高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)期中模拟测试卷03(拔尖培优卷)(原卷版+解析)

这是一份高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)期中模拟测试卷03(拔尖培优卷)(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

满分150分 考试时间120分钟
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集为R，集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，，则A∩（∁RB）的子集个数为【 】
A．2B．3C．4D．8
2．二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为【 】
A．B．C．D．
3．已知、、是互不相等的正数，则下列不等式中正确的是【 】
A．B．
C．D．
4．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为【 】
A．或B．
C．或D．
5．下列命题中，正确命题的个数为【 】
①当时，的最小值是5；
②与表示同一函数；
③函数的定义域是，则函数的定义域是；
④已知，，且，则最小值为．
A．B．C．D．
6．设函数，则的表达式为【 】
A． B．
C．D．
7．已知函数满足，函数的图象与的图象的交点为，，…，，则【 】
A．B．C．D．
8．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则【 】
A．B．C．D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知全集，集合或，集合，下列集合运算正确的是【 】
A．B．
C．D．
10．已知，且，则下列结论正确的是【 】
A．的最大值为B．的最大值为
C．的最小值为D．的最大值为
11．已知函数，若，则实数a的值可能为【 】
A．B．C．D．
12．已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是【 】
A．的图象关于对称
B．
C．在上的最大值是10
D．不等式的解集为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知， ，若成立的一个必要不充分条件是，则实数m的取值范围是_______________.
14．函数的定义域是，则实数a的取值范围为________．
15．幂函数，满足，的解析式_____
16．若函数，则_______________；____________．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合A＝， ．
(1)当m＝1时，求AB，(A)B；
(2)若AB＝A，求实数m的取值范围．
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答．
① 函数的定义域为集合B；② 不等式的解集为B．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（12分）（1）若，求证：；
（2）利用（1）的结论，求下列问题：已知，求的最小值，并求出此时的值.
19．（12分）已知函数.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，若关于x的不等式在上能够成立，求实数a的取值范围.
20．（12分）已知函数（）．
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）当时，解不等式；
（3）若不等式的解集为，若，求的取值范围．
21．（12分）定义在R上的函数满足：①值域为，且当时，，②对定义域内任意的，满足，试回答下列问题：
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)判断并证明函数的单调性；
(3)对，使得不等式恒成立，求t的取值范围．
22．（12分）若函数自变量的取值区间为时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“和谐区间”.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
求的解析式；
求函数在内的“和谐区间”；
若以函数在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数，使集合恰含有个元素.若存在，求出实数的取值集合；若不存在，说明理由.
期中模拟测试卷03
拔尖培优卷
满分150分 考试时间120分钟
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集为R，集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，，则A∩（∁RB）的子集个数为【 】
A．2B．3C．4D．8
答案：D
【解析】，或，所以，其子集个数为．
故选：D．
2．二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为【 】
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为二次函数在区间上单调递增，
所以解得．因为只有C是其真子集，
故选：C
3．已知、、是互不相等的正数，则下列不等式中正确的是【 】
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】当，，时，，，故选项A错误；
当时，，，故选项B错误；
当，时，，，故选项C错误；
∵，
∵，∴，
即，故成立，故选项D正确
故选：D
4．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为【 】
A．或B．
C．或D．
答案：A
【解析】由题意知：且，得，
从而可化为，等价于，解得或.
故选：A.
5．下列命题中，正确命题的个数为【 】
①当时，的最小值是5；
②与表示同一函数；
③函数的定义域是，则函数的定义域是；
④已知，，且，则最小值为．
A．B．C．D．
答案：B
【解析】解：对于①当时，，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以，故①错误；
对于②与表示同一函数，故②正确；
对于③函数的定义域是，，所以，解得，故函数的定义域是，故③错误；
对于④已知，，且，所以，则
，当且仅当，即，时取等号，故④正确；
故选：B
6．设函数，则的表达式为【 】
A． B．
C．D．
答案：B
【解析】令，则可得
所以，所以
故选：B
7．已知函数满足，函数的图象与的图象的交点为，，…，，则【 】
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由可知的图象关于点对称，
又因为的图象也关于点对称，
所以两个函数的图象的交点关于点对称，
即，，
所以，
故选：．
8．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则【 】
A．B．C．D．
答案：D
【解析】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知全集，集合或，集合，下列集合运算正确的是【 】
A．B．
C．D．
答案：ABD
【解析】全集，集合或，集合，
由得，A正确；
由或或
或，B正确；
由或或
，C错误；
由或，
或，故D正确．
故选：ABD．
10．已知，且，则下列结论正确的是【 】
A．的最大值为B．的最大值为
C．的最小值为D．的最大值为
答案：BC
【解析】，且，，
对于A，利用基本不等式得，化简得，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故A错误；
对于B，，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；
对于C，，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确；
对于D，
利用二次函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，
，，故D错误；
故选：BC
11．已知函数，若，则实数a的值可能为【 】
A．B．C．D．
答案：ACD
【解析】解：根据题意，函数，
当时，，
其中当时，，此时，解可得，符合题意；
当时，，此时，解可得或，符合题意；
当时，必有，
此时，变形可得或，
若，解可得，
若，无解；
综合可得：或或或，分析可得选项可得：ACD符合；
故选：ACD．
12．已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是【 】
A．的图象关于对称
B．
C．在上的最大值是10
D．不等式的解集为
答案：ACD
【解析】解：因为，则有，令，则，则，令则，即，故的图象关于对称，即A正确；
令，则，
令代x，则，即，即，故B错误；
设且，则，由，令，，则，即，由时，，得，则，所以，所以，即在上单调递减，又，所以，，又，所以，故在上的最大值为，故C正确；
由，即，即，即，又因为，即，所以，即，即，即，解得，即原不等式的解集为，故D正确；
故选：ACD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知， ，若成立的一个必要不充分条件是，则实数m的取值范围是_______________.
答案：
【解析】因为成立的一个必要不充分条件是，所以推不出，且可推出，故集合B是集合A的真子集.
当时即，集合A的真子集，符合题意；
当时即，要使集合B是集合A的真子集，则需，即，故；
综上，实数m的取值范围是.
故答案为：.
14．函数的定义域是，则实数a的取值范围为________．
答案：
【解析】解：因为函数的定义域是.
所以不等式恒成立．
所以，当时，不等式等价于，显然恒成立；
当时，则有，即，解得.
综上，实数a的取值范围为.
故答案为:
15．幂函数，满足，的解析式_____
答案：
【解析】解：由幂函数满足（2）（4），所以函数在上是增函数，
可得，且，
由得或.
不满足，满足.
所以，故．
故答案为：
16．若函数，则_______________；____________．
答案：
【解析】由于
所以，
令，得
故答案为：，．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合A＝， ．
(1)当m＝1时，求AB，(A)B；
(2)若AB＝A，求实数m的取值范围．
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答．
① 函数的定义域为集合B；② 不等式的解集为B．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
答案：(1)；
(2)
【解析】（1）选条件①：（1）当时，，选条件②：此时集合与①相同，其余答案与①一致；
（2）若，则当时，，解得当时，，即，解得综上，实数m的取值范围为
18．（12分）（1）若，求证：；
（2）利用（1）的结论，求下列问题：已知，求的最小值，并求出此时的值.
答案：（1）证明见解析；（2）当时取得最小值，最小值为25.
【解析】（1）
，又（当且仅当时取等号）
，即
（2）当时，
当且仅当，即时取等号
即当时，取得最小值
19．（12分）已知函数.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，若关于x的不等式在上能够成立，求实数a的取值范围.
答案：(1)
(2)
【解析】(1)令，则，
所以，
所以.
(2)依题意，，
因为.故可化为在时有解；
令，由，得，
设.
则函数的图象的对称轴方程为，
故当时，函数取得最小值.
则，即实数a的取值范围为.
20．（12分）已知函数（）．
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）当时，解不等式；
（3）若不等式的解集为，若，求的取值范围．
答案：（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）①时，，不合题意，舍去；
②时，
.
综上：.
（2）即，所以，
①时，解集为：；
②时，，
因为，所以解集为：；
③时，，
因为，所以解集为：.
（3）因为不等式的解集为，且，
即对任意的，不等式恒成立，
即恒成立，因为，
所以，设，
所以，
当且仅当时取“=”.
所以的最大值为：，
所以.
21．（12分）定义在R上的函数满足：①值域为，且当时，，②对定义域内任意的，满足，试回答下列问题：
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)判断并证明函数的单调性；
(3)对，使得不等式恒成立，求t的取值范围．
答案：(1)奇函数，证明见详解；(2)在R上单调递减，证明见详解；(3)[，＋)
【解析】(1)令得，即或(舍去)，
令代入得，
对，即在上为奇函数；
(2)设，若，
，
由(1)知在上为奇函数，
则，
函数的值域为，则，
即，
又，则，
，
在上为减函数；
(3)由(2)知在上为减函数，
，
化简得
对，使得恒成立
设，有，
(当且仅当时等号成立)，
的对称轴为，开口向下，，
，
，即﹒
22．（12分）若函数自变量的取值区间为时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“和谐区间”.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
求的解析式；
求函数在内的“和谐区间”；
若以函数在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数，使集合恰含有个元素.若存在，求出实数的取值集合；若不存在，说明理由.
答案：；；存在，.
【解析】解：为上的奇函数，
又当时，，
当时，；
；
设，在上单调递减，
，即，是方程的两个不相等的正根.
在内的“和谐区间”为.
设为的一个“和谐区间”，则，，同号.
当时，同理可求在内的“和谐区间”为.

依题意，抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限.
因此，应当使方程在内恰有一个实数根，并且使方程，在内恰有一个实数根.
由方程，即在内恰有一根，
令，则，解得；
由方程，即在内恰有一根，
令，则，解得.
综上所述，实数的取值集合为.