图象，根据函数图象直观得出函数的单调区间，再利用定义法加以证明.
3.利用已知结论
(1)直接判断法：利用已知函数（如一次函数、二次函数、反比例函数等）的单调性，直接写出所求函数的单调区间.
(2)转化后利用已知结论.：将所给函数适当地变形，转化为可以利用已知函数单调性的形式，再借助已知函数的单调性写出它的单调区间。
4.性质法
若函数，在区间D上具有单调性，则
(1)当a>0时， a与有相同的单调性，当a<0时，函数a与有相反的单调性.
(2)当函数恒为正(或恒为负)时，与有相反的单调性.(3)若≥0，则与具有相同的单调性.
(4)在，的公共单调区间上，有如下结论
(5)若，都是增(减)函数，
①当>0，且>0时，•也是增(减)函数.
②当<0，且<0时，•是减(增)函数.
5.复合函数单调性的判断方法
(1)对于复合函数，如果在(a，b)上是单调函数，并且在（，）或(，)上也是单调函数，则在(a，b)上的单调性为
简记为“同增异减”.
(2)若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定.若减函数有偶数个，则这个复合函数为增函数；若减函数有奇数个，则这个复合函数为减函数.
(3)判断复合函数单调性的步骤
①确定函数定义域.
②将复合函数分解成，.
③分别确定这两个函数的单调性.
④确定复合函数的单调性.
6.抽象函数单调性的判断方法
判断或证明抽象函数单调性常用配凑法
(1)根据所给等式及不等式的特征，将-凑出可用条件式来表达的式子，从而判断出的单调性.
(2)常见的配凑方法如下
①若已知条件中含，常进行如下变形-=f[(-)+]-.
②若已知条件中含，常进行如下变形：-=-
考法二：函数单调性的应用
1.求参数或参数的取值范围：利用函数的单调性求参数或参数的取值范围的解题思路
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参.
(2)根据函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，通过解不等式（组）求出参数的取值范围.
2.比较函数值的大小
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题，能数形结合的尽量用图象法求解.
3.解抽象不等式
求解含“f”函数的不等式的解题思路:先利用函数的相关性质将不等式转化为
>的形式，再根据函数的单调性去掉“”，得到一般的不等式
>(或<).
4.利用函数单调性可以求函数最值.
(1)若函数在[a，b]上单调递增，则的最小值是，最大值是.
(2)若函数在[a，b]上单调递减，则的最小值是，最大值是.
(3)若在区间[a，b]上单调递增，在[b，c]上单调递减，则的最大值是，最小值是，中的较小者.
(4)若在区间[a，b]上单调递减，在[b，c]上单调递增，则的最小值是，最大值是，中的较大者.
探究一：求函数的单调区间
函数的单调增区间是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
思路分析：
由可得，即为偶函数，则当时，可得的单调区间，进而得到时，的单调区间，即可得到答案。
【变式练习】
1．函数的递减区间是（ ）
A．B．和
C．D．和
2．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝ax（a为常数）并且f（﹣1）＝﹣1，则f（x）的单调增区间是（ ）
A．（﹣∞，2]和[2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）
C．[﹣2，2]D．[﹣1，1]
探究二：根据图像判断函数单调性
设函数，则（ ）
A．的最大值为
B．在上单调递增，在上单调递减
C．的最小值为
D．在上单调递增，在上单调递减
思路分析：
作出函数的图象，逐项判断。
【变式练习】
1．符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数：，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的最大值为，最小值为B．
C．方程有无数个根D．函数在定义域上是单调递增函数
2．下列函数中，在上为增函数的是
A．B．C．D．
探究三：利用函数单调性求参数的值
已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
思路分析：
先判断的单调性，然后对进行分类讨论，由此求得的取值范围。
【变式练习】
1．已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．若函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
探究四：利用函数单调性解不等式
若函数在R单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
思路分析：
通过讨论化简不等式，结合函数的单调性解不等式即可。
【变式练习】
1．已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知定义在上的函数在上单调递增，若，且函数为偶函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
探究五：利用函数单调性比较大小
已知函数的定义域为R，满足，且当时，恒成立，设，，（其中），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
思路分析：
根据函数单调性的定义判断出在上单调递减,再利用把转化为，最后利用的单调性判断即可。
【变式练习】
1．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
一、单选题
1．已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
2．下列函数中，在上单调递增的函数是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数 是定义域为 的偶函数， 且 ， 若 在 上是单调递减的， 那么 在 上是（ ）
A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增
4．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数，，，若存在，使得成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．
6．定义在上的函数满足，若的图像关于点对称，且函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数在区间，上都单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
9．已知函数，且，，则函数的值域是______.
10．已知函数的增区间是，则实数a的值为___________.
11．已知函数，若对于区间上任意两个不相等的实数，，都有，则实数a的取值范围为___________．
12．已知函数，则不等式的解集为______.
13．函数的单调增区间是________.
14．已知函数的单调增区间为_______．
三、解答题
15．已知是定义在上的偶函数，且时，且单调递增.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
16．已知函数.
(1)用单调性定义证明函数在上为减函数；
(2)求函数在上的最大值.
17．已知函数．
(1)求证：在上是增函数；
(2)当时，求不等式的解集．
18．已知函数，．
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)设，若的定义域和值域都是，求的最大值．
19．已知函数，，
(1)当时，求函数的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）；
(2)当时，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围；
(3)若不等式对任意，（）恒成立，求实数的取值范围.
20．已知函数.
(1)若，写出的单调递增区间（不要求写出推证过程）；
(2)若存在，使得对任意都有，求实数的取值范围.
前提条件
设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I
条件
∀x1，x2∈D，x1都有f(x1)都有f(x1)>f(x2)
图示
结论
f(x)在区间D上单调递增
f(x)在区间D上单调递减
特殊情况
当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数
当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
+
-
增
增
增
不确定
增
减
不确定
增
减
减
减
不确定
减
增
不确定
减
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
常考题型13 函数单调性的判断、证明与应用
1.增函数与减函数的定义
2.函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
考法一：函数单调性的判断或证明
1.定义法
(1)利用定义法证明函数单调性的步骤
①取值，即设，是给定区间内的任意两个值，且<.
②作差，即-(或-).
③变形，即通过因式分解、配方、通分、有理化等方法使其转化为易于判断正负的式子.
④判号，即确定-(或-)的符号，当符号不确定时，要进行分类讨论.
⑤定论，即根据定义得出结论.
其中第③步是关键，在变形中一般尽量将式子化为几个最简因式乘积或商的形式，且其中一定有因式-(或-).
(2)常用的变形技巧:
①因式分解：当原函数是多项式函数时，通常作差后进行因式分解.②通分：当原函数是分式函数时，作差后往往先进行通分，然后对分子进行因式分解.
③配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方.
④分子有理化：当原函数是含根式的函数时，作差后往往考虑分子有理化.
(3)利用定义法证明函数的单调性还可以用作商法.
2.图象法
(1)如果给出函数图象(或函数的图象能画出)求单调区间，那么只需观察函数的图象，根据函数图象的升降趋势，便可直接写出函数的单调区间.
(2)在探究函数的单调性并求单调区间问题时，常需要作出函数的大致图象，根据函数图象直观得出函数的单调区间，再利用定义法加以证明.
3.利用已知结论
(1)直接判断法：利用已知函数（如一次函数、二次函数、反比例函数等）的单调性，直接写出所求函数的单调区间.
(2)转化后利用已知结论.：将所给函数适当地变形，转化为可以利用已知函数单调性的形式，再借助已知函数的单调性写出它的单调区间。
4.性质法
若函数，在区间D上具有单调性，则
(1)当a>0时， a与有相同的单调性，当a<0时，函数a与有相反的单调性.
(2)当函数恒为正(或恒为负)时，与有相反的单调性.(3)若≥0，则与具有相同的单调性.
(4)在，的公共单调区间上，有如下结论
(5)若，都是增(减)函数，
①当>0，且>0时，•也是增(减)函数.
②当<0，且<0时，•是减(增)函数.
5.复合函数单调性的判断方法
(1)对于复合函数，如果在(a，b)上是单调函数，并且在（，）或(，)上也是单调函数，则在(a，b)上的单调性为
简记为“同增异减”.
(2)若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定.若减函数有偶数个，则这个复合函数为增函数；若减函数有奇数个，则这个复合函数为减函数.
(3)判断复合函数单调性的步骤
①确定函数定义域.
②将复合函数分解成，.
③分别确定这两个函数的单调性.
④确定复合函数的单调性.
6.抽象函数单调性的判断方法
判断或证明抽象函数单调性常用配凑法
(1)根据所给等式及不等式的特征，将-凑出可用条件式来表达的式子，从而判断出的单调性.
(2)常见的配凑方法如下
①若已知条件中含，常进行如下变形-=f[(-)+]-.
②若已知条件中含，常进行如下变形：-=-
考法二：函数单调性的应用
1.求参数或参数的取值范围：利用函数的单调性求参数或参数的取值范围的解题思路
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参.
(2)根据函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，通过解不等式（组）求出参数的取值范围.
2.比较函数值的大小
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题，能数形结合的尽量用图象法求解.
3.解抽象不等式
求解含“f”函数的不等式的解题思路:先利用函数的相关性质将不等式转化为
>的形式，再根据函数的单调性去掉“”，得到一般的不等式
>(或<).
4.利用函数单调性可以求函数最值.
(1)若函数在[a，b]上单调递增，则的最小值是，最大值是.
(2)若函数在[a，b]上单调递减，则的最小值是，最大值是.
(3)若在区间[a，b]上单调递增，在[b，c]上单调递减，则的最大值是，最小值是，中的较小者.
(4)若在区间[a，b]上单调递减，在[b，c]上单调递增，则的最小值是，最大值是，中的较大者.
探究一：求函数的单调区间
函数的单调增区间是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
思路分析：
由可得，即为偶函数，则当时，可得的单调区间，进而得到时，的单调区间，即可得到答案。
【解析】解：由，
则为偶函数，的图像关于轴对称.
当时，，对称轴为，所以在上递增，在递减；
则当时，在递增，在递减，
则有的递增区间为.
故选：C
答案：C
【变式练习】
1．函数的递减区间是（ ）
A．B．和
C．D．和
答案：B
【解析】当时，，，解得：，又为开口向下的抛物线，对称轴为，此时在区间单调递减，
当时，， 为开口向上的抛物线，对称轴为，此时在单调递减，
综上所述：函数的递减区间是和.
故选：B.
2．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝ax（a为常数）并且f（﹣1）＝﹣1，则f（x）的单调增区间是（ ）
A．（﹣∞，2]和[2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）
C．[﹣2，2]D．[﹣1，1]
答案：D
【解析】f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣1）＝﹣1，则即
设则，，
即 当，
根据复合函数单调性得到函数在上单调递增
函数为奇函数，故函数在上单调递增
故选：
探究二：根据图像判断函数单调性
设函数，则（ ）
A．的最大值为
B．在上单调递增，在上单调递减
C．的最小值为
D．在上单调递增，在上单调递减
思路分析：
作出函数的图象，逐项判断。
【解析】函数的定义域为，其图象如下图所示：
由图象知：
A. 无最大值，故错误；
B. 在上单调递增，在上单调递减，故正确；
C. 无最小值，故错误；
D. 在上单调递减，在上单调递增，故错误；
故选：B
答案：B
【变式练习】
1．符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数：，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的最大值为，最小值为B．
C．方程有无数个根D．函数在定义域上是单调递增函数
答案：C
【解析】作出函数的图象，
对于A项，由图可知：函数无最大值，最小值为，故A错误，
对于B项，，，所以，故B不正确，
对于C项，方程的解为，故C正确，
对于D项，在每一个区间上，函数都是增函数，
但是在定义域上不是单调递增，故D错误．
故选：C.
2．下列函数中，在上为增函数的是
A．B．C．D．
答案：B
【解析】对于A,函数的图象是抛物线，对称轴是x=2，当x<2时是减函数，x>2时是增函数，∴不满足题意；
对于B,函数，∴当 时，是增函数，x<1时，是减函数，∴满足题意；
对于C,函数，当x<−1，x>−1时，函数是减函数，∴不满足题意；
对于D,函数的图象是抛物线，对称轴是x=−1，当x>−1时是减函数，x<−1时是增函数，∴不满足题意；故选B.
探究三：利用函数单调性求参数的值
已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
思路分析：
先判断的单调性，然后对进行分类讨论，由此求得的取值范围。
【解析】由于函数在定义域上单调递增，所以函数在定义域上是单调递增函数．
当时，函数在定义域上不单调，不符合题意；
当时，函数图象的对称轴为，
当时，函数在区间上单调递减，不符合题意，
当时，函数在区间上单调递增，
要使函数在定义域上单调递增，则需，解得．
故实数t的取值范围为．
故选：A
答案：A
【变式练习】
1．已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】不妨设，则，根据题意，可得恒成立，即恒成立.令，
则恒成立，所以函数在上单调递减.
当时，在上单调递减，符合题意；
当时，要使在上单调递减，
则解得.
综上所述，实数a的取值范围是.
故选：D.
2．若函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】函数的定义域是，而函数在区间上是减函数，
因函数在区间上是减函数，则有，且，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：B
探究四：利用函数单调性解不等式
若函数在R单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
思路分析：
通过讨论化简不等式，结合函数的单调性解不等式即可。
分析：因为函数在R单调递增，且，
所以当时，，
不等式可化为，
所以，
当时，，
不等式可化为，
所以满足条件的不存在，
当时，，不满足关系，
所以满足的x的取值范围是，
故选：D.
答案：D
【变式练习】
1．已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】，在上单调递减，又为偶函数，
，，，解得：或，
的解集为.
故选：D.
2．已知定义在上的函数在上单调递增，若，且函数为偶函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为函数为偶函数，则，故函数的图象关于直线对称，
因为函数在上单调递增，故函数在上单调递减，
因为，则，
所以，由可得，由可得或，
解不等式，可得或，解得或，
故不等式的解集为.
故选：D.
探究五：利用函数单调性比较大小
已知函数的定义域为R，满足，且当时，恒成立，设，，（其中），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
思路分析：
根据函数单调性的定义判断出在上单调递减,再利用把转化为，最后利用的单调性判断即可。
【解析】因为，所以，因此，即，
所以在上单调递减，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以．
故选：B．
答案：B
【变式练习】
1．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】解：∵当时，恒成立，
∴当时，，即，
∴函数在上为单调增函数，
∵函数是偶函数，即，
∴函数的图象关于直线对称，∴，
又函数在上为单调增函数，∴，
即，∴，
故选：B．
2．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】解：因为函数是偶函数，所以，
因为在上是增函数，且，
所以，即
故选：D
一、单选题
1．已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】解：由题意，在上单调递减.
则由可得，解得，即原不等式的解集为.
故选：B.
2．下列函数中，在上单调递增的函数是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】解：对于，是二次函数，在上单调递减，在上单调递增，不符合题意；
对于，是幂函数，在上单调递增，符合题意；
对于，是幂函数，在上单调递增，不符合题意；
对于，，在区间上为减函数，不符合题意
故选：B
3．已知函数 是定义域为 的偶函数， 且 ， 若 在 上是单调递减的， 那么 在 上是（ ）
A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增
答案：A
【解析】由函数是定义域为的偶函数，在上是单调递减的，
可知在上单调递增，
又，即2为函数的一个周期，
故在上单调递增，
故选：A
4．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为对任意的，有，
所以当时，，
所以在上是减函数，
又是偶函数，所以，，
因为，所以，
即．
故选：D．
5．已知函数，，，若存在，使得成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．
答案：D
【解析】解：设任意的，且，，
所以，即，
所以在上单调递增，
所以；
因为，其对称轴为，
所以根据二次函数的性质可得在可得到最小值，
若存在，使得成立，只需，
所以，解得，
因为，所以的取值范围为，
故选：D
6．定义在上的函数满足，若的图像关于点对称，且函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为的图像关于点对称，
由图像平移变换可知的图像关于原点对称，即为奇函数，
令，则
即也为奇函数，
又函数在上单调递减，由对称性可知，在上递减，
又因为，所以
所以
即
所以，即解集为
故选:A.
7．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】因在上单调递增，在上单调递增，
因此，函数在R上单调递增，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
8．已知函数在区间，上都单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】设，其判别式，
∴函数一定有两个零点，设的两个零点为，且，
由，得，，
∴，
①当时，在上单调递减或为常函数，从而在不可能单调递增，故；
②当时，，故，则，
∵在上单调递增，
∴在上也单调递增，，，
由在和上都单调递增，且函数的图象是连续的，
∴在上单调递增，欲使在上单调递增，只需，得，
综上：实数的范围是.
故选：D.
二、填空题
9．已知函数，且，，则函数的值域是______.
答案：
【解析】解：因为，，
所以，即，解得：
所以，
设且，
所以，
因为且，所以，
所以，即，
所以，即在上单调递减，
所以，
所以，函数的值域是
故答案为：
10．已知函数的增区间是，则实数a的值为___________.
答案：
【解析】因为函数，
故当时，单调递减，当时，单调递增.
因为函数的增区间是，
所以，所以.
故答案为：.
11．已知函数，若对于区间上任意两个不相等的实数，，都有，则实数a的取值范围为___________．
答案：
【解析】由题意， 的对称轴为 ，即 或 ，
或 ，
故答案为： .
12．已知函数，则不等式的解集为______.
答案：
【解析】解：因为定义域为，且，即为奇函数，
又与在定义域上单调递增，所以函数在上单调递增，
则不等式等价为，
即，解得，即不等式的解集为.
故答案为：
13．函数的单调增区间是________.
答案：，
【解析】；
的图像是由的图像沿轴向右平移个单位，
然后沿轴向下平移一个单位得到；
而的单调增区间为，；
的单调增区间是，．
故答案为：，
14．已知函数的单调增区间为_______．
答案：和.
【解析】解析:时，，对称轴，开口向上，在递增，
时，，对称轴，开口向下，在递增，
函数的递增区间是和.
故答案为：和.
三、解答题
15．已知是定义在上的偶函数，且时，且单调递增.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
答案：(1)
(2)
【解析】（1）当时，，，
又为上的偶函数，；
.
（2）在上单调递增，又为偶函数，
关于轴对称，且在上单调递减；
又，则由得：，解得：或，
即实数的取值范围为.
16．已知函数.
(1)用单调性定义证明函数在上为减函数；
(2)求函数在上的最大值.
答案：(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）证明：设对任意的，则
由题设可得，，
，即.
故函数在上为减函数..
（2）由题知，
又的定义域为关于原点对称，
是奇函数.
又由（1）得在上为减函数，
在上也是减函数.
函数在上的最大值为.
17．已知函数．
(1)求证：在上是增函数；
(2)当时，求不等式的解集．
答案：(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）任取，且，则，
所以，
所以，所以在区间上单调递增；
（2）当时，，
由可得，解得，
故不等式的解集为
18．已知函数，．
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)设，若的定义域和值域都是，求的最大值．
答案：(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）证明：任取，且，
则，
因为，，
所以，
所以，
故，
所以，
所以函数在上单调递增．
（2）由（1）可知函数在上单调递增，
因为的定义域和值域都是，
所以，
所以m，n为关于x的方程的两个不相等的正实数根，
化简方程可得，
则，解得，
所以
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值．
最大值为．
19．已知函数，，
(1)当时，求函数的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）；
(2)当时，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围；
(3)若不等式对任意，（）恒成立，求实数的取值范围.
答案：(1)单调递增区间为，，单调递减区间为，；
(2)
(3)
【解析】（1）解：当时，，
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，；
（2）解：因为，，且函数在，上单调递减，在，上单调递增，
又因为在，上的最大值为，所以，
即，整理可得，
所以，所以，即；
（3）解：由不等式对任意，，恒成立，
即，
可令，等价为在，上单调递增，
而，
分以下三种情况讨论：
①当即时，可得，解得，矛盾，无解；
②，即时，函数的图象的走向为减、增、减、增，
但是中间增区间的长度不足1，要想在，递增，只能，即，矛盾，无解；
③即时，此时在，上单调递增，
要想在，递增，只能，即，所以．
综上可得满足条件的的取值范围是．
20．已知函数.
(1)若，写出的单调递增区间（不要求写出推证过程）；
(2)若存在，使得对任意都有，求实数的取值范围.
答案：(1)
(2)
【解析】(1)当时，，
单调增区间为；
(2)由题意可知即，
而，
当即时，对任意，为增函数，
对任意都有，故只需 ，
即，整理得 ，
要使b存在，需，即 ，与矛盾，故此时不合题意；
当即时，，，
，
，又，，
若时，，所以，
所以，整理得 ，
要使b存在，需，即，所以；
若，，所以，
所以，
整理得 ，要使b存在，需，即，
故此时符合题意；
当即时，对任意，，
对称轴为，
当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减。
故，又，，
当时，，故，
故，整理得到，
要使b存在，需，即，故，满足条件；
当时，，故，
故，整理得到，
要使b存在，需，即，故，满足条件；
当，即时，函数在上单调递增，
，整理得 ，
要使b存在，需，即，故此时矛盾，
综上，实数的取值范围是 .
前提条件
设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I
条件
∀x1，x2∈D，x1都有f(x1)都有f(x1)>f(x2)
图示
结论
f(x)在区间D上单调递增
f(x)在区间D上单调递减
特殊情况
当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数
当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
+
-
增
增
增
不确定
增
减
不确定
增
减
减
减
不确定
减
增
不确定
减
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
1.增函数与减函数的定义
2.函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
考法一：函数单调性的判断或证明
1.定义法
(1)利用定义法证明函数单调性的步骤
①取值，即设，是给定区间内的任意两个值，且<.
②作差，即-(或-).
③变形，即通过因式分解、配方、通分、有理化等方法使其转化为易于判断正负的式子.
④判号，即确定-(或-)的符号，当符号不确定时，要进行分类讨论.
⑤定论，即根据定义得出结论.
其中第③步是关键，在变形中一般尽量将式子化为几个最简因式乘积或商的形式，且其中一定有因式-(或-).
(2)常用的变形技巧:
①因式分解：当原函数是多项式函数时，通常作差后进行因式分解.②通分：当原函数是分式函数时，作差后往往先进行通分，然后对分子进行因式分解.
③配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方.
④分子有理化：当原函数是含根式的函数时，作差后往往考虑分子有理化.
(3)利用定义法证明函数的单调性还可以用作商法.
2.图象法
(1)如果给出函数图象(或函数的图象能画出)求单调区间，那么只需观察函数的图象，根据函数图象的升降趋势，便可直接写出函数的单调区间.
(2)在探究函数的单调性并求单调区间问题时，常需要作出函数的大致图象，根据函数图象直观得出函数的单调区间，再利用定义法加以证明.
3.利用已知结论
(1)直接判断法：利用已知函数（如一次函数、二次函数、反比例函数等）的单调性，直接写出所求函数的单调区间.
(2)转化后利用已知结论.：将所给函数适当地变形，转化为可以利用已知函数单调性的形式，再借助已知函数的单调性写出它的单调区间。
4.性质法
若函数，在区间D上具有单调性，则
(1)当a>0时， a与有相同的单调性，当a<0时，函数a与有相反的单调性.
(2)当函数恒为正(或恒为负)时，与有相反的单调性.(3)若≥0，则与具有相同的单调性.
(4)在，的公共单调区间上，有如下结论
(5)若，都是增(减)函数，
①当>0，且>0时，•也是增(减)函数.
②当<0，且<0时，•是减(增)函数.
5.复合函数单调性的判断方法
(1)对于复合函数，如果在(a，b)上是单调函数，并且在（，）或(，)上也是单调函数，则在(a，b)上的单调性为
简记为“同增异减”.
(2)若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定.若减函数有偶数个，则这个复合函数为增函数；若减函数有奇数个，则这个复合函数为减函数.
(3)判断复合函数单调性的步骤
①确定函数定义域.
②将复合函数分解成，.
③分别确定这两个函数的单调性.
④确定复合函数的单调性.
6.抽象函数单调性的判断方法
判断或证明抽象函数单调性常用配凑法
(1)根据所给等式及不等式的特征，将-凑出可用条件式来表达的式子，从而判断出的单调性.
(2)常见的配凑方法如下
①若已知条件中含，常进行如下变形-=f[(-)+]-.
②若已知条件中含，常进行如下变形：-=-
考法二：函数单调性的应用
1.求参数或参数的取值范围：利用函数的单调性求参数或参数的取值范围的解题思路
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参.
(2)根据函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，通过解不等式（组）求出参数的取值范围.
2.比较函数值的大小
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题，能数形结合的尽量用图象法求解.
3.解抽象不等式
求解含“f”函数的不等式的解题思路:先利用函数的相关性质将不等式转化为
>的形式，再根据函数的单调性去掉“”，得到一般的不等式
>(或<).
4.利用函数单调性可以求函数最值.
(1)若函数在[a，b]上单调递增，则的最小值是，最大值是.
(2)若函数在[a，b]上单调递减，则的最小值是，最大值是.
(3)若在区间[a，b]上单调递增，在[b，c]上单调递减，则的最大值是，最小值是，中的较小者.
(4)若在区间[a，b]上单调递减，在[b，c]上单调递增，则的最小值是，最大值是，中的较大者.
探究一：求函数的单调区间
函数的单调增区间是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
思路分析：
由可得，即为偶函数，则当时，可得的单调区间，进而得到时，的单调区间，即可得到答案。
【变式练习】
1．函数的递减区间是（ ）
A．B．和
C．D．和
2．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝ax（a为常数）并且f（﹣1）＝﹣1，则f（x）的单调增区间是（ ）
A．（﹣∞，2]和[2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）
C．[﹣2，2]D．[﹣1，1]
探究二：根据图像判断函数单调性
设函数，则（ ）
A．的最大值为
B．在上单调递增，在上单调递减
C．的最小值为
D．在上单调递增，在上单调递减
思路分析：
作出函数的图象，逐项判断。
【变式练习】
1．符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数：，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的最大值为，最小值为B．
C．方程有无数个根D．函数在定义域上是单调递增函数
2．下列函数中，在上为增函数的是
A．B．C．D．
探究三：利用函数单调性求参数的值
已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
思路分析：
先判断的单调性，然后对进行分类讨论，由此求得的取值范围。
【变式练习】
1．已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．若函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
探究四：利用函数单调性解不等式
若函数在R单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
思路分析：
通过讨论化简不等式，结合函数的单调性解不等式即可。
【变式练习】
1．已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知定义在上的函数在上单调递增，若，且函数为偶函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
探究五：利用函数单调性比较大小
已知函数的定义域为R，满足，且当时，恒成立，设，，（其中），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
思路分析：
根据函数单调性的定义判断出在上单调递减,再利用把转化为，最后利用的单调性判断即可。
【变式练习】
1．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
一、单选题
1．已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
2．下列函数中，在上单调递增的函数是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数 是定义域为 的偶函数， 且 ， 若 在 上是单调递减的， 那么 在 上是（ ）
A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增
4．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数，，，若存在，使得成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．
6．定义在上的函数满足，若的图像关于点对称，且函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数在区间，上都单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
9．已知函数，且，，则函数的值域是______.
10．已知函数的增区间是，则实数a的值为___________.
11．已知函数，若对于区间上任意两个不相等的实数，，都有，则实数a的取值范围为___________．
12．已知函数，则不等式的解集为______.
13．函数的单调增区间是________.
14．已知函数的单调增区间为_______．
三、解答题
15．已知是定义在上的偶函数，且时，且单调递增.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
16．已知函数.
(1)用单调性定义证明函数在上为减函数；
(2)求函数在上的最大值.
17．已知函数．
(1)求证：在上是增函数；
(2)当时，求不等式的解集．
18．已知函数，．
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)设，若的定义域和值域都是，求的最大值．
19．已知函数，，
(1)当时，求函数的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）；
(2)当时，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围；
(3)若不等式对任意，（）恒成立，求实数的取值范围.
20．已知函数.
(1)若，写出的单调递增区间（不要求写出推证过程）；
(2)若存在，使得对任意都有，求实数的取值范围.
前提条件
设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I
条件
∀x1，x2∈D，x1
图示
结论
f(x)在区间D上单调递增
f(x)在区间D上单调递减
特殊情况
当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数
当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
+
-
增
增
增
不确定
增
减
不确定
增
减
减
减
不确定
减
增
不确定
减
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
常考题型13 函数单调性的判断、证明与应用
1.增函数与减函数的定义
2.函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
考法一：函数单调性的判断或证明
1.定义法
(1)利用定义法证明函数单调性的步骤
①取值，即设，是给定区间内的任意两个值，且<.
②作差，即-(或-).
③变形，即通过因式分解、配方、通分、有理化等方法使其转化为易于判断正负的式子.
④判号，即确定-(或-)的符号，当符号不确定时，要进行分类讨论.
⑤定论，即根据定义得出结论.
其中第③步是关键，在变形中一般尽量将式子化为几个最简因式乘积或商的形式，且其中一定有因式-(或-).
(2)常用的变形技巧:
①因式分解：当原函数是多项式函数时，通常作差后进行因式分解.②通分：当原函数是分式函数时，作差后往往先进行通分，然后对分子进行因式分解.
③配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方.
④分子有理化：当原函数是含根式的函数时，作差后往往考虑分子有理化.
(3)利用定义法证明函数的单调性还可以用作商法.
2.图象法
(1)如果给出函数图象(或函数的图象能画出)求单调区间，那么只需观察函数的图象，根据函数图象的升降趋势，便可直接写出函数的单调区间.
(2)在探究函数的单调性并求单调区间问题时，常需要作出函数的大致图象，根据函数图象直观得出函数的单调区间，再利用定义法加以证明.
3.利用已知结论
(1)直接判断法：利用已知函数（如一次函数、二次函数、反比例函数等）的单调性，直接写出所求函数的单调区间.
(2)转化后利用已知结论.：将所给函数适当地变形，转化为可以利用已知函数单调性的形式，再借助已知函数的单调性写出它的单调区间。
4.性质法
若函数，在区间D上具有单调性，则
(1)当a>0时， a与有相同的单调性，当a<0时，函数a与有相反的单调性.
(2)当函数恒为正(或恒为负)时，与有相反的单调性.(3)若≥0，则与具有相同的单调性.
(4)在，的公共单调区间上，有如下结论
(5)若，都是增(减)函数，
①当>0，且>0时，•也是增(减)函数.
②当<0，且<0时，•是减(增)函数.
5.复合函数单调性的判断方法
(1)对于复合函数，如果在(a，b)上是单调函数，并且在（，）或(，)上也是单调函数，则在(a，b)上的单调性为
简记为“同增异减”.
(2)若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定.若减函数有偶数个，则这个复合函数为增函数；若减函数有奇数个，则这个复合函数为减函数.
(3)判断复合函数单调性的步骤
①确定函数定义域.
②将复合函数分解成，.
③分别确定这两个函数的单调性.
④确定复合函数的单调性.
6.抽象函数单调性的判断方法
判断或证明抽象函数单调性常用配凑法
(1)根据所给等式及不等式的特征，将-凑出可用条件式来表达的式子，从而判断出的单调性.
(2)常见的配凑方法如下
①若已知条件中含，常进行如下变形-=f[(-)+]-.
②若已知条件中含，常进行如下变形：-=-
考法二：函数单调性的应用
1.求参数或参数的取值范围：利用函数的单调性求参数或参数的取值范围的解题思路
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参.
(2)根据函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，通过解不等式（组）求出参数的取值范围.
2.比较函数值的大小
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题，能数形结合的尽量用图象法求解.
3.解抽象不等式
求解含“f”函数的不等式的解题思路:先利用函数的相关性质将不等式转化为
>的形式，再根据函数的单调性去掉“”，得到一般的不等式
>(或<).
4.利用函数单调性可以求函数最值.
(1)若函数在[a，b]上单调递增，则的最小值是，最大值是.
(2)若函数在[a，b]上单调递减，则的最小值是，最大值是.
(3)若在区间[a，b]上单调递增，在[b，c]上单调递减，则的最大值是，最小值是，中的较小者.
(4)若在区间[a，b]上单调递减，在[b，c]上单调递增，则的最小值是，最大值是，中的较大者.
探究一：求函数的单调区间
函数的单调增区间是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
思路分析：
由可得，即为偶函数，则当时，可得的单调区间，进而得到时，的单调区间，即可得到答案。
【解析】解：由，
则为偶函数，的图像关于轴对称.
当时，，对称轴为，所以在上递增，在递减；
则当时，在递增，在递减，
则有的递增区间为.
故选：C
答案：C
【变式练习】
1．函数的递减区间是（ ）
A．B．和
C．D．和
答案：B
【解析】当时，，，解得：，又为开口向下的抛物线，对称轴为，此时在区间单调递减，
当时，， 为开口向上的抛物线，对称轴为，此时在单调递减，
综上所述：函数的递减区间是和.
故选：B.
2．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝ax（a为常数）并且f（﹣1）＝﹣1，则f（x）的单调增区间是（ ）
A．（﹣∞，2]和[2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）
C．[﹣2，2]D．[﹣1，1]
答案：D
【解析】f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣1）＝﹣1，则即
设则，，
即 当，
根据复合函数单调性得到函数在上单调递增
函数为奇函数，故函数在上单调递增
故选：
探究二：根据图像判断函数单调性
设函数，则（ ）
A．的最大值为
B．在上单调递增，在上单调递减
C．的最小值为
D．在上单调递增，在上单调递减
思路分析：
作出函数的图象，逐项判断。
【解析】函数的定义域为，其图象如下图所示：
由图象知：
A. 无最大值，故错误；
B. 在上单调递增，在上单调递减，故正确；
C. 无最小值，故错误；
D. 在上单调递减，在上单调递增，故错误；
故选：B
答案：B
【变式练习】
1．符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数：，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的最大值为，最小值为B．
C．方程有无数个根D．函数在定义域上是单调递增函数
答案：C
【解析】作出函数的图象，
对于A项，由图可知：函数无最大值，最小值为，故A错误，
对于B项，，，所以，故B不正确，
对于C项，方程的解为，故C正确，
对于D项，在每一个区间上，函数都是增函数，
但是在定义域上不是单调递增，故D错误．
故选：C.
2．下列函数中，在上为增函数的是
A．B．C．D．
答案：B
【解析】对于A,函数的图象是抛物线，对称轴是x=2，当x<2时是减函数，x>2时是增函数，∴不满足题意；
对于B,函数，∴当 时，是增函数，x<1时，是减函数，∴满足题意；
对于C,函数，当x<−1，x>−1时，函数是减函数，∴不满足题意；
对于D,函数的图象是抛物线，对称轴是x=−1，当x>−1时是减函数，x<−1时是增函数，∴不满足题意；故选B.
探究三：利用函数单调性求参数的值
已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
思路分析：
先判断的单调性，然后对进行分类讨论，由此求得的取值范围。
【解析】由于函数在定义域上单调递增，所以函数在定义域上是单调递增函数．
当时，函数在定义域上不单调，不符合题意；
当时，函数图象的对称轴为，
当时，函数在区间上单调递减，不符合题意，
当时，函数在区间上单调递增，
要使函数在定义域上单调递增，则需，解得．
故实数t的取值范围为．
故选：A
答案：A
【变式练习】
1．已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】不妨设，则，根据题意，可得恒成立，即恒成立.令，
则恒成立，所以函数在上单调递减.
当时，在上单调递减，符合题意；
当时，要使在上单调递减，
则解得.
综上所述，实数a的取值范围是.
故选：D.
2．若函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】函数的定义域是，而函数在区间上是减函数，
因函数在区间上是减函数，则有，且，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：B
探究四：利用函数单调性解不等式
若函数在R单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
思路分析：
通过讨论化简不等式，结合函数的单调性解不等式即可。
分析：因为函数在R单调递增，且，
所以当时，，
不等式可化为，
所以，
当时，，
不等式可化为，
所以满足条件的不存在，
当时，，不满足关系，
所以满足的x的取值范围是，
故选：D.
答案：D
【变式练习】
1．已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】，在上单调递减，又为偶函数，
，，，解得：或，
的解集为.
故选：D.
2．已知定义在上的函数在上单调递增，若，且函数为偶函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为函数为偶函数，则，故函数的图象关于直线对称，
因为函数在上单调递增，故函数在上单调递减，
因为，则，
所以，由可得，由可得或，
解不等式，可得或，解得或，
故不等式的解集为.
故选：D.
探究五：利用函数单调性比较大小
已知函数的定义域为R，满足，且当时，恒成立，设，，（其中），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
思路分析：
根据函数单调性的定义判断出在上单调递减,再利用把转化为，最后利用的单调性判断即可。
【解析】因为，所以，因此，即，
所以在上单调递减，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以．
故选：B．
答案：B
【变式练习】
1．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】解：∵当时，恒成立，
∴当时，，即，
∴函数在上为单调增函数，
∵函数是偶函数，即，
∴函数的图象关于直线对称，∴，
又函数在上为单调增函数，∴，
即，∴，
故选：B．
2．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】解：因为函数是偶函数，所以，
因为在上是增函数，且，
所以，即
故选：D
一、单选题
1．已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】解：由题意，在上单调递减.
则由可得，解得，即原不等式的解集为.
故选：B.
2．下列函数中，在上单调递增的函数是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】解：对于，是二次函数，在上单调递减，在上单调递增，不符合题意；
对于，是幂函数，在上单调递增，符合题意；
对于，是幂函数，在上单调递增，不符合题意；
对于，，在区间上为减函数，不符合题意
故选：B
3．已知函数 是定义域为 的偶函数， 且 ， 若 在 上是单调递减的， 那么 在 上是（ ）
A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增
答案：A
【解析】由函数是定义域为的偶函数，在上是单调递减的，
可知在上单调递增，
又，即2为函数的一个周期，
故在上单调递增，
故选：A
4．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为对任意的，有，
所以当时，，
所以在上是减函数，
又是偶函数，所以，，
因为，所以，
即．
故选：D．
5．已知函数，，，若存在，使得成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．
答案：D
【解析】解：设任意的，且，，
所以，即，
所以在上单调递增，
所以；
因为，其对称轴为，
所以根据二次函数的性质可得在可得到最小值，
若存在，使得成立，只需，
所以，解得，
因为，所以的取值范围为，
故选：D
6．定义在上的函数满足，若的图像关于点对称，且函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为的图像关于点对称，
由图像平移变换可知的图像关于原点对称，即为奇函数，
令，则
即也为奇函数，
又函数在上单调递减，由对称性可知，在上递减，
又因为，所以
所以
即
所以，即解集为
故选:A.
7．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】因在上单调递增，在上单调递增，
因此，函数在R上单调递增，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
8．已知函数在区间，上都单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】设，其判别式，
∴函数一定有两个零点，设的两个零点为，且，
由，得，，
∴，
①当时，在上单调递减或为常函数，从而在不可能单调递增，故；
②当时，，故，则，
∵在上单调递增，
∴在上也单调递增，，，
由在和上都单调递增，且函数的图象是连续的，
∴在上单调递增，欲使在上单调递增，只需，得，
综上：实数的范围是.
故选：D.
二、填空题
9．已知函数，且，，则函数的值域是______.
答案：
【解析】解：因为，，
所以，即，解得：
所以，
设且，
所以，
因为且，所以，
所以，即，
所以，即在上单调递减，
所以，
所以，函数的值域是
故答案为：
10．已知函数的增区间是，则实数a的值为___________.
答案：
【解析】因为函数，
故当时，单调递减，当时，单调递增.
因为函数的增区间是，
所以，所以.
故答案为：.
11．已知函数，若对于区间上任意两个不相等的实数，，都有，则实数a的取值范围为___________．
答案：
【解析】由题意， 的对称轴为 ，即 或 ，
或 ，
故答案为： .
12．已知函数，则不等式的解集为______.
答案：
【解析】解：因为定义域为，且，即为奇函数，
又与在定义域上单调递增，所以函数在上单调递增，
则不等式等价为，
即，解得，即不等式的解集为.
故答案为：
13．函数的单调增区间是________.
答案：，
【解析】；
的图像是由的图像沿轴向右平移个单位，
然后沿轴向下平移一个单位得到；
而的单调增区间为，；
的单调增区间是，．
故答案为：，
14．已知函数的单调增区间为_______．
答案：和.
【解析】解析:时，，对称轴，开口向上，在递增，
时，，对称轴，开口向下，在递增，
函数的递增区间是和.
故答案为：和.
三、解答题
15．已知是定义在上的偶函数，且时，且单调递增.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
答案：(1)
(2)
【解析】（1）当时，，，
又为上的偶函数，；
.
（2）在上单调递增，又为偶函数，
关于轴对称，且在上单调递减；
又，则由得：，解得：或，
即实数的取值范围为.
16．已知函数.
(1)用单调性定义证明函数在上为减函数；
(2)求函数在上的最大值.
答案：(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）证明：设对任意的，则
由题设可得，，
，即.
故函数在上为减函数..
（2）由题知，
又的定义域为关于原点对称，
是奇函数.
又由（1）得在上为减函数，
在上也是减函数.
函数在上的最大值为.
17．已知函数．
(1)求证：在上是增函数；
(2)当时，求不等式的解集．
答案：(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）任取，且，则，
所以，
所以，所以在区间上单调递增；
（2）当时，，
由可得，解得，
故不等式的解集为
18．已知函数，．
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)设，若的定义域和值域都是，求的最大值．
答案：(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）证明：任取，且，
则，
因为，，
所以，
所以，
故，
所以，
所以函数在上单调递增．
（2）由（1）可知函数在上单调递增，
因为的定义域和值域都是，
所以，
所以m，n为关于x的方程的两个不相等的正实数根，
化简方程可得，
则，解得，
所以
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值．
最大值为．
19．已知函数，，
(1)当时，求函数的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）；
(2)当时，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围；
(3)若不等式对任意，（）恒成立，求实数的取值范围.
答案：(1)单调递增区间为，，单调递减区间为，；
(2)
(3)
【解析】（1）解：当时，，
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，；
（2）解：因为，，且函数在，上单调递减，在，上单调递增，
又因为在，上的最大值为，所以，
即，整理可得，
所以，所以，即；
（3）解：由不等式对任意，，恒成立，
即，
可令，等价为在，上单调递增，
而，
分以下三种情况讨论：
①当即时，可得，解得，矛盾，无解；
②，即时，函数的图象的走向为减、增、减、增，
但是中间增区间的长度不足1，要想在，递增，只能，即，矛盾，无解；
③即时，此时在，上单调递增，
要想在，递增，只能，即，所以．
综上可得满足条件的的取值范围是．
20．已知函数.
(1)若，写出的单调递增区间（不要求写出推证过程）；
(2)若存在，使得对任意都有，求实数的取值范围.
答案：(1)
(2)
【解析】(1)当时，，
单调增区间为；
(2)由题意可知即，
而，
当即时，对任意，为增函数，
对任意都有，故只需 ，
即，整理得 ，
要使b存在，需，即 ，与矛盾，故此时不合题意；
当即时，，，
，
，又，，
若时，，所以，
所以，整理得 ，
要使b存在，需，即，所以；
若，，所以，
所以，
整理得 ，要使b存在，需，即，
故此时符合题意；
当即时，对任意，，
对称轴为，
当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减。
故，又，，
当时，，故，
故，整理得到，
要使b存在，需，即，故，满足条件；
当时，，故，
故，整理得到，
要使b存在，需，即，故，满足条件；
当，即时，函数在上单调递增，
，整理得 ，
要使b存在，需，即，故此时矛盾，
综上，实数的取值范围是 .
前提条件
设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I
条件
∀x1，x2∈D，x1
图示
结论
f(x)在区间D上单调递增
f(x)在区间D上单调递减
特殊情况
当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数
当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
+
-
增
增
增
不确定
增
减
不确定
增
减
减
减
不确定
减
增
不确定
减
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
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