人教A版高一数学上学期期中期末必考题型专题20函数的综合性质：单调性、奇偶性、对称性、周期性(原卷版+解析)

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1、函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①属于定义域内某个区间上；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②任意两个自变量，且；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③都有或；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
2、函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
3、函数的对称性
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于点对称．
4、函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.
【方法技巧与总结】
1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2、奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
奇函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数．
注意：关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以写成函数或函数．
偶函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
5、对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
【典型例题】
例1．（多选题）(2023·江苏省南通中学高一期中）定义在上的函数满足，当时，，则以下结论正确的是（ ）
A．B．为奇函数
C．为单调减函数D．为单调增函数
例2．（多选题）(2023·重庆一中高一期中）已知函数的定义域为，且满足当时，，当时，，为非零常数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，在单调递增
C．当时，记函数与的图象在的个交点为，则
D．当时，在上的值域为
例3．(2023·上海中学高一期末）且，则的值为________．
例4．(2023·福建·福州市第十中学高一期中）已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当时，，则 _________.
例5．(2023·河北·张家口市第四中学高一期中）已知函数是定义在上的偶函数，且，则m的取值范围的集合是______.
例6．(2023·广东实验中学高一期中）若函数的图象关于直线对称，则的最小值是______．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·上海中学高一期末）已知，是定义在上的严格增函数，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”．已知，则下列四个函数中是在上的“追逐函数”的个数为（ ）个．
①；②；③；④．
A．1B．2C．3D．4
2．(2023·河南·高一期中）设是定义在上的奇函数，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．(2023·重庆一中高一期中）已知函数的图像如图所示，则此函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．(2023·辽宁实验中学高一期中）定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023·湖南·常德市一中高一期中）已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·重庆一中高一期中）定义在上的函数满足，，且当时，，则方程所有的根之和为（ ）
A．44B．40C．36D．32
7．(2023·重庆一中高一期中）已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·辽宁·育明高中高一期中）已知函数与函数（为常数），若函数恰有三个零点，则的值为（ ）
A．2B．C．3D．1
二、多选题
9．(2023·重庆市永川中学校高一期中）已知定义在R上的奇函数满足，下列结论正确的是（ ）
A．
B．是函数的最小值
C．
D．函数的图像的一个对称中心是点
10．(2023·河北·张家口市第四中学高一期中）下列命题正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．若对任意，，当时，，则在I上是增函数
C．函数在区间上单调递增的充要条件是
D．定义域为的函数的图象关于直线对称，函数是偶函数
11．(2023·江苏·苏州中学高一期中）已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A．关于x的方程在区间上的所有实数根的和为
B．关于x的方程在区间上的所有实数根的和为
C．若函数与的图象恰有5个不同的交点，则或
D．若函数与的图象恰有5个不同的交点，则或
12．(2023·湖南·邵阳市第二中学高一期中）定义在R上函数满足：，，，设，则（ ）
A．的图象关于直线x=2022对称
B．的图象关于点(2023，0）中心对称
C．
D．为偶函数
三、填空题
13．(2023·辽宁·凤城市第一中学高一期中）已知函数，若存在正实数a，使得函数在区间有最大值及最小值m，则______.
14．(2023·河北衡水中学高一期中）已知函数为定义在上的奇函数，满足对，，其中，都有，且，则不等式的解集为________（写成集合或区间的形式）
15．(2023·辽宁·育明高中高一期中）已知函数定义域为区间，且图像关于点中心对称.当时，，则满足的的取值范围是__________.
16．(2023·广东·广州市黄广中学高一期中）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则____________．
四、解答题
17．(2023·河南·高一期中）已知定义在R上的奇函数满足．
(1)求实数a的值；
(2)当时，用定义证明函数为单调递增函数；
(3)当时，解不等式．
18．(2023·黑龙江·佳木斯一中高一期末）已知是定义在上的函数，满足.
(1)若，求；
(2)求证：的周期为4；
(3)当时，，求在时的解析式.
19．(2023·北京交通大学附属中学高一期中）已知函数的图像过点．
(1)求函数的解析式并直接写出函数的定义域和值域；
(2)求的值并指出函数的对称中心；
(3)用单调性定义证明：函数在区间上是减函数；
(4)求函数在上的最值；
(5)若把函数定义在集合上，使它的值域是，直接写出集合．
20．(2023·广东汕头·高一期末）我们知道：设函数的定义域为，那么“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“，”.有同学发现可以将其推广为：设函数的定义域为，那么“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“，”.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)判断函数的图象是否为中心对称图形，若是，求出其对称中心坐标；若不是，说明理由.
21．(2023·重庆一中高一期中）定义在上的函数满足：对任意都有成立，且时，.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
22．(2023·山东聊城·高一期末）已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，总存在非零常数T，恒有成立，其中m为给定的非零常数，则称函数是D上的“周期为T的m级类周期函数”.已知定义在上的函数，当时，.
(1)若是上“周期为1的2级类周期函数”，
①求的值；
②分别求出在和上的函数解析式；
(2)若函数是上“周期为1的m级类周期函数”，且在上单调递减，求实数m的取值范围.
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称
专题20 函数的综合性质：单调性、奇偶性、对称性、周期性
【考点预测】
1、函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①属于定义域内某个区间上；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②任意两个自变量，且；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③都有或；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
2、函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
3、函数的对称性
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于点对称．
4、函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.
【方法技巧与总结】
1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2、奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
奇函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数．
注意：关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以写成函数或函数．
偶函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
5、对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
【典型例题】
例1．（多选题）(2023·江苏省南通中学高一期中）定义在上的函数满足，当时，，则以下结论正确的是（ ）
A．B．为奇函数
C．为单调减函数D．为单调增函数
答案：ABD
【解析】令得，即得，A正确；
在定义域范围内令得，即得是奇函数，B正确；
令，，且，
所以，
又且，，
所以，即，
所以，即
所以在上是单调增函数，D正确，C错误．
故选：ABD．
例2．（多选题）(2023·重庆一中高一期中）已知函数的定义域为，且满足当时，，当时，，为非零常数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，在单调递增
C．当时，记函数与的图象在的个交点为，则
D．当时，在上的值域为
答案：ACD
【解析】，当时，，函数周期为2，，A正确；
当时，取，，，函数单调递减，B错误；
，，当时，，函数简图如图所示，
根据图像与的图像交点分别为，，，，，故，C正确；
当时，，，函数简图如图所示：
，根据图像知，函数在和上单调递增，在上单调递减，，
现考虑轴上每4个单位长度为一段的函数值，最大值依次变大，最小值依次变小，故只需考虑最后一段即可，
，，
故值域为，D正确.
故选：ACD
例3．(2023·上海中学高一期末）且，则的值为________．
答案：
【解析】由题意，，，故.又，
所以，又，从而．
故答案为：
例4．(2023·福建·福州市第十中学高一期中）已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当时，，则 _________.
答案：
【解析】为偶函数，故可得，即，
又为奇函数，则，则，，
故，，即是周期为的函数，
又为上的奇函数，则，又，则.
故答案为：.
例5．(2023·河北·张家口市第四中学高一期中）已知函数是定义在上的偶函数，且，则m的取值范围的集合是______.
答案：或.
【解析】由题得.
所以，
因为函数是偶函数，
所以.
所以.
所以函数在单调递减，在单调递增.
因为，所以，
平方得或.
所以m的取值范围的集合是或.
故答案为：或.
例6．(2023·广东实验中学高一期中）若函数的图象关于直线对称，则的最小值是______．
答案：【解析】由于，且，所以
则是函数的两个零点
又函数的图象关于直线对称，则函数另外两个零点为
则方程的两根分别为，所以
则，又，所以
于是
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是.
故答案为：.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·上海中学高一期末）已知，是定义在上的严格增函数，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”．已知，则下列四个函数中是在上的“追逐函数”的个数为（ ）个．
①；②；③；④．
A．1B．2C．3D．4
答案：B
【解析】由题意，需满足：与在上的值域都是，
且对任意的，的图象恒的上方，
当时：
①的值域符合题意，且，符合题意.
②的值域符合题意，且，符合题意.
③，指数函数比二次函数增长快，比如：
当时，
，不符合题意.
④由于，所以不符合题意.
综上所述，正确的有个.
故选：B
2．(2023·河南·高一期中）设是定义在上的奇函数，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
答案：C
【解析】是定义在上的奇函数，
∴，即，
且，
∴，且，所以，
∴．
故选：C．
3．(2023·重庆一中高一期中）已知函数的图像如图所示，则此函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】的定义域为，不符合函数图像，A不满足；
的定义域为，不符合函数图像，B不满足；
，，不符合函数图像，D不满足.
故选：C
4．(2023·辽宁实验中学高一期中）定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】 又，，有，
设 ，有，则，都有，所以在区间上单调递减，
，则当时，由，得 ， 即，
解得，故原不等式的解集为.
故选：D.
5．(2023·湖南·常德市一中高一期中）已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题意得，函数的定义域是，且，所以是奇函数，
又函数与函数都是R上的增函数，则在上单调递增，
所以可化为：，
由递增知：，即，
则对任意的，恒成立，等价于对任意的，恒成立，
所以，解得，即的取值范围是，
故选：D．
6．(2023·重庆一中高一期中）定义在上的函数满足，，且当时，，则方程所有的根之和为（ ）
A．44B．40C．36D．32
答案：A
【解析】由可得函数为奇函数，且关于对称，
又由题意，故，
所以函数关于中心对称，且，故函数的周期为.又当时，，此时，
故函数在上单调递增，综上可画出的部分图象，
又方程的根，即与的交点，
由图可知：函数的最大值为，
当时，，此时直线与曲线交于最高点，
所以与在上有个交点，根据函数的对称性可知：在也有个交点，并且两两关于中心对称，加上共11个，
故其根之和为，
故选：.
7．(2023·重庆一中高一期中）已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】依题意，定义域为，
由于为偶函数，图象关于轴对称，
所以图象关于直线对称，
为奇函数，，
由，
以替换，，
所以，
所以，
所以是周期为的周期函数.
由得，所以关于对称，
令，，
所以.
所以D选项正确，ABC选项无法判断.
故选：D
8．(2023·辽宁·育明高中高一期中）已知函数与函数（为常数），若函数恰有三个零点，则的值为（ ）
A．2B．C．3D．1
答案：C
【解析】因为，所以关于中心对称，又，
所以在图象上，因为，所以过点，则函数和的图象都关于中心对称，
设，函数的零点即与图象交点的横坐标，
所以，点和点关于中心对称，
则，.
故选：C.
二、多选题
9．(2023·重庆市永川中学校高一期中）已知定义在R上的奇函数满足，下列结论正确的是（ ）
A．
B．是函数的最小值
C．
D．函数的图像的一个对称中心是点
答案：ACD
【解析】因为定义在R上的奇函数满足，
所以，即，故A正确；
如图函数满足题意，而不是函数的最小值，故B错误；
由题可得，故C正确；
由，可知函数的图像关于对称，即的图像的一个对称中心是点，故D正确.
故选：ACD.
10．(2023·河北·张家口市第四中学高一期中）下列命题正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．若对任意，，当时，，则在I上是增函数
C．函数在区间上单调递增的充要条件是
D．定义域为的函数的图象关于直线对称，函数是偶函数
答案：BD
【解析】对于A，因为函数的定义域为，关于原点对称，
，所以为奇函数，故A错误；
对于B，当时，即，由知，
，即，
所以在I上是增函数，故B正确；
对于C，函数，
则当函数在上单调递增，则，故C错误；
对于D，因为定义域为的函数的图像关于直线对称，
则函数的图像关于轴对称，故函数是偶函数
故D正确.
故选:BD
11．(2023·江苏·苏州中学高一期中）已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A．关于x的方程在区间上的所有实数根的和为
B．关于x的方程在区间上的所有实数根的和为
C．若函数与的图象恰有5个不同的交点，则或
D．若函数与的图象恰有5个不同的交点，则或
答案：AC
【解析】定义在R上的奇函数满足，
所以，所以，即函数的周期，
又函数为定义在R上的奇函数，所以，
又，所以函数关于对称，
当时，，解得，作函数的大致图象，如图，
由图可知方程在区间上的所有实数根的和为，故A正确，B错误；
若函数与的图象恰有5个不同的交点，
当时，由图象可知，直线过点时，即时，满足题意，
当时，找出两个临界情况，当直线过时，，有3个交点
当直线过时，有6个交点，
由图象知，当时，直线与的图象有5个交点.
综上，当或时，函数与的图象恰有5个不同的交点，故C正确D错误.
故选：AC
12．(2023·湖南·邵阳市第二中学高一期中）定义在R上函数满足：，，，设，则（ ）
A．的图象关于直线x=2022对称
B．的图象关于点(2023，0）中心对称
C．
D．为偶函数
答案：BCD
【解析】，函数为奇函数，图象关于原点对称，
又，∴，，
∴是周期函数，4是它的一个周期，函数图象关于中心对称，
由得函数的图象关于直线x=1轴对称，
，∴图象关于(2023，0）中心对称，B正确，A错误；
又，C正确；
，
则，所以是偶函数，D正确
故选：BCD．
三、填空题
13．(2023·辽宁·凤城市第一中学高一期中）已知函数，若存在正实数a，使得函数在区间有最大值及最小值m，则______.
答案：15
【解析】
令，其定义域为，，即为奇函数，即函数在区间上满足，所以，即
故答案为：
14．(2023·河北衡水中学高一期中）已知函数为定义在上的奇函数，满足对，，其中，都有，且，则不等式的解集为________（写成集合或区间的形式）
答案：
【解析】因为，
所以当时，，
令，
则在上单调递增，
又因为为定义在R上的奇函数,
所以，
所以是偶函数，且在上单调递减，
因为，
所以，
等价于或，
所以或，
即不等式的解集为.
故答案为：.
15．(2023·辽宁·育明高中高一期中）已知函数定义域为区间，且图像关于点中心对称.当时，，则满足的的取值范围是__________.
答案：
【解析】因为函数，在上单调递增，所以当时，单调递增，
因为关于中心对称，所以，且在上单调递增，
不等式可整理为，即，则，解得.
故答案为：.
16．(2023·广东·广州市黄广中学高一期中）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则____________．
答案：【解析】由题设，，则关于、对称，
所以，故周期为4，
又，而，
综上，可得，故时，
由.
故答案为：
四、解答题
17．(2023·河南·高一期中）已知定义在R上的奇函数满足．
(1)求实数a的值；
(2)当时，用定义证明函数为单调递增函数；
(3)当时，解不等式．
【解析】（1），
∴，
∵为奇函数，
∴，即，化简得，
∴；
（2）证明：设为区间上的任意两个值，且，
，
因为，
所以，，，，
即，即
所以函数在上是增函数．
（3）因为为奇函数且在上是增函数，
所以，得，
则，解得：，
故．
18．(2023·黑龙江·佳木斯一中高一期末）已知是定义在上的函数，满足.
(1)若，求；
(2)求证：的周期为4；
(3)当时，，求在时的解析式.
【解析】(1)∵，
∴.
(2)∵对任意的，满足
∴，
∴函数是以4为周期的周期函数.
(3)设，则，
∵当时，，
∴当时，，
又∵，
∴
∴.
19．(2023·北京交通大学附属中学高一期中）已知函数的图像过点．
(1)求函数的解析式并直接写出函数的定义域和值域；
(2)求的值并指出函数的对称中心；
(3)用单调性定义证明：函数在区间上是减函数；
(4)求函数在上的最值；
(5)若把函数定义在集合上，使它的值域是，直接写出集合．
【解析】（1）由函数的图像过点，
所以，所以
所以函数的解析式为
由函数的定义域为：，
由
所以函数的值域为：
（2）由（1）
所以
由，所以函数的对称中心为
（3）证明：设，且
所以

因为，且
所以 ，，
所以 ，所以 ，又
所以函数在区间上是减函数
（4）由（3）知函数在区间上是减函数，
所以函数在区间上是减函数
所以
（5）令，所以，
当为时，有函数的值域是
20．(2023·广东汕头·高一期末）我们知道：设函数的定义域为，那么“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“，”.有同学发现可以将其推广为：设函数的定义域为，那么“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“，”.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)判断函数的图象是否为中心对称图形，若是，求出其对称中心坐标；若不是，说明理由.
【解析】（1）函数为奇函数
证明如下：函数的定义域为R，关于原点对称
又
所以函数为奇函数.
（2）函数的图象是中心对称图形，其对称中心为点
解方程得，所以函数的定义域为
明显定义域仅关于点对称
所以若函数的图象是中心对称图形，则其对称中心横坐标必为
设其对称中心为点， 则由题意可知有，
令，可得， 所以
所以若函数为中心对称图形，其对称中心必定为点
下面论证函数的图象关于点成中心对称图形：
即只需证明，
，得证
21．(2023·重庆一中高一期中）定义在上的函数满足：对任意都有成立，且时，.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意得，当时，得，
当时，，得，
则，故为偶函数，
（2）当时，，
而，故在上单调递增，
，
即对任意的恒成立，
设，，由指数函数的性质得在单调递减，
故，解得，
即的取值范围为
22．(2023·山东聊城·高一期末）已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，总存在非零常数T，恒有成立，其中m为给定的非零常数，则称函数是D上的“周期为T的m级类周期函数”.已知定义在上的函数，当时，.
(1)若是上“周期为1的2级类周期函数”，
①求的值；
②分别求出在和上的函数解析式；
(2)若函数是上“周期为1的m级类周期函数”，且在上单调递减，求实数m的取值范围.
【解析】(1)①由题意，
.
②当时，，
所以，
当时，，
所以.
(2)由题意知对恒成立，
对于任意自然数k，当时，，
.
由于在上单调递减，故在上单调递减，
因此对于任意自然数k均有，所以.
且对于任意自然数k均有，
化简得，则，综上，实数m的取值范围是.
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称