还剩30页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)17指数函数的图象和性质的常考点方法总结(原卷版+解析) 试卷 0 次下载
- 高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)18五种有关对数函数的图象和性质的常考点(原卷版+解析) 试卷 0 次下载
- 高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)20任意角、弧度制与三角函数的概念(原卷版+解析) 试卷 0 次下载
- 高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)21利用诱导公式进行化简和求值(原卷版+解析) 试卷 0 次下载
- 高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)22三角函数的图象与性质、函数y=Asin(ωx+φ)(原卷版+解析) 试卷 0 次下载
高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)19函数零点问题的三种常考点方法总结(原卷版+解析)
展开
这是一份高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)19函数零点问题的三种常考点方法总结(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了函数零点的定义，几个等价关系，零点存在性定理等内容，欢迎下载使用。
1.函数零点的定义：对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。
2.几个等价关系：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
3.零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
方法指导
一、判断函数零点所在区间
1.解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解对应方程，然后看所求的根是否落在给定区间上。
2.定理法：当容易判断区间端点所对应函数值的正负时，利用函数零点的存在性定理进行判断。
3.图象法：当容易画出函数的图象时，画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断。
二、判断函数零点的个数
1.解方程法：若对应方程f(x)=0可解，通过解方程，则方程有几个解，对应函数就有几个零点。
2.函数零点存在性定理法：利用该定理时，不仅要求函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性（以后学到）、对称性）。
3.数形结合法：合理转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，再看其交点的个数，其中交点的个数就是函数零点的个数。
三、利用函数的零点求参数的取值范围
1.直接法：先直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围。
2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数最值问题加以解决。
3.数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解。
题型探究一
探究一：判断函数零点所在的区间
函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
思路分析：根据公共定义域内判断函数的单调性及复合函数的单调性，得出函数的单调性，再利用函数零点的存在性定理即可求解.
【变式练习】
1．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
2．函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
探究二：判断函数零点的个数
已知定义在上的函数的图像连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”．若函数是“回旋函数”，且，则在上（ ）
A．至多有2022个零点B．至多有1011个零点
C．至少有2022个零点D．至少有1011个零点
思路分析：根据已知可得：，当时利用零点存在定理，可以判定区间内至少有一个零点，进而判定，，…，上均至少有一个零点，得到在上至少有1011个零点．可以构造“回旋函数”，使之恰好有1011个零点；当时，可以得到，此时在上至少有1012个零点．从而排除BC,判定D正确；举特例函数，或者构造函数，可以排除A.
【变式练习】
1．已知函数，（），若关于的方程无实根，则方程的实根个数是（ ）
A．0B．1C．2D．与的值有关
2．已知函数，则方程的实数根的个数为（ ）
A．B．C．D．
探究三：利用函数的零点求参数的取值范围
已知函数关于x的方程有5个不同的实数根，则实数c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
思路分析：使用换元的方法并画出函数的图像，然后根据与交点个数有5个进而可知，的范围，然后根据根的分布进行计算即可.
【变式练习】
1．已知函数，若它们同时满足：①，与中至少有一个小于0；②，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．D．
2．已知函数（且）有个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型突破训练
一、单选题
1．函数的零点所在区间为，则整数k等于（ ）
A．2B．1C．0D．-1
2．函数的零点个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．若函数的零点在区间内，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．函数零点所在的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
5．对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，.若存在，，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知a，b，，函数，，对任意的，，，两两相乘都不小于0，且，则一定有（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知函数有两个零点，，则（ ）
A．B．且
C．若，则D．函数有四个零点或两个零点
10．已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A．
B．函数单调减区间为
C．若，则的取值范围是
D．若方程有三个解，则的取值范围是
11．已知定义域为R的函数,及关于x的方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当k>0时，若方程有且仅有3个不同解，则1+a+b=0
B．当k <0时，若方程有且仅有3个不同解，则1-a+b=0
C．当k <0时，方程最多有4个不同解，当k>0时，方程最多有5个不同解
D．当k>0时，若方程有且仅有5个不同解，则实数b的取值范围是（0，+∞）
12．已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．在区间上是增函数
B．
C．若方程恰有3个实根，则
D．若函数在上有6个根，则
三、填空题
13．已知函数的图象关于y轴对称，且关于x的方程有两个相等的实根，写出满足上述条件的一个函数______.
14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，设，则满足方程的所有解之和为________.
15．已知函数，函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是___________．
16．设，若存在使得关于x的方程恰有六个解，则b的取值范围是______．
四、解答题
17．已知.
(1)若，，求方程的解；
(2)若关于的方程在上有两解.
①求的取值范围；②证明：.
18．已知，为常数，函数．
(1)当时，求关于的不等式的解集；
(2)对于给定的，，且，，证明：关于的方程在区间内有一个实根；
(3)若为偶函数，且，设，若对任意，均成立，求实数的取值范围．
19．已知函数有两个不同的零点．
(1)求实数m的取值范围；
(2)甲同学在探究“若恰有一个在区间内，求实数的取值范围”这一问题时，经过分类讨论研究后甲同学给出了如下解答：
由，解得.
据此他得出实数的取值范围为．请你评判甲同学的解答完整吗？
如果不够完整．请你补充甲同学遗漏的情况，并给出满足题意的实数的取值范围．
20．设函数，（，）.
(1)若函数有且只有一个零点，求实数a值及相应的零点；
(2)当a＝1时，若，总，使得成立，求实数m的取值范围.
21．已知函数，．
(1)若函数在上单调，求实数a的取值范围；
(2)用表示m，n中的最小值，设函数，试讨论函数的图象与函数的图象的交点个数．
22．已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)当函数恰有两个零点时，求的值；
(3)若对于一切，不等式恒成立，求的取值范围.
常考题型19 函数零点问题的三种常考点方法总结
必备知识
1.函数零点的定义：对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。
2.几个等价关系：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
3.零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
方法指导
一、判断函数零点所在区间
1.解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解对应方程，然后看所求的根是否落在给定区间上。
2.定理法：当容易判断区间端点所对应函数值的正负时，利用函数零点的存在性定理进行判断。
3.图象法：当容易画出函数的图象时，画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断。
二、判断函数零点的个数
1.解方程法：若对应方程f(x)=0可解，通过解方程，则方程有几个解，对应函数就有几个零点。
2.函数零点存在性定理法：利用该定理时，不仅要求函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性（以后学到）、对称性）。
3.数形结合法：合理转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，再看其交点的个数，其中交点的个数就是函数零点的个数。
三、利用函数的零点求参数的取值范围
1.直接法：先直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围。
2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数最值问题加以解决。
3.数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解。
题型探究一
探究一：判断函数零点所在的区间
函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
思路分析：根据公共定义域内判断函数的单调性及复合函数的单调性，得出函数的单调性，再利用函数零点的存在性定理即可求解.
答案：B
【详解】由题意可知，的定义域为，
令，则，由在上单调递减，
在定义域内单调递增，
所以在单调递减.
所以函数在上单调递减.
所以
故，根据零点的存在性定理，可得
函数的零点所在区间为.
故选：B.
【变式练习】
1．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】函数,是单调递增函数，
当 时，，
，
故
故函数的零点所在的区间为，
故选：B
2．函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】函数的定义域为，
且函数在上单调递减；在上单调递减，
所以函数为定义在上的连续减函数，
又当时，，
当时，，
两函数值异号，
所以函数的零点所在区间是，
故选：B.
探究二：判断函数零点的个数
已知定义在上的函数的图像连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”．若函数是“回旋函数”，且，则在上（ ）
A．至多有2022个零点B．至多有1011个零点
C．至少有2022个零点D．至少有1011个零点
思路分析：根据已知可得：，当时利用零点存在定理，可以判定区间内至少有一个零点，进而判定，，…，上均至少有一个零点，得到在上至少有1011个零点．可以构造“回旋函数”，使之恰好有1011个零点；当时，可以得到，此时在上至少有1012个零点．从而排除BC,判定D正确；举特例函数，或者构造函数，可以排除A.
答案：D
【详解】因为对任意的实数恒成立，令，得．
若，则与异号，即，由零点存在定理得在上至少存在一个零点．由于，得到，进而，所以在区间，，…，内均至少有一个零点，所以在上至少有1011个零点．
构造函数，满足对任意的实数恒成立，是“回旋函数”，在上恰好有1011个零点.
若，则，此时在上至少有1012个零点．
综上所述，在上至少有1011个零点，且可能有1011个零点，故C错误，D正确；
可能零点各数个数至少1012，大于1011，故B错误；
对于A,[解法一]取函数，满足，但在上处处是零点，故A错误.
[解法二] 构造函数，满足对任意的实数恒成立，是“回旋函数”，在上恰好有2023个零点，故A错误.
故选：D．
【变式练习】
1．已知函数，（），若关于的方程无实根，则方程的实根个数是（ ）
A．0B．1C．2D．与的值有关
答案：A
【详解】解：因为，且关于的方程无实根，
当时的开口向上，与没有交点，则，
当时的开口向下，与没有交点，则，
综上可得或，
当时， 恒成立，故，
故当时，无解，
而当时，在上为增函数，
而对任意，恒成立， 故，
故时，无解，故方程无实数根，
同理当时，方程也无实数根；
故选：A
2．已知函数，则方程的实数根的个数为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】令，则，
①当时，，，，即，
②当时，，，
画出函数的图象，如图所示，
若，即，无解；
若，直线与的图象有3个交点，即有3个不同实根；
若，直线与的图象有2个交点，即有2个不同实根；
综上所述，方程的实数根的个数为5个，
故选：．
探究三：利用函数的零点求参数的取值范围
已知函数关于x的方程有5个不同的实数根，则实数c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
思路分析：使用换元的方法并画出函数的图像，然后根据与交点个数有5个进而可知，的范围，然后根据根的分布进行计算即可.
答案：A
【详解】设，则原方程即，
的图象如图所示，
函数关于x的方程有5个不同的实数根，
则方程必有两根为，，，
且其中一个根为1，不妨设，
即与图象有3个交点，方程有2个根，
由图知，，即.
故选：A.
【变式练习】
1．已知函数，若它们同时满足：①，与中至少有一个小于0；②，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．D．
答案：D
【详解】对于①，当时，成立，
只需当时，恒成立即可，
，解得：；
对于②，当时，，
则只需，即可；
令，解得：，；
由①得：，，，
若，，
则只需，解得：；
综上所述：的取值范围为.
故选：D.
2．已知函数（且）有个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】由可得，
在等式两边平方得，
令，可知方程有两个不等的正根、，
所以，，解得.
故选：A.
题型突破训练
一、单选题
1．函数的零点所在区间为，则整数k等于（ ）
A．2B．1C．0D．-1
答案：A
【详解】∵，，在R上为单调递增函数，
∴零点所在区间为，∴．
故选：A.
2．函数的零点个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
答案：B
【详解】，或，
，，或，
时，不合题意，舍去，满足题意．
因此方程有三个解，即函数有三个零点．
故选：B．
3．若函数的零点在区间内，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【详解】因为在上单调递增，且的图象是连续不断的，
所以，解得．
故选：B.
4．函数零点所在的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】令，解得：，只有一个零点.
而，，
由零点存在性定理知，函数零点所在的一个区间是.
故选：C.
5．对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】解：由题意得：点是曲线的“优美点”，
则点也在曲线上，
当时，关于原点对称的函数与有交点，
当时，，其关于原点对称的函数为，
由与联立得，
在时有解；
而，
当且仅当，即时，等号成立，
则实数的取值范围为
故选：B
6．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】不妨设，，如图所示，，由 ，
故，，故.
故选：D
7．已知函数，.若存在，，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【详解】时单调递增函数，
的值域是，
的对称轴是，在上，函数单调递减，
的值域是，
因为存在，，使得，
所以,
若，则或，
解得或，
所以当时，，
故选：A
8．已知a，b，，函数，，对任意的，，，两两相乘都不小于0，且，则一定有（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【详解】对任意的，，，两两相乘都不小于0，
故，，的零点相同，设为，
恒成立，，故，解得，
故，即，，故，，
，A错误；，B错误；，C错误，
，D正确.
故选：D.
二、多选题
9．已知函数有两个零点，，则（ ）
A．B．且
C．若，则D．函数有四个零点或两个零点
答案：AC
【详解】由有两个零点可知：，故，故A正确，
由韦达定理可得：，由于，故可正可负可为0，因此无法判断，的正负，故B错误；
时，则，故C正确，
，比如当时，令，可得,此时有3个零点，故D错误，故选:AC
10．已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A．
B．函数单调减区间为
C．若，则的取值范围是
D．若方程有三个解，则的取值范围是
答案：ACD
【详解】，A正确；
画出函数图像，根据图像知函数单调减区间为和，B错误；
当时，，解得；当时，，解得，故，C正确；
，方程有三个解，根据图像知，，D正确.
故选：ACD
11．已知定义域为R的函数,及关于x的方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当k>0时，若方程有且仅有3个不同解，则1+a+b=0
B．当k <0时，若方程有且仅有3个不同解，则1-a+b=0
C．当k <0时，方程最多有4个不同解，当k>0时，方程最多有5个不同解
D．当k>0时，若方程有且仅有5个不同解，则实数b的取值范围是（0，+∞）
答案：AC
【详解】当时，，则关于直线对称，
当时，，其图象如下：
当时，，其图象如下：
对于A，由方程有且仅有3个不同解，可得为其中的一个解，则，，故A正确；
对于B，由方程有且仅有3个不同解，则有两个值，
由，结合图象，则其中一个为，另外一个小于零，此时可得不一定满足方程，故B错误；
对于C，由图象，当时，若存在两个不相等且小于零的值满足方程，则方程有四个根；当时，当存在一个不为且大于零的值与1满足方程时，方程有个根，故C正确；
对于D，若方程有个不同的根，则且有两个不相等的值，其中一个为满足方程，
等价于方程有两个不相等且大于零的根，其中一个为，则，
将，代入，则，
由两个根大于零，则，故，故D错误.
故选：AC.
12．已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．在区间上是增函数
B．
C．若方程恰有3个实根，则
D．若函数在上有6个根，则
答案：BD
【详解】由题意，作出函数的图像，如图所示，
对于A中，当，若，即，
可得，
当时，为周期为的函数，
画出 在区间的函数，
可知在区间上为减函数，所以A错误；
对于B中，因为时，函数为周期为的函数，
又由，所以， ，
所以，所以B正确；
对于C中，直线恒过定点，
函数的图像和函数的图像有三个交点，
当，设与相切于点 ，则，解得 ，
当，根据对称性可知，当与 相切时，，则，即 ，
综上可得，当函数的图像和函数的图像有三个交点时， ，
所以C错误．
对于D中，又由函数在上有6 个零点，
故直线与在 上由6个交点，
不妨设，
由图像可知关于直线对称， 关于直线对称，
关于直线对称，所以 ，所以D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．已知函数的图象关于y轴对称，且关于x的方程有两个相等的实根，写出满足上述条件的一个函数______.
答案：（答案不唯一，只需满足即可）
【详解】解：已知，
∵的图象关于y轴对称，∴对称轴，∴，
则方程即为，即，
∴，∴，
当时，，
∴满足条件的二次函数可以为.
故答案为：.（答案不唯一，只需满足即可）
14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，设，则满足方程的所有解之和为________.
答案：
【详解】方程的解，即函数与函数的图象交点的横坐标，
作出函数与函数的图象如下图所示：
由图象可知，两函数除以交点之外，其余的交点关于点对称，
所以，方程的解之和为.
故答案为：
15．已知函数，函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是___________．
答案：或
【详解】解：当时，，在上单调递减，在上单调递增，且，当时，图象始终在的下方；
当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，且，.
作出函数的图象如下图所示：
令，解得或，
而和的图象有个交点，即有个实数根，
所以只需有个实数根即可，即和的图象有个交点，
观察可知，当或时，符合题意，
解得或.
故答案为：或.
16．设，若存在使得关于x的方程恰有六个解，则b的取值范围是______．
答案：
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
则f(x)图像如图所示：
当时，，当时，．
令，则，
∵关于x的方程恰有六个解，
∴关于t的方程有两个解、，设＜，
则，，
令，则，
∴且，
要存在a满足条件，则，解得．
故答案为：．
四、解答题
17．已知.
(1)若，，求方程的解；
(2)若关于的方程在上有两解.
①求的取值范围；②证明：.
答案：(1)
(2)①；②证明见解析
【详解】（1）当时，，
当时，
方程化为，解得，
因为，舍去，所以；
（2），
因为方程在上至多有1个实根，
方程，在，上至多有一个实根，
结合已知，可得方程在上的两个解，中的1个在，
1个在，不妨设，，，设，
数形结合可分析出，解得，
，，，，
令，，在上递增，当时，，
因为，
所以；
18．已知，为常数，函数．
(1)当时，求关于的不等式的解集；
(2)对于给定的，，且，，证明：关于的方程在区间内有一个实根；
(3)若为偶函数，且，设，若对任意，均成立，求实数的取值范围．
答案：(1)答案见解析；
(2)证明见解析；
(3)或.
【详解】（1）
当时，；
当时，；
当时，，
综上，当时，；当时，；当时，.
（2）设，
则，
，．
因为，所以，
又函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，由零点的判定定理可得：在内有一个实数根，
故关于的方程在区间内有一个实根得证.
（3）由题意得，，，则
因为对任意恒成立，
即对恒成立，
则，即对恒成立，
令，则，，该二次函数开口向下，对称轴为，
所以当时，，故，或.
19．已知函数有两个不同的零点．
(1)求实数m的取值范围；
(2)甲同学在探究“若恰有一个在区间内，求实数的取值范围”这一问题时，经过分类讨论研究后甲同学给出了如下解答：
由，解得.
据此他得出实数的取值范围为．请你评判甲同学的解答完整吗？
如果不够完整．请你补充甲同学遗漏的情况，并给出满足题意的实数的取值范围．
答案：(1)；
(2)甲同学解答不完整，满足题意的.
【详解】（1）由题设，，可得.
（2）甲同学解答不完整，补充如下：
由恰有一个在区间内，
所以（不能同时为0），
解得，经检验或满足题意，
所以.
20．设函数，（，）.
(1)若函数有且只有一个零点，求实数a值及相应的零点；
(2)当a＝1时，若，总，使得成立，求实数m的取值范围.
答案：(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）函数有且只有一个零点，
所以方程有且仅有一个根，
当时，，即，满足题设；
当时，，即，此时，满足题设；
综上，时，零点为2；，零点为4.
（2）因为对任意的，总，使得成立，
所以的值域是的值域的子集，
可得时， 在上单调递增，且，
所以的值域为.
当时，在上单调递增，故，即，
所以可得 解得；
当时，，不满足题意；
当时，在上单调递减，故，即，
所以可得，解得；
综上，m的取值范围为.
21．已知函数，．
(1)若函数在上单调，求实数a的取值范围；
(2)用表示m，n中的最小值，设函数，试讨论函数的图象与函数的图象的交点个数．
答案：(1)
(2)答案详见解析.
【详解】（1）的对称轴为，
若函数在上单调，则或，
解得或，
所以的取值范围是.
（2），
当时，，故此时，
即函数的图象与函数的图象没有交点.
下面只考虑的情形：
当时，由，解得，
的对称轴为，
①当时，在上递增，，
在上递减，，当时，，
故存在，使，
所以，所以有唯一零点.
②当时，若，解得，
则，所以有唯一零点.
③当时，若，解得，
，令解得，
画出此时的图象如下图所示，由图可知，有个零点（和）.
④当时，若，解得，
（i）若，，，则存在，使，
画出此时的大致图象如下图所示，由图可知，有个零点.
（ii）若，，,
令解得或，
画出此时的大致图象如下图所示，由图可知，有个零点.
（iii）若，，，
此时在区间上有个零点，
画出此时的大致图象如下图所示，由图可知，有个零点.
综上所述，或时，有个零点，
或时，有个零点，
当时，有个零点.
22．已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)当函数恰有两个零点时，求的值；
(3)若对于一切，不等式恒成立，求的取值范围.
答案：(1)
(2)或
(3)
【详解】（1）由，则，
当时，，可得，由，当且仅当时等号成立，显然不等式恒成立；
当时，，可得，则，解得；
综上，可得.
（2）由题意，等价于函数与直线恰有两个交点，
①当时，，
在上，令，整理可得，，且当时，，故函数与直线在必存在一个交点；
当时，易知函数在上单调递减，则，令，解得，
在时，，当且仅当时等号成立，
，则在上恒成立，
令解得，则在上，当时，函数与直线有唯一交点；
当时，，此时函数与直线在上有两个交点，不符合题意.
②当时，同上函数与直线在必存在一个交点，
由（1）可知在上，，当且仅当时，等号成立，不符合题意.
③当时，，
在上，当且仅当时等号成立，此时函数与直线无交点；
当时，任意取，令，，由，可知，，则，，，则，
故函数在单调递减，，
易知此时函数与直线在上存在唯一一个交点，不符合题意；
当时，在上，，当且仅当时等号成立，
令，解得，此时函数与直线在上恰有两个交点，符合题意；
综上，或.
（3）由（2）易知，当时，在上，，符合题意；
当时，任意取，令，，
由，可知，则，即，故，
可得在单调递增，即，
由（2）可知，此时在上，，故在上，令，解得，
综上，.
1.函数零点的定义：对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。
2.几个等价关系：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
3.零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
方法指导
一、判断函数零点所在区间
1.解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解对应方程，然后看所求的根是否落在给定区间上。
2.定理法：当容易判断区间端点所对应函数值的正负时，利用函数零点的存在性定理进行判断。
3.图象法：当容易画出函数的图象时，画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断。
二、判断函数零点的个数
1.解方程法：若对应方程f(x)=0可解，通过解方程，则方程有几个解，对应函数就有几个零点。
2.函数零点存在性定理法：利用该定理时，不仅要求函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性（以后学到）、对称性）。
3.数形结合法：合理转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，再看其交点的个数，其中交点的个数就是函数零点的个数。
三、利用函数的零点求参数的取值范围
1.直接法：先直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围。
2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数最值问题加以解决。
3.数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解。
题型探究一
探究一：判断函数零点所在的区间
函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
思路分析：根据公共定义域内判断函数的单调性及复合函数的单调性，得出函数的单调性，再利用函数零点的存在性定理即可求解.
【变式练习】
1．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
2．函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
探究二：判断函数零点的个数
已知定义在上的函数的图像连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”．若函数是“回旋函数”，且，则在上（ ）
A．至多有2022个零点B．至多有1011个零点
C．至少有2022个零点D．至少有1011个零点
思路分析：根据已知可得：，当时利用零点存在定理，可以判定区间内至少有一个零点，进而判定，，…，上均至少有一个零点，得到在上至少有1011个零点．可以构造“回旋函数”，使之恰好有1011个零点；当时，可以得到，此时在上至少有1012个零点．从而排除BC,判定D正确；举特例函数，或者构造函数，可以排除A.
【变式练习】
1．已知函数，（），若关于的方程无实根，则方程的实根个数是（ ）
A．0B．1C．2D．与的值有关
2．已知函数，则方程的实数根的个数为（ ）
A．B．C．D．
探究三：利用函数的零点求参数的取值范围
已知函数关于x的方程有5个不同的实数根，则实数c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
思路分析：使用换元的方法并画出函数的图像，然后根据与交点个数有5个进而可知，的范围，然后根据根的分布进行计算即可.
【变式练习】
1．已知函数，若它们同时满足：①，与中至少有一个小于0；②，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．D．
2．已知函数（且）有个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型突破训练
一、单选题
1．函数的零点所在区间为，则整数k等于（ ）
A．2B．1C．0D．-1
2．函数的零点个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．若函数的零点在区间内，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．函数零点所在的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
5．对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，.若存在，，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知a，b，，函数，，对任意的，，，两两相乘都不小于0，且，则一定有（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知函数有两个零点，，则（ ）
A．B．且
C．若，则D．函数有四个零点或两个零点
10．已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A．
B．函数单调减区间为
C．若，则的取值范围是
D．若方程有三个解，则的取值范围是
11．已知定义域为R的函数,及关于x的方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当k>0时，若方程有且仅有3个不同解，则1+a+b=0
B．当k <0时，若方程有且仅有3个不同解，则1-a+b=0
C．当k <0时，方程最多有4个不同解，当k>0时，方程最多有5个不同解
D．当k>0时，若方程有且仅有5个不同解，则实数b的取值范围是（0，+∞）
12．已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．在区间上是增函数
B．
C．若方程恰有3个实根，则
D．若函数在上有6个根，则
三、填空题
13．已知函数的图象关于y轴对称，且关于x的方程有两个相等的实根，写出满足上述条件的一个函数______.
14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，设，则满足方程的所有解之和为________.
15．已知函数，函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是___________．
16．设，若存在使得关于x的方程恰有六个解，则b的取值范围是______．
四、解答题
17．已知.
(1)若，，求方程的解；
(2)若关于的方程在上有两解.
①求的取值范围；②证明：.
18．已知，为常数，函数．
(1)当时，求关于的不等式的解集；
(2)对于给定的，，且，，证明：关于的方程在区间内有一个实根；
(3)若为偶函数，且，设，若对任意，均成立，求实数的取值范围．
19．已知函数有两个不同的零点．
(1)求实数m的取值范围；
(2)甲同学在探究“若恰有一个在区间内，求实数的取值范围”这一问题时，经过分类讨论研究后甲同学给出了如下解答：
由，解得.
据此他得出实数的取值范围为．请你评判甲同学的解答完整吗？
如果不够完整．请你补充甲同学遗漏的情况，并给出满足题意的实数的取值范围．
20．设函数，（，）.
(1)若函数有且只有一个零点，求实数a值及相应的零点；
(2)当a＝1时，若，总，使得成立，求实数m的取值范围.
21．已知函数，．
(1)若函数在上单调，求实数a的取值范围；
(2)用表示m，n中的最小值，设函数，试讨论函数的图象与函数的图象的交点个数．
22．已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)当函数恰有两个零点时，求的值；
(3)若对于一切，不等式恒成立，求的取值范围.
常考题型19 函数零点问题的三种常考点方法总结
必备知识
1.函数零点的定义：对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。
2.几个等价关系：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
3.零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
方法指导
一、判断函数零点所在区间
1.解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解对应方程，然后看所求的根是否落在给定区间上。
2.定理法：当容易判断区间端点所对应函数值的正负时，利用函数零点的存在性定理进行判断。
3.图象法：当容易画出函数的图象时，画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断。
二、判断函数零点的个数
1.解方程法：若对应方程f(x)=0可解，通过解方程，则方程有几个解，对应函数就有几个零点。
2.函数零点存在性定理法：利用该定理时，不仅要求函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性（以后学到）、对称性）。
3.数形结合法：合理转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，再看其交点的个数，其中交点的个数就是函数零点的个数。
三、利用函数的零点求参数的取值范围
1.直接法：先直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围。
2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数最值问题加以解决。
3.数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解。
题型探究一
探究一：判断函数零点所在的区间
函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
思路分析：根据公共定义域内判断函数的单调性及复合函数的单调性，得出函数的单调性，再利用函数零点的存在性定理即可求解.
答案：B
【详解】由题意可知，的定义域为，
令，则，由在上单调递减，
在定义域内单调递增，
所以在单调递减.
所以函数在上单调递减.
所以
故，根据零点的存在性定理，可得
函数的零点所在区间为.
故选：B.
【变式练习】
1．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】函数,是单调递增函数，
当 时，，
，
故
故函数的零点所在的区间为，
故选：B
2．函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】函数的定义域为，
且函数在上单调递减；在上单调递减，
所以函数为定义在上的连续减函数，
又当时，，
当时，，
两函数值异号，
所以函数的零点所在区间是，
故选：B.
探究二：判断函数零点的个数
已知定义在上的函数的图像连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”．若函数是“回旋函数”，且，则在上（ ）
A．至多有2022个零点B．至多有1011个零点
C．至少有2022个零点D．至少有1011个零点
思路分析：根据已知可得：，当时利用零点存在定理，可以判定区间内至少有一个零点，进而判定，，…，上均至少有一个零点，得到在上至少有1011个零点．可以构造“回旋函数”，使之恰好有1011个零点；当时，可以得到，此时在上至少有1012个零点．从而排除BC,判定D正确；举特例函数，或者构造函数，可以排除A.
答案：D
【详解】因为对任意的实数恒成立，令，得．
若，则与异号，即，由零点存在定理得在上至少存在一个零点．由于，得到，进而，所以在区间，，…，内均至少有一个零点，所以在上至少有1011个零点．
构造函数，满足对任意的实数恒成立，是“回旋函数”，在上恰好有1011个零点.
若，则，此时在上至少有1012个零点．
综上所述，在上至少有1011个零点，且可能有1011个零点，故C错误，D正确；
可能零点各数个数至少1012，大于1011，故B错误；
对于A,[解法一]取函数，满足，但在上处处是零点，故A错误.
[解法二] 构造函数，满足对任意的实数恒成立，是“回旋函数”，在上恰好有2023个零点，故A错误.
故选：D．
【变式练习】
1．已知函数，（），若关于的方程无实根，则方程的实根个数是（ ）
A．0B．1C．2D．与的值有关
答案：A
【详解】解：因为，且关于的方程无实根，
当时的开口向上，与没有交点，则，
当时的开口向下，与没有交点，则，
综上可得或，
当时， 恒成立，故，
故当时，无解，
而当时，在上为增函数，
而对任意，恒成立， 故，
故时，无解，故方程无实数根，
同理当时，方程也无实数根；
故选：A
2．已知函数，则方程的实数根的个数为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】令，则，
①当时，，，，即，
②当时，，，
画出函数的图象，如图所示，
若，即，无解；
若，直线与的图象有3个交点，即有3个不同实根；
若，直线与的图象有2个交点，即有2个不同实根；
综上所述，方程的实数根的个数为5个，
故选：．
探究三：利用函数的零点求参数的取值范围
已知函数关于x的方程有5个不同的实数根，则实数c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
思路分析：使用换元的方法并画出函数的图像，然后根据与交点个数有5个进而可知，的范围，然后根据根的分布进行计算即可.
答案：A
【详解】设，则原方程即，
的图象如图所示，
函数关于x的方程有5个不同的实数根，
则方程必有两根为，，，
且其中一个根为1，不妨设，
即与图象有3个交点，方程有2个根，
由图知，，即.
故选：A.
【变式练习】
1．已知函数，若它们同时满足：①，与中至少有一个小于0；②，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．D．
答案：D
【详解】对于①，当时，成立，
只需当时，恒成立即可，
，解得：；
对于②，当时，，
则只需，即可；
令，解得：，；
由①得：，，，
若，，
则只需，解得：；
综上所述：的取值范围为.
故选：D.
2．已知函数（且）有个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】由可得，
在等式两边平方得，
令，可知方程有两个不等的正根、，
所以，，解得.
故选：A.
题型突破训练
一、单选题
1．函数的零点所在区间为，则整数k等于（ ）
A．2B．1C．0D．-1
答案：A
【详解】∵，，在R上为单调递增函数，
∴零点所在区间为，∴．
故选：A.
2．函数的零点个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
答案：B
【详解】，或，
，，或，
时，不合题意，舍去，满足题意．
因此方程有三个解，即函数有三个零点．
故选：B．
3．若函数的零点在区间内，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【详解】因为在上单调递增，且的图象是连续不断的，
所以，解得．
故选：B.
4．函数零点所在的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】令，解得：，只有一个零点.
而，，
由零点存在性定理知，函数零点所在的一个区间是.
故选：C.
5．对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】解：由题意得：点是曲线的“优美点”，
则点也在曲线上，
当时，关于原点对称的函数与有交点，
当时，，其关于原点对称的函数为，
由与联立得，
在时有解；
而，
当且仅当，即时，等号成立，
则实数的取值范围为
故选：B
6．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】不妨设，，如图所示，，由 ，
故，，故.
故选：D
7．已知函数，.若存在，，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【详解】时单调递增函数，
的值域是，
的对称轴是，在上，函数单调递减，
的值域是，
因为存在，，使得，
所以,
若，则或，
解得或，
所以当时，，
故选：A
8．已知a，b，，函数，，对任意的，，，两两相乘都不小于0，且，则一定有（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【详解】对任意的，，，两两相乘都不小于0，
故，，的零点相同，设为，
恒成立，，故，解得，
故，即，，故，，
，A错误；，B错误；，C错误，
，D正确.
故选：D.
二、多选题
9．已知函数有两个零点，，则（ ）
A．B．且
C．若，则D．函数有四个零点或两个零点
答案：AC
【详解】由有两个零点可知：，故，故A正确，
由韦达定理可得：，由于，故可正可负可为0，因此无法判断，的正负，故B错误；
时，则，故C正确，
，比如当时，令，可得,此时有3个零点，故D错误，故选:AC
10．已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A．
B．函数单调减区间为
C．若，则的取值范围是
D．若方程有三个解，则的取值范围是
答案：ACD
【详解】，A正确；
画出函数图像，根据图像知函数单调减区间为和，B错误；
当时，，解得；当时，，解得，故，C正确；
，方程有三个解，根据图像知，，D正确.
故选：ACD
11．已知定义域为R的函数,及关于x的方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当k>0时，若方程有且仅有3个不同解，则1+a+b=0
B．当k <0时，若方程有且仅有3个不同解，则1-a+b=0
C．当k <0时，方程最多有4个不同解，当k>0时，方程最多有5个不同解
D．当k>0时，若方程有且仅有5个不同解，则实数b的取值范围是（0，+∞）
答案：AC
【详解】当时，，则关于直线对称，
当时，，其图象如下：
当时，，其图象如下：
对于A，由方程有且仅有3个不同解，可得为其中的一个解，则，，故A正确；
对于B，由方程有且仅有3个不同解，则有两个值，
由，结合图象，则其中一个为，另外一个小于零，此时可得不一定满足方程，故B错误；
对于C，由图象，当时，若存在两个不相等且小于零的值满足方程，则方程有四个根；当时，当存在一个不为且大于零的值与1满足方程时，方程有个根，故C正确；
对于D，若方程有个不同的根，则且有两个不相等的值，其中一个为满足方程，
等价于方程有两个不相等且大于零的根，其中一个为，则，
将，代入，则，
由两个根大于零，则，故，故D错误.
故选：AC.
12．已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．在区间上是增函数
B．
C．若方程恰有3个实根，则
D．若函数在上有6个根，则
答案：BD
【详解】由题意，作出函数的图像，如图所示，
对于A中，当，若，即，
可得，
当时，为周期为的函数，
画出 在区间的函数，
可知在区间上为减函数，所以A错误；
对于B中，因为时，函数为周期为的函数，
又由，所以， ，
所以，所以B正确；
对于C中，直线恒过定点，
函数的图像和函数的图像有三个交点，
当，设与相切于点 ，则，解得 ，
当，根据对称性可知，当与 相切时，，则，即 ，
综上可得，当函数的图像和函数的图像有三个交点时， ，
所以C错误．
对于D中，又由函数在上有6 个零点，
故直线与在 上由6个交点，
不妨设，
由图像可知关于直线对称， 关于直线对称，
关于直线对称，所以 ，所以D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．已知函数的图象关于y轴对称，且关于x的方程有两个相等的实根，写出满足上述条件的一个函数______.
答案：（答案不唯一，只需满足即可）
【详解】解：已知，
∵的图象关于y轴对称，∴对称轴，∴，
则方程即为，即，
∴，∴，
当时，，
∴满足条件的二次函数可以为.
故答案为：.（答案不唯一，只需满足即可）
14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，设，则满足方程的所有解之和为________.
答案：
【详解】方程的解，即函数与函数的图象交点的横坐标，
作出函数与函数的图象如下图所示：
由图象可知，两函数除以交点之外，其余的交点关于点对称，
所以，方程的解之和为.
故答案为：
15．已知函数，函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是___________．
答案：或
【详解】解：当时，，在上单调递减，在上单调递增，且，当时，图象始终在的下方；
当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，且，.
作出函数的图象如下图所示：
令，解得或，
而和的图象有个交点，即有个实数根，
所以只需有个实数根即可，即和的图象有个交点，
观察可知，当或时，符合题意，
解得或.
故答案为：或.
16．设，若存在使得关于x的方程恰有六个解，则b的取值范围是______．
答案：
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
则f(x)图像如图所示：
当时，，当时，．
令，则，
∵关于x的方程恰有六个解，
∴关于t的方程有两个解、，设＜，
则，，
令，则，
∴且，
要存在a满足条件，则，解得．
故答案为：．
四、解答题
17．已知.
(1)若，，求方程的解；
(2)若关于的方程在上有两解.
①求的取值范围；②证明：.
答案：(1)
(2)①；②证明见解析
【详解】（1）当时，，
当时，
方程化为，解得，
因为，舍去，所以；
（2），
因为方程在上至多有1个实根，
方程，在，上至多有一个实根，
结合已知，可得方程在上的两个解，中的1个在，
1个在，不妨设，，，设，
数形结合可分析出，解得，
，，，，
令，，在上递增，当时，，
因为，
所以；
18．已知，为常数，函数．
(1)当时，求关于的不等式的解集；
(2)对于给定的，，且，，证明：关于的方程在区间内有一个实根；
(3)若为偶函数，且，设，若对任意，均成立，求实数的取值范围．
答案：(1)答案见解析；
(2)证明见解析；
(3)或.
【详解】（1）
当时，；
当时，；
当时，，
综上，当时，；当时，；当时，.
（2）设，
则，
，．
因为，所以，
又函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，由零点的判定定理可得：在内有一个实数根，
故关于的方程在区间内有一个实根得证.
（3）由题意得，，，则
因为对任意恒成立，
即对恒成立，
则，即对恒成立，
令，则，，该二次函数开口向下，对称轴为，
所以当时，，故，或.
19．已知函数有两个不同的零点．
(1)求实数m的取值范围；
(2)甲同学在探究“若恰有一个在区间内，求实数的取值范围”这一问题时，经过分类讨论研究后甲同学给出了如下解答：
由，解得.
据此他得出实数的取值范围为．请你评判甲同学的解答完整吗？
如果不够完整．请你补充甲同学遗漏的情况，并给出满足题意的实数的取值范围．
答案：(1)；
(2)甲同学解答不完整，满足题意的.
【详解】（1）由题设，，可得.
（2）甲同学解答不完整，补充如下：
由恰有一个在区间内，
所以（不能同时为0），
解得，经检验或满足题意，
所以.
20．设函数，（，）.
(1)若函数有且只有一个零点，求实数a值及相应的零点；
(2)当a＝1时，若，总，使得成立，求实数m的取值范围.
答案：(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）函数有且只有一个零点，
所以方程有且仅有一个根，
当时，，即，满足题设；
当时，，即，此时，满足题设；
综上，时，零点为2；，零点为4.
（2）因为对任意的，总，使得成立，
所以的值域是的值域的子集，
可得时， 在上单调递增，且，
所以的值域为.
当时，在上单调递增，故，即，
所以可得 解得；
当时，，不满足题意；
当时，在上单调递减，故，即，
所以可得，解得；
综上，m的取值范围为.
21．已知函数，．
(1)若函数在上单调，求实数a的取值范围；
(2)用表示m，n中的最小值，设函数，试讨论函数的图象与函数的图象的交点个数．
答案：(1)
(2)答案详见解析.
【详解】（1）的对称轴为，
若函数在上单调，则或，
解得或，
所以的取值范围是.
（2），
当时，，故此时，
即函数的图象与函数的图象没有交点.
下面只考虑的情形：
当时，由，解得，
的对称轴为，
①当时，在上递增，，
在上递减，，当时，，
故存在，使，
所以，所以有唯一零点.
②当时，若，解得，
则，所以有唯一零点.
③当时，若，解得，
，令解得，
画出此时的图象如下图所示，由图可知，有个零点（和）.
④当时，若，解得，
（i）若，，，则存在，使，
画出此时的大致图象如下图所示，由图可知，有个零点.
（ii）若，，,
令解得或，
画出此时的大致图象如下图所示，由图可知，有个零点.
（iii）若，，，
此时在区间上有个零点，
画出此时的大致图象如下图所示，由图可知，有个零点.
综上所述，或时，有个零点，
或时，有个零点，
当时，有个零点.
22．已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)当函数恰有两个零点时，求的值；
(3)若对于一切，不等式恒成立，求的取值范围.
答案：(1)
(2)或
(3)
【详解】（1）由，则，
当时，，可得，由，当且仅当时等号成立，显然不等式恒成立；
当时，，可得，则，解得；
综上，可得.
（2）由题意，等价于函数与直线恰有两个交点，
①当时，，
在上，令，整理可得，，且当时，，故函数与直线在必存在一个交点；
当时，易知函数在上单调递减，则，令，解得，
在时，，当且仅当时等号成立，
，则在上恒成立，
令解得，则在上，当时，函数与直线有唯一交点；
当时，，此时函数与直线在上有两个交点，不符合题意.
②当时，同上函数与直线在必存在一个交点，
由（1）可知在上，，当且仅当时，等号成立，不符合题意.
③当时，，
在上，当且仅当时等号成立，此时函数与直线无交点；
当时，任意取，令，，由，可知，，则，，，则，
故函数在单调递减，，
易知此时函数与直线在上存在唯一一个交点，不符合题意；
当时，在上，，当且仅当时等号成立，
令，解得，此时函数与直线在上恰有两个交点，符合题意；
综上，或.
（3）由（2）易知，当时，在上，，符合题意；
当时，任意取，令，，
由，可知，则，即，故，
可得在单调递增，即，
由（2）可知，此时在上，，故在上，令，解得，
综上，.
相关试卷
高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题33共零点问题(原卷版+解析)： 这是一份高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题33共零点问题(原卷版+解析)，共22页。
高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题19零点与方程的问题(原卷版+解析)： 这是一份高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题19零点与方程的问题(原卷版+解析)，共54页。
高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)18五种有关对数函数的图象和性质的常考点(原卷版+解析)： 这是一份高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)18五种有关对数函数的图象和性质的常考点(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了对数函数图象的特征，对数函数的性质等内容，欢迎下载使用。
