高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)23三角恒等变换(原卷版+解析)

这是一份高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)23三角恒等变换(原卷版+解析)，共31页。试卷主要包含了二倍角公式，降幂公式，辅助角公式，半角公式，常用结论，三角函数的简单恒等变换等内容，欢迎下载使用。

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
①两角和与差的正弦公式
②两角和与差的余弦公式
③两角和与差的正切公式
2.二倍角公式
①
②；；
③
3.降幂公式

4.辅助角公式：
(其中)
5.半角公式
（1）.
（2）.
（3）.
6.常用结论
①两角和与差的正切公式的变形：
②
③
④
1.万能公式
（1）
（2）
（3）其中
2.和差化积公式
3.积化和差公式
4.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
5.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)，α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)，eq \f(α－β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β))等
6.凑角基本思路
先判断角是否是2倍关系：
（1）若是2倍关系，则单倍角乘以2变成同倍角；
（2）若不是2倍关系，则为同倍角，则采用诱导公式或两角和差公式，将两角进行相加减（异号相加，同号相减）
7.三角函数的简单恒等变换
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点
探究一：两角和与差的三角函数
若，，且，是方程的两个根，则（ ）
A．B．C．或D．或
思路分析：
根据根与系数之间的关系，结合两角和差的正切公式进行化简求解即可．
【变式练习】
1．已知䌼角满足，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．18
2．已知函数．设，则的值为（ ）
A．B．C．D．
探究二：二倍角公式和半角公式的应用
已知，且，则等于（ ）
A．0B．C．D．2
思路分析：
根据余弦的二倍角公式以及可得，进而可得，代入即可求值.
【变式练习】
1．，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
探究三：万能公式的应用
已知锐角满足，则（ ）
A．B．C．D．
思路分析：
求出，由两角和的正切公式展开，结合已知求得和，然后求得，再由两角差的正弦公式计算．
【变式练习】
1．已知，，则（ ）
A．3B．C．D．
2．已知直线的倾斜角为，则的值是．
A．B．C．D．
探究四：降幂公式的应用
已知函数，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
思路分析：
利用平方关系、降幂及辅助角公式可得，根据三角函数性质求最小正周期.
【变式练习】
1．已知，， 则= （ ）
A．2B．-2C．D．
2．若，，则（ ）
A．B．C．D．
探究五：三角恒等式的化简与求值问题
已知，均为锐角，，则＝______．
思路分析：
由，都是锐角，得出的范围，由和的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出值．
【变式练习】
1．已知，则的值是____.
2．已知，，均为锐角，则___．
一、单选题
1．已知锐角、满足，，则等于（ ）
A．B．或
C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．1C．D．2
3．已知，则的值为（ ）
A．0B．
C．D．0或±
4．已知，则等于（ ）
A．B．
C．D．
5．若，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，为锐角，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最大值为2B．的最小正周期为
C．的图像关于直线对称D．的图像关于点对称
11．已知函数，则（ ）
A．图象的对称中心为
B．图象的对称轴方程为
C．的增区间为
D．的最大值是，最小值是
12．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．是周期函数
B．的图象关于原点对称
C．的值域为
D．的单调递减区间为，
三、填空题
13．函数的最大值和最小值是、，则________.
14．已知函数，则下列结论中正确的是___________．
①函数的最小正周期为 ②时，取得最大值
③在上单调递增 ④的对称中心坐标是
15．若，则___________.
16．数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关.黄金分割常数也可以表示成，则_________.
四、解答题
17．求解下列问题：
(1)已知，为第二象限角，求和的值；
(2)已知，，，为锐角，求的值.
18．已知，．求：
(1)的值．
(2)的值．
19．（1）若，求的值；
（2）求的值；
（3）在中,，求角.
20．已知，
(1)求和的值
(2)若，，求的大小．
21．已知函数．
(1)求方程在上的解集；
(2)求证：函数有且只有一个零点，且
22．设函数.
(1)设，在处取得最大值，求；
(2)关于x的方程在区间上恰有12个不同的实数解，求实数k的取值范围.
常考题型23 三角恒等变换
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
①两角和与差的正弦公式
②两角和与差的余弦公式
③两角和与差的正切公式
2.二倍角公式
①
②；；
③
3.降幂公式

4.辅助角公式：
(其中)
5.半角公式
（1）.
（2）.
（3）.
6.常用结论
①两角和与差的正切公式的变形：
②
③
④
1.万能公式
（1）
（2）
（3）其中
2.和差化积公式
3.积化和差公式
4.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
5.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)，α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)，eq \f(α－β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β))等
6.凑角基本思路
先判断角是否是2倍关系：
（1）若是2倍关系，则单倍角乘以2变成同倍角；
（2）若不是2倍关系，则为同倍角，则采用诱导公式或两角和差公式，将两角进行相加减（异号相加，同号相减）
7.三角函数的简单恒等变换
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点
探究一：两角和与差的三角函数
若，，且，是方程的两个根，则（ ）
A．B．C．或D．或
思路分析：
根据根与系数之间的关系，结合两角和差的正切公式进行化简求解即可．
答案：B
【详解】解：、是方程的两个根，
，，
，，即、,，
则，
则，
故选：B．
【变式练习】
1．已知䌼角满足，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．18
答案：C
【详解】，
，
、均为锐角，则，，
，
当且仅当时，等号成立．
的最小值为8．
故选：C
2．已知函数．设，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】因为， ，
所以，，
所以，，
所以，
因为，
所以，，
所以
，
故选：B
探究二：二倍角公式和半角公式的应用
已知，且，则等于（ ）
A．0B．C．D．2
思路分析：
根据余弦的二倍角公式以及可得，进而可得，代入即可求值.
答案：C
【详解】由得，因为，所以，进而得，故，所以，
故选：C
【变式练习】
1．，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】．故选：D.
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】由，得
，
，，
，
所以.
故选：A.
探究三：万能公式的应用
已知锐角满足，则（ ）
A．B．C．D．
思路分析：
求出，由两角和的正切公式展开，结合已知求得和，然后求得，再由两角差的正弦公式计算．
答案：C
【详解】由得，所以，
又，所以，
由，解得，或（舍去，此时不是锐角），
，是锐角，，
，则，
所以．
故选：C．
【变式练习】
1．已知，，则（ ）
A．3B．C．D．
答案：A
【详解】由①，
，
所以②，
由①②可得③，
由①③得，，
所以角为第二象限角，
所以为第一、三象限角，
，
故选A.
2．已知直线的倾斜角为，则的值是．
A．B．C．D．
答案：C
【详解】试题分析：，选C.
探究四：降幂公式的应用
已知函数，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
思路分析：
利用平方关系、降幂及辅助角公式可得，根据三角函数性质求最小正周期.
答案：B
【详解】由题设，，
所以最小正周期为.
故选：B
【变式练习】
1．已知，， 则= （ ）
A．2B．-2C．D．
答案：D
【详解】因，，则，
所以.
故选：D
2．若，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】∵
所以，又因为，，
所以，即，
所以，又因为，
所以，．
故选：C．
探究五：三角恒等式的化简与求值问题
已知，均为锐角，，则＝______．
思路分析：
由，都是锐角，得出的范围，由和的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出值．
答案：
【详解】，都是锐角，
，
又，，
所以，，
则
．
故答案为：.
【变式练习】
1．已知，则的值是____.
答案：
【详解】，
两边平方，可得，可得，
．
故答案为：
2．已知，，均为锐角，则___．
答案：
【详解】因为为锐角，且，则有，，
又，则，
又为锐角，所以．
故答案为：
一、单选题
1．已知锐角、满足，，则等于（ ）
A．B．或
C．D．
答案：C
【详解】，为锐角，，，所以，，
，
所以的值等于.
故选：C．
2．已知，则（ ）
A．B．1C．D．2
答案：D
【详解】∵，
∴
.
故选：D.
3．已知，则的值为（ ）
A．0B．
C．D．0或±
答案：C
【详解】因为
两式相加可得，即.
故选：C.
4．已知，则等于（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【详解】解：，即，
解得（舍去）.
故选：D.
5．若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】因为，所以，
所以
，
故选：D
6．已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】，
因为，所以，
又因为函数在内恰有个最值点和4个零点，
由图像得：，解得：，
所以实数的取值范围是.
故选：A
7．已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】因为，所以，
因为，所以，于是，
所以．
故选：B
8．已知，为锐角，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】因为 ，又
所以.
∵，为锐角，且，∴，即，
∴，
∴，∴，
∴的取值范围为.
故选：A
二、多选题
9．若，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：BC
【详解】解：因为，
所以，
因为，，所以，
从而，
于是，
所以，从而．
故选：BC.
10．已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最大值为2B．的最小正周期为
C．的图像关于直线对称D．的图像关于点对称
答案：ABC
【详解】因为，
所以的最大值为2，故A正确.
最小正周期是，故B正确.
将代入，可得，则其图像关于直线对称，故C正确.
当时，，所以的图像关于点对称．故D错误.
故选: ABC.
11．已知函数，则（ ）
A．图象的对称中心为
B．图象的对称轴方程为
C．的增区间为
D．的最大值是，最小值是
答案：ACD
【详解】；
对于A，令，解得：，
此时，的对称中心为，A正确；
对于B，令，解得：，
的对称轴为，B错误；
对于C，令，解得：，
的增区间为，C正确；
对于D，，，
最大值是，最小值是，D正确.
故选：ACD.
12．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．是周期函数
B．的图象关于原点对称
C．的值域为
D．的单调递减区间为，
答案：AC
【详解】对于A选项，因为
，
故函数为周期函数，A对；
对于B选项，，
为偶函数，B错；
对于C选项，由A选项可知，函数是周期函数，且周期为，
不妨考虑函数在上的值域即可，
当时，则，
，
因为函数为偶函数，故函数在上的值域也为，
因此，函数的值域为，C对；
对于D选项，考虑函数在上单调递减区间，
当时，，且，
由可得，
由可得，由可得，
所以，函数在上的递减区间为，递增区间为、，
由于函数为偶函数，故函数在上的减区间为、、，
因此，函数的单调递减区间为、、，D错.
故选：AC.
三、填空题
13．函数的最大值和最小值是、，则________.
答案：1
【详解】设，即，
即，
即，所以，
两边平方并化简得，
设关于的方程的两根是，
则，
而不等式的解为：，
即分别是函数的最小值和最大值，所以.
故答案为：1.
14．已知函数，则下列结论中正确的是___________．
①函数的最小正周期为 ②时，取得最大值
③在上单调递增 ④的对称中心坐标是
答案：①③
【详解】；
对于①，的最小正周期，①正确；
对于②，当时，，此时不取最大值，②错误；
对于③，当时，，此时单调递增，③正确；
对于④，令，解得：，此时，
的对称中心为，④错误.
故答案为：①③.
15．若，则___________.
答案：
【详解】解：因为，即，
所以.
故答案为：.
16．数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关.黄金分割常数也可以表示成，则_________.
答案：2
【详解】.故答案为：2.
四、解答题
17．求解下列问题：
(1)已知，为第二象限角，求和的值；
(2)已知，，，为锐角，求的值.
答案：(1)，
(2)
【详解】（1）由于，为第二象限角，
所以，
所以.
（2）由于，为锐角，所以，
由于，，
所以，
所以.
18．已知，．求：
(1)的值．
(2)的值．
答案：(1)．(2)．
【详解】（1）依题意，，则，
，
，，代入，
得，，
，解得，所以.
所以.
（2）由（1）得，，
.
19．（1）若，求的值；
（2）求的值；
（3）在中,，求角.
答案：（1）；（2）；（3）
【详解】（1）依题意，
；
（2）
；
（3）由,可得,
由两角和的正切公式得，
因为为三角形内角，故，
可得，由诱导公式得，
又,所以.
20．已知，
(1)求和的值
(2)若，，求的大小．
答案：(1)，；(2)
【详解】（1），
；
（2），
，
∵，∴.
21．已知函数．
(1)求方程在上的解集；
(2)求证：函数有且只有一个零点，且
答案：(1)；(2)证明见解析
【详解】(1)
所以.
所以或
当时,,则,又,所以
当,则,又.
所以或,所以
所以方程在上的解集为
(2)设
当,则,此时在单调递增
在也单调递增,所以在单调递增
所以在时有唯一零点
当,所以
所以在没有零点
当时,,所以,所以
所以在没有零点
综上,在有唯一零点
所以,且,所以
所以
令,因为,所以
又,则
所以
22．设函数.
(1)设，在处取得最大值，求；
(2)关于x的方程在区间上恰有12个不同的实数解，求实数k的取值范围.
答案：(1)
(2)
【详解】(1)解：因为，
所以函数关于直线对称，
因为当时，，其中，，
所以存在，使得为函数在区间上的最大值，由对称性可知也为在区间上的最大值，
所以，
所以，，
，
由对称性可知还存在，使得为函数在区间上的最大值，
所以，，
综上，；
(2)解：因为，
所以函数为周期函数，周期为，
所以原问题等价于关于的方程在区间上恰有个不同的实数解，
又由对称性可知关于的方程在区间上恰有个不同的实数解，
当时，，，，
所以，
因为，所以，
因为，所以，解得，
所以的取值范围为.