人教A版高一数学上学期期中期末必考题型专题09二次函数根的分布问题含参数一元二次不等式(原卷版+解析)

这是一份人教A版高一数学上学期期中期末必考题型专题09二次函数根的分布问题含参数一元二次不等式(原卷版+解析)，共25页。

1、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
2、一元二次方程的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．
设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示．
3、解含参数的一元二次不等式需要对字母的取值进行分类讨论，常用的分类方法有以下三种：
（1）按二次项系数的符号分类，即；
（2）按判别式的符号分类，即；
（3）按方程的根、的大小分类，即．
【典型例题】
例1．(2023·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）已知关于的不等式.
(1)若的解集为，求实数的值；
(2)求关于的不等式的解集.
例2．(2023·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0．
(1)当a＝2时，解关于x的不等式；
(2)当a＞0时，解关于x的不等式．
例3．(2023·河南·高一阶段练习）（1）若不等式的解集是，求的值；
（2）若，且关于的方程有两个不同的负根，求的取值范围.
例4．(2023·全国·高一课时练习）已知关于x的方程．
(1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？
(2)当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？
(3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？
例5．(2023·全国·高一单元测试）求实数的范围，使关于的方程
(1)有两个实根，且一个比大，一个比小；
(2)有两个实根，且满足；
(3)至少有一个正根.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·湖北·华中师大一附中高一开学考试）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·全国·高一课时练习）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·江苏·高一专题练习）关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ）
A．B．C．或1D．或4
4．(2023·江苏·高一）已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（ ）
A．-2B．C．D．1
5．(2023·全国·高一专题练习）已知方程的两根都大于1，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．(2023·全国·高一期中）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·上海·高一专题练习）关于的不等式的解集为或，则关于的不等式，以下结论正确的是（ ）
A．当时，解集为B．当时，解集为
C．当时，解集为或D．以上都不正确
8．(2023·全国·高一课时练习）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是
A．B．或
C．D．或
二、多选题
9．(2023·湖南·株洲二中高一开学考试）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（ ）
A．B．C．D．5
10．(2023·江苏·高一专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．关于x的不等式的解集可以是
B．关于x的不等式的解集可以是
C．函数在上可以有两个零点
D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”
11．(2023·湖南·长沙市实验中学高一期中）已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（ ）
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}
C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}
12．(2023·湖南·新化县教育科学研究所高一期末）已知，关于x的一元二次不等式x2-8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（ ）
A．13B．14C．15D．17
三、填空题
13．(2023·全国·高一单元测试）方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____．
14．(2023·全国·高一专题练习）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为__．
15．(2023·全国·高一专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．
16．(2023·安徽·泾县中学高一开学考试）记关于x的不等式的解集为A，集合，若，则实数a的取值范围为___________.
四、解答题
17．(2023·四川成都·高一期末）设函数，.
(1)解关于x的不等式；
(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围.
18．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，
(1)当时，求不等式的解集.
(2)求不等式的解集.
19．(2023·江苏省天一中学高一期末）已知二次函数，当时，；当，.
(1)求，的值；
(2)解关于的不等式：.
20．(2023·湖南·高一课时练习）当为何值时，关于的方程分别满足：
(1)无实数根？
(2)有两正实根？
21．(2023·全国·高一单元测试）关于x的方程分别满足下列条件：
(1)当时，两根分别为、，求的值；
(2)m为何值时，有一正根一负根；
(3)m为何值时，有两个不相等的正根．
22．(2023·全国·高一专题练习）已知关于的方程有两个不等的实根，．
（1）两根一个根大于1，一个根小于1，求参数的取值范围；
（2），，求参数的取值范围．
根的分布
图像
限定条件
在区间内
没有实根
在区间内
有且只有一个实根
在区间内
有两个不等实根
专题09 二次函数根的分布问题、含参数一元二次不等式
【考点预测】
1、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
2、一元二次方程的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．
设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示．
3、解含参数的一元二次不等式需要对字母的取值进行分类讨论，常用的分类方法有以下三种：
（1）按二次项系数的符号分类，即；
（2）按判别式的符号分类，即；
（3）按方程的根、的大小分类，即．
【典型例题】
例1．(2023·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）已知关于的不等式.
(1)若的解集为，求实数的值；
(2)求关于的不等式的解集.
【解析】（1）因为的解集为，所以方程的两个根为，由根与系数关系得:，解得；
（2），
当a=0，不等式为，不等式的解集为；
当时，不等式化为，不等式的解集为
当时，方程的两个根分别为：.
当时，两根相等，故不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为或；
当时，，不等式的解集为或，.
综上：
当时，不等式的解集为
当a=0，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或.
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
例2．(2023·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0．
(1)当a＝2时，解关于x的不等式；
(2)当a＞0时，解关于x的不等式．
【解析】（1）当a＝2时，不等式2x2﹣x﹣1＜0可化为：（2x+1）（x﹣1）＜0，
∴不等式的解集为；
（2）不等式ax2﹣x+1﹣a＜0可化为：（x﹣1）（ax+a﹣1）＜0，
当a＞0时，，
的根为：，
①当时，，∴不等式解集为，
②当时，，不等式解集为∅，
③当时，1，∴不等式解集为{x|x＜1}，
综上，当时，不等式解集为，
当a时，不等式解集为，
当时，不等式解集为{x|x＜1}．．
例3．(2023·河南·高一阶段练习）（1）若不等式的解集是，求的值；
（2）若，且关于的方程有两个不同的负根，求的取值范围.
【解析】（1）由题意可得和是方程的两个实根，
则解得.
（2）因为，所以，
由题可知，则或，
由题意，方程有两个负根，即解得.
综上，实数的取值范围是.
例4．(2023·全国·高一课时练习）已知关于x的方程．
(1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？
(2)当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？
(3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？
【解析】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线，
故方程的一个根大于1，另一个根小于1，
则，解得，所以a的取值范围是．
（2）方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3，
作满足题意的二次函数的大致图象，
由图知， ，
解得．所以a的取值范围是．
（3）方程的两个根都大于0，
则 ，解得，所以a的取值范围是．
例5．(2023·全国·高一单元测试）求实数的范围，使关于的方程
(1)有两个实根，且一个比大，一个比小；
(2)有两个实根，且满足；
(3)至少有一个正根.
答案：(1)
(2)
(3)
分析：设，一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定.
（1）设．
依题意有，即，得．
（2）设．
依题意有，解得．
（3）设．
方程至少有一个正根，则有三种可能：
①有两个正根，此时可得，即
②有一个正根，一个负根，此时可得，得．
③有一个正根，另一根为，此时可得
综上所述，得．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·湖北·华中师大一附中高一开学考试）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】当时，即为，不符合题意；
故，即为，
令，
由于关于的方程有两个不相等的实数根，且，
则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，
故时，，即，解得，故，
故选：D
2．(2023·全国·高一课时练习）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】方程对应的二次函数设为：
因为方程恰有一根属于，则需要满足：
①，，解得：；
②函数刚好经过点或者，另一个零点属于，
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，故符合题意；
③函数与x轴只有一个交点，横坐标属于，
，解得，
当时，方程的根为，不合题意；
若，方程的根为，符合题意
综上：实数m的取值范围为
故选：D
3．(2023·江苏·高一专题练习）关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ）
A．B．C．或1D．或4
答案：A
【解析】关于x的方程有两个实数根，
，
解得：，
关于x的方程有两个实数根，，
，，
，即，
解得：或舍去
故选：A.
4．(2023·江苏·高一）已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（ ）
A．-2B．C．D．1
答案：B
【解析】由题意可得，
解得或，
设两个为，，由两根为正根可得
，解得，
综上知，.
故两个根的倒数和为
，
，，，
故，
，
故两个根的倒数和的最小值是.
故选：B
5．(2023·全国·高一专题练习）已知方程的两根都大于1，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】设方程的两根为，依题意有：，
因都大于1，则，且，显然成立，
由得，则有，解得，
由解得：，于是得，
所以的取值范围是.
故选：A
6．(2023·全国·高一期中）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】不等式，即，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故；
当时，不等式解集为，此时不符合题意；
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故；
故实数m的取值范围为．
故选：C
7．(2023·上海·高一专题练习）关于的不等式的解集为或，则关于的不等式，以下结论正确的是（ ）
A．当时，解集为B．当时，解集为
C．当时，解集为或D．以上都不正确
答案：C
【解析】由题意，为方程的两个根
代入方程
解得：，
于是关于的不等式，即为
令，对应的二次函数开口向上
当时，解集为或
当时，解集为
当时，解集为或
故选：C
8．(2023·全国·高一课时练习）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是
A．B．或
C．D．或
答案：D
【解析】由题意得，原不等式可转化为.当时，解得，此时解集中的整数为2，3，则；当时，解得，此时解集中的整数为0，-1，则.当时，不符合题意.故实数的取值范围是或，故选D．
二、多选题
9．(2023·湖南·株洲二中高一开学考试）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（ ）
A．B．C．D．5
答案：ABD
【解析】解不等式，得或
解方程，得
（1）当，即时，不等式的解为：
此时不等式组的解集为，依题意，则，即；
（2）当，即时，不等式的解为：，要使不等式组的解集中只有一个整数，
则需满足：，即；
所以k的取值范围为.
故选：ABD.
10．(2023·江苏·高一专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．关于x的不等式的解集可以是
B．关于x的不等式的解集可以是
C．函数在上可以有两个零点
D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”
答案：BCD
【解析】若不等式的解集是，则且，得，
而当，时，不等式，即，得，与矛盾，故A错误；
取，，此时不等式的解集为，故B正确；
取，，则由，得或3，故C正确；
若关于x的方程有一个正根和一个负根，则得，
若，则，故关于x的方程有两个不等的实根，
且，即关于x的方程有一个正根和一个负根．
因此“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，故D正确．
故选：BCD．
11．(2023·湖南·长沙市实验中学高一期中）已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（ ）
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}
C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}
答案：BCD
【解析】方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是，解得，A错误；
方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是，解得，B正确；
方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是，解得，C正确；
方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的充要条件是，解得，
，故必要条件是m∈{m|m>1}，故D正确.
故选：BCD.
12．(2023·湖南·新化县教育科学研究所高一期末）已知，关于x的一元二次不等式x2-8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（ ）
A．13B．14C．15D．17
答案：ABC
【解析】设二次函数f(x)=x2-8x+a，开口向上，其对称轴为x=4，因为一元二次不等式x2-8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数∴3个整数解必然是3，4，5，∴根据对称性，满足f（2）>0且f（3）≤0，故，且，即12故选：ABC.
三、填空题
13．(2023·全国·高一单元测试）方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____．
答案：
【解析】由题意，方程的两根都大于，
令，
可得，即，解得．
故答案为：.
14．(2023·全国·高一专题练习）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为__．
答案：
【解析】令，图象恒过点，
方程0在区间内有两个不同的根，
，解得.
故答案为：
15．(2023·全国·高一专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．
答案：.
【解析】方程
方程两根为，
若要满足题意，则，解得，
故答案为：.
16．(2023·安徽·泾县中学高一开学考试）记关于x的不等式的解集为A，集合，若，则实数a的取值范围为___________.
答案：
【解析】原不等式可变形为，
当，即时，，满足题意；
当，即时，，所以，解得，所以；
当，即时，，所以，解得.
综上可得，即；
故答案为：
四、解答题
17．(2023·四川成都·高一期末）设函数，.
(1)解关于x的不等式；
(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围.
【解析】(1)当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
(2)因为，所以由可得，，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以.
18．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，
(1)当时，求不等式的解集.
(2)求不等式的解集.
【解析】（1）当时，，
解得为，所以解集为
（2）由可得，
①当，即时，不等式解集为；
②当，即时，不等式可化为，此时解集为；
③当，即时，不等式解集为
综上所述，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
19．(2023·江苏省天一中学高一期末）已知二次函数，当时，；当，.
(1)求，的值；
(2)解关于的不等式：.
【解析】(1)由题意可知：的两根为 ，
故 ，即得 ,即 ；
(2)由（1）可知：，
即 ，
解方程得两根为 ，
当 ，即时，解集为 ；
当 ，即时，解集为；
当 ，即时，解集为 ；
故时，解集为；时，解集为；
时，解集为 .
20．(2023·湖南·高一课时练习）当为何值时，关于的方程分别满足：
(1)无实数根？
(2)有两正实根？
【解析】(1)∵关于的方程无实数根，
∴，
∴，
解得，即.
(2)∵关于的方程有两正实根，
∴，
解得，即.
21．(2023·全国·高一单元测试）关于x的方程分别满足下列条件：
(1)当时，两根分别为、，求的值；
(2)m为何值时，有一正根一负根；
(3)m为何值时，有两个不相等的正根．
【解析】（1）当时，方程变为，
由韦达定理得，，
所以.
（2）由题意，，即，
解得.
（3）由题意，即，
解得.
22．(2023·全国·高一专题练习）已知关于的方程有两个不等的实根，．
（1）两根一个根大于1，一个根小于1，求参数的取值范围；
（2），，求参数的取值范围．
【解析】令，
（1）两根一个根大于1，一个根小于1，等价于，
则，解得；
（2）若，，
则，即，即，解得.
根的分布
图像
限定条件
在区间内
没有实根
在区间内
有且只有一个实根
在区间内
有两个不等实根