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人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题02充分必要条件与量词(原卷版+解析)
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这是一份人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题02充分必要条件与量词(原卷版+解析)，共19页。试卷主要包含了全称量词与存在量词等内容，欢迎下载使用。
1、全称量词与存在量词
（1）全称量词
短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.常见的全称量词还有“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.
全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为
，，
读作“对任意属于，有成立”.
（2）存在量词
短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.常见的存在量词还有“有些”，“有一个”，“对某个”，“有的”等.
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.
存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为
，，
读作“存在中的元素，使成立”.
2、全称量词命题和存在量词命题的否定
（1）全称量词命题的否定
全称量词命题：
，，
它的否定：
，.
全称量词命题的否定是存在量词命题.
（2）存在量词命题的否定
存在量词命题：
，，
它的否定：
，.
存在量词命题的否定是全称量词命题.
【典型例题】
例1．(2023·宁夏·银川二中高一阶段练习）设全集，集合，集合，其中．
(1)若“”是“”的充分条件，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
例2．(2023·湖北·麻城市博达学校高一阶段练习）已知：集合，
(1)若，求，；
(2)若是的充分条件，求实数的取值范围；
(3)若，求实数的取值范围．
例3．(2023·山东·山大华特卧龙学校高一阶段练习）已知命题：实数满足集合，：集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
例4．(2023·全国·高一课时练习）（1）是否存在实数p，使“”是“或”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，请说明理由．
（2）是否存在实数p，使“”是“或”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，请说明理由．
过关测试
一、单选题
1．(2023·全国·高一阶段练习）已知下列四组陈述句：
①：集合；：集合．
②：集合；：集合．
③：；：．
④：某中学高一全体学生中的一员；：某中学全体学生中的一员．
其中p是q的必要而不充分条件的有( )
A．①②B．③④C．②④D．①③
2．(2023·湖北·麻城市博达学校高一阶段练习）设计如图所示的四个电路图，“开关闭合”，“灯泡亮”，则是的充分不必要条件的电路图是
（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023·河南·沁阳市永威学校高一阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件
C．既不是充分条件，也不是必要条件D．既是充分条件，也是必要条件
4．(2023·河南省叶县高级中学高一阶段练习）设x，y都是实数，则“且”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．(2023·湖南·株洲二中高一开学考试）“”是“”的（ ）条件.
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
6．(2023·全国·高一课时练习）设，则“”的充要条件是（ ）
A．都为1B．都不为1
C．中至少有一个为1D．都不为0
7．(2023·全国·高一课时练习）已知区间，则下列是“对任意的，”的必要不充分条件的是（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·山东·东营市第一中学高一阶段练习）“不等式在R上恒成立”的充要条件是（ ）
A．B．
C． D．
二、多选题
9．(2023·全国·高一课时练习）下列说法中正确的有（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“或”是“”的充要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
10．(2023·山东·东营市第一中学高一阶段练习）若，则下列说法与之等价的是（ ）
A．“”是“”的充分条件
B．“”是“”的必要条件
C．
D．
11．(2023·全国·高一课时练习）已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件.现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件；④的必要条件而不是充分条件；则正确命题序号是 （ ）
A．①B．②C．③D．④
12．(2023·江苏·高一单元测试）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即，.则下列结论正确的是（ ）
A．；B．；
C．；D．整数，属于同一“类”的充要条件是“”.
三、填空题
13．(2023·江苏·高一单元测试）已知：或，：或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 __．
14．(2023·江苏·高一单元测试）已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是_______．
15．(2023·全国·高一课时练习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是___________.
16．(2023·江苏·高一单元测试）已知表示不超过的最大整数.例如，，，若，，是的充分不必要条件，则的取值范围是______.
四、解答题
17．(2023·河南·高一阶段练习）已知：“实数满足”，“都有意义”.
(1)已知为假命题，为真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18．(2023·江苏·明达中学高一阶段练习） 已知集合，，全集，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19．(2023·全国·高一单元测试）已知全集，集合，非空集合．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．
20．(2023·江苏省如皋中学高一开学考试）设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是
21．(2023·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）设命题：，：．
(1)若，判断是的充分条件还是必要条件；
(2)若是的______，求的取值集合．
从①充分不必要条件，②必要不充分条件，这两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上，并给予解答．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
22．(2023·全国·高一课时练习）已知集合，，其中，是关于x的方程的两个不同的实数根.
(1)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围.
专题 02充分必要条件与量词
考点预测：
1、全称量词与存在量词
（1）全称量词
短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.常见的全称量词还有“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.
全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为
，，
读作“对任意属于，有成立”.
（2）存在量词
短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.常见的存在量词还有“有些”，“有一个”，“对某个”，“有的”等.
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.
存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为
，，
读作“存在中的元素，使成立”.
2、全称量词命题和存在量词命题的否定
（1）全称量词命题的否定
全称量词命题：
，，
它的否定：
，.
全称量词命题的否定是存在量词命题.
（2）存在量词命题的否定
存在量词命题：
，，
它的否定：
，.
存在量词命题的否定是全称量词命题.
【典型例题】
例1．(2023·宁夏·银川二中高一阶段练习）设全集，集合，集合，其中．
(1)若“”是“”的充分条件，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
【解析】（1）因为“”是“”的充分条件，故，
故 ，解得
故“”是“”的充分条件，a的取值范围为
（2）①当时，即，解得，此时，不合题意；
②当时，则，
若，则
⑴，解得，又因为，则，
⑵，解得，与矛盾，故舍去；
综上，若，则a的取值范围为．
例2．(2023·湖北·麻城市博达学校高一阶段练习）已知：集合，
(1)若，求，；
(2)若是的充分条件，求实数的取值范围；
(3)若，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，，
，.
（2）是的充分条件，
，则，解得：，
即实数的取值范围为.
（3）当时，，解得：，满足；
当时，若，则或，解得：或；
综上所述：实数的取值范围为.
例3．(2023·山东·山大华特卧龙学校高一阶段练习）已知命题：实数满足集合，：集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【解析】若是的必要不充分条件，则A，
而，
当时，，符合A；
当时，，若A，则，解得，
当时，，符合题意，即；
当时，，若A，则，解得．
综上所述，实数的取值范围为或或．
例4．(2023·全国·高一课时练习）（1）是否存在实数p，使“”是“或”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，请说明理由．
（2）是否存在实数p，使“”是“或”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，请说明理由．
【解析】（1）令，或，
假设存在实数p，使“”是“或”的充分条件，
则，即，解得．
故当时，“”是“或”的充分条件．
（2）令，或，
假设存在实数p，使“”是“或”的必要条件，
则，显然或不可能成立，
故不存在数p，使“”是“或”的必要条件．
过关测试
一、单选题
1．(2023·全国·高一阶段练习）已知下列四组陈述句：
①：集合；：集合．
②：集合；：集合．
③：；：．
④：某中学高一全体学生中的一员；：某中学全体学生中的一员．
其中p是q的必要而不充分条件的有( )
A．①②B．③④C．②④D．①③
答案：D
【解析】①若，则或，∴，即p：；故且，即p是q的必要而不充分条件，符合题意；
②若，则根据子集的性质可得，即p：；
故是的充要条件，不符题意；
③对于，当时，，
故，∴是的必要而不充分条件，符合题意；
④易知且，即是的充分而不必要条件，不符合题意；
综上，是的必要而不充分条件的有①③．
故选：D．
2．(2023·湖北·麻城市博达学校高一阶段练习）设计如图所示的四个电路图，“开关闭合”，“灯泡亮”，则是的充分不必要条件的电路图是
（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】对于A，当开关闭合时，灯泡亮，充分性成立；当灯泡亮时，可能是另一个开关闭合，必要性不成立；
则是的充分不必要条件，A正确；
对于B，当开关闭合时，灯泡亮，充分性成立；当灯泡亮时，开关闭合，必要性成立；
则是的充要条件，B错误；
对于C，仅开关闭合时，灯泡不亮，充分性不成立；当灯泡亮时，开关必须闭合，必要性成立；
则是的必要不充分条件，C错误；
对于D，当开关闭合时，灯泡亮，充分性成立；当灯泡亮时，开关闭合，必要性成立；
则是的充要条件，D错误.
故选：A.
3．(2023·河南·沁阳市永威学校高一阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件
C．既不是充分条件，也不是必要条件D．既是充分条件，也是必要条件
答案：B
【解析】由，解得或，
由推不出，故充分性不成立，
由推得出，故必要性成立，
故“”是“”的必要条件但不是充分条件；
故选：B
4．(2023·河南省叶县高级中学高一阶段练习）设x，y都是实数，则“且”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】由且，必有且；
当且时，如，不满足，故不一定有且．
所以“且”是“且”的充分不必要条件．
故选：A．
5．(2023·湖南·株洲二中高一开学考试）“”是“”的（ ）条件.
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
答案：A
【解析】由得或
或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6．(2023·全国·高一课时练习）设，则“”的充要条件是（ ）
A．都为1B．都不为1
C．中至少有一个为1D．都不为0
答案：C
【解析】由，可得，解得或，
故“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”．
故选：C.
7．(2023·全国·高一课时练习）已知区间，则下列是“对任意的，”的必要不充分条件的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由“对任意的，”，得，即，
则原题等价于探求“”的必要不充分条件，
A选项“”为“”的充要条件，故A错误；
B选项“”为“”的必要不充分条件，故B正确；
C选项“”为“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
D选项“”为“”的既不充分也不必要条件，故D错误；
故选：B.
8．(2023·山东·东营市第一中学高一阶段练习）“不等式在R上恒成立”的充要条件是（ ）
A．B．
C． D．
答案：A
【解析】∵不等式在R上恒成立，
∴ ，解得，
又∵，∴，则不等式在R上恒成立，
∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件,
故选:A.
二、多选题
9．(2023·全国·高一课时练习）下列说法中正确的有（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“或”是“”的充要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
答案：BC
【解析】对于A，当时，或，所以“”不能推出“”，A错误；
对于B，“”能推出“”，若，则，但，所以“”不能推出“”，B正确；
对于C，的实数根为，，C正确；
对于D，当，时，，但，所以“”不能推出“”，D错误．
故选：BC
10．(2023·山东·东营市第一中学高一阶段练习）若，则下列说法与之等价的是（ ）
A．“”是“”的充分条件
B．“”是“”的必要条件
C．
D．
答案：ABD
【解析】对于A，可得，所以对任意的，都有成立，即，所以A正确；
对于B，可得，即，又因为，所以B正确；
对于C，可得，所以C错误；
对于D，，所以D正确.
故选：ABD.
11．(2023·全国·高一课时练习）已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件.现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件；④的必要条件而不是充分条件；则正确命题序号是 （ ）
A．①B．②C．③D．④
答案：ABD
【解析】由题意，，但⇏，故①②正确，③错误；
所以，根据等价关系知：且⇏，故④正确.
故选：ABD
12．(2023·江苏·高一单元测试）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即，.则下列结论正确的是（ ）
A．；B．；
C．；D．整数，属于同一“类”的充要条件是“”.
答案：ABD
【解析】A：除以5，所得余数为，满足的定义，故正确；
B：整数集就是由除以所得余数为的整数构成的，故正确；
C：，故，故错误；
D：设，
则；
若整数，属于同一“类”，则，所以；
反之，若，则，即，属于同一“类”.
故整数，属于同一“类”的充要条件是“”，正确.
故选：.
三、填空题
13．(2023·江苏·高一单元测试）已知：或，：或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 __．
答案：
【解析】因为是的必要条件，所以，
即由或或；
时，，此时：，有成立；
②时，:且，；
③时，有，即，此时无解， ；
综上，．
故答案为：．
14．(2023·江苏·高一单元测试）已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是_______．
答案：
【解析】记，，
因为p是q的充分条件，所以.
当时，，即，符合题意；
当时，，由可得，所以，即.
综上所述，实数的k的取值范围是．
故答案为：．
15．(2023·全国·高一课时练习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是___________.
答案：
【解析】由不等式，
当时，不等式的解集为空集，显然不成立；
当时，不等式，可得，
要使得不等式的一个充分条件为，则满足，
所以，即
∴实数a的取值范围是.
故答案为：.
16．(2023·江苏·高一单元测试）已知表示不超过的最大整数.例如，，，若，，是的充分不必要条件，则的取值范围是______.
答案：
【解析】∵表示不超过的最大整数，
∴，，即，
又是的充分不必要条件，，
∴AB，故，即的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17．(2023·河南·高一阶段练习）已知：“实数满足”，“都有意义”.
(1)已知为假命题，为真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，若为真命题，则，即.
若为真命题，则当时，满足题意；当时，，解得，所以.
故若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为.
（2）对，且由（1）知，对，则或.
因为是的充分不必要条件，所以，解得.
故的取值范围是.
18．(2023·江苏·明达中学高一阶段练习） 已知集合，，全集，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【解析】由于是的充分不必要条件，所以，
①当时，即时，满足.
②当时，要使，则需，解得，
综上所述，的取值范围是或.
19．(2023·全国·高一单元测试）已知全集，集合，非空集合．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．
【解析】（1）当时，，
则,
又，所以；
（2）因为“”是“”的必要而不充分条件，所以且 ，
所以，解得，
故实数a的取值范围是.
20．(2023·江苏省如皋中学高一开学考试）设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是
【解析】充分性：
因为，
所以方程可化为，
所以，所以，
所以该方程有两个根，
同理，另一方程可化为，
所以，所以，
所以该方程有两个根，
可以发现，所以这两个方程有公共根；
必要性：
设是两方程的公共根，所以，
由①②得：，
若，①式得到即与三角形的边长矛盾，所以，
所以，
代入①式得，整理得，
所以；
综上所述，方程与有公共根的充要条件是.
21．(2023·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）设命题：，：．
(1)若，判断是的充分条件还是必要条件；
(2)若是的______，求的取值集合．
从①充分不必要条件，②必要不充分条件，这两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上，并给予解答．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）记集合，
．
当时，，由于，
是的充分条件．
（2）选①，若是的充分不必要条件，等价于是的充分不必要条件，则．
，
①当时，，不成立；
②当时，，由，得．
（2）选②，若是的必要不充分条件，等价于是的充分不必要条件，则．
①当时，，不可能；
②当时，，由，得．
综上，的取值集合为．
22．(2023·全国·高一课时练习）已知集合，，其中，是关于x的方程的两个不同的实数根.
(1)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围.
【解析】（1）假设存在满足条件的实数a，则，即，.
因为，是关于x的方程的两个不同的实数根，所以，
即，解得，即当时，“”是“”的充要条件.
（2）由题意可知，关于x的方程的两根分别为和.
因为“”是“”的必要不充分条件，所以B A .
当，即时，，
则解得；
当，即时，，
则解得.
综上，a的取值范围是或.
1、全称量词与存在量词
（1）全称量词
短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.常见的全称量词还有“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.
全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为
，，
读作“对任意属于，有成立”.
（2）存在量词
短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.常见的存在量词还有“有些”，“有一个”，“对某个”，“有的”等.
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.
存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为
，，
读作“存在中的元素，使成立”.
2、全称量词命题和存在量词命题的否定
（1）全称量词命题的否定
全称量词命题：
，，
它的否定：
，.
全称量词命题的否定是存在量词命题.
（2）存在量词命题的否定
存在量词命题：
，，
它的否定：
，.
存在量词命题的否定是全称量词命题.
【典型例题】
例1．(2023·宁夏·银川二中高一阶段练习）设全集，集合，集合，其中．
(1)若“”是“”的充分条件，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
例2．(2023·湖北·麻城市博达学校高一阶段练习）已知：集合，
(1)若，求，；
(2)若是的充分条件，求实数的取值范围；
(3)若，求实数的取值范围．
例3．(2023·山东·山大华特卧龙学校高一阶段练习）已知命题：实数满足集合，：集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
例4．(2023·全国·高一课时练习）（1）是否存在实数p，使“”是“或”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，请说明理由．
（2）是否存在实数p，使“”是“或”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，请说明理由．
过关测试
一、单选题
1．(2023·全国·高一阶段练习）已知下列四组陈述句：
①：集合；：集合．
②：集合；：集合．
③：；：．
④：某中学高一全体学生中的一员；：某中学全体学生中的一员．
其中p是q的必要而不充分条件的有( )
A．①②B．③④C．②④D．①③
2．(2023·湖北·麻城市博达学校高一阶段练习）设计如图所示的四个电路图，“开关闭合”，“灯泡亮”，则是的充分不必要条件的电路图是
（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023·河南·沁阳市永威学校高一阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件
C．既不是充分条件，也不是必要条件D．既是充分条件，也是必要条件
4．(2023·河南省叶县高级中学高一阶段练习）设x，y都是实数，则“且”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．(2023·湖南·株洲二中高一开学考试）“”是“”的（ ）条件.
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
6．(2023·全国·高一课时练习）设，则“”的充要条件是（ ）
A．都为1B．都不为1
C．中至少有一个为1D．都不为0
7．(2023·全国·高一课时练习）已知区间，则下列是“对任意的，”的必要不充分条件的是（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·山东·东营市第一中学高一阶段练习）“不等式在R上恒成立”的充要条件是（ ）
A．B．
C． D．
二、多选题
9．(2023·全国·高一课时练习）下列说法中正确的有（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“或”是“”的充要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
10．(2023·山东·东营市第一中学高一阶段练习）若，则下列说法与之等价的是（ ）
A．“”是“”的充分条件
B．“”是“”的必要条件
C．
D．
11．(2023·全国·高一课时练习）已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件.现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件；④的必要条件而不是充分条件；则正确命题序号是 （ ）
A．①B．②C．③D．④
12．(2023·江苏·高一单元测试）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即，.则下列结论正确的是（ ）
A．；B．；
C．；D．整数，属于同一“类”的充要条件是“”.
三、填空题
13．(2023·江苏·高一单元测试）已知：或，：或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 __．
14．(2023·江苏·高一单元测试）已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是_______．
15．(2023·全国·高一课时练习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是___________.
16．(2023·江苏·高一单元测试）已知表示不超过的最大整数.例如，，，若，，是的充分不必要条件，则的取值范围是______.
四、解答题
17．(2023·河南·高一阶段练习）已知：“实数满足”，“都有意义”.
(1)已知为假命题，为真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18．(2023·江苏·明达中学高一阶段练习） 已知集合，，全集，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19．(2023·全国·高一单元测试）已知全集，集合，非空集合．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．
20．(2023·江苏省如皋中学高一开学考试）设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是
21．(2023·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）设命题：，：．
(1)若，判断是的充分条件还是必要条件；
(2)若是的______，求的取值集合．
从①充分不必要条件，②必要不充分条件，这两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上，并给予解答．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
22．(2023·全国·高一课时练习）已知集合，，其中，是关于x的方程的两个不同的实数根.
(1)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围.
专题 02充分必要条件与量词
考点预测：
1、全称量词与存在量词
（1）全称量词
短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.常见的全称量词还有“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.
全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为
，，
读作“对任意属于，有成立”.
（2）存在量词
短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.常见的存在量词还有“有些”，“有一个”，“对某个”，“有的”等.
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.
存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为
，，
读作“存在中的元素，使成立”.
2、全称量词命题和存在量词命题的否定
（1）全称量词命题的否定
全称量词命题：
，，
它的否定：
，.
全称量词命题的否定是存在量词命题.
（2）存在量词命题的否定
存在量词命题：
，，
它的否定：
，.
存在量词命题的否定是全称量词命题.
【典型例题】
例1．(2023·宁夏·银川二中高一阶段练习）设全集，集合，集合，其中．
(1)若“”是“”的充分条件，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
【解析】（1）因为“”是“”的充分条件，故，
故 ，解得
故“”是“”的充分条件，a的取值范围为
（2）①当时，即，解得，此时，不合题意；
②当时，则，
若，则
⑴，解得，又因为，则，
⑵，解得，与矛盾，故舍去；
综上，若，则a的取值范围为．
例2．(2023·湖北·麻城市博达学校高一阶段练习）已知：集合，
(1)若，求，；
(2)若是的充分条件，求实数的取值范围；
(3)若，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，，
，.
（2）是的充分条件，
，则，解得：，
即实数的取值范围为.
（3）当时，，解得：，满足；
当时，若，则或，解得：或；
综上所述：实数的取值范围为.
例3．(2023·山东·山大华特卧龙学校高一阶段练习）已知命题：实数满足集合，：集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【解析】若是的必要不充分条件，则A，
而，
当时，，符合A；
当时，，若A，则，解得，
当时，，符合题意，即；
当时，，若A，则，解得．
综上所述，实数的取值范围为或或．
例4．(2023·全国·高一课时练习）（1）是否存在实数p，使“”是“或”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，请说明理由．
（2）是否存在实数p，使“”是“或”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，请说明理由．
【解析】（1）令，或，
假设存在实数p，使“”是“或”的充分条件，
则，即，解得．
故当时，“”是“或”的充分条件．
（2）令，或，
假设存在实数p，使“”是“或”的必要条件，
则，显然或不可能成立，
故不存在数p，使“”是“或”的必要条件．
过关测试
一、单选题
1．(2023·全国·高一阶段练习）已知下列四组陈述句：
①：集合；：集合．
②：集合；：集合．
③：；：．
④：某中学高一全体学生中的一员；：某中学全体学生中的一员．
其中p是q的必要而不充分条件的有( )
A．①②B．③④C．②④D．①③
答案：D
【解析】①若，则或，∴，即p：；故且，即p是q的必要而不充分条件，符合题意；
②若，则根据子集的性质可得，即p：；
故是的充要条件，不符题意；
③对于，当时，，
故，∴是的必要而不充分条件，符合题意；
④易知且，即是的充分而不必要条件，不符合题意；
综上，是的必要而不充分条件的有①③．
故选：D．
2．(2023·湖北·麻城市博达学校高一阶段练习）设计如图所示的四个电路图，“开关闭合”，“灯泡亮”，则是的充分不必要条件的电路图是
（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】对于A，当开关闭合时，灯泡亮，充分性成立；当灯泡亮时，可能是另一个开关闭合，必要性不成立；
则是的充分不必要条件，A正确；
对于B，当开关闭合时，灯泡亮，充分性成立；当灯泡亮时，开关闭合，必要性成立；
则是的充要条件，B错误；
对于C，仅开关闭合时，灯泡不亮，充分性不成立；当灯泡亮时，开关必须闭合，必要性成立；
则是的必要不充分条件，C错误；
对于D，当开关闭合时，灯泡亮，充分性成立；当灯泡亮时，开关闭合，必要性成立；
则是的充要条件，D错误.
故选：A.
3．(2023·河南·沁阳市永威学校高一阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件
C．既不是充分条件，也不是必要条件D．既是充分条件，也是必要条件
答案：B
【解析】由，解得或，
由推不出，故充分性不成立，
由推得出，故必要性成立，
故“”是“”的必要条件但不是充分条件；
故选：B
4．(2023·河南省叶县高级中学高一阶段练习）设x，y都是实数，则“且”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】由且，必有且；
当且时，如，不满足，故不一定有且．
所以“且”是“且”的充分不必要条件．
故选：A．
5．(2023·湖南·株洲二中高一开学考试）“”是“”的（ ）条件.
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
答案：A
【解析】由得或
或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6．(2023·全国·高一课时练习）设，则“”的充要条件是（ ）
A．都为1B．都不为1
C．中至少有一个为1D．都不为0
答案：C
【解析】由，可得，解得或，
故“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”．
故选：C.
7．(2023·全国·高一课时练习）已知区间，则下列是“对任意的，”的必要不充分条件的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由“对任意的，”，得，即，
则原题等价于探求“”的必要不充分条件，
A选项“”为“”的充要条件，故A错误；
B选项“”为“”的必要不充分条件，故B正确；
C选项“”为“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
D选项“”为“”的既不充分也不必要条件，故D错误；
故选：B.
8．(2023·山东·东营市第一中学高一阶段练习）“不等式在R上恒成立”的充要条件是（ ）
A．B．
C． D．
答案：A
【解析】∵不等式在R上恒成立，
∴ ，解得，
又∵，∴，则不等式在R上恒成立，
∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件,
故选:A.
二、多选题
9．(2023·全国·高一课时练习）下列说法中正确的有（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“或”是“”的充要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
答案：BC
【解析】对于A，当时，或，所以“”不能推出“”，A错误；
对于B，“”能推出“”，若，则，但，所以“”不能推出“”，B正确；
对于C，的实数根为，，C正确；
对于D，当，时，，但，所以“”不能推出“”，D错误．
故选：BC
10．(2023·山东·东营市第一中学高一阶段练习）若，则下列说法与之等价的是（ ）
A．“”是“”的充分条件
B．“”是“”的必要条件
C．
D．
答案：ABD
【解析】对于A，可得，所以对任意的，都有成立，即，所以A正确；
对于B，可得，即，又因为，所以B正确；
对于C，可得，所以C错误；
对于D，，所以D正确.
故选：ABD.
11．(2023·全国·高一课时练习）已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件.现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件；④的必要条件而不是充分条件；则正确命题序号是 （ ）
A．①B．②C．③D．④
答案：ABD
【解析】由题意，，但⇏，故①②正确，③错误；
所以，根据等价关系知：且⇏，故④正确.
故选：ABD
12．(2023·江苏·高一单元测试）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即，.则下列结论正确的是（ ）
A．；B．；
C．；D．整数，属于同一“类”的充要条件是“”.
答案：ABD
【解析】A：除以5，所得余数为，满足的定义，故正确；
B：整数集就是由除以所得余数为的整数构成的，故正确；
C：，故，故错误；
D：设，
则；
若整数，属于同一“类”，则，所以；
反之，若，则，即，属于同一“类”.
故整数，属于同一“类”的充要条件是“”，正确.
故选：.
三、填空题
13．(2023·江苏·高一单元测试）已知：或，：或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 __．
答案：
【解析】因为是的必要条件，所以，
即由或或；
时，，此时：，有成立；
②时，:且，；
③时，有，即，此时无解， ；
综上，．
故答案为：．
14．(2023·江苏·高一单元测试）已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是_______．
答案：
【解析】记，，
因为p是q的充分条件，所以.
当时，，即，符合题意；
当时，，由可得，所以，即.
综上所述，实数的k的取值范围是．
故答案为：．
15．(2023·全国·高一课时练习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是___________.
答案：
【解析】由不等式，
当时，不等式的解集为空集，显然不成立；
当时，不等式，可得，
要使得不等式的一个充分条件为，则满足，
所以，即
∴实数a的取值范围是.
故答案为：.
16．(2023·江苏·高一单元测试）已知表示不超过的最大整数.例如，，，若，，是的充分不必要条件，则的取值范围是______.
答案：
【解析】∵表示不超过的最大整数，
∴，，即，
又是的充分不必要条件，，
∴AB，故，即的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17．(2023·河南·高一阶段练习）已知：“实数满足”，“都有意义”.
(1)已知为假命题，为真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，若为真命题，则，即.
若为真命题，则当时，满足题意；当时，，解得，所以.
故若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为.
（2）对，且由（1）知，对，则或.
因为是的充分不必要条件，所以，解得.
故的取值范围是.
18．(2023·江苏·明达中学高一阶段练习） 已知集合，，全集，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【解析】由于是的充分不必要条件，所以，
①当时，即时，满足.
②当时，要使，则需，解得，
综上所述，的取值范围是或.
19．(2023·全国·高一单元测试）已知全集，集合，非空集合．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．
【解析】（1）当时，，
则,
又，所以；
（2）因为“”是“”的必要而不充分条件，所以且 ，
所以，解得，
故实数a的取值范围是.
20．(2023·江苏省如皋中学高一开学考试）设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是
【解析】充分性：
因为，
所以方程可化为，
所以，所以，
所以该方程有两个根，
同理，另一方程可化为，
所以，所以，
所以该方程有两个根，
可以发现，所以这两个方程有公共根；
必要性：
设是两方程的公共根，所以，
由①②得：，
若，①式得到即与三角形的边长矛盾，所以，
所以，
代入①式得，整理得，
所以；
综上所述，方程与有公共根的充要条件是.
21．(2023·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）设命题：，：．
(1)若，判断是的充分条件还是必要条件；
(2)若是的______，求的取值集合．
从①充分不必要条件，②必要不充分条件，这两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上，并给予解答．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）记集合，
．
当时，，由于，
是的充分条件．
（2）选①，若是的充分不必要条件，等价于是的充分不必要条件，则．
，
①当时，，不成立；
②当时，，由，得．
（2）选②，若是的必要不充分条件，等价于是的充分不必要条件，则．
①当时，，不可能；
②当时，，由，得．
综上，的取值集合为．
22．(2023·全国·高一课时练习）已知集合，，其中，是关于x的方程的两个不同的实数根.
(1)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围.
【解析】（1）假设存在满足条件的实数a，则，即，.
因为，是关于x的方程的两个不同的实数根，所以，
即，解得，即当时，“”是“”的充要条件.
（2）由题意可知，关于x的方程的两根分别为和.
因为“”是“”的必要不充分条件，所以B A .
当，即时，，
则解得；
当，即时，，
则解得.
综上，a的取值范围是或.
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